MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak...

Barisan Tak HinggaDeret Tak Hingga

Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku PositifDeret Berganti Tanda

Deret PangkatDeret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10)Bab 9: Deret Tak Hingga

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“Do maths and you see the world”

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak Hingga




KemonotonanKekonvergenan

Barisan Tak Hingga

Barisan adalah fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli,

f : N→ R,

yang mana f (n) = an, dikenal sebagai barisan bilangan real {an};an disebut sebagai suku ke-n atau rumus umum suatu barisan.






Contoh:

an =1

n,

atau

{1, 1

2,

1

3, . . .}






Diskusi:Mungkinkah ada rumus suku ke-n yang lain yang memberikanbeberapa suku pertama barisan yang sama dengan diatas?






Jawab: Ada!a1 = 1; an+1 =

an1 + an






Perhatikan bahwa “rumus suku ke-n suatu barisan” tidak tunggal.






Contoh: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut:

1 {1,−1, 1,−1, . . .}2 {82 ,

52 ,

42 , . . .}






Solusi:

1 an = (−1)n+1; an = sin (n − 12)π

2 an = 1 + 3n ; an = 1

2n2 − 3n + 13

2






Apa (lagi) yang bisa kita lakukan terhadap suatu barisan?Jawab: menyelidiki...

ke-monoton-an

ke-terbatas-an

ke-konvergen-an






Kemonotonan

Ilustrasi:Selidiki kemonotonan barisan

1 an = n+12n

2 an = (−1)nn

3 an = n!2n






Untuk no 1, suku-suku barisannya adalah

1,3

4,

2

3,

5

8,

3

5, . . .

yang cenderung mengecil (turun). Kita menduga bahwa barisan{an} monoton turun.






Apabila kita perhatikan secara teoritis rasio rumus suku ke-n + 1dan ke-n,

an+1

an=

n2 + 2n

n2 + 2n + 1< 1, ∀n ∈ N,

maka an+1 < an,∀n ∈ N. Sehingga {an} merupakan barisanmonoton turun.






Definisi:Barisan bilang real {an} dikatakan monoton turun, jika untuksetiap n ∈ N, an+1 < an.(bagaimana definisi untuk barisan monoton tidak turun, naik, tidaknaik? barisan tidak monoton?)






Kekonvergenan

Definisi:Barisan bilang real {an} dikatakan konvergen ke a ∈ R, jika

limn→∞

an = a.

Barisan {an} yang tidak punya limit dikatakan divergen; limitbarisannya ∞,−∞, atau beroskilasi.






Contoh:Barisan an = n+1

2n konvergen ke 12 karena

limn→∞

n + 1

2n=

1

2.

Sedangkan barisan an = (−1)n divergen karena

limn→∞

(−1)n

tidak ada (beroskilasi).






Dapatkah anda menyelidiki kekonvergenan barisan

cn =n2

2n + 3sin

π

n?






Solusi:Barisan diatas dapat ditulis menjadi perkalian dua barisan

an bn

dengan

an = n sinπ

n,

yang konvergen ke π; dan

bn =n

2n + 3,

yang konvergen ke 12 . Dengan demikian barisan {cn} konvergen ke

12n.






Teorema:Misakan barisan {an} konvergen ke a dan barisan {bn} konvergenke b, maka barisan-barisan

{anbn} konvergen ke ab

{ anbn } konvergen ke ab , b 6= 0

{an + bn} konvergen ke a + b

{an − bn} konvergen ke a− b






Teorema:

Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas

Setiap barisan bilangan real yang monoton dan terbatas selalukonvergen






Latihan:Selidiki kekonvergen barisan-barisan berikut dengan memanfaatkansifat kemonotonan dan keterbatasan,

an =1

1− 2n

dan

bn =2n

n!





Deret Tak Hingga

Pandang barisan {an}, lalu bentuklah barisan baru {sn} dengan

sn = a1 + a2 + · · ·+ an =n∑

k=1

ak ,

atau jumlah n suku pertamanya. Barisan {sn} disebut sebagaideret (tak hingga) bilangan real.





