manual differential equations

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO)

POR INTEGRACION BASICA

1.- dydx=y−1x

dyy−1

=dxx

∫ dyy−1

=∫ dxx

ln (y−1 )+C1=lnx+C2

ln (y−1 )=lnx+kSea:k=C2−C1

eln (y−1) ¿elnx+k

eln (y−1) ¿elnx.ekSea:ek=C

y−1=C.x

y=C.x+1

2.- x dydx=4y

dy4y

=dxx

∫ dy4y

=∫ dxx

lny4

+C1=lnx+C2

lny4

=lnx+kSea:k=C2−C1

lny=4lnx+4k

eln y ¿elnx4.e4kSea:e4k=C

y=C.x4

3.- dydx=x+6x+1

dy=x+6x+1

dx

∫dy=∫ x+6x+1

dx

y+C1=∫ xx+1

dx+∫ 6x+1

dx

y+C1=∫ −1x+1

dx+∫dx+6∫ dxx+1

y+C1=−ln (x+1)+C2+x+C3+6ln (x+1)+C4

y=5ln (x+1 )+x+C2+C3+C4−C1Sea:k=C2+C3+C4−C1

y=5ln (x+1 )+x+k.

4.- dxdt=et− 2tt2−1

∫dx=∫etdt−∫ 2tt2−1

dt

x+C1=et+C2−ln (t2−1 )+C3

x=et−ln(t2−1)+C2+C3−C1Sea:k=C2+C3−C1

x=et−ln(t2−1)+k

5.- dxydy=

x(2x2−x−1)

√4y3 2−13

dxx(2x2−x−1)

=ydy

√4y3 2−13

∫ dxx(2x2−x−1)

=∫ ydy

√4y3 2−13

Ia=Ib

Ia=IntegramosporFraccionesParciales

Ib=IntegracionporSustitucionSimple

Ia=∫ dxx (2x2−x−1)

1x (x−1 )(2x+1)

=Ax

+B

(x−1)+

C(2x+1)

A= 1(0−1)(0+1)

;B= 1(2+1)

;C= 1−12.−

32

A=1;B=13;C=4

3

∫ dxx(2x2−x−1)

= ∫ dxx

+13∫

dxx−1

+43∫

dx2x+1

Ia=−lnx+13ln (x−1)+2

3ln(2x+1)

Ib=∫ ydy

√4y3 2−13

u=4y23

−13

du=8y3dy 3du

8y=dy

∫ du√u

=2(u)1/2=2(4y23 −13)

1 /2

(4y2

3−13 )

1/2

=lnx+13ln(x−1)+2

3ln(2x+1)

Despejamos Y:

y=3(−lnx)

2−0.1ln(x−1 )+0.3ln (2x+1)+k

6.- dydx=4sen(7x)

dy=4sen (7x)dx

∫dy=∫4sen (7x )dx

y+C1=4cos(7x)7

+C2 Sea:k=C2−C1

y=4cos(7x)

7+k

7.- dAdt=kA

dAA

=kdt

∫ dAA

=k∫dt

lnA+C1=kt+C2Sea:C2−C1

lnA=kt+C

elnA=ekt+c elnA=ektec

A=C.ekt

8.- dydx= 7x2+3x−10

dy=7dx

x2+3x−10

∫dy=7∫ dxx2+3x−10

Ia=Ib

Ia=Integraldetabla

Ib=Integracionporfraccionesparciales

Ia=y+C1

Ib: 7x2+3x−10

=7

(x+5)(x−2)=

A(x+5)

+B

(x−2)

A= 7−5−2

=−1

B= 75+2

=1

7x2+3x−10

= −1(x+5)

+ 1(x−2)

Ib=∫ −1(x+5)

dx+∫ 1(x−2)

dx

Ib=−ln(x+5 )+ln (x−2 )+C2 ; Ia=Ib

y=−ln (x+5 )+ln (x−2 )+C2−C1Sea:k=C2−C1

y=−ln (x+5 )+ln (x−2 )+k

9.- dydx=exsenx

dy=exsenxdx

∫dy=∫exsenxdx

Ia=Ib

Ia=IntegraldeTabla

Ib=Integracionporpartes

Ib:u=exdv=senx

du=exv=−cosx

Ib:−cosxex+∫cosxexdx

Ic::u=exdv=cosx

du=exv=senx

Ic::exsenx+∫exsenxdx

Ia=Ib

y+C1=senx+exsenx

2+C2Sea:k=C2−C1

y=exsenx−excosx

2+k

10.- dydx=sen3x

dy=senx.sen2xdx

∫dy=∫senx.sen2xdx

∫dy=∫senx(1−cos¿¿2x)dx¿

Ia=Ib

Ia=y+C1

Ib:Seau=cosxdu=−senx

Ib:∫senx(1−u¿¿2)dusenx

¿

Ib=∫ (1−u¿¿2)du¿

Ib=−u3

3+u

Ib=−cos3x3 +cosx+C2

Ia=Ib

y+C1=−cos3x

3+cosx+C2Sea:k=C2−C1

y=−cos3x

3+cosx+k

11.- 2ydydx=

1(x2−16)

2ydy=dx

(x2−16)

2∫ydy=∫ dx(x2−16)

Ia=Ib

Ia=Integraldetabla

Ib=Integracionporfraccionesparciales

Ia=y2+C1

1(x2−16)

= A(x+4 )

+ B(x−4)

1(x2−16)

=x (A+B )+4(4B−4A)

(x+4)(x−4)

1=x (A+B )+4(4B−4A)

0x+1=x (A+B )+(4B−4A)

A+B=0

1=4B−4A

A=−B

A=−18 B=

18

Ib: 1(x2−16)

=1 /8

(x+4 )+

−1 /8(x−4 )

Ib=18∫

dx(x+4)

−18∫

dx(x−4)

Ib=ln (x+4)8 −

ln (x−4 )8 +C2

Ia=Ib

y2+C1 = ln (x+4)8

−ln (x−4)

8+C2Sea:k=C2−C1

y=√ln (x+4)8

−ln (x−4)

8+k

12.- dxdt=et− 2tt2−1

∫dx=∫etdt−∫ 2tt2−1

dt

x+C1=et+C2−ln (t2−1 )+C3

x=et−ln(t2−1)+C2+C3−C1Sea:k=C2+C3−C1

x=et−ln(t2−1)+k

13.- dMdt=gM g= cte.

dMM

=gdt

∫ dMM

=g∫dt

lnM+C1=kt+C2Sea:C2−C1

lnM=¿+C

elnM=e¿+c elnM=e¿ecSea:ec=C

M=C.e¿

14.- dydx=9cos(5x)

dy=9cos (5x)dx

∫dy=∫9cos (5x )dx

y+C1=9sen(5x)

5+C2 Sea:k=C2−C1

y=9cos(5x)5

+k

15.- dydx=3x(y+4)2

dy(y+4)2

=3xdx

∫ dy(y+4)2

=∫3xdx

Ia=Ib

Ia=Integracionporsustitucion

Ib=Integraldetabla

Ib=3x2

2+C2

∫ dy(y+4)2

=Ia:u=y+4;du=dy

Ia=lnu+C1

Ia=ln(y+4)+C1

Ia=Ib

ln(y+4)+C1=3x2

2 +C2Sea:k=C2−C1

ln(y+4)=3x2

2+k

eln(y+4)=e3x2

2+k

eln(y+4)=e3x2

2 .ekSea:C=C2−C1

y=¿Ce3x2

2 −4

CLASIFICACION DE ED, SEGÚN EL TIPO, GRADO, VARIABLES, CONSTANTES.

1.- dPdt=kP(P1−P2)

Orden=1

Notienecoeficientes

Tipo=EDretardo

Variables:t=Vi;P=Vd

2.−2dydx

−2yx=2cosx

a1 (x)=2;a0 (x )=2x;g (x)=2cosx

Orden=1

Tipo=EDL

Variables:x=Vi;y=Vd

3.−8d2ydx2 −2x dydx +4yx=0

a2 (x)=8;a1 (x )=−2x;a0 (x )=4x;g (x)=0

Orden=2

Tipo=EDnolineal

Variables:x=Vi;y=Vd

4.−xdydx

+2y=x

a1 (x)=x;a0 (x )=2;g (x)=x

Orden=1

Tipo=EDL

Variables:x=Vi;y=Vd

5.- (2xy2 - 3)dx + (2yx2+4) dy=¿0

∂M∂y = 4xy

∂N∂x = 4xy

Orden=1

Tipo=EDE

Variables:x=Vi;y=Vd

6.−6dydx

−7xy=2

a1 (x)=6;a0 (x )=−7x;g (x )=2

Orden=1

Tipo=EDL

Variables:x=Vi;y=Vd

7.− (1−x )d2ydx2

−4x dydx+5y=cosx

a2 (x)=(1−x);a1 (x )=−4x;a0 (x )=5;g (x)=cosx

Orden=2

Tipo=EDNoOrdinarialineal

Variables:x=Vi;y=Vd

8.−dNdt=

N2tdt2

+1

rdNdt

+kN

a2 (t)=1;a1 (t)=1r;a0 (x)=k;g (t )=0

Orden=2

Tipo=EDNoOrdinaria

Variables:t=Vi;N=Vd

9.−(4y2+2x−1)dx=(6y2+2x )dy

Orden=2

sinCoeficientes

Tipo=EDParcial

Variables:x=Vi;y=Vd

10.−dydx

=2x

Orden=1

Tipo=EDOrdinaria

Variables:t=Vi;N=Vd

11.- (2x + y)dx + (x +6y) dy=¿0

∂M∂y = 1

∂N∂x = 1

Orden=1

Tipo=EDE

Variables:x=Vi;y=Vd

12.−d2udx2+

d2udy2

=0

Orden=2

Tipo=EDParcial

Variables:x,y=Vi;u=Vd

13.−4 d3xdt3

+1d2x3dy2

+8x=3cos(2t)

a2 (t)=4;a1 (t)=−6;a0 (t )=−8x;g (t)=cos(2t)

Orden=3

Tipo=EDNolineal

Variables:t=Vi;x=Vd

14.−d2ydt2

−2 dydx +y=0

a2 (x)=1;a1 (x )=−2;a0 (x)=1;g (x )=0

Orden=2

Tipo=EDH

Variables:t=Vi;x=Vd

15.−dydx

=2x−xyy2+1

dy (y2+1)=(2x−xy)dx

g (x)=(2x−xy)

p (y)=(y2+1)

Orden=1

Tipo=EDSeparable

Variables:t=Vi;x=Vd

DEMOSTRACIONES EN FORMA EXPLICITA

1.- DEMOSTRAR QUE LAS SIGUIENTE FUNCION ES SOLUCION DE LA ED

dydx

−3y=−3;y (x )=ce3x+1

1.−Empezamosderivandoy(x)

dydx

=3ce3x

2.−Reeplazamos dydx

enlaED: dydx−3y=−3

3ce3x−3 (ce3x+1)=−3

3ce3x−3ce3x−3=−3

−3=−3 (V )PorlotantoY (x )siessoluciondelaED

2.−VerificarquelasiguientefuncionseasoluciondelaEDIndicada

x dydx

+y=cosx;y=senxx


dydx

=xcosx−senxx2


enlaED: x dydx+y=cosx

(x2cosx−xsenxx2 )+y=cosx

cosx−senxx

+senxx

=cosx

cosx=cosx (V )Porlotantoy (x)siessoluciondelaED

3.−Demostrarque:ϕ (x)=x2−x−1essolucionde:d2ydx2−

2yx2 =0

1.−Empezamossacandola1eray2daderivadaϕ(x)

dϕdx

=2x+x−2

d2ϕdx2=2−2x−3

2.−Reeplazamos dϕdx yd2ϕdx2 enlaED:

d2ydx2−

2yx2

=0

Sea: y=ϕ (x)=x2−x−1

2−x−3−2¿¿

2−2x−3−2x2−x−1

x2=0

2x2−2x−1−2x2+2x−1 ¿ ¿x2=0

0=0 (V )Porlotantoϕ (x )siessoluciondelaEDIndicada

4.−Demostrarque:ϕ (x)=c1e−x+c2e2x

essolucionde:d2ydx2

−dydx−2y=0

1.−EmpezamosObservandoelordendelaEDenestecasoesdeorden2loquenosindicaque

alafuncionϕ(x)debemossacarlacorrespondiente1eray2daderivada

dϕdx

=−c1e−x+2c2e2x

d2ϕdx2=c1e

−x+4c2e2x

2.−Reemplazamosdϕdx yd2ϕdx2

enlaED: d2ydx2−

dydx−2y=0

c1e−x+4c2e2x+c1e−x−2c2e2x−2 (c1e−x+c2e2x)=0

1e−x+4c2e2x+c1e−x−2c2e2x−2c1e−x−2c2e2x=0

0=0 (V )Porlotantoϕ (x )siessoluciondelaEDIndicada

5.−VerificarsilasiguientefunciondadaesonosoluciondelaEDdada:

Sea:x=ln(dydt )+sen(dydt )

x=ln (t )+sen (t)

y=t (1+sen (t ))+cos(t)

1.−Dadoquetenemos2funcionesx,yaltenerestetipodecasosestoindicaquetienenparametros

portantoesnecesarioderivartantoxcomoyenfuncionde(t)

dxdt

=(1t )+cos(t)

dydt

=1+tcos(t)

2.−Elsiguientepasoesobteneruna dydt

Globalquellamaremos dydt

Testoseconsiguealdividir

dydt

sobre dxdt

delasiguientemanera

dydtT=

dydtdxdt

dydt

T=1+tcos(t)1+tcos(t)

t

Resolviendolafracciontenemosque: dydt

T=t

3.−Elsiuientepasoesreemplazar dydtT=tenlaEDIndicada

sea:x=ln(dydt )+sen(dydt )

x=ln (t )+sen (t);Comosabiamosque:x=ln (t)+sen (t )concluimosque:

x=x (V )Porlotantox,ysisonsoluciondelaEDIndicada.

