BAB 0A.Bilangan Real,Estimasi dan LogikaDasar darikalkulus adalah sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Tetapi apakah bulangan rel itu dan sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya kita mulai dengan beberapa sistem yang sederhana Bilangan Bulat dan RasionalBilangan paling sederhana diantara semuanya adalah bilangan asli.Contoh : 1,2,3,4,5,6 ...Jika kita menyertakan negatif dari bilangan asli dan nol, kita memperoleh bilangan bulat.Contoh : ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...Bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk ,dengan m dan n bilangan bulat serta n 0, disebut bilangan irasional, Namun apakah bilangan rasional dapat mengukur semua jenis panjang ? tidak . Fakta mengejutkan ini ditemukan oleh bangsa Yunani Kuno pada sekitar abad 5 SM. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun merupakan sisi miring dari sebuah segiti siku-siku, tetapi tidak dapat dituliskan sebagai hasil bagi dari dua bilangan Bulat, jadi adalah bilangan Irasional (bukan rasional) termasuk ,, dsb.Bilangan Real adalah semua bilangan real (rasional dan irasional ) yang dapat mengukur panjang , beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut dan nol. Desimal berulang dan tak berulangSetiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai desimal , karena sesuai definisi bilangan rasional selalu dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat; jika kita membagi pembilang denan penyebut ,kita memperoleh desimal.Contoh : = 0,5 dan = 0,375Bilangan irasional juga dapat dinyatakan sebagai desimal.Contoh : = 1,4142135623...., = 3,1415926535...Bentuk desimal dari bilangan irasional memiliki akhir atau bisa juga memiliki siklus teratur yang berlangsung terus-menerus ( =1,181818)Jadi, setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai desimal berulang. Dengan kata lain, jika x adalah bilangan rasional, maka x dapat dituliskan sebagai sebuah desimal berulang. Fakta luar biasanya adalah bahwa kebalikannya benar : jika x dapat dituliskan sebagai desimal berulang, maka x adalah bilangan rasional.Contoh desimal berulang adalah bilangan rasional Perlihatkan bahwa x = 0,136136136.... adalah bilangan rasionalPenyelesaian :Kita kurangkan x dari1000x ,dan kemudian menghitung x1000 x = 136,136136... x= EstimasiKetika menghadapi soal hitungan yang rumit , mahasiswa yang ceroboh mungkin akan menekan dengan cepat beberapa tombol kalkulator dan langsung menuliskan jawabannya, tanpa menyadari tanda kurung hilang atau jari salah tekan bisa memberikan hasil yang salah.Contoh : Hitung ( + 72 + ) / 2,75Penyelesaian : mahasiswa yang bijak akan mengaprosimalkan ini sebagai (20+72+2)/3 bahwa jawaban yang seharusnya berada di sekitar 30.Jadi jika kalkulatornya memberikan jawaban 93,448, dia curiga dan setelah menghitung ulang ia mendapatkan jawaban yang benar yaitu : 34,43 Sedikit tentang logikaBanyak teorema dapat dinyatakan dalam bentuk jika P maka Q dengan P Q yang juga dibaca P mengimplikasikan Q . Kita menyebut bahwa P sebagai hipotesis dan Q sebagai kesimpulan dari teorema.Negasi dari peryataan P dituliskan P misalnya jika P adalah pernyataan Hari Hujan maka P adalah hari tidak hujan. Pernyataan Q P dinamakan kontraposisi dari pernyataan P Q dan pernyataan ini setara dengan P Q. Dimaksudkan dengan setara adalah P Q dan Q P bersifat keduannya benar atau keduannya salah.Karena suatu peryataan dan kontraposisinya adalah setara, kita dapat membuktikan teorema yang berbentuk jika p maka q dengan cara membuktikan kontraposisinya jika Q maka P. Jadi untuk membuktikan P Q , kita dapat mengasumsikan Q dan mereduksikan P.Contoh :Buktikan bahwa jika n genap maka n genap.Jawab : Bukti kontraposisi kalimat ini adalah jika n bukan genap maka bukan genap yang setara terhadap jika n bukan ganjil maka bukan ganjil kita akan membuktikan kontraposisinya. Jika n ganjil ,maka terdapat sebuah bilangan bulat k sedemikian rupa sehingga n = 2k+1 maka :n= (2k+1)= 4 k +4k +1 = 2(2k + 2k ) +1Karena itu n sama dengan satu lebih besar daripada dua kali bilangan bulat. Jadi n adalah ganjil.B.Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak Menyelesaikan pertidaksamaan Kita dapat menyelesaikan operasi-operasi tertentu pada kedua ruas suatu pertidaksamaan tanpa mengubah himpunan pemecahannya. Khususnya : Kita dapa menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas suatu pertidaksamaan. Kita dapat mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan positif. Kita dapat mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan negatif dan kemudian kita harus membalikan arah dari tanda pertidaksamaanya.Contoh : Selesaikan pertidaksamaan 2x-7 4x-2Penyelesaian :2x-7 4x-22x 4x+ 5 (tambahkan 7 )-2x 5 (tambahkan -4x)x > -5/2 Nilai Mutlak Nilai mutlak suatu bilangan real x dinyatakan oleh x didefinisikan sebagai :x = x jika x 0x = -x jika x > 0Misalnya, 6 = 6, 0 = 0 dan -5 = -(-5) = 51.Sifat-sifat Nilai Mutlak1. ab = a b2. a + b = a + b3. a - b = a - b Pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlakJika x < 3 ,maka jarak antara x dengan titik asal harus lebih kecil dari 3. Dengan perkataan lain, haruslah secara simultan lebih kecil dari 3 dan lebih besar dari -3; yaitu -3< x < 3 . Sebaliknya, jika x > 3 maka jarak antara x dengan titik asal haruslah paling sedikit 3. Ini dapat terjadi jika x > 3 atau x < -3. Ini merupakan kasus-kasus khusus dari pernyataan-peryataan umum berikut yang berlaku ketika a > 0.(1) x < a -a < x < ax > a x < -a atau x > aKita dapat menggunakan fakta ini untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak, karena fakta tersebut memberikan cara untuk menghilangkan tanda nilai mutlak.Contoh 1 : Selesaikan pertidaksamaan x-4 < 2. Tafsirkan nilai mutlak tersebut sebagai suatu jarak.Penyelesaian : Dari pernyataan dalam (1) dengan x digantikan dalam x-4 , terlihat bahwa :x-4 < 2 -2 < x = -4 < 2Jika 4 ditambahkan pada anggota dari pertidaksamaan yang belakangan, diperoleh 2 < x < 6. Dalam bentuk jarak, lambang x-4 menyatakan jarak antara x dengan 4. Karena itu pertidaksamaan mengatakan bahwa jarak antara d dan 4 haruslah lebih kecil dari 2 . Bilangan-bilangan x dengan sifat ini adalah bilangan diantara 2 dan 6 yaitu ; 2 < x < 6.C.Sistem Koordinat RektangulerDalam sebuah bidang, gambarkanlah dua garis real, satu mendatar dan satu tegak sedemikian rupa sehingga keduannya berpotongan pada titik-titik nol dari kedua garis tersebut. Dua garis itu dinamakan sumbu-sumbu koordinat; Perpotongannya diberi label O dan disebut titik asal . Sumbu-sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat daerah , disebut kuadran-kuadran yang diberi label I, II, III dan IV Rumus JarakRumus ini didasarkan pada Teorema Pythagoras yang mengatakan jika a dan b adalah panjang dari kedua kaki dari sebuah segitiga siku-siku dan c adalah sisi miringnyaa + b = cJika Teorema Pythagoras ditarapkan dan diambil akar kuadrat utama dari kedu ruas maka diperoleh rumus jarak d(P,Q) = Contoh : Carilah jarak antaraa. P(-2, 3) dan Q (4,-1) b. P(, dan Q (Penyelesaian : (a.) d (p,q) = = = 7,21 7,21(b.) d (p,q) = Rumus tetap berlaku walaupun kedua titik tersebut terletak pada garis mendatar atau garis tagak yang sama . Jadi, jarak antara p(-2,2) dan q (6,2) adalah = = 8 Persamaan LingkaranDari rumus jarak ke sebuah persamaan lingkaran hanyalah sebuah langkah kecil. Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).Secara umum lingkaran berjari-jari r dan pusat (a,b) mempunyai persamaan :(1)(x-a) +( y-b) = rIni disebut persamaan baku lingkaran.Contoh : Carilah persamaan baku lingkaran berjari-jari 5 dan pusat (1, -5) cari juga koordinat y dari dua titik pada lingkaran ini dengan koordinat x adalah 2Penyelesaian : Persamaan yang diinginkan adalah :(x-1) + (y+5) = 25Untuk memenuhi tugas yang kedua kita masukam x=2 dalam persamaan (2-1) + (y+5) = 25(y+5) = 24y + 5 = y=-5 = -5 Jika dua kuadrat pada persamaan dalam kotak (1) diuraikan dan konstantanya digabungkan,persamaan akan berbentuk : x + ax + y + by = cIni mengandung pertanyaan, apakah setiap persamaan dari bentuk ini adalah persamaan sebuah lingkaran , Jawabannya adalah ya dengan beberapa pengecualian yang jelas.Contoh : Perlihatkan bahwa persamaan x - 2x + y + 6y = -6menyatakan sebuah lingkaran , dan tentukan titik pusat dan jari-jarinya.Pen yelesaian : Kita perlu melengkapi kuadrat , suatu proses yang penting dalam banyak kasus.Untuk melengkapi kuadrat dari x bx,tambahkan (b/2).Jadi kita tambahkan (-2/2)=1pada x-2x dan (6/2)= 9 pada y + 6y, dan tentu saja kita harus menambahkan bilangan yang sama ini di ruas kanan persamaanuntuk mendapatkan:x - 2x + 1 + y + 6y + 9 = -6 +1 + 9(x 1) + (y + 3) = 4 Persamaanyang terakhir adalah dalam bentuk baku. Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat (1,-3) dan jari-jari 2 . Jika sebagai hasilproses ini suatu bilangan negatif muncul di ruas kanan , persamaan tidak akan menggambarkan kurva apapun. Jika kita berakhir dengan nol , persamaan akan menghasilkan titik tunggal (1,-3) Rumus Titik Tengah Titik tengah ruas garis menghubungkan P (x1,y1) dan Q (x2,y2) adalah : , )Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai ruas garis (1,3) ke (7,11) sebagai diameternya Penyelesaian : Pusat Lingkaran terletak di tengah-tengah diameter ,jadi titik pusat mempunyai koordinat =4 dan = 7. Panjang diameter diperoleh dari rumus jarak adalah : = = 10Sehingga jari-jari lingkaran itu adalah 5. Persamaan Lingkaran adalah :(x-4) + (y-7) = 25 Garis LurusUntuk sebuah garis melalui A(x1,y1) dan B(x2,y2) dengan x1 x2, kita definisikan kemiringan (slope) m dari garis itu sebagai :m= Bentuk Kemiringan TitikGaris yang memiliki titik (tetap) (x1,y1) dengan kemiringan m mempunyai persamaan :y-y1 = m (x x1)