Notasi deret:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·

Sedangkan

sn =n∑

k=1

ak ,

disebut jumlah parsial ke-n dari deret





Deret∑∞

n=1 an dikatakan konvergen jika barisan jumlah parsialnyamempunyai limit; dikatakan divergen jika limitnya tidak ada.





Contoh: Deret∞∑n=1

1

n(n + 1)

dapat diselidiki kekonvergenannya dengan cara

tulis rumus jumlah parsialnya

hitung limitnya





Dengan demikian,

sn =n∑

k=1

ak =n∑

k=1

1

k(k + 1)

=n∑

k=1

(1

k− 1

k + 1

)= . . . = 1− 1

n + 1

dan

limn→∞

sn = limn→∞

(1− 1

n + 1

)= 1

Artinya, deret konvergen ke 1 (konvergen dengan jumlah 1).





Latihan:Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut

1∑∞

n=12n+1

n2(n+1)2

2∑∞

n=11n (deret harmonik)

3∑∞

n=1 (−1)n+1





Teorema:Jika deret

∑∞n=1 an konvergen maka

limn→∞

an = 0





Uji IntegralUji Banding

Uji Kekonvergenan

Menguji kekovergenan deret dengan suku-suku positif dapatdilakukan dengan cara antara lain

1 Uji integral

2 Uji banding

3 Uji akar*






Uji Integral

Telah kita ketahui bahwa deret

∞∑n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ . . .

divergen. Namun, untuk kepentingan pengujian kekonvergenanderet dengan Uji Integral, maka kita anggap kita belummengetahui bahwa deret tersebut divergen.






Secara geometris, deret diatas memiliki arti luas persegipanjangdengan panjang alas 1 dan tinggi 1

n , n = 1, 2, . . .. Jumlah luaspersegipanjang ini lebih besar dibandingkan luas daerah yangdibatasi oleh {x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1

x }. Dengan kata lain,

∞∑n=1

1

n>

∫ ∞1

1

xdx .






Sekarang, kita hitung integral tak wajar pada selang tak hingga∫ ∞1

1

xdx = lim

b→∞

∫ b

1

1

xdx

= limb→∞

(ln x)b1

= limb→∞

ln b

=∞






Akibatnya, deret∑∞

n=11n divergen (karena lebih besar dari integral

tak wajarnya)






Bagaimana dengan deret

∞∑n=1

1

n2?






Teorema:Misalkan f fungsi kontinu, monoton turun, dan f (x) > 0 padaselang [1,∞).

Jika integral tak wajar∫∞1 f (x) dx konvergen/divergen, maka

deret∑∞

n=1 f (n) konvergen/divergen






Latihan: Selidiki kekonvergenan dari deret-deret berikut:

1∑∞

n=11√

2n+1

2∑∞

n=21

n ln2 n






Solusi:Integral tak wajar ∫ ∞

1

1√2x + 1

dx =∞,

sedangkan ∫ ∞2

1

x ln2 xdx =

1

ln 2.






Uji Banding

Teorema:Misalkan deret-deret

∫∞n=1 an dan

∫∞n=1 bn adalah deret dengan

suku-suku positif,

Jika an ≤ bn untuk semua n ∈ N dan∫∞n=1 bn konvergen,

maka∫∞n=1 an konvergen

Jika an ≥ bn untuk semua n ∈ N dan∫∞n=1 bn divergen, maka∫∞

n=1 an divergen






Latihan: Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut

1∫∞n=1

12n+1

2∫∞n=2

1ln n






Teorema:Misalkan deret-deret

∫∞n=1 an dan

∫∞n=1 bn adalah deret dengan

suku-suku positif,

Jikalimn→∞

anbn

= c , c > 0

maka kedua deret konvergen atau divergen

Jikalimn→∞

anbn

= 0

dan∫∞n=1 bn konvergen maka

∫∞n=1 an konvergen

Jikalimn→∞

anbn

=∞

dan∫∞n=1 bn divergen maka

∫∞n=1 an divergen






Latihan: Lakukan uji banding limit dengan deret lain pada

1∫∞n=1

12n+1

2∫∞n=2

1ln n

untuk menyelidiki kekonvergenannya.






Pengujian kekonvergenan dengan uji integral atau uji bandingdengan deret lain seringkali tidak mudah; integral tak wajarsulit/tak dapat dihitung dan/atau tidak dapat dicari deretpembandingnya. Kita dapat menguji kekonvergenan suatu deretdengan suku deretnya sendiri.