6.−Demostrarque:ϕ (x)=senx−cosxessolucionde: d2ydx2 +y=0

1.−Paso1:Determinarla1eray2daDerivadadeϕ (x )

Sea:ϕ (x )=senx−cosx

dϕdx

=cosx+senx

d2ϕdx2=−senx+cosx

2.−Reemplazamosd2ϕdx2

yϕ (x )enlaED: d2ydx2 +y=0

−senx+cosx+senx−cosx=0

0=0 (V )Portantoϕ (x)siessoluciondelaEDDada.

7.−Comprobarquey (x )=exessolucionde: d2ydx2−y=0

1.−Derivary (x )

dydx

=ex

d2ydx2=e

x

2.−Reemplazamosy (x)y d2ydx2

enlaEDIndicada

Sea: d2ydx2

−y=0

ex−ex=0

0=0 (V )Porlotantoy (x )siessoluciondelaEDIndicada.

8.−DemostrarquelafuncionessoluciondelaED

dydx

−2y=−2;y (x )=ce2x+1


dydx

=2ce2x


enlaED: dydx−2y=−2

2ce2x−2 (ce2x+1)=−2

2ce2x−2ce2x−2=−2

−2=−2 (V )PorlotantoY (x )siessoluciondelaED

9.−VerificarsilafunciondadaessoluciondelaED

y(x)=senx3x

; xdydx

+y=cosx

1.−Derivamosy(x)

dydx

=¿¿

2.−Reemplazamosdydx

en:xdydx

+y=cosx3

x¿

3x2¿¿

cosx3

−senx3x

+senx3x

=cosx3

cosx3

=cosx3

(V )Porlotantoy (x)siessoluciondelaEDIndicada

10.−DemostrarquelasfuncionessonsoluciondelaEDIndicada

x=tet;y=e−t; (1+xy)dydx+y2

1.−Derivamosx (t)ytambieny(t)

dxdt

=et+tet

dydt

=−e−t

2.−Debidoaquetenemosdosfuncionesenfuncionde (t)estonosindicaquetieneparametros

comoyasabemostenemosqueencontrarunafuncion (Y )primatotallacualencontramosdela

siguientemanera:

dydtT=

−e−t

et(1+t)

dydt T=

−e−2t

(1+t)

3.−VerificamosreemplazandoenlaED

−e−2t

(1+t)(1+t )+e−2t=0

e−2t−e−2t=0

0=0 (V )Porlotantolasfuncionesx (t ),y (t)sisopnsoluciondelaEDIndicada

11.−CompruebesilasfuncionessonsoluciondelaEDIndicada

x=tln (t );y=t2 (2lnt+1 );dydx

ln( dydx4 )=4xlnt1.−Dadoquetenemos2funcionesx,yaltenerestetipodecasosestoindicaquetienenparametros

portantoesnecesarioderivartantoxcomoyenfuncionde(t)

dxdt

=lnt+t 1t

dxdt

=lnt+1

dydt

=2t (2lnt+1 )+t2(1t )

dydt

=4tlnt+2t+2t

dydt

=4t (lnt+1 )

dydt

T=4t(lnt+1)(lnt+1)

dydt

=4t

2.−Reemplazamosdydt

TenlaEDIndicada

dydt

ln(4t4 )=4tlnt

4tlnt=4tlnt (V )Porlotantox (t ),y (t)sisonsoluciondelaEDIndicada

12.−DemostrarquelafuncionessoluciondelaEDIndicada

y(x)=8+e−x; dydx

+e−x=0

1.−Derivamoslafunción

dydx

=−e−x

2.−ReemplazamosladerivadadelafuncionenlaED

Sea: dydx+e−x=0

−e−x+e−x=0

0=0 (V )PorlotantoY (x)siessoluciondelaEDIndicada

13.−DemostrarquelafuncionessoluciondelaEDIndicada

y (x)=c1e−x+c2ex+c3e−2x+c4e2x; d4ydx4

−5d2ydx2

+4y=0

1.−Derivamoslafuncion,elnumerodederivadasquedebemosrealizarsonindicadasporlaED

dydx

=−c1e−x+c2ex−2c3e−2x+2c4e2x

d2ydx2=c1e

−x+c2ex+4c3e−2x+4c4e2x

d3ydx3=−c1e−x+c2ex−8c3e−2x+8c4e2x

d4ydx4=c1e

−x+c2ex+16c3e−2x+16c4e2x

2.−Reemplazamos d4ydx4 ,

d2ydx2 ,y (x )enlaED

Sea: d4ydx4

−5d2ydx2

+4y=0

c1e−x+c2ex+16c3e−2x+16c4e2x−5c1e−x−5c2ex−20c3e−2x−20c4e2x

+4c1e−x+4c2ex+4c3e−2x+4c4e2x=0

0=0 (V )Porlotantoy (x )siessoluciondelaEDIndicada

14.Verificarquey (t)=e−4tcos (5t)essolucionde:d2ydt2

+8dydt +25y=0

1.−Derivamoslafuncion,elnumerodederivadasnoindicalaED

dydt

=−4e−4tcos (5t)−e−4tsen(5t)

d2ydx2=16e

−4tcos (5t)−4e−4tsen (5t)+4e−4tsen (5t )−e−4tcos (5t)

d2ydx2=−9e−4tcos (5t )+40e−4tsen (5t )

2.−VerificamosReemplazando dydtyd2ydx2

enlaEDIndicada

Sea: d2ydt2 +8 dydt +25y=0

−9e−4tcos (5t)+40e−4tsen (5t )−32e−4tcos (5t)−8e−4tsen (5t)+¿

25e−4tcos (5t )=0

0=0 (V )Porlotantoy (x )siessoluciondelaEDIndicada

15.−DemostrarsilasiuientefuncionessoluciondelaED

d2ydt2 +(dydx )

2

=0;y (x)=ln (x+c)+c2;c1,c2=ktes

1.−Derivamoslafuncion,elnumerodederivadasarelizarnosindicalaED

dydx

=1

x+1

d2ydt2=

−1(x+c)2

2.−Reemplazamosdydx yd2ydt2

enlaEDIndicada

Sea: d2ydt2 +(dydx )

2

=0

−1(x+c)2

+1

(x+c )2=0

0=0 (V )Porlotantoy (x )siessoluciondelaED

DEMOSTRACIONES EN FORMA IMPLICITA

1.−DemostrarsilasiguientefuncionessolucionimplicitadelaED

xy3−xy3senx=1;dydx=(xcosx+senx−1 )y

3(x−xsenx)

1.−Empezamosobservandolafuncion,enestasepuedeverquelavariableahallaresta

implicitaenlafuncionlocualnoindicaquedebemosdespejarlahaciendounaderivada

implicitayasipoderdespejarla.

y3 (x−xsenx )=1

y3=1

(x−xsenx );y3=(x−xsenx )−1

3y2(dydx )=−1 (x−xsenx )−2(1−xcox−senx)

dydx=

(1+xcox+senx)

3(x−xsenx)y2 ∗y

y

dydx

=(1+xcox+senx)y3(x−xsenx)y3

dydx

=(−1+xcox+senx)y

3(x−xsenx)(x−xsenx )−1

2.−RealizamoslacomparacionentrelaYprimahalladaylaEDIndicada

Podemosobservarqueambassonigualesportantoconcluimos

(−1+xcox+senx)y3(x−xsenx)

=(xcosx+senx−1 )y

3(x−xsenx)

(V )LafuncionsiessolucionimplicitadelaED.

2.−Demostrarque:y2+x−3=0essolucionimplicitade: dydx

=−12y

Sea:y2+x−3=0

1.−Comenzamosrealizandoladerivadaimplicitadelafuncionparaeldespejededydx

2y dydx

+1=0; dydx

=−12y

2.−RealizamoslacomparacionconlaEDIndicada

Sea: dydx=

−12y

funcionhallada; dydx

=−12y

EDIndicada

−12y

=−12y (V )PortantolafuncionsiessolucionimplicitadelaEDindicada

3.−DemostrarquelafuncionsiessoluciondelaEDIndicada

4x2−y2=c;c=kte;y(dydx )−4x=0

1.−Comenzamosrealizandoladerivadaimplicitadelafuncionparaeldespejede dydx

8x−2y(dydx )=0

8x=2y(dydx )

dydx

=4xy


enlaEDIndicadaParasabersiessoluciondelaED

SealaED:y(dydx )−4x=0

(4xy )y−4x=0

4x−4x=0

0=0 (V )PorlotantolafuncionsiessolucionimplicitadelaEDIndicada

4.−Demuestreque:−2x2y−y2−1=0essolucionimplcita

de:2xydx+(x2−y )dy=0

1.−Empezamoshallando dydx

pormediodeladerivadaimplicitadelafuncion

−2x2y+y2−1=0

−4xy−2x2 dydx

+2y dydx

=0

−2x2 dydx

+2y dydx

=4yx

−2 dydx

(x2−y)=4yx

dydx

=4xy

−2(x2−y)

dydx

=−2xy(x2−y)

2.−DediboaquelaEDIndicadanoestadespejada dydx

procedemosadespejarla

Sea:2xydx+(x2−y )dy=0

dydx

=2xy

−(x2−y)

Unavezdespejada dydx

procedemosahacerlacomparacionparasabersiessolucionono.

2xy−(x2−y)

=2xy

−(x2−y)(V )PorlotantolafuncionsiessolucionimplicitadelaED.

5.−DemostrarquelafuncionessolucionimplicitadelaED

8xydx+(8y+4x2 )dy=0;2x2y+3y2=0

Sea:2x2y+3y2=0

1.−Derivamoslafuncionconelobjetivodehallar dydx

4xy+2x2 dydx

+6y dydx

=0

2x2 dydx

+6y dydx

=−4xy

dydx

(2x2+6y )=−4xy

dydx

= −4xy(2x2+6y)


nuestrahalladaenlaEDIndicada

8yx+(8y+4x2)( −4xy(2x2+6y ))=0

8xy+16x2+43y2+8x2−4xy=0

4xy+40yx2+48y2+2x4=0

0=0 (V )PorlotantonoessolucionimplicitadelaEDIndicada

6.−Demostrarquelasfuncionessonsolucionimplicita

delaEDIndicada

x=tet;y=e−t; (1+xy)dydx+y2

1.−Derivamosx (t)ytambieny(t)

dxdt

=et+tet

dydt

=−e−t

2.−Debidoaquetenemosdosfuncionesenfuncionde(t)estonosindicaquetieneparametros

comoyasabemostenemosqueencontrarunafuncion (Y )primatotallacualencontramosdela

siguientemanera:

dydt T=

−e−t

et(1+t)

dydt T=

−e−2t

(1+t)

3.−VerificamosreemplazandoenlaED

−e−2t

(1+t)(1+t )+e−2t=0

e−2t−e−2t=0

0=0 (V )Porlotantolasfuncionesx (t ),y (t)sisonsoluciondelaEDIndicada

7.−Demostrarque:y2+x−3=0essolucionimplicitade: dydx

=−12y

Sea:y2+x−3=0

1.−Comenzamosrealizandoladerivadaimplicitadelafuncionparaeldespejededydx

2y dydx

+1=0; dydx

=−12y

2.−RealizamoslacomparacionconlaEDIndicada

Sea: dydx=

−12y

funcionhallada; dydx

=−12y

EDIndicada

−12y

=−12y (V )PortantolafuncionsiessolucionimplicitadelaEDindicada


2exy+2y−2x=−2; dydx=e−x−y−ye−xy+x

1.−Empezamosderivandoimplicitamentelafunciondada

2exy(y+x dydx )+2dydx−2=−2

2exy(y+x dydx )+2dydx=0

2yexy+2x dydx

exy+2 dydx

=0

2x dydx

exy+2dydx

=−2yexy

dydx

(2xexy+2 )=−2yexy

dydx=

−2yexy

(2xexy+2 )

2.−Comoyatenemosdespejadodydx

debemosreemplazarloenlaEDIndicadaparasabersi

esonosolucionimplicitadelaEDlacondicionseraquecumplanlaigualdad.