Ini disebut kemiringan Titik dari persamaan sebuah garis.Contoh : Cari persamaan garis yang melalui (-4,2) dan (6,-1)Penyelesaian : Kemiringan m adalah sehingga dengan menggunakan (-4,2) sebagai titik tetap , kita dapatkan persamaan : y-2 = ( x + 4) Bentuk Kemiringan PerpotonganPersamaan suatu garis dapat dinyatakan dalam bermacam bentuk .Misalkan kemiringan m untuk suatu garis dan b adalah perpotongan sumbu y (artinya, garis memotong sb.-y di titik (0, b ) . Dengan memilih (0, b ) sebagai (x1,y1) dan menerapkan bentuk kemiringan titik diperoleh :y-b= m (x-0)yang dapat ditulis ulang sebagai :y=mx + b Yang belakangan ini disebut kemiringan perpotonganMisalnya : Tinjau persamaan 3x-2y +4 =0 jika diselesaikan untuk y maka diperoleh : y= 3/2x + 2Ini adalah persamaan garisdengan kemiringan 3/2 dan perpotongan y adalah 2 Persamaan Garis TegakBentuk Ax + By + C =0 akan sangat menyenangkan rasanya apabila kita mempunyai suatu bentuk yang mencakup semua garis, termasuk garis-garis tegak . ini disebut persamaan linear umum Garis-garis SejajarDua garis yang tidakmempunyai titik potong disebut sejajar . secara ringkas kita menyatakan bahwa dua garis tak-tegak adalah sejajar jika dan hanya jika keduannya memiliki kemiringan yang sama dan perpotongan y berlainan . Dua garis tegak sejajar jika dan hanya jika keduanya adalah garis-garis yang berbeda.Contoh : Carilah persamaan garis yang melalui (6,8) yang sejajar dengan garis yang mempunyai persamaan 3x-5y = 11Penyelesaian : Jika kita selesaikan 3x-5y=11 untuk y , kita peroleh y = dan dari persamaan tersebut adalah , persamaan garis yang diinginkan adalah :y-8 = (x-6) atau secara setara , y = . Garis-garis Tegak LurusDua garis tak-tegak saling tegak lurus jika dan hanya jika kemiringan keduannya saling berkebalikan negatif . yaitu m1 . m2 =-1Contoh : Carilah Persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis dengan persamaan 3x + 4y =8 dan 6x-10y = 7 yang tegaklurus terhadap garis yang pertama dari dua garis ini.Penyelesaian : Untuk mencari titikpotong dari dua garis ini ,persamaan yang pertama dikalikan -2 dan hasilya ditambahkan pada persamaan yang kedua : -6x -8y = -16 y= Dengan mensubstitusikan y= dalam satu persamaan awalakan menghasilkan x=2. titik potongnya adalah (2, ). Ketika persamaan yang pertama diselesaikan untik y diperoleh y = garis yang tegaklurus terhadapnya mempunyai kemiringan . Persamaangaris yang diminta adalah : y- = (x-2)D. Grafik Persamaan Prosedur Penggambaran Grafik Langkah 1 : Dapatkan koordinat koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaanLangkah 2: Plotlah titik-titik tersebutpada bidangLangkah 3 : Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulusContoh : Sketsakan Grafik y = x - 3Penyelesaian :