Teorema:Jika

∫∞n=1 an deret dengan suku-suku positif dan

limn→∞

an+1

an= L

maka deret konvergen jika 0 ≤ L < 1 dan divergen bila L > 1.






Latihan: Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut

1∫∞n=1

n+1n!

2∫∞n=2

2n

n3





Deret Berganti Tanda

Deret (ber)ganti tanda berbentuk:

∞∑n=1

(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . ,

dimana suku-sukunya memiliki tanda positif negatif secaraberselang-seling.





Seperti sebelumnya, kajian utama kita adalah mengujikekonvergenan deret ganti tanda. Contoh:

1∑∞

n=1 (−1)n+1 = 1− 1 + 1− 1 + . . .

2∑∞

n=1 (−1)n+1 21−n = 1− 12 + 1

4 −18 + · · ·





Solusi:Divergen, Konvergen.





Teorema:Jika barisan {an} memiliki suku-suku (kesemua sukunya) positif,monoton turun dan limn→∞ an = 0, maka deret

∞∑n=1

(−1)n+1 an

konvergen





Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut:

1∑∞

n=1 (−1)n+1 1n

2∑∞

n=1 (−1)n+1 1n ln n





Definisi:Deret

∑∞n=1 an disebut konvergen mutlak jika deret

∞∑n=1

|an|

konvergen; disebut konvergen bersyarat jika deret

∞∑n=1

|an|

divergen.





Teorema:Jika deret

∑∞n=1 an konvergen mutlak maka deret

∞∑n=1

an

konvergen.





Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut:

1∑∞

n=1 (−1)n+1(n+12n

)n2∑∞

n=1sin 1

6(2n−1)πn√n

3∑∞

n=1 (−1)n 3n

n!





Deret Pangkat

Sejauh ini kita telah mempelajari deret yang “jelas” bentukderetnya. Kini, kita akan melihat deret yang “tidak jelas”, yangdinyatakan dalam x , seperti

∞∑n=0

xn = 1 + x + x2 + . . . , |x | < 1;

∞∑n=0

n! xn = 1 + x + 2 x2 + 6 x3 + . . . ;

∞∑n=1

(−1)n

n2nxn = · · · .





Catatan: Perhatikan himpunan x yang membuat deretkonvergen/divergen.





Definisi:Deret yang berbentuk

∞∑n=0

an(x − c)n = a0 + a1(x − x) + a2(x − c)2 + . . .

dikatakan sebagai deret pangkat dalam (x − c) atau deret pangkatberpusat di c .





Perhatikan bahwa deret diatas konvergen untuk x = c . Adakahnilai x yang lain yang menyebabkan deret tersebut konvergen?





Contoh 1: deret∞∑n=0

1

n!xn





Contoh 2: deret∞∑n=0

(−1)n

n2nxn

yang mana

limn→∞

an+1

an= · · ·

=1

2|x |





Artinya, deret akan konvergen mutlak untuk 12 |x | < 1 (atau

|x | < 2) dan divergen untuk 12 |x | > 1 (atau |x | > 2). Namun

untuk x = 2,

∞∑n=0

(−1)n

n 2n2n = −1 +

1

2− 1

3+

1

4+ . . .

konvergen; untuk x = −2,

∞∑n=0

(−1)n

n 2n(−2)n = 1 +

1

2+

1

3+

1

4+ . . .

divergen.





Jadi, deret∞∑n=0

(−1)n

n 2nxn

kovergen untuk −2 < x ≤ 2 atau (−2, 2].





Catatan: Himpunan semua x dimana deret pangkat konvergendikatakan sebagai selang kekonvergenan deret.