−2yexy

(2xexy+2)=e−x−y−ye−xy+x

Comopodemosobservaralhacerelreemplazonoexisteunaigualdadportantodecimosque

es (F )porquenocumpleconlaigualdad

9.−DemostrarsilafuncionessoluciondelaEDDada.

x=y2+y;

dydx

∗d3y

dx3=3(d

2ydx2 )

2

1.−Comenzamosdespejando dydx

delafunciondada

1=2y dydx

+dydx

dydx

=1

2y+1

2.−DeterminamoselnumerodederivadasqueindicalaED

d2ydx2=

−2(2y+1)3

d3ydx3=

12(2y+1)3

ReemplazamosladerivadasenlaEDDada.

Sea:

dydx

∗d3y

dx3 =3(d2ydx2 )

2

( 12y+1)( 12

(2y+1 )3 )=3( −2(2y+1 )3 )

2

( 12(2y+1 )6 )=( 12

(2y+1)6 )

(V )PortantolafuncionsiessolucionimplicitadelaEDIndicada


2x2y+3y3=0; (8xy)dx+(8y+4x2 )dy=0


delafunciondadapormediodeunaderivadaimplicita

Sea:2x2y+3y3=0

4xy+2x2 dydx

+6y dydx

=0

dydx

(2x2+6y )=−4xy

dydx

= −4xy(2x2+6y)

2.−Despejamosdydx

delaEDproporcionada

dydx

= −8xy(8y+4x2)

Hacemoslacomparacionentre dydx

obtenidadelafunciony dydx

obtenidadela

EDProporcionadaylasigualamosparaversidaunaigualdad.

−4xy(2x2+6y)

= −8xy(8y+4x2)

(F )PorlotantolafuncionnoessoluciondelaED


−(2xy2−3)dx+ (2yx2+4 )dy=0;x2y2−3x+4y=0



Sea:x2y2−3x+4y=0

2xy2+2x2y dydx

−3+4 dydx

=0

2yx2 dydx

+4 dydx

=3−2xy2

dydx

(2yx2+4 )=3−2xy2

dydx=

3−2xy2

(2yx2+4)

2.−Encontramos dydx

delaEDIndicadahaciendoundespeje.

Sea:−(2xy2−3 )dx+(2yx2+4 )dy=0

dydx=

3−2xy2

(2yx2+4)

3.−Realizamoslacompraracionentre dydx

despejadodelaED dydx

Obtenidohaciendo

laderivadaimplicitadelafunciondad.

dydx=

3−2xy2

(2yx2+4)=dydx=

3−2xy2

(2yx2+4 )

(V )PorlotantolafuncionnoessoluciondelaEDindicada


8xydx+(8y+4x2 )dy=0;2x2y+3y2=0

Sea:2x2y+3y2=0

1.−Derivamoslafuncionconelobjetivodehallar dydx

4xy+2x2 dydx

+6y dydx

=0

2x2 dydx

+6y dydx

=−4xy

dydx

(2x2+6y )=−4xy

dydx

= −4xy(2x2+6y)


nuestrahalladaenlaEDIndicada

8yx+(8y+4x2)( −4xy(2x2+6y ))=0

8xy+16x2+43y2+8x2−4xy=0

4xy+40yx2+48y2+2x4=0

0=0 (V )PorlotantonoessolucionimplicitadelaEDIndicada


(2x+y )dx+(x+6y )dy=0;x2+xy+3y2=0



Sea:x2+xy+3y2=0

2x+y+xdydx

+6ydydx

=0

dydx (x+6y )=−(2x+y )

dydx=

− (2x+y)(x+6y)



Sea: (2x+y)dx+ (x+6y)dy=0

dydx=

− (2x+y)(x+6y)



Obtenidohaciendo


−(2x+y )(x+6y )

=−(2x+y )(x+6y )

(V )PorlotantolafuncionsiessoluciondelaEDIndicada


(4x−2)dx=(−6y−14)dy;2x2+2x−3y2−14y=0



Sea:2x2+2x−3y2−14y=0

4x−2−6y dydx

−14dydx

=0

dydx (−6y−14)=2−4x

dydx

=2−4x

−(6y−14)



Sea: (4x−2 )dx=(−6y−14)dy

dydx

= 2−4x−(6y−14)



Obtenidohaciendo


2−4x−(6y−14)

= 2−4x−(6y−14)



(2x+y )dx+(x−4y )dy=0;x2+xy−2y2=0



Sea:x2+xy−2y2=0

2x+y+xdydx

−4y dydx

=0

dydx

=−2x−y(x−4)



Sea: (2x+y)dx+ (x−4y )dy=0

dydx

=−2x−y(x−4)



Obtenidohaciendo


−2x−y(x−4)

=−2x−y(x−4)


PARTE 2

TIPO, VARIABLES ED ORDEN 2

1.−d2ydx2

+dydx+y=0

Orden=2

Tipo=EDHomogeneaCuadrática

Variables:x=Vi;y=Vd

2.−d2ydx2 +

dydx+y=senx

Orden=2

Tipo=EDNoHomogenea

Variables:x=Vi;y=Vd

3.−9d2ydx2

+2 dydx +3y=cos+senx

Orden=2

Tipo=EDNoHomogenea

Variables:x=Vi;y=Vd

4.−d2ydx2 +8 dydx +y=0

Orden=2


Variables:x=Vi;y=Vd

5.−d2Pdt2

+8x dPdt +6=2

Orden=2

Tipo=EDNoLineal

Variables:t=Vi;P=Vd

6.−d2ydt2 +t dydt +6t=2

Orden=2

Tipo=EDNoLineal

Variables:t=Vi;y=Vd

7.−d2ydt2 +t dydt +6t=2

Orden=2

Tipo=EDNoLineal

Variables:t=Vi;y=Vd

8.−2d2xdt2 +4 dxdt +6t=2

Orden=2

Tipo=EDNoLineal

Variables:t=Vi;x=Vd

9.−4.5d2zdw2+7.6x

dzdw−t=2cosw

Orden=2

Tipo=EDNoHomogenea

Variables:w=Vi;z=Vd

10.−d2kds2

+dkds=0

Orden=2


Variables:s=Vi;k=Vd

11.−d2xdy2 +

dxdy +x=0

Orden=2


Variables:y=Vi;x=Vd

12.−(1−x ) d2ydx2−4x

dydx +5y=cosx

Orden=2

Tipo=EDNoHomogenea

Variables:x=Vi;y=Vd

13.−(1+x2)d2ydx2

+2x dydx+7y=7x

Orden=2

Tipo=EDNoHomogenea

Variables:x=Vi;y=Vd

14.−d3ydx3 +

dydx+y=3cosx

Orden=2

Tipo=EDNoHomogenea

Variables:x=Vi;y=Vd

15.−d2ϕdα2+

dϕdα +ϕ=3x

Orden=2

Tipo=EDNoHomogenea

Variables:α=Vi;ϕ=Vd

SOLUCION DE ED ORDEN 2, POR INTEGRACION

1.−d2ydx2

=3x

dydx

+c1=3∫xdx+c2

dydx=

3x22 +k;Sea:k=c2−c1

∫dy+c3=32∫x2dx+c4+k∫dx+c5

y=x32

+kx+c;Sea:c=c4+c5−c3

2.−d2ydx2

=ex

dydx

+c1=∫exdx+c2

dydx

=ex+k;Sea:k=c2−c1

∫dy+c3=∫exdx+c4+k∫dx+c5

y=ex+kx+c;Sea:c=c4+c5−c3

3.−d2ydx2

=senx

dydx

+c1=∫senxdx+c2

dydx

=−cosx+k;Sea:k=c2−c1

∫dy+c3=−∫cosxdx+c4+k∫dx+c5

y=−senx+kx+c;Sea:c=c4+c5−c3

4.−d2ydh2 =mgh

dydh

+c1=mg∫hdh+c2

dydh=

mgh2

2+L;Sea:L=c2−c1

∫dy+c3=mg2 ∫h2dh+c4+L∫dh+c5

y=mgh3

2+Lh+c;Sea:c=c4+c5−c3

5.−d2ydt2

=ct2

dydh

+c1=c∫t2dt+c2

dydh=

ct33

+S;Sea:S=c2−c1

∫dy+c3=c2∫t3dt+c4+S∫dt+c5

y=ct48

+St+c;Sea:c=c4+c5−c3

6.−d2ydt2 =ct2+t+et

dydh

+c1=c∫t2dt+c2+∫tdt+c3+∫etdt+c4

dydh=

ct33

+t2

2+et+O;Sea:O=c2+c3+c4−c1

∫dy=∫ct33

+∫ t2

2+∫etdt+O∫dt

y=ct412

+ct3

6+et+Ot+c;Sea:c=c6+c7c8+c9−c5

7.−d2zdl2

=7l

dkdl

+c1=7∫ldl+c2

dzdl=

7l2

2+k;Sea:k=c2−c1

∫dz+c3=72∫l2dl+c4+k∫dl+c5

z=l32 +kl+c;Sea:c=c4+c5−c3

8.−d2pdr2=9r

dpdr

+c1=9∫rdr+c2

dpdr=

9r2

2+k;Sea:m=c2−c1

∫dp+c3=92∫r2dr+c4+m∫dr+c5

p=3r3

2+mr+a;Sea:a=c4+c5−c3

9.−d2udg2

=mag

dudg

+c1=ma∫gdg+c2

dudg=

mag2

2+L;Sea:L=c2−c1

∫du+c3=ma2 ∫g2dg+c4+L∫dg+c5

u=mag3

2 +Lg+c;Sea:c=c4+c5−c3

10.−d2ydm2

=cm2

dydh

+c1=c∫m2dm+c2

dydm=

cm33

+w;Sea:w=c2−c1

∫dy+c3=c2∫m3dm+c4+S∫dm+c5

y=cm4

8+wt+q;Sea:q=c4+c5−c3

11.−d2ydp2

=sen(p)

dydp

+c1=∫sen(p)dp+c2

dydp

=−cos (p)+h;Sea:h=c2−c1

∫dy+c3=−∫cos (p)dp+c4+k∫dp+c5

y=−sen(p)+kp+f;Sea:f=c4+c5−c3

12.−d2ydh2

=gh

dydh

+c1=g∫hdh+c2

dydh=

gh22

+j;Sea:j=c2−c1

∫dy+c3=g2∫h2dh+c4+j∫dh+c5

y=gh32

+jh+k;Sea:k=c4+c5−c3

13.−d2pdr2=r

dpdr

+c1=∫rdr+c2

dpdr=

r2

2 +w;Sea:w=c2−c1

∫dp+c3=12∫r2dr+c4+w∫dr+c5

p=1r3

6+wr+b;Sea:b=c4+c5−c3

14.−d2ydx2=te

x

dydx

+c1=t∫exdx+c2

dydx

=tex+k;Sea:k=c2−c1

∫dy+c3=t∫exdx+c4+k∫dx+c5

y=tex+kx+c;Sea:c=c4+c5−c3

15.−d2ydx2=xe

x

dydx

+c1=∫xexdx+c2

dydx

=xex−ex+k;Sea:k=c2−c1

∫dy+c3=t∫xexdx−∫exdx+¿c4+k∫dx+c5 ¿

y=xex−ex−ex+kx+c;Sea:c=c4+c5−c3

SOLUCION DE UNA ED ORDEN 2 CON VALOR INICIAL

1.−d2sdx2

=x;s (0 )=1;

