Seminar Gesit Timarna (Pembahasan)

3

BAB 2

PEMBAHASAN

A. Materi Pendukung

1. Graf dan Digraf

Definisi 1 (Graf)

Graf G adalah adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari obyek-obyek yang

disebut sebagai titik dan himpunan pasangan (mungkin kosong) tak berurutan dari

titik-titik berbeda di G yang disebut sebagai sisi. Himpunan titik di G dinotasikan

dengan V(G) dan himpunan sisi-sisi dinotasikan dengan E(G). Banyaknya sisi pada

graf G disebut order dari G dan umumnya dilambangkan dengan n(G), sedangkan

banyaknya sisi pada graf G disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan m(G).

(Chartrand dan Lesniak, 1986:1)

Perhatikan graf G1 di bawah ini

Gambar 2.1 Graf G1

Pada gambar 2.1 graf G1 memuat himpunan titik V(G1) dan himpunan sisi E(G1)

seperti berikut:

V(G1) = {v1, v2, v3, v4}

E(G1) ={( v1, v2) , (v1, v3) , (v1, v4) , (v2, v3) , (v2, v4) , (v3, v4)}

Graf G1 memiliki 4 titik dan memiliki 6 sisi sehingga order dari G1 adalah n(G1) = 4

dan ukuran dari G1 adalah m(G1) = 6.

v2

v4 v3

v1

4

Definisi 2 (Graf berarah/ Digraf)

Graf berarah atau digraf (directed graph) D adalah himpunan tak kosong dan

berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik-titik dengan himpunan

pasangan berurutan (mungkin kosong) dari titik-titik pada D yang disebut arcs atau

sisi berarah. Seperti pada graf, himpunan titik-titik pada digraf D dinotasikan dengan

V(D) dan himpunan sisi-sisi berarah pada D dinotasikan dengan E(D).


Contoh:

Gambar 2.2 Digraf D1

Pada Gambar 2.2 Digraf D1 memuat himpunan titik-titik dan himpunan sisi berarah

seperti berikut:

V(D1) = {a, b, c, d}

E(D1) = {(a,b) , (b,c) , (c,b) , (c,d) , (d,a)}

Definisi 3 (Adjacent/ Incident)

Jika e = (u,v) adalah sisi di graf G yang menghubungkan titik u dan v, maka u dan v

dikatakan adjacent. Sedangkan e dan u serta e dan v disebut incident. Jika dua sisi

berbeda, misal e dan f incident dengan titik yang sama, maka e dan f adalah sisi yang

adjacent.

(Vasudev, 2006:2)

Contoh: graf G1 Pada gambar 2.1 dapat kita ubah presentasi graf tersebut menjadi

b

d c

a

5

Gambar 2.3 Graf G2 dengan sisi-sisi e

Titik-titik yang adjacent antara lain v1 dan v2, v1 dan v3, v1 dan v4, v2 dan v3, v2 dan v4,

v3 dan v4.

Sisi dan titik yang incident antara lain v1 dan e1, v1 dan e4, v1 dan e7, v2 dan e1, v2 dan

e2, dan seterusnya.

2. Derajat suatu Titik

Definisi 4 (Derajat/ Degree)

Derajat suatu titik v adalah banyaknya sisi yang incident pada titik v, dan dinotasikan

dengan degG(v) atau deg v atau d(v).

(Vasudev, 2006:5)

Misalnya pada gambar 2.1 maka d(v1)=3, d(v2)=3, d(v3)=3, dan d(v4)=3.

Definisi 5 (Derajat masuk/ indegree)

Pada graf berarah atau digraf, indegree suatu titik v adalah banyaknya sisi berarah

yang berakhir di titik v.

(Lipschutz & Lipson, 2008:174)

Indegree dari titik v dinotasikan dengan (v). Pada digraf D1 gambar 2.2 dapat

diketahui bahwa (a) = 1, (b) = 2, (c) = 1, dan (d) = 1

Definisi 6 (Derajat keluar/ outdegree)

Pada graf berarah atau digraf, outdegree suatu titik v adalah banyaknya sisi berarah

yang keluar dari titik v.

