Materi Kalkulus-9.ppt

8/17/2019 Materi Kalkulus-9.ppt

1/36

INTEGRAL

Kalkulus

Teknik Informatika


2/36

PENDAHULUAN

INTEGRAL DIFERENSIAL


3/36

Contoh Integral

Temukan anti turunan dari

Dari teori derivarif kita tahu

34)( x x f =4)( x x F =


4/36

Teorema A : Aturan Pangkat

Jika r adalah sembaran bilanan rasional ke!uali

"#$%& maka '

Jika r ( ) *

+erhatikan bah,a untuk anti derivatif suatu -ankat

dari . kita tambah -ankatn/a denan $ dan

membain/a denan -ankat / baru0 Anti turunan serin disebut denan Interal Tak Tentu

Dalam notasi disebut tanda interal&

sedankan f(x) disebut interan

C xdx x r

r

r

+=∫

+

+

1

1

1

∫ ∫ ,)( dx x f


5/36

Teorema : !el"nearan "ntegral tak tentu

Andaikan f dan mem-un/ai anti turunan

"interal tak tentu% dan k adalah konstanta&

maka

1. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx 2. ∫ 1 f(x) + g(x) 2 dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx 3. ∫ 1 f(x) - g(x) 2 dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx


6/36

Teorema C Aturan #angkat $ang %"#erumum

C x g dx x g x g r r

r +=∫ ++ 111 )&(')()&('

Andaikan suatu funsi /an da-at didiferensialkan dan r suatu bil

rasional bukan "#$%& maka '

3ontoh ' 3arilah interal dari f".% sbb0

∫ ++ dx x x x )34()3( 334

∫ dx x x *o++"n3

1,11

1 ≠+=∫ ++ r C uduu r r r


7/36

Integral Tentu

Teorema Kalkulus yg penting

Jika funsi f(x) kontinu -ada interval

a ≤ x ≤ b, maka

dimana F(x) adalah integral dari fungsi f(x)

-ada a ≤ x ≤ b.

∫ −=

b

aa F b F dx x f )()()(


8/36

Contoh

Solusi

(

(

(

( )dx x x∫ +1

,

33

1

,

,4

,

3

4

+

x x

( )-4

3

4

1+−

+

4

1.−


9/36

Contoh

Solusi

(

( $4#$5 ( $$

( )dx x x∫ ++,

1

, 1,3

[ ]13 x x x ++


10/36

Contoh:Carilah area dibawah kurva dari fungsi

berikut ini

Solusi

( )∫ +=3

1

,1 dx x A

( )dx x∫ +3

1

1

3

1

3

3

+= x x

( )

+−−= 1

3

13/

3

41 −= -01=


11/36

Grafik

1)( , += x x f


12/36

Area diantara dua kurva

Area diantara 2 kurva f(! dan g(!

[ ]∫ −=b

a

dx x g x f A )()(


13/36

Contoh

3arilah area R /an berada diantara kurva dankurva

Solusi

3arilah titik -ertemuan antara 6 kurva

(7 (7 x ($ or x ()

(7 ( ( (

3 x y =, x y =

,3 x x = ( ) 1 =− x x

( )∫ −=1

3dx x x A

1

34

34

−=

x x A

−

3

1

4

1

1,

1−

1

1


14/36

Contoh

3arilah area /an dibatasi oleh aris dan kurva

Solusi

3arilah titik -ertemuan'

,3 3 x x y += x y 4=

x x x 43 ,3 =+

( ) 43, =−+ x x x( ) ( ) )14 =−+ x x x

1,4, =−== x x x

( ) ( )∫ ∫ −++−+=−

1

)

,3

)

4

,34343 dx x x xdx x x x A

1

)

,3

4)

4

,3

4

,

4

,

4

−++

−+=

−

x x x

x x x

A

( )

−++

−−−+−−= 1

4

1)4()4(4

4

1 3

4 A

4

33, −+−= A

4

33,= A


15/36

2"at+"at Integral Tentu

INTEGRAL


16/36

2"at+"at Integral Tentu

INTEGRAL


17/36

5olume en%a Putar


18/36

6eto%e Cakram


19/36

6eto%e Cakram


20/36

6eto%e Cakram


21/36

6eto%e Cakram

T8R8NAN DAN DIFERENSIAL


22/36

Contoh 1

T8R8NAN DAN DIFERENSIAL


23/36

Contoh


24/36

6eto%e !ul"t Ta7ung


25/36

6eto%e !ul"t Ta7ung


26/36

6eto%e !ul"t Ta7ung


27/36

6eto%e !ul"t Ta7ung


28/36

Contoh


29/36

Lat"han


30/36

Interal +arsial 5)

Integral Part"al

9erdasarkan -ada -eniteralan rumus

turunan hasil dua kali funsi '

Jika u dan v adalah funsi . /an da-atdideferensiasi '

d"uv% ( udv : vdu

udv ( d"uv% ; vdu

∫ ∫ −= vduuvudv


31/36

Interal +arsial 5$

Aturan $g hr+ %"#erhat"kan

$0 9aian funsi /an di-ilih sebaai dv harus

da-at seera diinterasikan

60 tidak boleh lebih sulit dari-ada∫ vdu ∫ udvContoh 1 :

∫ xdx x *o+a0


32/36

Interal +arsial 56

Rumus interaln/a '

∫ ∫ −= xdx x xdx x x +"n+"n*o+

= x sin x + cos x + c b. Misal diambil :

u = cos x dv = x dxdu = -sin x dx v = x2 /2

Rumus Integral Parsialna :

∫ ∫ −−= )+"n(,,)(*o+*o+

dx x x x xdx x x

Interaln/a lebih susah

u dv u v - v du

Penting !e"ali

#emilihan u dan v


33/36

Interal +arsial 55

Peng"ntegralan Par+"al erulang

Serinkali ditemui -eninteralan -arsial berulanbebera-a kali

∫ xdx x +"n,

Misal : u = x2 dv = sin x dx

du = 2x dx v = -cos x

Ma"a :

∫ ∫ +−= xdx x x x xdx x *o+,*o++"n

,,

# $am#a" bah%a #ang"at #ada x ber"urang

# Perlu #engintegralan #arsial lagi


34/36

Interal +arsial 54

Dar" *ontoh 1 :

∫ +++−= )*o++"n(,*o++"n ,, c x x x x x xdx x= -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x

+ K


35/36

Interal +arsial 5=

Contoh 3 :

∫ xdxe x +"n

∫ ∫ +−= xdxe xe xdxe x x x *o+*o+*o+

Misal : u = ex dan dv = sinx dx

du = exdx dan v = - cosx

Ma"a :

Perlu #enera#an integral #arsial dalam integral "edua

∫ >−− xdxe x*o+ u = ex dv = cos x dx

du = exdx v = sin x


36/36

Interal +arsial 5>

2eh"ngga :

∫ ∫ −= xdxe xe xdxe x x x +"n+"n*o+&ila hasil ini disubstitusi"an #ada hasil #ertama

∫ ∫ −+= xdxe xe xe xdxe x x x x +"n+"n*o++"n

C xe xe xdxe x x x ++=∫ +"n*o++"n, K x xe xdxe x x ++=∫ )+"n(*o+,1+"n

Materi Kalkulus-9.ppt

Documents

Transcript of Materi Kalkulus-9.ppt