dsdx

+c1=∫xdx+c2

dsdx=

x2

2+k;Sea:k=c2−c1

∫ds+c3=12∫x2dx+c4+k∫dx+c5

s=x32 +kx+c;Sea:c=c4+c5−c3

Sea:s (0 )=1

1=(0)3

2+k (0)+c

k+c=1

s=x32

+kx+1

2.−d2wdh2 =eh;w (0 )=0.5

dwdh

+c1=∫ehdh+c2

dwdh

=eh+c;Sea:c=c2−c1

∫dw+c3=∫ehdh+c4+k∫dh+c5

w=eh+kh+l;Sea:l=c4+c5−c3

Sea:w (0 )=0.5

0.5=e0+k(0)+l

l=0.5

w=eh+ch+0.5

3.−d2xdt2

=9sent;x (0)=2

dxdt

+c1=9∫sentdt+c2

dxdt

=−cost+k;Sea:k=c2−c1

∫dx+c3=−∫costdt+c4+k∫dt+c5

x=−sent+kt+c;Sea:c=c4+c5−c3

Sea:x (0 )=2

2=−sen(0)+k(0)+c

c=2

x=−sent+kt+2

4.−d2cdh2

=kwh;c (0)=3.5

dcdh

+c1=kw∫hdh+c2

dcdh=

kwh22

+L;Sea:L=c2−c1

∫dc+c3=kw2 ∫h2dh+c4+L∫dh+c5

c=kwh32

+Lh+k;Sea:k=c4+c5−c3

y (0)=3.5

3.5=kw(0)3

2+L(0)+k

k=3.5

c=kwh32

+Lh+3.5

5.−d2pdt2=ct2;p (1 )=0

dpdh

+c1=c∫t2dt+c2

dpdh=

ct3

3+S;Sea:S=c2−c1

∫dp+c3=c2∫t3dt+c4+S∫dt+c5

p=ct48

+St+c;Sea:c=c4+c5−c3

Sea:p (0 )=0.1

0.1=c(0)4

8+S(0)+c

c=0.1

p=ct48

+St+0.1

6.−d2ydt2

=ct2+t+et;y (0 )=1.4

dydh

+c1=c∫t2dt+c2+∫tdt+c3+∫etdt+c4

dydh=

ct33 +

t2

2 +et+O;Sea:O=c2+c3+c4−c1

∫dy=∫ct33

+∫ t2

2+∫etdt+O∫dt

y=ct412 +

t3

6 +et+Ot+p;Sea:p=c6+c7c8+c9−c5

Sea:y (0 )=1.4

1.4=c(0)4

12+(0)3

6+e0+O(0)+p

p=0.4

y=ct412 +

t3

6 +et+Ot+0.4

7.−d2zdl2

=7l;z (0 )=44

dkdl

+c1=7∫ldl+c2

dzdl=

7l2

2+k;Sea:k=c2−c1

∫dz+c3=72∫l2dl+c4+k∫dl+c5

z=l32

+kl+c;Sea:c=c4+c5−c3

Sea:z (0 )=44

44=(0)3

2+k(0)+c

c=44

z=l32

+kl+44

8.−d2pdr2=9r;p (0)=0.6

dpdr

+c1=9∫rdr+c2

dpdr=

9r2

2+k;Sea:m=c2−c1

∫dp+c3=92∫r2dr+c4+m∫dr+c5

p=3r3

2 +mr+a;Sea:a=c4+c5−c3

p (0 )=0.6

0.6=3(0)3

2+(0)r+a

a=0.6

p=3r3

2+mr+0.6

9.−d2idg2

=mag;i (0 )=2.2

didg

+c1=ma∫gdg+c2

didg=

mag2

2+L;Sea:L=c2−c1

∫di+c3=ma2 ∫g2dg+c4+L∫dg+c5

i=mag3

2+Lg+c;Sea:c=c4+c5−c3

Sea:u (0 )=2.2

2.2=ma(0)3

2+L(0)+c

c=¿2.2

i=mag3

2 +Lg+2.2

10.−d2zdm2=cm

2;z (0)=4.65

dzdh

+c1=c∫m2dm+c2

dzdm=

cm3

3+w;Sea:w=c2−c1

∫dz+c3=c2∫m3dm+c4+w∫dm+c5

z=cm48

+wm+r;Sea:r=c4+c5−c3

Sea:y (0 )=4.65

4.65=c(o)4

8+w(0)+q

r=4.65

z=cm48

+wm+4.65

11.−d2yds2

=sen (s);y (0 )=0.3

dyds

+c1=∫sen(s)ds+c2

dyds

=−cos (s)+h;Sea:h=c2−c1

∫dy+c3=−∫cos (s)ds+c4+k∫ds+c5

y=−sen(s)+ks+f;Sea:f=c4+c5−c3

Sea:y (0 )=0.3

0.3=−sen(0)+k(0)+f

f=0.3

y=−sen (s)+ks+0.3

12.−d2odh2=gh;y (0 )=0.9

dodh

+c1=g∫hdh+c2

dodh=

gh2

2+j;Sea:j=c2−c1

∫do+c3=g2∫h2dh+c4+j∫dh+c5

o=gh32

+jh+k;Sea:k=c4+c5−c3

Sea:y (0 )=0.9

0.9=g(0)2

+j(0)+k

k=0.9

o=gh32 +jh+0.9

13.−d2pdr2=r;y (0 )=0.8

dpdr

+c1=∫rdr+c2

dpdr=

r2

2 +w;Sea:w=c2−c1

∫dp+c3=12∫r2dr+c4+w∫dr+c5

p=1r3

6 +wr+b;Sea:b=c4+c5−c3

Sea:y (0 )=0.8

0.8=1(0)3

6 +w (0)+b

b=0.8

p=1r3

6+wr+0.8

14.−d2ydf2=te

f;y (0)=0.7

dydf

+c1=t∫efdf+c2

dydf

=tef+k;Sea:k=c2−c1

∫df+c3=t∫efdf+c4+k∫df+c5

y=tef+kf+c;Sea:c=c4+c5−c3

Sea:y (0 )=0.7

0.7=te0+k(0)+c

b=0.7

y=tef+kf+0.7

15.−d2kdx2

=xex;k (0 )=4.7

dydk

+c1=∫xexdx+c2

dkdx

=xex−ex+h;Sea:h=c2−c1

∫dk+c3=t∫xexdx−∫exdx+¿c4+k∫dx+c5¿

k=xex−ex−ex+kx+c;Sea:c=c4+c5−c3

Sea:y (0 )=4.7

4.7=0e0−e0−e0+k(0)+c

c=6.7

k=xex−ex−ex+kx+6.7

SOLUCION DE ED ORDEN 2 REDUCIBLE CAMBIO DE VARIABLE

1.−d2xdy2 +x(dxdy )

2

+x=0

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+xv2=0

dvdx

=−xv2

∫ dvv2 =−∫xdx

−1v =

−x2

2−c

v=−2

−x2−csacamosfactorcomun ¿

v=dydx

=2

x2+c

∫dy=2∫ dxx2+c

y=2(1k arctg( k√x ))+k

y=2karctg( k√x )+c

2.−2d2xdy2 +2 dxdy=e−x

d2xdy2 +

dxdy=

e−x

2

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+v=e−x

2P (x )=1;u (x )=ex

exv´+exv=e−xex2

∫d(¿ex.v)=12∫dx¿

ex.v=x2

+k2

v= x2ex

+ k2ex

;v=dydx

= x2ex+

k2ex

∫dy=12∫

xdxex +k∫ dx

2ex

Resolviendolasintegralesunaporpartesyotraportablasobtenemoslosiguiente

y=(−xe−x−e−x)

2−ke−x+mm=c3+c4−c2

3.−d2xdy2 +

dxdy=1

d2xdy2 +

dxdy=1

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+v=1; dvdx

=1−v

dv1−v

=dx;lnv+c1=x+c2;Sea:k=c2−c1

lnv=x+k;elnv=ex+k;Sea:ek=c

v=xc+k;v=dydx

=xc+k

∫dy=c∫xdx+k∫dx

y=cx2

2+kx+c

4.−d2xdy2

+(dxdy )2

=1

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+v2=0;v´=−v2;dvdx

=−v2

∫ dvv2 =−∫dx

−1v

+c1=−x+c2;−1v

=−x+kSea:k=c2−c1

−1−(x−k)

=v;v=dydx

=1

(x−k);dy=

dx(x−k)

∫dy=∫ dx(x−k)

;y+c3=ln(x−k )+c4

y=ln (x−k )+c

5.−d2xdy2 +x(dxdy )

2

+x=0

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+xv2=0

dvdx

=−xv2

∫ dvv2 =−∫xdx

−1v =

−x2

2−l

v=−2

−(x¿¿2−l)¿

v=dydx

= 2x2+l

∫dy=2∫ dxx2+l

y=2(1k arctg( k√x ))+k

y=2karctg( k√x )+l

6.−d2xdy2 +

dxdy=0

d2xdy2 +

dxdy=0

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+v=0; dvdx

=−v

dvv

=−dx;lnv+c1=−x+c2;Sea:k=c2−c1

lnv=−x+k;elnv=e−x+k;Sea:ek=c

v=−xc+k;v=dydx

=−xc+k

∫dy=c∫−xdx+k∫dx

y=−cx2

2+kx+c

7.−x2 d2ydx2

+2xdydx−1=0

d2ydx2 +2 dy

(x )dx=1x2

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+2vx

=1x2 ;P (x )=2

xu (x)=x2

x2v´+x2 2vx =

x2

x2

∫d (x2.v )=¿∫dx;x2.v=x+cSea:c=c2−c1 ¿

v=1x

+ cx2;v=dy

dx=1x

+ cx2

∫dy=∫ 1xdx+c∫ dx

x2

y=lnx+c4−cx

+c5−c3Sea:k=c4+c5−c3

y=lnx−cx

+k

8.−d2ydx2 +3(dydx )

2

=0

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+3v2=0;v´=−3v2

dvdx

=−3v2; dvv3 =−3dx

∫ dvv2 =−3∫dx;−

1v

+c1=3x+c2

−1v

=3x+kk=c2−c1

−13x+k

=v;v=dydx

=−13x+k

∫dy=−∫ dx3x+k

y=−13ln(3x+k)+c

9.−2d2xdy2

+2 dxdy=e−x

d2xdy2 +

dxdy=

e−x

2

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+v=e−x

2P (x )=1;u (x )=ex

exv´+exv=e−xex2

∫d(¿ex.v)=12∫dx¿

ex.v=x2

+k2

v= x2ex

+ k2ex

;v=dydx

= x2ex+

k2ex

∫dy=12∫

xdxex +k∫ dx

2ex

Resolviendolasintegralesunaporpartes


2−ke−x+cc=c3+c4−c2

10.−d2zdt2+

dzdt=0

d2zdt2+

dzdt=0

v=dzdt v´=

d2zdt2

v´+v=0; dvdt

=−v

dvv

=−dt;lnv+c1=−t+c2;Sea:k=c2−c1

lnv=−t+k;elnv=e−t+k;Sea:ek=c

v=−tc+k;v=dzdt

=−tc+k

∫dz=c∫−tdt+k∫dt

z=−ct22

+kt+c

11.−d2xdy2 +7 dxdy=0

d2xdy2 +

dxdy=0

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+7v=0; dvdx

=−7v

dvv

=−7dx;lnv+c1=−7x+c2;Sea:k=c2−c1

lnv=−7x+k;elnv=e−7x+k;Sea:ek=c

v=−7xc+k;v=dydx

=−7xc+k

∫dy=c∫−7xdx+k∫dx

y=−7cx2

2+7kx+c

12.−3 d2xdy2

+3 dxdy=e−x

d2xdy2 +

dxdy=

e−x

3

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+v=e−x

3P (x )=1;u (x )=ex

exv´+exv=e−xex3

∫d(¿ex.v)=13∫dx¿

ex.v=x3

+k3

v=x3ex

+k3ex

;v=dydx

=x3ex+

k3ex

∫dy=13∫

xdxex +k∫ dx

3ex

Resolviendolasintegralesobtenemoslosiguiente


3−k3e

−x+ctecte=c3+c4−c2

13.−d2wdz2

+(dwdz )2

=1

v=dwdz v´=

d2wdz2

v´+v2=0;v´=−v2;dvdz

=−v2

∫ dvv2 =−∫dz

−1v

+c1=−z+c2;−1v

=−z+hSea:h=c2−c1

−1−(z−h)

=v;v=dwdz

=1

(z−h);dy= dw

(z−h)

∫dw=∫ dx(z−h)