(Lipschutz & Lipson, 2008:174)

e1

e4 e2

v2

v4 v3

v1

e7

e3

e6

6

Outdegree dari titik v dinotasikan dengan d+(v). Pada digraf gambar 2.2 dapat

diketahui bahwa d+(a) = 1, d

+(b) = 1, d

+(c) = 2, dan d

+(d) = 1

3. Subgraf

Definisi 7 (Subgraf)

Graf H disebut subgraf dari graf G jika himpunan titik di H adalah subset dari

himpunan titik di G dan himpunan sisi di H adalah subset dari himpunan sisi di G.

Dengan kata lain V(H) V(G) dan E(H) E(G). Jika H adalah subgraf G maka

dapat ditulis H G. Subgraf dari suatu graf minimal adalah graf itu sendiri.


Perhatikan graf G3 dibawah ini

Gambar 2.4 Graf G3

Graf G3 tersebut memuat himpunan titik dan himpunan sisi seperti berikut:

V(G3) = {v1, v2, v3, v4, v5}

E(G3) ={( v1, v2) , (v1, v5) , (v2, v3) , (v2, v4) , (v3, v4) , (v4, v5)}

Graf-graf di bawah ini adalah subgraf dari G3

Gambar 2.5 (a) Gambar 2.5 (b) Gambar 2.5 (c)

v2 v1

v5

v3

v4

v2

v3

v4

v2 v1

v5 v4

v2 v1

v5

v3

v4

7

Gambar 2.5 (a) mempunyai himpunan titik yang merupakan subset dari himpunan

titik pada graf G3 dan memliki himpunan sisi yang merupakan subset dari himpunan

sisi pada graf G3, maka gambar 2.5 (a) merupakan subgraf dari G3. Begitu pula

dengan gambar 2.5 (b) dan gambar 2.5 (c) merupakan subgraf dari graf G3.

Definisi 8 (Spanning subgraph)

Sebuah subgraf H dari graf G adalah sebuah spanning subgraph dari graf G jika H

memuat semua titik-titik pada graf G.

(Vasudev, 2006:25)

Contoh graf G4 :

Gambar 2.6 Graf G4

Beberapa spanning subgraph dari graf G yang diperoleh dengan menghilangkan satu

atau lebih sisi dari graf G adalah sebagai berikut:

Gambar 2.7 (a)

Gambar 2.7 (b)

Gambar 2.7 (c)

Gambar 2.7 (d)

Gambar 2.7 Spanning subgraph dari graf G4

v2 v1

v4 v3

v2 v1

v5 v4

v1

v4

44

v3

v2 v1

v4 v3

v2 v2 v1

v4 v3

8

4. Jalan, Jejak, CycleSirkuit

Definisi 9 (Jalan)

Suatu jalan W pada graf G adalah barisan bergantian antara titik dan sisi yang dimulai

dan diakhiri dengan titik. Jalan yang dimulai dari vo dan berakhir di vn disebut jalan

vo-vn dan jalan W mempunyai panjang n karena melalui n sisi (tidak harus berbeda).

(Chartrand & Oellermann, 1993)

Contoh:

Diberikan graf G5 :

Gambar 2.8 Graf G5

Contoh jalan adalah W = v1 e1 v2 e7 v4 e3 v3 e2 v2 e7 v4 dengan panjang sama dengan 5.

Definisi 10 (Jalan berarah)

Jalan pada suatu digraf D adalah jalan yang sisi-sisinya memiliki orientasi arah.


Contoh: diberikan digraf D2


Contoh jalan berarah WB = v1 e1 v2 e8 v5 e4 v4 e7 v2e8 v5 dengan panjang 5

e1

e4

e2

e7

e6

e5

v6

e8

e9

e10

v2 v1

v5

v3

v4

e3

e3

e1

e4

e2

e7

e6

e5

v6

e8

e9

e10

v2 v1

v5

v3

v4 v5

9

Definisi 11 (Jejak)

Jejak adalah sebuah jalan yang semua sisinya berbeda.

(John Clark dan Derek Allan, 1995:25)

Ilustrasi jejak dapat dilihat pada gambar 2.8 yaitu T1 = v1 e1 v2 e7 v4 e3 v3 e2 v2 e8 v5 atau

jejak pada gambar 2.9 yaitu T2 = v1 e1 v2 e8 v5 e4 v4 e7 v2e2 v3

Definisi 12 (Cycle)

Cycle adalah jejak tertutup (non trivial) yang memiliki titik awal dan titik-titik

internal yang berbeda.


Definisi 13 (Sirkuit)

Sirkuit adalah jejak tertutup, artinya jejak tersebut dimulai dan diakhiri dengan titik

yang sama.

