Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsurdengan kriteria/syarat tertentu.

Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota(elemen) S.

Himpunan yang tidak memiliki anggota disebuthimpunan kosong, ditulis dengan notasi atau { }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, makadituliskan dan dibaca a elemen S.

Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan

dan dibaca a bukan elemen S.

a S

a S

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat

dinyatakan dengan 2 cara.

Dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagaicontoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:

Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki olehseluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimilikioleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunantersebut.

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A

{ bilangan bulat positif kurangdari 10}A x x

Bilangan asli adalah salah satu sistem bilanganyang paling sederhana, anggota-anggotanyaadalah: 1, 2, 3, 4,

Himpunan bilangan asli diberi lambang N, jadi

N = ,1, 2, 3, 4, -

Bilangan bulat terdiri atas bilangan asli, negatifnya, dan bilangan nol. Bilangan bulatdiberi lambang Z, jadi

Z = ,.,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,-

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk , di mana adan b adalah bilangan bulat dan . Bilangan Rasional diberi lambang : Q

Contoh

Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai:

atau dan sebagainya

a

b

0b

12

2

30

5

Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanyadesimal berulang

Contoh

merupakan bilangan rasional37

Bukti

Misal x = 0,753753753753. 1000 x = 753,753753753 1000 x x = 753 999 x = 753

753

999x (terbukti)

Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukanrasional, persisnya adalah bilangan yang tidak dapatdinyatakan sebagai bentuk a/ b di mana a dan badalah bilangan bulat dan b 0.

Contoh

= 3,141592653358.. (desimalnya tidakberaturan/tidak berulang)

e = 2,71828281284590.... (desimalnya tidakberaturan/tidak berulang)

2 = 1,4142135623.. (desimalnya tidakberaturan/tidak berulang

Bilangan riil adalah gabungan dari himpunanbilangan rasional dan irrasional.

Himpunan bilangan riil dilambangkan denganR

RQ

Z

N

Bilangan Riil

Bilangan Rasional

Bilangan Bulat

Bilangan

Asli

Suatu garis bilangan adalah suatu penyajianbilangan-bilangan riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 6

2 1,4142

2 1,4142 3,14159

2

1100 2,7182e

Gambar : Garis Bilangan

Interval atau selang adalah suatu himpunanbagian tidak kosong dari himpunan bilanganriil R yang memenuhi suatu ketidaksamaantertentu

Jika digambarkan pada garis bilangan (garisriil), maka interval akan berupa suatu segmengaris (ruas garis) yang batas batasnya jelas.

Ada dua jenis interval, yaitu interval berhinggadan interval tak berhingga.

Interval Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas

No Notasi

Himpunan

Notasi

Interval Grafik

1 |x a x b ,a b a b

2 |x a x b ,a b a b

3 |x a x b ,a b a b

4 |x a x b ,a b a b

Interval Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas

No Notasi

Himpunan

Notasi

Interval Grafik

1 |x x a ,a a

2 |x x a [ , )a a

3 |x x b ( , )b b

4 |x x b ( , ]b b

1. 2 4x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7

2. 1,5 4,7x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7

3. 2x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7

4. 3,5x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7

5. 2 3 6x atau x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7

Peubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebaranganggota suatu himpunan.

Jika himpunannya R maka peubahnya disebutpeubah real.

Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataanmatematis yang memuat satu perubah ataulebih dan salah satu tanda ketidaksamaan

(, , ).

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memilikiarti mencari seluruh bilangan real yang dapatdicapai oleh peubah-peubah yang ada dalampertidaksamaan tersebut sehinggapertidaksamaan tersebut menjadi benar.

Himpunan semua bilangan yang demikian inidisebut penyelesaian (Himpunan Penyelesaian)

Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan berikut:

A. 4x + 2 < 2x +10 F. -2x + 3 x 6 3

B. 3x - 2 4x + 5

C. x2 7x + 10 < 0 G.

D. 2x2 + x 15 0

E. -1 < 3x 4 < 8 H.

30

2

x

x

34

2

x

x

A. 4x + 2 < 2x +10

4x 2x < 10 2

2x < 8

x < 4

Hp = { x | x < 4 }

Hp = (-, 4)

B. 3x - 2 4x + 5

3x 4x 5 + 2

-x 7

x -7

Hp = { x | x -7 }

Hp = [-7, )

4 -7

C. x2 7x + 10 < 0 (x 2)(x 5) < 0

Tentukan pembuat nol ruas kiri

x = 2 atau x = 5

Gambarkan pada garis bilangan, sehinggaterbentuk beberapa selang (yaitu x < 2, 2 5)