Teorema:

Jika deret pangkat∑∞

n=0 anxn konvergen di x1 6= 0, maka

deret tersebut konvergen mutlak untuk |x | < |x1|Jika deret pangkat

∑∞n=0 anx

n divergen di x1, maka derettersebut divergen untuk |x | > |x1|





Teorema:

Deret pangkat kovergen hanya untuk x = 0

Deret pangkat kovergen mutlak untuk setiap x ∈ RTerdapat suatu r > 0 sehingga deret pangkat konvergenmutlak untuk |x | < r dan divergen untuk |x | > r (r > 0adalah jari-jari kekonvergenan)





Latihan: Tentukan jari-jari dan selang kekonvergenan deret

1∑∞

n=0(−1)n+12n

n2(x − 3)n

2∑∞

n=0 (−1)n+1(n + 1) (x − 1)n





Teorema:Misalkan deret pangkat

∞∑n=0

an xn

memiliki jari-jari kekonvergenan r > 0. Maka, fungsif (x) =

∑∞n=0 an x

n dapat diturunkan pada (−r , r) dengan

f ′(x) =∞∑n=0

n an xn−1





Teorema:Misalkan deret pangkat

∞∑n=0

an xn

memiliki jari-jari kekonvergenan r > 0. Maka, fungsif (x) =

∑∞n=0 an x

n dapat diintegralkan pada setiap selang bagiantertutup dari (−r , r) dan untuk setiap x ∈ (−r , r) berlaku∫ x

0f (t) dt =

∞∑n=0

nan

n + 1xn+1





Teorema Abel:Jika f (x) =

∑∞n=0 an x

n, |x | < 1 dan deret∑∞

n=0 an konvergen,maka

∞∑n=0

an = limx→1−

f (x)

dan∞∑n=0

(−1)nan = limx→1+

f (x).





Deret dan Hampiran Taylor

Ilustrasi:Perhatikan fungsi f (x) = ex yang dapat diuraikan menjadi

ex = 1 + x +x2

2+

x3

6+ . . . , x ∈ R,





Bagaimana kita dapat menguraikan fungsi tersebut?

Seberapa banyak (sampai berapa suku) kita harusmenguraikannya?





Deret pangkat

f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . =

∞∑n=0

an xn

dapat diturunkan suku demi suku sampai tingkat tak hingga,

f (n)(x) = n!an + 2.3 . . . n(n + 1)an+1 x + . . . ,

untuk |x | < r .





Apabila kita mengambil x = 0,

f (0) = a0,

f ′(0) = a1,

f ′′(0) = 2!a2...

f (n)(0) = n!an

atau

a0 = f (0); a1 =f ′(0)

1!; a2 =

f ′′(0)

2!; . . . ; an =

f (n)(0)

n!





Dengan demikian, deret pangkat dapat ditulis

f (x) = f (0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)

2!x2 + . . .+

f (n)(0)

n!xn + . . . ,

atau

f (x) =∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn,

untuk |x | < r , r > 0 jari-jari kekonvergenan, dan f (0)(0) = f (0).





Deret tersebut dikenal dengan nama Deret MacLaurin.





Jika titik pusatnya digeser ke c , maka

f (x) =∞∑n=0

f (n)(c)

n!(x − c)n,

untuk |x − c | < r , r > 0 jari-jari kekonvergenan dan f (0)(c) = f (c).Deret ini disebut Deret Taylor yang berpusat di c dari fungsi f .





Latihan: Tentukan deret Taylor dan selang kekonvergenan darifungsi f berikut di titik c ,

1 f (x) = sin x di c = π

2 f (x) = ln x di c = e





Seberapa banyak (sampai berapa suku) kita harus menguraikanderet Taylor di titik c?





Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan deret Taylor sebagai

f (x) = Pn(x) + Rn(x)

dimana

Pn(x) =n∑

k=0

f (k)(c)

k!(x − c)k

dan

Rn(x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x − c)n+1

dengan ξ diantara c dan x .





Teorema:Misalkan fungsi f dapat diturunkan sampai tingkat tak hinggapada selang (c − r , c + r). Misalkan barisan bilangan real {Mn}konvergen ke nol. Jika untuk setiap n ∈ N, x , ξ ∈ (c − r , c + r)berlaku ∣∣∣∣ f n(ξ)

n!(x − c)n

∣∣∣∣ ≤ Mn

maka fungsi f dapat dinyatakan sebagai Deret Taylor pada selang(c − r , c + r).





Latihan: Hitunglah,

1 e

2 ln 5

dengan ketelitian sampai 4 desimal


MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak...

Documents

Transcript of MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 9: Deret Tak...