(Chartrand & Oellermann, 1993:207)

Ilustrasi sirkuit pada gambar 2.8 yaitu C1 = v1 e1 v2 e7 v4 e4 v5 e5 v6 e6 v1 atau pada

gambar 2.9 yaitu C2 = v1 e1 v2 e8 v5 e5 v6 e6 v1.

Definisi 14 (Sirkuit Euler)

Sirkuit Euler adalah sirkuit dari graf terhubung yang melewati semua sisi pada graf G

tepat satu kali.

(Chartrand & Oellermann, 1993:207)

Gambar 2.10 Graf G6

Sirkuit Euler dari graf G6 adalah a e4 d e2 b e3 c e1 a.

e1 e2

e3

e4

a

c d

b

10

Definisi 15 (Underlying Graph)

Jika suatu graf G didapat dengan cara menghapus semua arah dari sisi berarah pada

digraf D maka graf G tersebut adalah underlying graph dari digraf D.

(Vasudev, 2006:428)

Ilustrasi underlying graph bisa dilihat dari gambar 2.8 dan gambar 2.9. Graf pada

gambar 2.8 merupakan underlying graph dari digraf pada gambar 2.9.

Definisi 16 (Semisirkuit)

Pada suatu digraf, semisirkuit adalah sirkuit pada underlying graph D, tetapi bukan

merupakan sirkuit berarah pada digraf D tersebut.

(Vasudev, 2006:436)

Ilustrasi semisirkuit bisa dilihat pada gambar 2.9 yaitu C = v1 e6 v6 e5 v5 e8 v2 e1 v1.

5. Graf Terhubung

Definisi 17 (Graf Terhubung)

Suatu graf G = (V,E) dikatakan terhubung jika untuk setiap pasang titik u dan v di G,

maka ada lintasan yang menghubungkan u dan v. jika terdapat pasangan titik u – v di

G sehingga tidak ada lintasan u – v, maka graf tersebut dikatakan tak terhubung.


Definisi 18 (Tree/ Pohon)

Tree adalah graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung cycle.


Gambar 2.11 Tree

11

Definisi 19 (Spanning Tree)

Spanning tree adalah spanning subgraph yang merupakan tree.

(Vasudev, 2006:193)

Gambar 2.12 Spanning tree dari Graf G5

Definisi 20 (Digraf Terhubung/ terhubung lemah)

Suatu digraf D dikatakan terhubung jika underlying graph-nya terhubung.


6. Arborescence

Definisi 21 (Arborescence)

Suatu digraf D disebut arborescence jika:

a. D tidak memiliki sirkuit berarah maupun semisirkuit

b. D memiliki satu titik vr yang indegree-nya bernilai 0 atau d –

(vr)= 0

Titik vr disebut akar arborescence.

(Vasudev, 2006:434)

Gambar 2.13 Arborescence

Titik v1 disebut akar arborescence.

v5

v

6

v2 v1

v3

v4

v2 v4

v3

v1

12

Definisi 22 (Spanning arborescence)

Spanning arborescence pada digraf terhubung D adalah spanning tree yang berupa

arborescence.

(Vasudev, 2006:435)

Ilustrasi spanning arborescence dapat dilihat pada gambar di bawah ini :

Gambar 2.14 (a) Gambar 2.14 (b)

Gambar 2.14 (a) dan 2.14 (b) di atas merupakan contoh spanning arborescence dari

digraf D2 pada gambar 2.9. Pada gambar 2.14 (a) dan 2.14 (b) titik v5 merupakan akar

arborescence karena d – (v5)= 0

7. Graf dan Digraf Euler

Berikut adalah penjelasan dari beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan

digraf Euler yang akan digunakan dalam makalah ini.

Definisi 23 (Graf Euler)

Suatu graf yang memiliki sirkuit Euler disebut graf Euler.

(Vasudev, 2006:62)

Graf G5 dan graf G6 merupakan contoh graf Euler.

Graf G5 Graf G6

v6

v2 v1

v5

v3

v4

e

3

e1

e4

e2

e7

e6

e5

v6

e8

e9

e10

v2 v1

v5

v3

v4 v5

e1 e2

e3

e4

a

c d

b

v6

v2 v1

v5

v3

v4

13

Definisi 24 (Digraf Euler)

Suatu digraf terhubung disebut digraf Euler jika memuat jejak tertutup (sirkuit) yang

melewati semua sisi berarah pada digraf D tepat satu kali.