;y+c3=ln(z−h)+c4

w=ln (z−h )+c

14.−d2wdz2

+(dwdz )3

=0

v=dwdz v´=

d2wdz2

v´+v3=0;v´=−v3

∫ dvv3 =−∫dx

1v2

=2x−2k; 12x−2k

=v2Sea:h=c2−c1

v=√ 12x−2k

;v=dydx

=√ 12x−2k

∫dy=∫√ 12x−2k

dx

Resolviendolaintegralporsustitucionsimpletenenmos

y=1√2 ( 1

2x−2k )3/2

+c

15.−t2 d2hdt2

+2tdhdt−1=0

d2hdt2+2

dh(t)dt

=1t2

v=dhdt v´=

d2hdt2

v´+2vt

= 1t2;P (t )=2

tu (t )=t2

t2v´+t2 2vt =t2t2

∫d (t2.v )=¿t;t2.v=t+cSea:c=c2−c1¿

v=1t

+ ct2 ;v=dh

dt=1t

+ ct2

∫dh=∫ 1tdt+c∫ dt

t2

h=lnt+c4−ct


h=lnt−ct

+k

SOLUCION ED ORDEN 2, REDUCCION DE ORDEN CON VALORES INICIALES

1.−d2ydx2

−dydx=0;y (0 )=1;y (0.5)=3

v=dydx v´=

d2ydx2

v´−v=0v´=v dvdx

=v

dvdv

=dx∫ dvdv

=∫dxlnv+c1=x+c2;Sea:k=c2−c1

lnv=x+kelnv=ex+kv=exekSea:c=ek

v=excv=dydx

=exc;∫dy=c∫exdxy+c3=cex+c4

Sea:P=c4−c3

y=cex+lSea:y (0)=1

1¿1=c+l

y=cex+lSea:y (0.5 )=3

2¿3=1.6c+l

1¿1=c+l

2¿3=1.6c+l

Resolvemoselsistemasdeecuacionesparahallarc1yc2ytenemoslosiguiente:

c=3.33;l=−2.33

y=3.33ex−2.33

2.−d2PdQ2

+dPdQ=1;y (0)=0.5;y (0.1 )=1

d2PdQ2+

dPdQ=1

v=dPdQ v´=

d2PdQ2

v´+v=1; dvdQ

=1−v

dv1−v


lnv=x+k;elnv=eQ+k;Sea:ek=c

v=Qc;v=dPdQ

=Qc

∫dP=c∫QdQ

P=cQ22

+k Sea:y (0 )=0.5

0.5=c (0.5 )2

2+k

1¿0.5=0.12c+k

P=cQ22

+k Sea:y (0 )=0.7

0.7=c (0 )2

2+k

2¿k=0.5

1¿0.7=0.12c+k

2¿k=0.7

Resolvemoselsistemadeecuacionesytenemoslosvaloresdecyk

c=16.66;k=0.7

P=16.66Q2

2+0.7

3.−3d2xdy2 +3 dxdy=e−x;y (0 )=5;y (1)=1

d2xdy2 +

dxdy=

e−x

3

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+v=e−x

3P (x )=1;u (x )=ex

exv´+exv=e−xex3

∫d(¿ex.v)=13∫dx¿

ex.v=x3

+k3

v=x3ex

+k3ex

;v=dydx

=x3ex+

k3ex

∫dy=13∫

xdxex +k∫ dx

3ex



3−k3e

−x+ss=c3+c4−c2

Sea:y (0 )=5

y=(−xe−x−e−x )

3−k3e

−x+s

5=(−(0)e−0−e−0 )

3−k3e

−0+s

1¿163

=−k3

+s

Sea:y (1 )=1


3−k3e

−x+s

5=(−(1)e−1−e−1 )

3−k3e

−1+s

2¿5.73=−0.12k+s

1¿5.33=−0.33k+s

2¿5.73=−0.12k+s

Resolvemoselsistemadeecuacionesparaencontrarelvalorrealdekys

k=1.90;s=1.98


3−0.63e−x+1.98

4.−s2 d2rds2

+2sdrds−1=0;r (1)=0;r (2 )=1

d2rds2 +2 dr

(s )ds=1s2

v=drds v´=

d2rds2

v´+2vs

= 1s2;P (s )=2

su (s )=s2

s2v´+s2 2vs =s2s2

∫d (s2.v )=¿s;s2.v=s+cSea:c=c2−c1¿

v=1s

+ cs2 ;v=dr

ds=1s

+ cs2

∫dr=∫ 1sds+c∫ ds

s2

r=lns+c4−cs


r=ln (s)−cs

+k

Sea:r (1 )=0

0=ln(1)−c1

+k

1¿0=−c+k

Sea:r (2 )=1

0=ln(2)−c2

+k

2¿−0.7=−0.5+k

Resolvemoselsistemadeecuacionesparaencontrarelvalordecyk

1¿0=−c+k

2¿−0.7=−0.5c+k

c=−1.4;k=1.4

r=ln (s )+1.4s+1.4

5.−d2xdy2

+dxdy=0;y (0 )=0.1;y (2 )=1

d2xdy2 +

dxdy=0

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+v=0; dvdx

=−v

dvv



v=−xc;v=dydx

=−xc

∫dy=c∫−xdx

y=−cx2

2+k

Sea:y (0 )=0.1

0.1=−c(0)2

2+c

k=0.1

Sea:y (2 )=1

1=−c (2 )2

2+0.1

c=0.45

y=−0.45x2

2+0.1

6.−d2zdw2

+dzdw=0;y (1 )=0.1;y (1)=1

d2zdw2+

dzdw=0

v=dzdw v´=

d2zdw2

v´+v=0; dvdw

=−v

dvv

=−dw;lnv+c1=−w+c2;Sea:k=c2−c1

lnv=−w+k;elnv=e−w+k;Sea:ek=c

v=−wc;v=dzdw

=−wc

∫dz=c∫−wdw

z=−0.5w2+k

Sea:y (1 )=0.1

0.1=−c(1)2

2+c

k=0.015

Sea:y (1 )=1

1=−c (1 )2

2+0.1

c=0.27

z=−0124w2+0.015

7.−d2ydx2

−dydx=0;y (0 )=1;y (0.5)=3

v=dydx v´=

d2ydx2

v´−v=0v´=v dvdx

=v

dvdv

=dx∫ dvdv



v=excv=dydx


Sea:P=c4−c3

y=cex+lSea:y (0)=1

1¿1=c+l


2¿3=1.6c+l

1¿1=c+l

2¿3=1.6c+l


c=3.33;l=−2.33

y=3.33ex−2.33

8.−d2bdf2 +

dbdf=1;b (0 )=0.1;b (0 )=1

d2bdf2+

dbdf=1

v=dbdf v´=

d2bdf2

v´+v=1; dvdf

=1−v

dv1−v

=df;lnv+c1=f+c2;Sea:k=c2−c1

lnv=f+k;elnv=ef+k;Sea:ek=c

v=fc;v=dbdf

=Qc

∫db=c∫fdf

b=cf2

2+k Sea:b (0 )=0.1

0.1=c (0 )2

2+k

1¿0.1=k

b=cf2

2 +k Sea:b (0 )=1

1=c (0 )2

2+k

2¿k=2

1¿1=0.12c+k

2¿k=2


c=0.36;k=2

b=0.36f2

2+2

9.−j2 d2rdj2

+2jdrdj−1=0;r (1)=0;r (2 )=1

d2rdj2 +2 dr

(j )dj=1s2

v=drdj v´=

d2rdj2

v´+2vj

=1j2;P (j )=2

ju (j )=j2

j2v´+j2vj =j2

j2

∫d (j2.v )=¿s;j2.v=j+cSea:c=c2−c1¿

v=1j

+ cj2 ;v=dr

dj=1j

+ cj2

∫dr=∫ 1jdj+c∫ dj

j2

r=lnj+c4−cj


r=ln (j)−cs

+k

Sea:r (0.1 )=2

0=ln(0.1)−c1

+k

1¿2=−2c+k

Sea:r (1 )=1

0=ln(1)−c2

+k

2¿1=−0.5+k


1¿2=−c+k

2¿−1=−0.5c+k

c=−2.5;k=0.14

r=ln (j )−2.5j

∗2.5

10.−d2ydx2−

dydx=0;y (0 )=1;y (0.5 )=3

v=dydx v´=

d2ydx2

v´−v=0v´=v dvdx

=v

dvdv

=dx∫ dvdv



v=excv=dydx


Sea:P=c4−c3

y=cex+lSea:y (0)=1

1¿1=c+l


2¿3=1.6c+l

1¿1=c+l

2¿3=1.6c+l


c=3.33;l=−2.33

y=3.33ex−2.33

11.−d2PdQ2+

dPdQ=1;y (0 )=0.5;y (0.1 )=1

d2PdQ2+

dPdQ=1

v=dPdQ v´=

d2PdQ2

v´+v=1; dvdQ

=1−v

dv1−v


lnv=x+k;elnv=eQ+k;Sea:ek=c

v=Qc;v=dPdQ

=Qc

∫dP=c∫QdQ

P=cQ22

+k Sea:y (0 )=0.5

0.5=c (0.5 )2

2+k

1¿0.5=0.12c+k

P=cQ22 +k Sea:y (0 )=0.7

0.7=c (0 )2

2+k

2¿k=0.5

1¿0.7=0.12c+k

2¿k=0.7


c=16.66;k=0.7

P=16.66Q2

2 +0.7

12.−3 d2xdy2

+3 dxdy=e−x;y (0 )=5;y (1 )=1

d2xdy2 +

dxdy=

e−x

3

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+v=e−x

3P (x )=1;u (x )=ex

exv´+exv=e−xex3

∫d(¿ex.v)=13∫dx¿

ex.v=x3

+k3

v=x3ex

+k3ex

;v=dydx

=x3ex+

k3ex

∫dy=13∫

xdxex +k∫ dx

3ex



3 −k3 e

−x+ss=c3+c4−c2

Sea:y (0 )=5


3−k3e

−x+s

5=(−(0)e−0−e−0 )

3−k3e

−0+s

1¿ 163

=−k3

+s

Sea:y (1 )=1


3−k3e

−x+s

5=(−(1)e−1−e−1 )

3−k3e

−1+s

2¿5.73=−0.12k+s

1¿5.33=−0.33k+s

2¿5.73=−0.12k+s

Resolvemoselsistemadeecuacionesparaencontrarelvalorrealdekys

k=1.90;s=1.98


3−0.63e−x+1.98

13.−s2 d2mds2+2s

dmds−1=0;m (1.1 )=0.1;m (0.2 )=1

d2mds2 +2 dm

(s)ds=1s2

v=dmds v´=

d2mds2

v´+2vs

= 1s2;P (s )=2

su (s )=s2

s2v´+s2 2vs =s2s2

∫d (s2.v )=¿s;s2.v=s+cSea:c=c2−c1¿

v=1s

+cs2 ;v=

drds

=1s

+cs2

∫dm=∫1sds+c∫ ds

s2

m=lns+c4−cs


m=ln(s)−cs

+k

Sea:m (1.1 )=0.1

0=ln(1)−c1

+k

1¿0=−c+k

Sea:m (0.2 )=1

0=ln(0.22)−c2

+k

2¿1=−1.1+k


1¿0=−c+k

2¿1=−1.1c+k

c=−2.8;k=3.6

m=−2.8ln (s )+3.6s+3.6

14.−d2xdy2 +

dxdy=0;y (0)=0.1;y (2 )=1

d2xdy2 +

dxdy=0

v=dydx v´=

d2ydx2

v´+v=0; dvdx

=−v

dvv



v=−xc;v=dydx

=−xc

∫dy=c∫−xdx

y=−cx2

2 +k

Sea:y (0 )=0.1

0.1=−c(0)2

2 +c

k=0.1

Sea:y (2 )=1

1=−c (2 )2

2+0.1

c=0.45

y=−0.45x2

2 +0.1

15.−d2hdw2+

dhdw=0;h (1)=0.1;h (1 )=1

d2hdw2+

dhdw=0

v=dhdw v´=

d2hdw2

v´+v=0; dvdw

=−v

dvv

=−dw;lnv+c1=−w+c2;Sea:k=c2−c1

lnv=−w+k;elnv=e−w+k;Sea:ek=c

v=−wc;v=dhdw

=−wc

∫dh=c∫−wdw

h=−0.5w2+k

Sea:y (1 )=0.1

0.1=−c(1)2

2+c

k=0.615

Sea:y (1 )=1

1=−c (1 )2

2+0.1

c=0.33

h=−0.33h2+0.615

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES (EDL) CON VALOR INICIAL

1.- secp drdp−r.cscp=secpcscp;r (0)=1

drdp

−cotp.r=cscp

P(p)= -cotp U(p) = e∫p (p)dp U(p)= 1senp = cscp

∫d(cscp.r)=¿∫csc2pdp¿

cscp.r=−cotp+C

y=−cotpcscp

– Ccscp

Sea:r (0 )=3

3=−cot (0)csc (0)

– Ccsc (0)

c=3

y=−cotϕcscϕ

– 3cscϕ

2.−dydx

−2y=e2x;y (1 )=3

P(x)= - 2 U(x) = e∫p (x)dx U(x)=e−2x

e−2x dydx

−e−2x yx

=1

∫d (e−2x.y )=∫dx

e−2x.y=x+C

y=xe2x+e2xC

Sea:y (1 )=3

3=1e2(1)+e2 (1)C

c=−0.6

y=xe2x−0.6e2x

3.-t dydt+3yt

=t3+4t+2t2;Sea:Y (1)=0

dydt

+3yt

=t2+4+2t

P(t)= 3/t U(t) = e∫p (t)dt U(t)=t3

t3dydt

+t3 yt=t6+4t3+2t5

∫d (t3.y )=∫t6+4t3+2t5dt

t−2.y=t7

7 +t4+t6

3 +C

y=t97

+t6+t8

3+t2C

Sea:y (1 )=0

0=197

+16+18

3+12C

c=−1.47

y=t97

+t6+t8

3−1.47t2

4.-(x2+1) dydx

+2xy=x2+2x;Seay (2)=1

dydx+

2xy(x2+1)

=2x

(x2+1 )+

x2

(x2+1 )