Kesimetrian GrafikDalam bentuk persamaan , kita memiliki tiga pengujian sederhana . Grafik suatu persamaan adalah :1.Simetri terhadap sumbu y jika penggantian x oleh x menghasilkan persamaan yang setara.2.Simetri terhadap sumbu x jika penggantian y oleh y menghasilkan persamaan yang setara3.Simetri terhadap titik asal jika penggantian x oleh x dan y oleh y menghasilkan persamaan yang setara (y= x merupakan contoh yang bagus karena y= - (x) setara dengan y= x ). Contoh : Gambarlah grafik y = xPenyelesaian : Dalam menggambar grafik y = x kita menggunakan skala yang lebih kecil pada sumbu y daripada sumbu x .Ini memungkinkan untuk memperlihatkan posisi grafik yang lebih besar. PerpotonganTitik-titik tempat grafik suatu persamaan memotong kedua sumbu koordinat memainkan peranan penting dalam banyak hal.Misalnya : x-2x-5x+6 = (x+2) (x-1) (x-3)Perhatikan jika y=0 jika x=-2,1,3 bilangan-bilangan -2,1,3 disebut perpotongan x. Demikian pula x=0 jika y=6 maka 6 disebut perpotongan y.E.Fungsi dan GrafiknyaSebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan tiap objek x dalam suatu himpunan , yang disebut daerah asal (domain), dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua . Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (range) fungsi.