(Aldous & Wilson, 1943:97)


Sirkuit Euler dari digraf D3 misalnya E = a e1 c e3 b e2 d e4 a.

Terdapat sirkuit Euler lain, misalnya E’ = d e4 a e1 c e3 b e2 d.

Dua buah sirkuit Euler dikatakan sama jika salah satunya merupakan permutasi siklik

dari sirkuit lainnya. Dari sirkuit E dan E’ yang kita peroleh kita tahu bahwa E’

merupakan permutasi siklik dari E. Sehingga sirkuit E sama dengan sirkuit E’. Akan

tetapi, keberadaan sirkuit Euler tidaklah tunggal, hal ini bergantung pada bentuk

digrafnya.

Pada beberapa literatur, sirkuit Euler biasa dituliskan dengan komponen titik-titiknya

saja.

Teorema 1

Suatu digraf terhubung dikatakan sebagai digraf Euler jika dan hanya jika untuk

setiap titik, nilai outdegree sama dengan nilai indegree.

(Aldous & Wilson, 1943:99)

Bukti:

→ (Jika suatu digraf D merupakan digraf Euler, maka setiap titik dalam digraf

tersebut mempunyai nilai outdegree sama dengan nilai indegree-nya)

a

c d

b

e1 e2

e3

e4

14

Suatu digraf merupakan digraf Euler, artinya digraf tersebut mempunyai sirkuit Euler.

Jika sebuah sirkuit melewati suatu titik, maka dua buah sisi berarah digunakan, yaitu

sisi berarah menuju ke titik dan sisi berarah lainnya keluar dari titik tersebut.

Sehingga setiap sisi yang melewati titik, untuk sisi yang menuju titik tersebut akan

terhitung sebagai indegree dan sisi yang keluar dari titik tersebut akan terhitung

sebagai outdegree. Jadi, adanya sirkuit Euler, yaitu sirkuit yang memuat semua sisi

berarah menunjukkan bahwa indegree dari setiap titik sama dengan outdegree-nya.

← (Jika setiap titik pada digraf mempunyai indegree yang sama dengan outdegree-

nya maka digraf tersebut merupakan digraf Euler.)

Misalkan D adalah suatu digraf terhubung dengan m sisi berarah dimana setiap titik

mempunyai indegree yang sama dengan outdegree-nya. Akan dibuktikan dengan

induksi m bahwa digraf tersebut merupakan digraf Euler.

Untuk maka dapat diketahui bahwa digraf tersebut merupakan digraf Euler.

Hal ini dapat dijelaskan melalui gambar berikut:

Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa digraf dengan merupakan digrar

Euler dengan sirkuit Euler v1 e1 v2 e2.

Kemudian asumsikan bahwa teorema ini benar untuk semua digraf dengan

atau lebih sedikit sisi berarah dimana outdegree sama dengan indegree untuk setiap

titiknya.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa digraf D merupakan digraf Euler dengan sisi

berarah.

v1

e1

v2

e2

15

Misalkan D adalah suatu digraf dengan outdegree sama dengan indegree untuk setiap

titik dalam D. Misalkan pula T adalah suatu jejak dari sebarang titik u ke titik lain v

dalam digraf D. Akan terdapat sedikitnya satu sisi berarah yang incident dari v tetapi

bukan merupakan sisi berarah pada T. Artinya, untuk setiap digraf dengan

atau lebih sedikit sisi berarah memungkinkan kita untuk memperpanjang jejak yang

telah kita buat dari u ke v dengan menambahkan jejak baru (satu atau lebih sisi

berarah) yang berakhir di titik u. Penambahan jejak baru ini akan menyebabkan

terbentuknya jejak baru yang tertutup.

(i) Kasus pertama

Jika jejak baru tersebut memuat semua sisi berarah pada digraf D, maka kita akan

mendapatkan suatu sirkuit Euler, yaitu jejak tertutup dari titik u kembali ke u.

Misalkan jejak yang terbentuk adalah T = u a b ……… v dan perpanjangan jejak

yang diperoleh adalah T1’ = u a b c d …………… u dimana semua sisi berarah

telah termuat dalam jejak baru tersebut. Maka kita tahu bahwa T1’ adalah suatu

sirkuit Euler dari digraf D.