P(x)= -2x

(x2+1 ) U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x2+1

∫d(x¿¿2+1).y ¿=∫x2+2xdx

(x¿¿2+1).y=x3

3+x

2+C ¿

y=x3

3(x¿¿2+1)+x2

(x¿¿2+1)+C

(x¿¿2+1)¿¿¿

Seay (2 )=1

1=(2)3

3((2)¿¿2+1)+(2)2

((2)¿¿2+1)+C

((2)¿¿2+1)¿¿¿

c=1.65

y=x3

3(x¿¿2+1)+x2

(x¿¿2+1)+1.65

(x¿¿2+1)¿¿¿

5.-3 dydx+12y=4;Sea:y (1)=3

dydx

+4y=43

P(x)= 4 U(x) = e∫p (x)dx U(x)=4x

4x dydx−16x=16x

∫d(x.y)=∫16xdx

x.y=8x2+C

y=8x+cx

Sea:y (1 )=3

3=8(1)+c

(1)

c=−5

y=8x−5x

6.-2 dsdw+20s=2;Sea:s (0)=1

dsdw

+10s=1

P(w)= 10 U(w) = e∫p (w )dw U(w)=e10w

e10w dsdx

−e10ws=e10w

∫d(e510s)=w

e10w.s=e10w5

+C

s=1

5+ ce10w

Sea:s (0 )=1

1=15+ ce10(0)

c=0.8

s=

15+0.8e10w

7.-z.dx=(zsenz−x)dz;Sea:x (1 )=2

dxdz

z+x=zsenz

dxdz

+xz

=senz

P(z)= 1/z U(z) = e∫p (z)dz U(z)=z dydz−y=zsenz

∫d(z.x)=∫zsenzdz

z.x = 1z¿ +C

x=senzz

−cosz+cz

Sea:x (1 )=2

x=sen(1)

(1)−cos (1)+

c(1)

c=1.69

x=senzz

−cosz+1.69z

8.-−2y−2xdydx

+3=2y;Sea:y (1)=0.7

dydx

+2yx

=3

−2x

P(x)= 2/x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x2

x2 dydx−

2yx =

3x2

−2x

∫d(x2.y)=∫ 3x−2

dx

x2.y = 3x2

−4+C

y=34

+ cx2

Sea:y (1 )=0.7

0.7=34

+ c(0.7)2

c=−0.035

y=34−0.035

x2

9.-8x2 dydx

+ (2−4x )y=2xex;Sea:y (1)=0

dydx+

(2−4x)8x2 y=

ex

4x

P(x)= (2−4x )8x2

U(x) = e∫p (x)dx U(x)=−1lnx−1/4

4

−1lnx−14

4. dydx−

−1lnx−14

4.2yx =

−1lnx−14

4. 3x2

−2x

−1lnx−14

4 .y=+C

y=1lnx

−14

4

Sea:y (1 )=0

0=1ln(1)

−14

4

c=3

y=1lnx

−14

4+3

10.-x dydx−2y=x−3;Sea:y (1 )=0.3

dydx

−2yx

=x−4

P(x)= - 2/x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x−2

x−2 dydx

−x−2 yx

=x−6

∫d (x−2.y )=∫x−6dx

x−2.y=x−5

−5+C

y=x−3

−5+x2C

Sea:y (1 )=0.3

0.3=1−3

−5 +12C

c=0.1

y=x−3

−5+0.1x2

11.-1xdydx

−2yx2

=xcosx;Sea:y (0)=0.2

dydx

−2yx

=x2cosx

P(x)= - 2x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x−2

x−2dydx −

2yx−2

x =cosx

∫d (x−2y )=∫cosxdx

y=x2senx+Cx2

Sea:y (0 )=0.2

0.2=02sen0+Cx

2

c=0.2

y=x2senx+0.2x

12.-dydx

=yx

+2x+1;Sea:y (1 )=0.6

dydx

−yx

=2x+1

P(x)= - 1x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x−1

x−1 dydx

−x−1 yx

=x−1(2x+1)

∫d (x−1y )=∫2+¿x−1dx¿

x−1y=2x+lnx+C

y=2x2+¿

Sea:y (1 )=0.6

0.6=2(1)2+¿

c=−1.4

y=2x2+¿

13.-dydx

−2y=e2x;Sea:y (0 )=0.2

P(x)= - 2 U(x) = e∫p (x)dx U(x)=e−2x

e−2x dydx

−e−2x yx

=1

∫d (e−2x.y )=∫dx

e−2x.y=x+C

y=xe2x+e2xC

Sea:y (0 )=0.2

0.2=(0)e2(0)+e2 (0)C

c=0.2

y=xe2x+0.2e2x

14.-x dydx−2y=x−3;Sea:y (1.1 )=0.1

dydx

−2yx

=x−4

P(x)= - 2/x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x−2

x−2 dydx

−x−2 yx

=x−6

∫d (x−2.y )=∫x−6dx

x−2.y=x−5

−5+C

y=x−3

−5 +x2C

Sea:y (1.1 )=0.1

0.1=(1.1)−3

−5 +(1.1)2C

c=−0.25

y=x−3

−5−0.25x2

15.-x dydx+3yx

=x3+4x+2x2;Sea:y (2 )=3

dydx

+3yx

=x2+4+2x

P(x)= 3/x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x3

x3 dydx

+x3 yx

=x6+4x3+2x5

∫d (x3.y )=∫x6+4x3+2x5dx

x−2.y=x7

7+x4+

x6

3+C

y=x97 +x6+

x8

3 +x2C

Sea:y (2 )=3

3=(2)9

7 +(2)6+(2)8

3 +(2)2C

c=−54.8 ; y=x97

+x6+x8

3−54.8x

METODO DE SOLUCION ED, MEDIANTE DERIVADAS CUADRATICAS

1.−(dydx )2

−2y(dydx )=y2(ex−1)

(dydx )2

−2y(dydx )−y2 (ex−1 )=0;a=1;b=−2y:−y2 (ex−1)

dydx=2y± √4y2−4 (1 )(e¿¿xy2+y2)

2 ¿

dydx

=2y±√exy2

2

dydx

=y±y√ex

dydx

=y (1+√ex)

∫dy=∫(1+√ex )dx

lny=x+k+2ex2

elny=ex+k+2ex2;y=ex+2e

x2ek;Sea=c=ek

y=cex+2ex/2

2.−4(dydx )2

=9x

(dydx )2

=9x4

dydx

=32 √x

∫dy=32∫√xdx

y+c1=(x)3/2+c2;Sea=k=c2−c1

y=(x)3/2+k

3.−(dydx )2

−2x(dydx )−8x2=0

a=1;b=−2x;c=−8x2

dydx

=2x+√4x2+32x2

2

∫dy=∫(x+√402

x)dx

y+c1=x2

2+ √40

2x22

+c2+c3;Sea:k=c2+c3−c1

y=¿ x2

2+ √40

4x2+k

4.−(dydx )2

−2x(dydx )−4x2=0

a=1;b=−2x;c=−4x2

dydx

=2x+√4x2+16x2

2

∫dy=∫(x+√202

x)dx

∫dy=∫xdx+¿ √202 ∫xdx¿

y+c1=x2

2+ √40

2x22


y=¿ x2

2+ √20

4x2+k

5.−(dydx )3

−y(dydx )2

−x2(dydx )2

+x2y=0

(dydx )3

−y(dydx )2

=x2(dydx )2

−x2y

(dydx )2

(dydx−y)=x2(dydx−y)

(dydx )2

=

x2(dydx−y)(dydx−y)

(dydx )2

=¿ x2

dydx

=x;∫dy=∫xdx

y+c1=x2

2+c2;Sea:k=c2−c1

y=x22 +k

6.−16(dydx )2

=9x2

(dydx )2

=9x2

16

dydx=√9x2

16

dydx

=3x4;∫dy=3

4∫xdx

y+c1=3x28

+c2;Sea:k=c2−c1

y=3x2

8+k

7.−(dydx )2

−2y(dydx )=y2(ex−1)

(dydx )2

−2y(dydx )−y2 (ex−1 )=0;a=1;b=−2y:−y2 (ex−1)

dydx=2y± √4y2−4 (1 )(e¿¿xy2+y2)

2 ¿

dydx

=2y±√exy2

2

dydx

=y±y√ex

dydx

=y (1+√ex)


lny=x+k+2ex2


x2ek;Sea=c=ek

y=cex+2ex/2

8.−25(dydx )2

=16x

(dydx )2

=16x25

dydx

=45 √x

∫dy=45∫√xdx

y+c1=45

(x)3/2

+c2;Sea=k=c2−c1

y=45

(x)3 /2+k

9.−(dtdr )2

−2t(dtdr )=t2(er−1)

(dtdr )2

−2t(dtdr )−t2 (er−1 )=0;a=1;b=−2t:−t2 (er−1)

dtdr=2t± √4t2−4 (1 )(e¿¿rt2+t2)

2¿

dtdr

=2t±√ert2

2

dtdr

=t±t√er

dtdr

=t (1+√er )

∫dt=∫(1+√er )dr

lnt=r+k+2er2

elnt=er+k+2er2;y=er+2e

r2ek;Sea=c=ek

t=cer+2er/2

10.−(dpdv )3

−p(dpdv )2

−v2(dpdx )2

+v2p=0

(dpdv )3

−p(dpdv )2

=v2(dpdv )2

−v2p

(dpdv )2

(dpdv−p)=v2(dpdv−p)

(dpdv )2

=

v2(dpdv−p)(dpdv−p)

(dpdv )2

=¿ v2

dpdv

=v;∫dp=∫vdv

p+c1=v2

2+c2;Sea:k=c2−c1

p=0.5v2+k

11.−9(dwdp )2

=4p

(dwdp )2

=4p9

dwdp

=23 √p

∫dw=23∫√pdp

w+c1=(p)3 /2+c2;Sea=k=c2−c1

w=23

3√p2+k

12.−(dudl )2

−l(dudl )−3l2=0

a=1;b=−l;c=−3l2

dudl

=l+√l2+12l2

2

∫du=∫(l+ √132

l)dl

∫du=∫ldl+¿ √132 ∫ldl¿

u+c1=l2

2+ √13

2l2

2+c2+c3;Sea:k=c2+c3−c1

u=¿ l2

2+ √13

4l2+k

13.−2y(dqdt )+(dqdt )2

=(et−1)q2

(dqdt )2

−2q(dqdt )−t2 (et−1 )=0;a=1;b=−2y:−q2 (et−1)

dqdt=2q± √4q2−4 (1) (e¿¿tq2+q2)

2¿

dqdt

=2q±√etq2

2

dqdt

=q±q√et

dqdt

=q (1+√et )

∫dq=∫(1+√et )dt

lnq=t+k+2e0.5t

elnq=et+k+2e0.5t;q=et+2e0.5tek;Sea=c=ek

q=cet+2e0.5t

14.−36(dϕdt )2

=100t

(dϕdx )2

=100t36

dϕdt

=106 √t

∫dϕ=106 ∫√tdt

ϕ+c1=106

(t)3 /2

+c2;Sea=k=c2−c1

ϕ=1.66 3√t2+k

15.−(dhdi )3

−h(dhdi )2

−x2(dhdi )2

+i2h=0

(dhdi )3

−h(dhdi )2

=i(dhdi )2

−hi

(dhdi )2

(dhdi−h)=x2(dhdi−h)

(dhdi )2

=

i2(dhdi−h)(dhdi−h)

(dhdi )2

=¿ i2

dhdi

=x;∫dh=∫idi

h+c1=i2

2 +c2;Sea:k=c2−c1

h=0.5i2+k

METODO DE SOLUCION ED, MEDIANTE DERIVADAS CUADRATICAS, VALORESINCIALES

1.−(dydx )2

=x;y (0 )=3

(dydx )2

=x

dydx

=√x

∫dy=∫√xdx

y+c1=(x)3/2+c2;Sea=k=c2−c1

y=3√x+k

Sea:y (0 )=3

3=3√0+k

k=3

y=3√x+3

2.−(dtdr )2

−2t(dtdr )=t2 (er−1 );t (0)=2.3

(dtdr )2

−2t(dtdr )−t2 (er−1 )=0;a=1;b=−2t:−t2 (er−1)

dtdr=2t± √4t2−4 (1 )(e¿¿rt2+t2)

2 ¿

dtdr

=2t±√ert2

2

dtdr

=t±t√er

dtdr

=t (1+√er )