Notasi FungsiUntuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F) maka f(x) yang dibaca f dari x atau f pada x menunjukan nilai yang diberikan oleh f kepada xContoh : untuk f(x) = x-2x cari dan sederhanakan a. f(4)Penyelesaian : a. f(4) = 4-2.4 = 8 Daerah asal dan daerah hasilJika untuk sebuah fungsi daerah asal tidak disebutkan , kita menganggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga aturan fungsi ada maknanya. Ini disebut daerah asal alami (natural domain) Bilangan yang seharusnya anda ingat untuk dikecualikan dari daerah asal alami adalah nilai-nilai yang akan menyebabkan pembagian oleh nol atau akar kuadrat dari bilangan negatif.

Fungsi Genap dan GanjilSeringkali kita memperkirakan kesimetrian grafik suatu fungsi dengan memeriksa rumus fungsi tersebut. Jika f(-x) = f(x) untuk semua x,maka grafik simetri terhadap sumbu y. Fungsi yang demikian disebut fungsi genap, barangkali karena fungsi yang merinci f(x) sebagai jumlah dari pangkat-pangkat genap x adalah genap. Jika f(-x)=- f(x) untuk semua x , grafik simetri terhadap titik asal .Kita sebut fungsi yang demikian fungsi ganjil. Fungsi yang memberikan f(x) sebagai jumlah dari pangkat-pangkat ganjil x . Dua fungsi KhususDiantara dua fungsi-fungsi yang akan sering digunakan sebagai contoh,terdapat dua yang sangat khusus : fungsi nilai mutlak , dan fungsi bilangan bulat terbesar .Fungsi ini didefinisikan oleh = x dan contoh :

F.Operasi pada fungsiSeperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a+b , bemikian juga fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan fungsi baru f+g .ini hanyalah satu dari beberapa operasi pada fungsi yang akan dijelaskan. Jumlah, selisih, hasil-kali, hasil-bagi, dan pangkatperhatikan fungsi-fungsi f dan g dengan rumus-rumusf(x) = g(x)=

Komposisi fungsi komposisi g dengan f di nyatakan oleh g f jadi,

(g f ) (x) = g(f(x))

Kita dapat mengkoposisikannya dalam dua cara :g f = g(f(x)) = g( = f g = f(g(x)) = f() = komposisi tidak komutatif . Fungsi Aljabar Eksplisit fungsi yang dapat di peroleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas melalui lima operasi : penambahan, perkalian, penguruangan, pembagian dan penarikan akar . contohnya adalah : f(x) = 3x = 3 G.Fungsi TrigonometriSecara lebih umum kita mendefinisikan fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan. Lingkaran satuan, yang kita nyatakan C, adalah lingkaran dengan jari-jari 1dan pusat di titik asal dia mempunyai persamaan x + y = 1.