(ii) Kasus kedua

Jika jejak baru tersebut tidak memuat semua sisi berarah pada digraf D maka

adanya sirkuit Euler akan dijelaskan sebagai berikut:

Misalkan jejak baru yang terbentuk adalah T2’ = u a b ……… u dimana ada sisi

dalam D yang belum termuat pada T2’. Dengan demikian kita tahu bahwa T2’

bukanlah sirkuit Euler karena ada sisi di D yang bukan elemen T2’.

Sekarang dari digraf D, hapus semua sisi berarah pada T2’ sehingga titik-titiknya

menjadi titik yang terisolasi (isolated vertex) yaitu titik yang mempunyai derajat

sama dengan 0. Setiap komponen hasil dari penghapusan digraf D ini, yaitu D’

adalah digraf yang terhubung dengan outdegree sama dengan indegree untuk

setiap titiknya.

16

Dari hipotesis induksi matematika, yaitu untuk digraf dengan atau lebih

sedikit sisi berarah merupakan digraf Euler, maka setiap komponen pada D’

memiliki sirkuit Euler. Karena D’ terhubung, setiap komponen D’ memiliki titik-

titik bersama dengan jejak tertutup T’, sehingga sirkuit Euler dari digraf D ini

dapat diperoleh dengan cara menyisipkan sirkuit Euler dari setiap komponen

dari D’ pada titik bersama. Dengan demikian, kita tahu bahwa digraf ini memiliki

sirkuit Euler, sehingga digraf ini merupakan digraf Euler.

(Balakhrishnan, 1997:73)

Berdasarkan pembuktian dua arah di atas, maka dapat disimpulkan bahwa suatu

digraf terhubung dikatakan sebagai digraf Euler jika dan hanya jika untuk setiap titik,

nilai outdegree sama dengan nilai indegree.

8. Algoritma van Aardenne Ehrenfest de & Bruijn

Algoritma van Aardenne Ehrenfest de & Bruijn (Eiselt, 1994) adalah salah satu

algoritma yang digunakan untuk mencari sirkuit Euler pada suatu digraf Euler.

Berikut langkah-langkah algoritma Aardenne Ehrenfest de & Bruijn :

Langkah 1. Bentuk sebuah spanning arborescence yang berakar di vr

Langkah 2. Labeli semua sisi berarah seperti berikut: urutkan dan labeli sisi-sisi

berarah yang keluar dari vr dengan sebarang cara; urutkan dan labeli

sisi-sisi berarah yang keluar dari titik lain secara teratur dengan

sebarang cara, sehingga sisi berarah terakhir yang dilabeli adalah sisi

berarah pada spanning arborescence.

Langkah 3. Tentukan sirkuit Euler dengan cara mengikuti sisi-sisi berarah yang

memiliki label terendah yang keluar dari sebarang titik; jika sebuah sisi

berarah menuju ke suatu titik, maka titik ini akan ditinggalkan melalui

sisi berarah yang belum dilewati yang memiliki label lebih rendah.

Prosedur ini berakhir ketika semua sisi berarah telah dilewati.

(Eiselt, 1994)

17

B. Pembahasan

Pada bagian ini akan dibahas mengenai penerapan algoritma van Aardenne Ehrenfest

de & Bruijn untuk menentukan sirkuit Euler pada suatu digraf Euler. Berikut

langkah-langkah algoritma Aardenne Ehrenfest de & Bruijn :

a. Bentuk sebuah spanning arborescence dari digraf balans yang berakar di vr

b. Sisi-sisi berarah yang keluar dari vr dan titik-titik lain diurutkan dan dilabeli

sedemikian hingga sisi berarah terakhir yang dilabeli adalah sisi berarah pada

spanning arborescence.

c. Tentukan sirkuit Euler dengan cara mengikuti sisi-sisi berarah yang memiliki

label terendah yang keluar dari sebarang titik; jika sebuah sisi berarah menuju ke

suatu titik, maka titik ini akan ditinggalkan melalui sisi berarah yang belum

dilewati yang memiliki label lebih rendah. Prosedur ini berakhir ketika semua

sisi berarah telah dilewati.

Contoh 1:

Diberikan suatu digraf seperti pada Gambar 2.9 yaitu digraf D2

Langkah 1 : membangun spanning arborescence graf dari digraf D2

e5

v6

e3

e1

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

e7

e9

e10

e8

e4

e3

e1

e2 e6

e5

v6

v2 v1

v5

v3

v4

Titik v5 merupakan akar arborescence

18

Langkah 2 : mengurutkan dan melabeli semua sisi yang keluar dari titik v5 dan titik-

titik yang lain. Langkah-langkah pelabelan dapat dilihat pada langkah di bawah ini

(1) v5

Ada 2 sisi yang keluar dari v5 yaitu e4 dan e5. Karena e5 merupakan sisi pada

spanning arborescence maka e5 tidak dilabeli dahulu dan e4 dilabeli dengan

L1.

