BENTUK TAK-TENTU & INTEGRAL TAK-WAJAR

Muhammad Hajarul Aswad A MK: Kalkulus 2

Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan (FTIK)

Tadris Matematika

Bentuk Tak-Tentu Jenis 0/0

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 2

Aturan L’Hospital untuk bentuk tak-tentu jenis 0/0

Misalkan lim𝑥→𝑢

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑢

𝑔 𝑥 = 0. Jika lim𝑥→𝑢

𝑓′ 𝑥 𝑔′ 𝑥

ada (terhingga atau tak-terhingga), maka

lim𝑥→𝑢

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim

𝑥→𝑢

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 3

Contoh 1.

Gunakan atural L’Hospital untuk membuktikan

bahwa:

dan

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 4

Penyelesaian.

Perhatikan bahwa, apabila nilai x disubtitusi kedalam

masing-masing fungsi, diperoleh 0/0. Sehingga akan

diterapkan aturan L’Hospital sebagai berikut:

∎

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 5

Contoh 2.

Gunakan atural L’Hospital untuk menentukan

nilai limit berikut:

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 6

Penyelesaian.

Pada kasus ini.

Aturan L’Hospital

akan diterapkan 3

kali.

∎

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 7

Contoh 3.

Selesaikanlah:

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 8

Penyelesaian.

∎

Bentuk Tak-Tentu Jenis ∞/∞

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 9

Aturan L’Hospital untuk bentuk tak-tentu jenis ∞ / ∞

Misalkan lim𝑥→𝑢

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑢

𝑔 𝑥 = ∞. Jika lim𝑥→𝑢

𝑓′ 𝑥 𝑔′ 𝑥

ada (terhingga atau tak-terhingga), maka

lim𝑥→𝑢

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim

𝑥→𝑢

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥

dengan u adalah salah satu dari bilangan a, a─, a+, -∞,

atau ∞.

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 10

Contoh 4.

Selesaikanlah:

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 11

Penyelesaian.

∎

Integral tak-Wajar

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 12

Perhatikan bahwa integral tentu 𝑓 𝑥𝑏

𝑎𝑑𝑥 berarti bahwa

fungsi f terdefinisi pada interval [a, b] yang terbatas dan

diasumsikan bahwa f kontinu di titik tersebut.

Pada kasus integral tentu tak-wajar (improper integral),

intervalnya tidak terbatas dan juga f bersifat diskontinu

di [a, b].

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 13

Tipe 1: Integral tidak terbatas (infinite intervals)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 1/x2 terhadap

sumbu-x dan garis x = 1. luas daerah kurva A(t) untuk t > 1

adalah sbb:

Perhatikan bahwa

berapapun nilai t

yang diambil,

maka nilai A(t) < 1.

Gbr.1

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 14

Luas daerah A(t) akan

mendekati 1 untuk t → ∞.

a

b

c

d

Gbr. 2

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 15

Definisi 1

(Integral tak-wajar

tipe 1)

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 16

Contoh 5.

Tentukan apakah konvergen

atau divergen.

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 17

Penyelesaian.

Berdasarkan Definisi 1(a), maka:

Karena nilai limitnya tidak ada, maka integral

divergent.

∎

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 18

Definisi 2

(Integral tak-wajar

tipe 2)

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 19

Ilustrasi dari Definisi 2 bagian b dan c, dengan f(x) ≥ 0

dan f memiliki asimptot vertikal di a dan c.

Gbr. 3

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 20

Contoh 6.

Tentukan

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 21

Penyelesaian.

Perhatikan bahwa fungsi memiliki

vertikal asimptote di x = 2. dengan kata lain, fungsi f(x)

akan diskontinu di sebelah kiri interval [2, 5]. Sehingga,

berdasarkan Definisi 2 bagian b diperoleh:

∎

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 22

Karena , maka integral tak-wajar

tersebut adalah konvergen.

Gbr. 4

Latihan

Tentukan apakah integral tak-wajar berikut

konvergen atau divergen.

1. 3.

2. 4.

5. Tentukan syarat nilai p agar integral

konvergen.

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 23

S e l e s a i ...

21/05/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 24