∫dt=∫(1+√er )dr

lnt=r+k+2er2

elnt=er+k+2er2;y=er+2e

r2ek;Sea=c=ek

t=cer+2er/2

Sea:t (0 )=2.3

2.3=ce0+2e0 /2

c=2.3

t=2.3er+2er /2

3.−(dpdv )3

−p(dpdv )2

−v2(dpdx )2

+v2p=0;p (0)=0.1

(dpdv )3

−p(dpdv )2

=v2(dpdv )2

−v2p

(dpdv )2


(dpdv )2

=


(dpdv )2

=¿ v2

dpdv

=v;∫dp=∫vdv

p+c1=v2

2 +c2;Sea:k=c2−c1

p=0.5v2+k

p (0 )=0.1

0.1=0.5(0)2+k

k=0.1

p=0.5v2+0.1

4.−(dwdp )2

=p;w (1)=0

(dwdp )2

=p

dwdp

=√p

∫dw=∫ √pdp

w+c1=(p)3 /2+c2;Sea=k=c2−c1

w=3√p2+k

w (1)=0

0=3√12+k

k=−1

w=3√p2−1

5.−(dudl )2

−l(dudl )−l2=0;u (0)=1.1

a=1;b=−l;c=−3l2

dudl

=l+√l2+4l2

2

∫du=∫ (l+ √52l)dl

∫du=∫ldl+¿ √132 ∫ldl¿

u+c1=l2

2+ √52l22


u=¿ 0.5l2+0.55l2+k

Sea: u (0 )=1.1

1.1=¿ 0.5(0)+0.55(0)2+k

k=1.1

u=¿ 0.5l2+0.55l2+1.1

6.−2q(dsdt )+(dsdt )2

=(et−1 )s2;s (2 )=1

(dsdt )2

−2s(dsdt )−t2 (et−1 )=0;a=1;b=−2s:−s2 (et−1)

dsdt=2s± √4s2−4 (1)(e¿¿ts2+s2)

2¿

dsdt

=2s±√ets2

2

dsdt

=s±s√et

dsdt

=s (1+√et )

∫ds=∫(1+√et )dt

lns=t+k+2e0.5t

elns=et+k+2e0.5t

s=et+2e0.5tek;Sea=c=ek

s=cet+2e0.5t

Sea:s (2 )=1

1=ce2+2e0.5 (2)

c=0.60

s=0.60et+2e0.5t

7.−(dzdt )2

=5t;z (2 )=0

(dzdx )2

=5t

dzdt

=5√t

∫dz=5∫√tdt

z+c1=5(t)3 /2+c2;Sea=k=c2−c1

z=5 3√t2+k

Sea.z (2 )=0

0=5 3√(2)2+k

k=−7.93

z=5 3√t2−7.93

8.−(dldv )3

−h(dldv )2

−h2(dldv )2

+i2v=0;l (1 )=2

(dldv )3

−l(dldv )2

=v(dldv )2

−hv

(dldv )2

(dldv−l)=v2(dldv−l)

(dldv )2

=

v2(dldv−l)(dldv−l)

(dldv )2

=¿ v2

dldv

=v;∫dl=∫vdv

l+c1=0.5v2+c2;Sea:k=c2−c1

l=0.5v2+k

Sea:l (1 )=2

2=0.5(1)2+k

k=1.5

l=0.5v2+1.5

9.−(dpdv )4

−p(dpdv )3

−v2(dpdx )2

+p=0;Sea:p (0)=1

(dpdv )4

−p(dpdv )3

=v2(dpdv )2

−v2p

(dpdv )2


(dpdv )2

=


(dpdv )2

=¿ v2

dpdv

=v;∫dp=∫vdv

p+c1=v2

2+c2;Sea:k=c2−c1

p=0.5v2+k

Sea:p (0 )=1

1=0.5(0)2+k

k=1

p=0.5v2+1

10.−9(dwdp )2

=4p;w (2)=1

(dwdp )2

=4p9

dwdp

=23 √p

∫dw=23∫√pdp

w+c1=(p)3 /2+c2;Sea=k=c2−c1

w=23

3√p2+k

Sea:w (2 )=1

1=23

3√22+k

k=0.058

w=23

3√p2+0.058

11.−(dydm )2

−m(dydm )−7m2=0;y (0.5 )=0.1

a=1;b=−m;c=−3m2

dydm

=m+√m2+28m2

2

∫dy=∫(m+ √292

m)dm

∫dy=∫mdm+¿ √292 ∫mdm¿

y+c1=m2

2+ √29

2m22


y=¿ m2

2+ √29

4m2+k

Sea:y (0.5 )=0.1

0.1=¿ (0.5)2

2+ √29

4(0.5)2+k

k=−0.36

y=¿ m2

2+ √29

4m2−0.36

12.−2A(dAdt )+(dAdt )2

=(et−1)A2;A (0)=3.5

(dAdt )2

−2A (dAdt )−t2 (et−1)=0;a=1;b=−2A:−A2 (et−1)

dAdt=2A± √4A2−4 (1 )(e¿¿tA2+A2)

2¿

dAdt

=2A±√etA2

2

dAdt

=A±A√et

dAdt

=A (1+√et )

∫dA=∫(1+√et)dt

lnA=t+k+2e0.5t

elnA=et+k+2e0.5t

A=et+2e0.5tek;Sea=m=ek

A=met+2e0.5t

Sea:A (0 )=3.5

3.5=me(0)+2e0.5 (0 )

m=2.6

A=−2.6et+2e0.5t

13.−(dydx )2

−2y(dydx )=y2 (ex−1);y (0 )=8

(dydx )2

−2y(dydx )−y2 (ex−1 )=0;a=1;b=−2y:−y2 (ex−1)

dydx=2y± √4y2−4 (1 )(e¿¿xy2+y2)

2¿

dydx

=2y±√exy2

2

dydx

=y±y√ex

dydx

=y (1+√ex)


lny=x+k+2ex2


x2ek;Sea=c=ek

y=cex+2ex/2

Sea:y (0 )=8

8=ce(0)+2e(0)/2

c=2.87

y=2.87ex+2ex /2

14.−64(dydx )2

=9x;y (1 )=3

(dydx )2

=9x64

dydx

=38 √x

∫dy=38∫√xdx

y+c1=(x)3/2+c2;Sea=k=c2−c1

y=0.375 3√x2+k

Sea:y (1 )=3

3=0.375 3√(1)2+k

k=2.62

y=0.375 3√x2+2.62

15.−(dydt )2

−2t(dydt )−8t2=0;y (0.1 )=0.2

a=1;b=−2t;c=−8t2

dydt

=2t+√4t2+32t2

2

∫dy=∫(t+ √402

y)dt

y+c1=t2

2+ √40

2t2

2+c2+c3;Sea:k=c2+c3−c1

y=¿ 0.5t2+1.58t2+k

y (0.1)=0.2

0.2=¿ 0.5(0.1)+1.58(0.1)2+k

k=−0.134

y=¿ 0.5t2+1.58t2−0.134

SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES BAJO INTEGRACION BASICA

En ingeniería se desarrollan conceptos incite máticos que constan con derivadas de

una función incógnita.

Fenómenos físicos como caída libre, decaimiento de una sustancia radiactiva, se

usan ecuaciones con derivadas conocidas como ecuaciones diferenciales

Características y solución de una ecuación diferencial de primer grado básica.

Asi una ED de caída libre (objeto liberado de una altura

m=d2hdt2

=−mg donde g=d2hdt2

La solución de una ED consiste en despejar h=? desconocido en función del tiempo

d2hdt2

=−g dhdt=¿+c1 h (t )=−¿

2+c1t+c2

El despeje de h(t) se da integrando la relación anterior

La solución analítica es h (t )=−gt22

+c1t+c2

Donde c1 y c2 son constantes

La solución grafica puede ser dando valores a las constantes en función del tiempo

d2hdx2

=−gt2

dAdt

=−KA

Concepto de una ED

Una ED contiene una variable con respecto a otra variable

1ra derivada

2ra derivada

t variable independiente

x variable dependiente

Q,K constantes

Una variable se puede expresar :

dudx

−dxdy

=x−zy

Xy= variable independiente

U= variable dependiente

Una ED se puede expresar de la siguiente manera dydx=fx, su función consiste en

hallar una solución cuya derivada sea fx

Ejemplos de aplicación

1. (x+1 )dydx=x+6

(x+1 )dy=(x+6 )dx

dy=(x+6 )dx(x+1)

∫dy=∫ (x+6)dx(x+1)

y∫ xdx(x+1)

+∫ 6dx(x+1)

u=x+1du=dxx=u−1

y=∫ u−1u

+6ln|x+1|

y=∫du−∫ duu

+6ln|x+1|

y=u−lnu+¿6ln|x+1|+c¿

y=x+1−ln|x+1|+¿6ln|x+1|+c¿

y=x+5ln|x+1|+c+1 k=c+1

y=x+5ln|x+1|+k

2. dydx

=y+1x

∫ dyy+1

−∫ dxx

ln|y+1|=ln|x|+c

eln|y+1|¿eln|x|+c

eln|y+1|¿eln|x|ec

y+1=xec ec=k

y=kx−1

3. xyl=4y

x dydx

=4y

dyy

=4dxx

∫ dyy

=∫ 4dxx

lny=4ln4+c

elny=e4lnx+c

y=elnx4ec k=ec

y=kelnx4

4. dAdt

=k√A

dA√A

=kdt

∫A−1 ¿=∫kdt

∫A−1 ¿=k∫dt

12A1 ¿+c1=ct+c2 m=c2-c1

A1¿=2kt+2m

(A¿¿1¿)2=(2kt+2m)2 ¿

A (t)=4k2t2+8ktm+4m2

5. d2hdx2

=−gt2

ddt (dhdt )=−gt2

∫ ddt (dhdt )=∫−gt2dt

dhdt

=−g∫t2dt−c1

dhdt=

gt3

3+c2−c1 m=c2-c1

dhdt=

gt3

3+c2−c1

dhdt=

gt3

3+m

∫dh=∫ gt3

3 +∫m

h=−gt412

+mt+c2+c3−c1 n=c2+c3-c1

h (t )=¿−gt4

12 +mt+n

6. dydx

=ex+1

∫dy=∫ex+1dx

∫dy=∫exe1dx

∫dy=e1∫exdx

y=e1ex+c k=e1

y=kex+c

7. xl=ex− 2tt2−1

dxdt

ex=−2tt2−1

exdx= −2tt2−1

dt

∫exdx=−∫ 2tt2−1

dt

ex=ln|t2−1|+c

x (t)=et−ln|t2−1|+c

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES

Si una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado dydx=g (x,y ) se

reduce a la forma:

M (x)dx+N (y )dy=0

Donde M es una función solo de x, y N es una función solo de y, a esta ecuación se

le conoce con el nombre de “Ecuación Diferencial Ordinaria de variable separable”

y la solución general se obtiene por integración directa, es decir:

∫M (x )dx+∫N (y )dy=c

Donde c es una constante cualquiera.

La ecuación diferencial de la forma:

dydx

=∫ (ax+by+c )

Donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable

haciendo la sustitución z=ax + by + c.

INTEGRAR LAS ECUACIONES

1. (1+Y2 )dx+(1+X2 )dy=0

(1+Y2 )dx+(1+X2 )dy=0

dx1+X2+

dy1+Y2=0

dx1+X2=

−dy1+Y2

∫ dx1+X2

=−∫ dy1+Y2

arctgx+arctgy=csea

tg (A+B)= tgA+tgB1−tgAtgB

entoncs

x+y=c(1−xy)

2. (1+Y2 )dx+xydy=0

(1+Y2 )dx+xydy=0

dxx

+ydy1+y2

=0

∫ dxx

+∫ ydy1+y2

=∫0

lnx+12ln|1+y2|=k

2lnx+ln|1+y2|=2kDonde

lnx2(1+¿y2)=2k ¿

entonceslnx2(1+¿y2)=2k ¿

x (1+y2 )=c

3. (y2+xY2 )y¿+x2−yx2=0

(y2+xY2 )y¿+x2−yx2=0

(y2+xY2 ) dydx

+x2−yx2=0

(y2+xY2 ) dydx

=−x2+yx2

y2 (1+x )dydx=−x2(1+y)

y2dy1+y =

−x2

1+x

∫ y2dy1+y =∫−x2

1+x

(1+y ) (x−y−2 )+2ln|1+x1−y|=c

4. (1+y2)dx=xdy

(1+y2)dx=xdy

dxx

= dy1+y2

∫ dxx

=∫ dy1+y2+c

sealnxk=arctgy+c

y=tg (ln (kx ))+c

5. x√1+y2+yyl√1+x2=0

x√1+y2+yyl√1+x2=0

x√1+y2+y√1+x2 dydx

=0

x√1+y2=−y√1+x2 dydx

xdx√1+x2

=−ydy√1+y2

∫ xdx√1+x2

=−∫ ydy√1+y2

seau=1+x2

du=2x

dx=du2x

v=1+y2

dv=2y

dx=dv2y

∫ xdu2x√u

=−∫ ydv2v√v

12∫u−1 ¿du=−1

2 ∫v−1¿dv

u1¿=−v1 ¿+c

√1+x2=−√1+y2+c

6. e−y (1+yl )=1

ey=(1+yl )

ey−1=yl

ey−1=dydx

dydx

=ey−1

dyey−1

=dx

∫ dyey−1

=∫dx

ln(1−¿ey)=x+k ¿

eln(1−¿ey)=ex+k ¿

1−ey=ekex

ey=ekex+1

ey=kex

+1

ex= 1ek (1−e−y )

ex=c (1−e−y )