(2) v6

Hanya ada satu sisi yang keluar dari v6 yaitu e6. Karena e6 merupakan sisi

pada spanning arborescence maka e6 tidak dilabeli dahulu.

(3) v1



L1.

e4

e5

v6

e3

e1

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

L1

e4

e5

v6

e3

e1

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

L1

L1

e5

v6

e3

e1

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

L1

e4

e10

19

(4) v2



L1.

(5) v3

Hanya ada satu sisi yang keluar dari v3 yaitu e3, karena e3 merupakan sisi pada

spanning arborescence maka e3 tidak dilabeli dahulu.

(6) v4

Ada 2 sisi yang keluar dari v4 yaitu e7 dan e9 maka e7 dilabeli dengan L1 dan

e9 dilabeli dengan L2.

L1 e7

L2

e4

L1

e8

L1

e5

v6

e3

e1

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

L1

e9 e10

e4

L1

e8

L1

e5

v6

e3

e1

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

L1

e10

e4

L1

e8

L1

e5

v6

e3

e1

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

L1

e10

20

(7) sisi-sisi pada spanning arborescence dilabeli dengan L3.

Langkah 3 : mentukan sirkuit Euler dengan cara mengikuti sisi-sisi berarah yang

memiliki label terendah yang keluar dari sebarang titik; jika sebuah sisi berarah

menuju ke suatu titik, maka titik ini akan ditinggalkan melalui sisi berarah yang

belum dilewati yang memiliki label lebih rendah. Prosedur ini berakhir ketika semua

sisi berarah telah dilewati.

Dalam algoritma ini tidak ada aturan tertentu untuk memilih titik sebagai titik

awal untuk membentuk sirkuit Euler. Meskipun demikian, disarankan pemilihan titik

awal ini adalah titik pada ujung spanning arborescence yang telah dibentuk, yaitu titik

yang memiliki outdegree sama dengan 0. Sebenarnya titik lainpun bisa dijadikan

sebagai titik awal, akan tetapi tidak semua titik lain tersebut bisa dijadikan sebagai

titik awal. Untuk kasus di atas, maka titik pada ujung spanning arborescence, yaitu

titik dengan outdegree sama dengan 0 adalah titik v4. Kemudian kita akan mencari

sirkuit Euler yang berawal dari v4 dengan cara melewati sisi-sisi berarah yang

memiliki label lebih rendah yang keluar dari titik v4 dan titik-titik selanjutnya

sehingga semua sisi berarah telah dilewati. Dengan demikian sirkuit Euler yang

diperoleh yang berangkat dari titik v4 adalah E1 = v4 v2 v5 v4 v1 v5 v6 v1 v2 v3 v4 atau

jika kita menggunakan titik awal yang berbeda, misal dari titik v1, maka sirkuit Euler

yang diperoleh adalah E2 = v1 v5 v4 v2 v5 v6 v1 v2 v3 v4 v1

e7

L2

e4

L1

e8

L1

e5

v6

e3

e1

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

L1

e9 e10 L1

L3

L3

L3

L3

L3

21

Contoh lain penentuan sirkuit Euler dari digraf D2

Langkah 1 : membangun spanning arborescence graf dari digraf D2


Langkah 2 : mengurutkan dan melabeli semua sisi yang keluar dari titik v6 dan titik-

titik yang lain. Langkah-langkah pelabelan dapat dilihat pada langkah di

bawah ini

(1) v6

Hanya ada satu sisi yang keluar dari v6 yaitu e6. Karena e6 merupakan sisi

pada spanning arborescence maka e6 tidak dilabeli dahulu.

(2) v1


spanning arborescence maka e10 tidak dilabeli lebih dulu dan e1 dilabeli

dengan L1.

e7 e10 v6

e4

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

e7 e10 v6

e4

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

22

(3) v5



L1.

(4) v4



L1.

L1

e1

e7 e10 v6

e4

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

L1 e5

L1

e1

e7 e10 v6

e4

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

e9 L1 L1

e5

L1

e1

e7 e10 v6

e4

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

23

(5) v2



L1.