Definisi fungsi sinus dan kosinusMisalkan t bilangan real yang menentukan titik P(x,y) , maka :Sin t = y dan cos t = x Sifat-sifat Dasar Sinus dan Kosinus Beberapa kenyataan secara jelas kelihatan dari definisi yang baru saja diberikan. Pertama, karena x dan y dapat berupa sembarang bilangan real, daerah asal untuk fungsi sinus maupun kosinus adalah 3. karena lingkaran satuan mempunyai keliling 2, nilai t dan t + 2 menentukan titik P(x,y) yang sama, jadi : Sin ( t + 2) = sin t dan cos(t + 2) = cos t

Titik-titik P1 dan P2 yang berkorespondesi dengan t dan t masing-masing simetri terhadap sumbu x (gambar di atas). Jadi koordinat x dan P1 dan P2 adalah sama dan koordinat y hanya berbeda tanda. Akibatnya sin (-t) = -sin t dan cos (-t) = cos tdengan perkataan lain sinus adalah fungsi ganjil dan kosinus adalah fungsi genap.

Titik-titik P3 dan P4 yang masing-masing berkorespondensi terhadap t dan /2-t simetri terhadap garis y=x sehingga koordinat-koordinatnya saling bertukar . (pada gambar) Ini berarti bahwa Sin dan Cos Grafik Sinus dan Kosinus untuk menggambarkan grafik y= sin t dan y= cos t kita ikuti prosedur baku, buat lebel nilai, gambar titik-titik yang berkorespondensi dan hubumgkan titik-titik ini dengan kurva mulus. Theoreme pythagoras dapat di gunakan untuk memberikan

1= x2 +x2 = cos cos tsin tcos t

000

/61/23/2

/42/22/2

/33/21/2

/210

2/3-1/2

3/42/2-2/2

5/61/2-3/2

0-1

Empat hal yang perlu diperhatikan dari grafik-grafik ini :1.Sin t dan cos t keduanya berkisar dari -1 sampai 12.Kedua grafik berulang pada interval yang berdampingan di sepanjang 23.Grafik y=sin t simetri terhadap titik asal, dan y=cos t simetri terhadap sumbu y.4.Grafik y = sin t sama seperti y = cos t tetapi digeser /2 satuan ke kanan.

Periode dan Amplitudo Fungsi trigonometri fungsi f di kaakan periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian rupa sehinggaf(x + P) = f(x)fungsi sinus adalah periodik karena sin (x+2) = sin x untuk semua x juga benar bahwa : sin (x + 4) = sin (x-2)= sin (x + 12) = sin x Empat Fungsi Trigonomerti Lainnya tangen, cotangen, secan dan cosecan

tan = cot = sec = cosec =

Hubungan Terhadap Trigonomerti Sudut sudut yang berkorespondensi dengan 1 putaran penuh berukuran 360 tetapi hanya 2 radian secarasetara sudut lurus berukuran 180 atau radian

180 = radian 3,1415927 radian

Daftar Identitas-identitas penting Identitas ganjil genap sin(-x) = -sin x cos (-x) = cos x tan (-x) = -tan x

identitas ko-fungsi sin - x = cos xcos - x = sin xtan x = cot x identitas pythagoras sin 2 x + cos 2 x = 1 1 + tan 2 x = sec2 x 1 + cot 2 x = csc2 x identitas penambahansin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y tan(x + y) =

Identitas sudut ganda Sin 2x = 2 sin x cos x Cos 2x = cosx-sinx = 2 cos x -1= 1-2 sinx

Identitas setengah sudutSin = Cos = Identitas JumlahSin x + Sin y = 2 sin Cos x + cos y = 2 cos Identitas hasil-kaliSin x sin y = - [ cos (x+y) cos (x-y)]Cos x cos y = - [ cos (x+y) + cos (x-y)]Sin x cos y = - [ sin (x+y) + sin (x-y)]

Selesai !!!!!!!