2 5

Tentukan tanda pada masing masing interval (selang) dengan cara memberikan nilai dari masing-masing interval (cukup satu wakil), misal kita ambil : x = 0; x = 3; dan x = 6.

x = 0 (x 2)(x 5) = (-2)(-5) = 10 > 0 (positif)

Maka pada selang x 0 (positif)Maka apda selang x > 5 beri tanda (+)

2 5

(+) (-) (+)

Sekarang perhatikan tanda pertidaksamaanyaitu < 0, atau negatif (-)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalahinterval yang bertanda (-) [negatif] yaitu

HP = {x| 2 < x < 5} = (2,5)

2 5

D. 2x2 + x 15 0 (2x 5)(x + 3) 0

Pembuat nol x = -3 dan x = 5/2

HP = {x| x -3 atau x 5/2}

= (-, -3] U [5/2, )

-3 5/2

(+) (-) (+)

E. -1 < 3x 4 < 8

-1 + 4 < 3x < 8 + 4

3 < 3x < 12

1 < x < 4

Hp = {x | 1 < x < 4}

= (1,4)

F. -2x + 3 x 6 3

(1) - 2x + 3 x 6

- 2x x - 6 3

-3x -9

-x 3

x -3

Hp1 = ,x | x -3}

= *3, ) 1 4

-3

(2) x 6 3

x 3 + 6

x 9

Hp2 = ,x | x 9-

= (-, 9+

Hp = Hp1 Hp2

Hp = { x |-3 x 9-

9

-3

9

-3 9

G. Penyelesaian

Tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebutruas-ruas kiri

Uji tanda pada setiap selang

Pembuat nol pembilang : x = - 3

Pembuat nol penyebut : x = 2

HP = {x| x 3 atau x > 2} = (-,3] U (2,)

02

3

x

x

-3

(+) (-) (+)

2

H. Penyelesaian

Ruas kanan dijadikan nol

34

2

x

x

3 34 4 0

2 2

x x

x x

4 230

2 2

xx

x x

3 4 20

2

x x

x

3 50

2

x

x

Tentukan pembuat nol dari pembilang danpenyebut ruas ruas kiri

Pembuat nol pembilang : x = 5/3

Pembuat nol penyebut : x = 2

Uji tanda pada setiap selang

HP: {x|5/3 x < 2} = [5/3, 2)

5/3

(-)(+)

2

(-)

Definisi

Nilai mutlak Rx , ditulis dengan notasi x , didefinisikan sebagai:

2xx .

Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:

0,

0,

xx

xx

x

Sebagai contoh, 8)8(8 , 2

5

2

5 , 33 , dst

Jika Ryx , maka:

a. 0x 00 xx

b. . .x y x y 0, yasaly

x

y

x

c. , 0x a a x a a dan atau x a x a x a

d. 2 2x y x y

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan mutlakdapat dilakukan dengan:

Menggunkan sifat nilai mutlak mutlak bagian c

a.

b.

Menggunakan sifat nilai mutlak bagian d2 2x y x y

, 0x a a x a a

atau x a x a x a

1. | 2x 3 | < 4 -4 < 2x 3 < 4

-4 + 3 < 2x < 4 + 3

-1 < 2x < 7

-1/2 < x < 7/2

HP = { x / -1/2 < x < 7/2 }

= ( - 1/2 , 7/2 )

-1/2 7/2

2. | 5x + 1 | 9 5x + 1 -9 atau 5x + 1 9

5x -10 atau 5x 8

x -2 atau x 8/5

HP = { x / x -2 atau x 8/5 }

= (- , -2]U[ 8/5, )

-2 8/5

3. |2x 1| > |x + 4|

(2x 1)2 > (x + 4)2

4x2 4x + 1 > x2 + 8x + 16

(4x2 x2) + (-4x 8x) + (1 16) > 0

3x2 12x 15 > 0

(3x + 3)(x 5 )> 0

Hp = {x | x < -1 U x > 5}

= (- , -1) U (5, )

-1

(+)

5

(-)(+)

Cara lain: a2 b2 = (a + b)(a b)

(2x 1)2 > (x + 4)2

(2x 1)2 - (x + 4)2 > 0

((2x 1)+(x + 4)) ((2x 1)-(x + 4)) > 0

(3x + 3)(x 5 )> 0

Hp = {x | x < -1 U x > 5}

= (- , -1) U (5, )

-1

(+)

5

(-)(+)

Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

2 2 4 6x

2 1 5 3x

2 10

2

x

x

2 4 6 7 3 6x x x

2 13

2

x

x

2 2 3 0x x 2 3 4 0x x

2 5 3x

25 1

3

x

2 3 6x x