(6) v3

Hanya ada satu sisi yang keluar dari v3 yaitu e3 maka e3 dilabeli dengan L1.

(7) Selanjutnya sisi-sisi pada spanning arborescence dilabeli dengan L2.

L2

L2

L2 L2

L2 L1

e3

L1

e8

e9 L1 L1

e5

L1

e1

e7 e10 v6

e4

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

L1

e8

e9 L1 L1

e5

L1

e1

e7 e10 v6

e4

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

L1

e3

L1

e8

e9 L1 L1

e5

L1

e1

e7 e10 v6

e4

e2 e6

v2 v1

v5

v3

v4

24

Langkah 3 : Mentukan sirkuit Euler yang melintasi setiap sisi berarah yang telah

dilabeli, mulai dari label yang terkecil hingga label yang terbesar. Prosedur ini

dilakukan hingga semua sisi berarah telah dilewati.

Titik ujung pada spanning arborescence yang memiliki outdegree sama

dengan 0 adalah titik v3. Selanjutnya kita akan mencari sirkuit Euler yang berangkat

dari titik v3. Sirkuit Euler yang diperoleh adalah E3 = v3 v4 v1 v2 v5 v6 v1 v5 v4 v2 v3.

Sirkuit Euler lain bisa kita peroleh jika kita berangkat dari titik selain v3, misal kita

berangkat dari titik v4, maka sirkuit Euler yang diperoleh adalah :

Misal E4 = v4 v1 v2 v5 v6 v1 v5 v4 v2 v3 v4.

Bisa juga jika kita berangkat dari titik titik v2, maka sirkuit Euler yang diperoleh

adalah, misalkan E5 = v2 v5 v6 v1 v2 v3 v4 v1 v5 v4 v2.

Dari beberapa sirkuit Euler yang diperoleh, dapat kita ketahui bahwa sirkuit

E4 merupakan hasil susunan permutasi siklik dari sirkuit E3. Oleh karena itu, sirkuit

Euler E3 dan E4 dikatakan sama. Sedangkan sirkuit E5 merupakan sirkuit yang berbeda

dari sirkuit E3 dan E4.

Contoh 2 :

Diberikan digraf D4 seperti di bawah ini. Langkah-langkah penentuan sirkuit Euler

dari digraf D4 ini adalah sebagai berikut:

1 2

3

4 5 6

7

8 9 10

11

25

Langkah 1 : membuat spanning arborescence


Langkah 2 : mengurutkan dan melabeli semua sisi yang keluar dari titik v8 dan

titik-titik yang lain sehingga sisi pada spanning arborescence adalah sisi yang

terakhir dilabeli.

(1) mengurutkan dan melabeli semua sisi berarah yang keluar dari setiap titik dan

yang bukan merupakan sisi pada spanning arborescence.

(2) melabeli sisi berarah pada spanning arborescence. Karena label terbesar pada

sisi bukan sisi berarah adalah L2 maka sisi berarah pada spanning

arborescence dilabeli dengan L3.

4 5

1 2

3

6

7

8 9 10

11

8

3

4 5 6

7

9

11

L2

1 2

10

L2

L1 L1

L1

L1

L1

L1

L1

L1

L1 L2

26

Langkah 3 : Mentukan sirkuit Euler yang melintasi setiap sisi berarah yang telah



Titik ujung pada spanning arborescence yang memiliki outdegree sama dengan 0

adalah titik v3. Selanjutnya kita akan mencari sirkuit Euler yang berangkat dari titik

v3. Sirkuit Euler yang diperoleh adalah:

E6 = v3 v2 v4 v1 v5 v9 v8 v6 v5 v8 v7 v6 v1 v2 v5 v4 v10 v3 v4 v9 v10 v11 v3.

Sirkuit Euler lain bisa diperoleh dengan mengambil titik awal yang lain, misal titik

v4 maka sirkuit Euler yang diperoleh adalah :


Contoh lain penentuan sirkuit Euler dari digraf D3

Langkah 1 : membuat spanning arborescence

8

1 2

3

4 5 6

7

9 10

11 L2

L1 L1

L1

L1

L1

L1

L1

L1

L1 L2

L3

L3

L3

L3

L3 L3

L3

L3

L3

L3

L2

4 5

1 2

3

6

7

8 9 10

11

27

Langkah 2 : mengurutkan dan melabeli semua sisi yang keluar dari titik v8 dan

titik-titik yang lain sehingga sisi pada spanning arborescence adalah sisi yang

terakhir dilabeli.

