INTEGRAL

Kalkulus Teknik Informatika

PENDAHULUAN

INTEGRAL DIFERENSIAL

Contoh Integral

Temukan anti turunan dari Dari teori derivarif kita tahu

34)( xxf 4)( xxF

Teorema A : Aturan Pangkat

Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali

(-1), maka :

Jika r = 0 ? Perhatikan bahwa untuk anti derivatif suatu pangkat

dari x kita tambah pangkatnya dengan 1 dan membaginya dengan pangkat yg baru.

Anti turunan sering disebut dengan Integral Tak Tentu Dalam notasi disebut tanda integral,

sedangkan f(x) disebut integran

Cxdxx rr

r

11

1

,)( dxxf

Teorema B : Kelinearan integral tak tentu

Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan k adalah konstanta, maka

1. k f(x) dx = k f(x) dx

2. [ f(x) + g(x) ] dx = f(x) dx + g(x) dx

3. [ f(x) - g(x) ] dx = f(x) dx - g(x) dx

Teorema C Aturan pangkat yang diperumum

Cxgdxxgxg rr

r

11

1 )]([)(')]([

Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bil rasional bukan (-1), maka :

Contoh : Carilah integral dari f(x) sbb.

dxxxx )34()3( 3304

dxxx cossin30

1,11

1 rCuduu r

rr

Integral Tentu

Teorema Kalkulus yg penting

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval

a ≤ x ≤ b, maka

dimana F(x) adalah integral dari fungsi f(x)

pada a ≤ x ≤ b.

b

a

aFbFdxxf )()()(

Contoh

Solusi

=

=

=

dxxx 1

2

3 3

1

2

24

2

3

4

xx

642

3

4

1

4

18

Contoh

Solusi

=

= 14-13 = 11

dxxx 2

1

2 123

2123 xxx

Contoh:Carilah area dibawah kurva dari fungsi berikut ini

Solusi

3

1

2 1 dxxA

dxx 3

1

2 1

3

1

3

3

x

x

1

3

139

3

412 67.10

Grafik

1)( 2 xxf

Area diantara dua kurva

Area diantara 2 kurva f(x) dan g(x)

b

a

dxxgxfA )()(

Contoh Carilah area R yang berada diantara kurva dan

kurva

Solusi Carilah titik pertemuan antara 2 kurva

=> => x=1 or x=0

=> = = =

3xy 2xy

23 xx 012 xx

1

0

23 dxxxA

1

0

34

34

xxA

3

1

4

1

12

1

12

1

Contoh Carilah area yang dibatasi oleh garis dan kurva

SolusiCarilah titik pertemuan:

23 3xxy

xy 4

xxx 43 23

0432 xxx

014 xxx

1,4,0 xxx

1

0

230

4

23 4343 dxxxxdxxxxA

1

0

2340

4

234

24

24

xxx

xxx

A

21

4

1)4(2)4(4

4

10 234A

4

332 A

4

332A

Sifat-sifat Integral Tentu

INTEGRAL

Sifat-sifat Integral Tentu

INTEGRAL

Volume Benda Putar

Metode Cakram

Metode Cakram

Metode Cakram

Metode Cakram

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Contoh 1

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Contoh 2

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Contoh

Latihan

Integral Parsial 30

Integral Partial

Berdasarkan pada pengitegralan rumus turunan hasil dua kali fungsi :

Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi :

d(uv) = udv + vdu

udv = d(uv) – vdu

vduuvudv

Integral Parsial 31

Aturan yg hrs diperhatikan

1. Bagian fungsi yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasikan

2. tidak boleh lebih sulit daripada vdu udv

Contoh 1 :

xdxx cos

a. Misal : u = x dv = cos x dx

du = dx v = sin x

Integral Parsial 32

Rumus integralnya :

xdxxxdxxx sinsincos

= x sin x + cos x + cb. Misal diambil :

u = cos x dv = x dx

du = -sin x dx v = x2/2Rumus Integral Parsialnya :

)sin(22

)(coscos22

dxxxx

xdxxx

Integralnya lebih susah

u dv u v - v du

Penting Sekali pemilihan u dan v

Integral Parsial 33

Pengintegralan Parsial Berulang

Seringkali ditemui pengintegralan parsial berulang beberapa kali

xdxx sin2

Misal : u = x2 dv = sin x dx

du = 2x dx v = -cos x

Maka :

xdxxxxxdxx cos2cossin 22

- Tampak bahwa pangkat pada x berkurang

- Perlu pengintegralan parsial lagi

Integral Parsial 34

Dari contoh 1 :

)cossin(2cossin 22 cxxxxxxdxx

= -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x + K

Integral Parsial 35

Contoh 3 :

xdxex sin

xdxexexdxe xxx coscoscos

Misal : u = ex dan dv = sinx dx

du = exdx dan v = - cosx

Maka :

Perlu penerapan integral parsial dalam integral kedua

xdxex cos u = ex dv = cos x dx

du = exdx v = sin x

Integral Parsial 36

Sehingga :

xdxexexdxe xxx sinsincosBila hasil ini disubstitusikan pada hasil pertama

xdxexexexdxe xxxx sinsincossin

Cxexexdxe xxx sincossin2

Kxxexdxe xx )sin(cos2

1sin