(1) mengurutkan dan melabeli semua sisi berarah yang keluar dari setiap titik dan

yang bukan merupakan sisi pada spanning arborescence.

(2) melabeli sisi berarah pada spanning arborescence. Karena label terbesar pada

sisi bukan sisi berarah adalah L2 maka sisi berarah pada spanning

arborescence dilabeli dengan L3.

Langkah 3 : mentukan sirkuit Euler yang melintasi setiap sisi berarah yang telah



L1

8

3

4 5 6

7

9

11

L1

1 2

10

L2

L1 L1

L1

L1

L2

L1

L1 L2

L1

L3 L1

8

3

4 5 6

7

9

11

L1

1 2

10

L2

L1 L1

L1

L1

L2

L1

L1 L2

L1 L3

L3

L3

L3

L3

L3

L3

L3

L3

28

Titik ujung pada spanning arborescence yang memiliki outdegree sama dengan 0

adalah titik v6. Selanjutnya kita akan mencari sirkuit Euler yang berangkat dari titik

v6. Sirkuit Euler yang diperoleh adalah:


Sirkuit Euler lain bisa kita peroleh jika kita berangkat dari titik selain v6, misal kita

berangkat dari titik v7, maka sirkuit Euler yang diperoleh adalah :


Dengan titik yang lain lagi, misal v8 maka sirkuit Euler yang diperoleh adalah


Dari beberapa sirkuit Euler yang diperoleh, dapat kita ketahui bahwa sirkuit

E9 merupakan hasil susunan permutasi siklik dari sirkuit E8. Oleh karena itu,

sirkuit Euler E8 dan E9 dikatakan sama. Sedangkan sirkuit E10 merupakan sirkuit

yang berbeda dari sirkuit E8 dan E9.

Dari paparan di atas, dapat diketahui bahwa sirkuit Euler yang diperoleh

dengan menggunakan algoritma van Aardenne Ehrenfest & de Bruijn tidaklah

tunggal, tetapi bergantung kepada spanning arborescence yang dibangun. Dari

contoh 1 dan contoh 2 di atas dapat dilihat bahwa ketika spanning arborescence yang

dibentuk berbeda, maka sirkuit Euler yang diperoleh juga berbeda. Perbedaan

pembentukan spanning arborescence ini tidak akan mempengaruhi banyaknya

langkah selanjutnya yang harus dilakukan karena seperti apapun spanning

arborescence yang dibangun, langkah selanjutnya adalah mengurutkan dan melabeli

semua sisi berarah yang keluar dari titik-titik pada digraf tersebut, kemudian

menentukan sirkuit Euler dengan cara mengambil titik awal kemudian mengurutkan

sisi yang keluar dari setiap titik, dimulai dari label yang terkecil hingga label yang

terbesar.

Disamping itu proses pengurutan dan pelabelan sisi-sisi berarah yang keluar

dari setiap titik juga akan mempengaruhi bentuk sirkuit Euler yang diperoleh.

Artinya, jika terjadi perbedaan dalam proses pelabelan, maka sirkuit Euler yang

29

diperoleh juga berbeda. Hal ini dikarenakan proses pelabelan ini akan mempengaruhi

urutan sisi berarah yang akan dilalui ketika kita mencari sirkuit Euler sehingga sirkuit

Euler yang diperoleh juga akan berbeda. Besarnya label terbesar bergantung kepada

banyaknya sisi berarah yang keluar dari setiap titik.

Perbedaan pemilihan titik awal yang diambil saat pembentukan sirkuit Euler

akan menghasilkan susunan sirkuit Euler yang berlainan, baik itu sirkuit yang sama

atau berbeda. Jika susunan sirkuit yang diperoleh merupakan permutasi siklik dari

sirkuit yang lain, maka kedua sirkuit tersebut dikatakan sama dan sebaliknya. Perlu

juga diperhatikan bahwa tidak semua titik bisa digunakan sebagai titik awal dalam

algoritma ini, tetapi pasti ada titik yang bisa digunakan sebagai titik awal dalam

pembentukan sirkuit Euler. Untuk pemilihan titik awalini disarankan adalah titik pada

ujung spanning arborescence yang memiliki outdegree sama dengan 0.

Seminar Gesit Timarna (Pembahasan)

Documents

Transcript of Seminar Gesit Timarna (Pembahasan)