7. yl=ax+y(a>0,a≠0)

dydx

=ax+y

dydx

=ax∙ay

dyay

=axdx

a−ydy=axdx

∫a−ydy=∫axdx

ax+a−y=k

8. ey (1+x2)dy−2x (1+ey )dx=0

ey (1+x2)dy−2x (1+ey )dx=0

ey (1+x2)dy=2x (1+ey )dx

eydy(1+ey )

=2xdx(1+x2)

u=1+ey

du=eydyduey =dy

v=1+x2

dv=2xdxdv2x

=dx

ey

(u )duey =

2x(v )

dv2x

duu

=dv(v )

∫ duu

=∫ dv(v )

lnu=lnv+c

ln (1+ey )=ln(1+x2 )+c

ln (1+ey )(1+x2 )

=k

(1+ey )(1+x2 )

=c

(1+ey)=c (1+x2 )

9. (1+y2) (e2xdx−eydy)−(1+y )dy=0

(1+y2) (e2xdx−eydy)−(1+y )dy=0

e2xdx−eydy− 1+y1+y2 dy=0

∫e2xdx−∫eydy−∫ 1+y1+y2 dy=0

e2x2

−ey−arctany−ln√1+y2=c

10. (xy2−y2+x−1 )dx+(x2y−2xy+x2+2y−2x+2)dy=0

(xy2−y2+x−1 )dx+(x2y−2xy+x2+2y−2x+2)dy=0

[y2 (x−1)+(x−1 )]dx=[y (x2−2x+2 )+(x2−2x+2) ]dy=0

(y2+1) (x−1 )dx+(x+1) (x2−2x+2 )dy=0

(y2+1) (x−1 )dx=−(y+1 ) (x2−2x+2 )dy

(x−1)dx(x2−2x+2)

=−(y+1 )(y2+1 )

dy

∫ (x−1)dx(x2−2x+2 )

=−∫ (y+1)(y2+1)

dy

12

¿

ln(x¿¿2−2x+2)(¿y2+1)=−2arctgy+k¿¿

(x¿¿2−2x+2)(y2+1)=e−2arctgy+k ¿

entonces

(x¿¿2−2x+2)(y2+1)e−2arctgy=c ¿

11. yl=sen(x−y)

xz=−y

dzdx

=1−yl

entoces

1−dzdx

=yl

Como yl=sen(x−y) remplazando se tiene

dzdx

=1−senz

dz1−senz

=dx

∫ dz1−senz

=∫dx

∫(sec2z+tgzsecz¿)dz=x+c¿

tgz+secz=x+c

tg (x−y )+sec (x−y )=x+c

12. yl=ax+by+cz=ax+by+c

dzdx

=a+byl

yl=1b (dzdx−a)

Remplazamos en

yl=ax+by+c

entonces

1b (dzdx−a)=z

dzdx

−a=bz

separandolavariabledz

a+bz=dx

Integrando

∫ dza+bz

=∫dx

1bln (a+bz)=x+k

ln (a+bz)=bx+bk

a+bz=cebk

13. (x+y )2yl=a2

sea

z=x+y

dzdx

=1+yl

Entonces

yl=dzdx

−1

Remplazando en

(x+y )2yl=a2

Entonces

z2(dzdx−1)=a2

Separando las variables

z2a2+z2

dz=dx

Integramos

z−aarctg(za )=x+k

Simplificando

x+y=aarctg(za

+c)

14. (1−y )eyyl+y2

xlnx=0

(1−y )ey dydx+

y2

xlnx=0

(1−y )ey dydx=

−y2

xlnx

∫ (1−y )ey

y2 +∫ dxxlnx=c

∫ (1−y )ey

y2 dx+ln(lnx )=c

∫d ey

y =ln (lnx )=c

De donde

−eyy +ln(lnx )=c

ln (lnx )=ey

y +c

15. xy2 (xyl+y )=a2

Sea

z=xy

y=zx

yl=

xdzdx

−z

x2

como

xy2 (xyl+y )=a2

Remplazando se tiene

z2x [x dzdx−z+

zx ]=a2

z2dz=a2xdx

z33

=a2x2

2+c

Entonces

2x3y3=3a2x2+k

16. (x¿¿2y2+1)dx+2x2dy=0¿

sea

z=xy

y=zx

dy=xdz−zdxx2

(x¿¿2y2+1)dx+2x2dy=0¿

remplazando

(x¿¿2+1)dx+2x2(xdz−zdxx2 )=0¿

(z¿¿2+1)dx+2xdz−2zdz=0 ¿

(z¿¿2−2z+1)dx+2xdz=0 ¿

dx2x

+dz

(z−1)2=0

∫ dx2x

+∫ dz(z−1)2

=c

12lnx−

1xy−1

=c

17. (1+x¿¿2y2)y+(xy−1)2xyl=0¿

Sea

z=xy

y=zx

yl=

xdzdx

−z

x2

Remplazando

(1+z¿¿2)zx

=(z−1 )2x( xdzdx −z

x2 )=0¿

simplificamos

(1+z¿¿2)z=(z−1 )2x dzdx−(z−1)2=0¿

Entonces

(1+z¿¿2)zdz+2z2dx=0¿

2dxx

+(1+z¿¿2)

z2dz=0 ¿

Integrando

∫ 2dxx

+∫ (1+z¿¿2)

z2 dz=0¿

2lnx+z−2lnz−1z=k

−2lny= 1xy

−xy+k

lncy2=xy−1xy

cy2=exy− 1

xy

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES CON VALORES INICIALES

1. x√1−y2dx+yx√1−x2dy=0 y(0)=1

x√1−y2dx+yx√1−x2dy=0

x√1−y2dx=−yx√1−x2dy

Separando variables

xdxx√1−x2

=−ydy√1−y2

Integrando

∫ xdxx√1−x2

+∫ −ydy√1−y2

=c

De donde

√1−x2+√1−y2=kPara x=0: y=1

√1−02+√1−12=k

k=1

√1−x2+√1−y2=1

2. (1+ex)yyl=ey y(0)=0

(1+ex)y dydx

=ey

ye−ydy= dx(1+ex )

Integrando

∫ye−ydy=∫ dx(1+ex)

De donde

(1+y )e−y=ln(1+ex

2 )+1−x

entonces

ln(1+ex

2 )+1−x=ln (1+ex )+c

Sea

Y(0)=0

ln(1+e0

2 )+1−x=ln (1+e0 )+c

Entonces c=3,15

ln(1+ex

2 )+1−x=ln (1+ex )+3,15

3. dydx

=4(x2+1) x (π¿ )=1

Sea

dy4

=(x2+1)dx

Integrando

∫ dy4

=∫(x2+1)dx

∫ dy4

=∫x2dx+∫1dx

y4=x3

3+x+c

y=4x3

3+4x+4c

Para k=4c

y=4x3

3+4x+k

4. dydx=

y2−1x2−1

y (2)=2

Separamos terminos

dyy2−1

= dxx2−1

Integramos

∫ dyy2−1

=∫ dxx2−1

12 ( 1

y−1−

1y+1)dy=1

2 ( 1x−1

−1

x+1 )dy

∫ 12 ( 1

y−1−

1y+1 )dy=

12∫( 1

x−1−

1x+1 )dy

12 [∫( 1

y−1−

1y+1)dy]=1

2 [∫( 1x−1

−1

x+1)dy]

ln (y−1 )−ln (y+1 )=ln(x−1)−ln (x+1)=lnc

y−1y+1

=c x−1x+1

Para y(2)=2

2−12+1

=c 2−12+1

13=c 1

3

c=1

entonces

y−1y+1

=1 x−1x+1

y−1y+1

=x−1x+1

5. x2 dydx

=y−xy y(-1)=-1

Sea

x2 dydx

=y(1−x)

dyy

=(1−x)

x2

Integrando

∫ dyy

=∫ (1−x)

x2

∫ dyy

=∫ 1x2dx−∫dx

x

y=∫x−2dx−∫ dxx

y=−x−1−lnx+c

y=−1x

−lnx+c

Para y(-1)=-1

−1=−1−1

−ln−1+c

c=0,36

y=−1x

−lnx+0,36

6. dydt

+2y=1 y(0)=5\2

Sea

dydt

=1−2y

dy1−2y

=dt

Integrando

∫ dy1−2y

=∫dt

u=1−2y

du=2dy

dy=du2

Remplazamos

∫ du2u

=∫dt

lnu2

=t+c

lnu=2t+k

ln (2t+k )=2t+k

eln(1−2y)=e2t+k

1−2y=me2t

2y=−me2t+1

y=−me2t+1

2

Para y(0)=5\2

5¿=−me0+1

2

m=−4

y=4e2t+1

2

7. √1−y2dx−√1−x2dy=0 y(0)=√32

√1−y2dx=√1−x2dy

dx√1−x2

=dy

√1−y2

∫ dx√1−x2

=∫ dy√1−y2

sen−1x−sen−1y=c

Para y(0)=√32

sen−1o−sen−1 √32

=c

c=−π3

Entonces

sen−1x−sen−1y=−π3

8. (1+x4)dy+x (1+4y2 )dx=0 y(1)=0

Sea

(1+x4)dy=−x (1+4y2 )dx

dy(1+4y2 )

=xdx

(1+x4 )

dy(1+2y2 )

=xdx

(1+(x2)4)

∫ dy(1+2y2)

=∫ xdx(1+(x2)4 )

12tg−12y=

−12tg−1x2+c

tg−12y+tg−1x2=c

Para y(1)=0

tg−120+tg−112=c

c=π4

tg−12y+tg−1x2=π4

9. (1+Y2 )dx+(1+X2 )dy=0 y (2)=0

(1+Y2 )dx+(1+X2 )dy=0

dx1+X2+

dy1+Y2=0

dx1+X2=

−dy1+Y2

∫ dx1+X2

=−∫ dy1+Y2

arctgx+arctgy=csea

tg (A+B)= tgA+tgB1−tgAtgB

entoncs

x+y=c(1−xy)Para y (2)=0

2+0=c(1−0)

c=2x+y=2(1−xy)

10. (1+Y2 )dx+xydy=0 y (0)=1

(1+Y2 )dx+xydy=0

dxx

+ ydy1+y2

=0

∫ dxx

+∫ ydy1+y2

=∫0

lnx+12ln|1+y2|=k

2lnx+ln|1+y2|=2kDonde

lnx2(1+¿y2)=2k ¿

entonceslnx2(1+¿y2)=2k ¿

x (1+y2 )=c

Para y (0)=1

0 (1+12)=cc=0

x (1+y2 )=0

11. (y2+xY2 )y¿+x2−yx2=0 y (1)=−1

(y2+xY2 )y¿+x2−yx2=0

(y2+xY2 ) dydx

+x2−yx2=0

(y2+xY2 ) dydx

=−x2+yx2

y2 (1+x )dydx=−x2(1+y)

y2dy1+y =

−x2

1+x

∫ y2dy1+y =∫−x2

1+x

(1+y ) (x−y−2 )+2ln|1+x1−y|=c

Para y (1)=−1

(1−1 ) (1−1−2 )+2ln|1+11+1|=c

c=0

(1+y ) (x−y−2 )+2ln|1+x1−y|=0

12. (1+y2)dx=xdy y (2)=1

(1+y2)dx=xdy

dxx

= dy1+y2

∫ dxx

=∫ dy1+y2+c

sealnxk=arctgy+c

y=tg (ln (kx ))+c

Para y (2)=1

1=tg (ln (2 ))+cc=0,16

y=tg (ln (kx ))+0,16

13. x√1+y2+yyl√1+x2=0 y (1)=1

x√1+y2+yyl√1+x2=0

x√1+y2+y√1+x2 dydx

=0

x√1+y2=−y√1+x2 dydx

xdx√1+x2

= −ydy√1+y2

∫ xdx√1+x2

=−∫ ydy√1+y2

seau=1+x2

du=2x

dx=du2x

v=1+y2

dv=2y

dx=dv2y

∫ xdu2x√u

=−∫ ydv2v√v

12∫u−1 ¿du=−1

2 ∫v−1¿dv

u1¿=−v1 ¿+c

√1+x2=−√1+y2+cPara y (1)=1

√1+12=−√1+12+cc=−1

√1+x2=−√1+y2−1

14. e−y (1+yl )=1 y(0)=1

ey=(1+yl )

ey−1=yl

ey−1=dydx

dydx

=ey−1

dyey−1

=dx

∫ dyey−1

=∫dx

ln(1−¿ey)=x+k ¿

eln(1−¿ey)=ex+k ¿

1−ey=ekex

ey=ekex+1

ey=kex

+1

ex= 1ek (1−e−y )

ex=c (1−e−y )Para y(0)=1

e0=c (1−e−1 )c=0,73

ex=0.73 (1−e−y )

15. yl=ax+y(a>0,a≠0) y(1)=1

dydx

=ax+y

dydx

=ax∙ay

dyay

=axdx

a−ydy=axdx

∫a−ydy=∫axdx

ax+a−y=kPara y(1)=1=a

11+1−1=kk=1

ax+a−y=1

16. ey (1+x2)dy−2x (1+ey )dx=0 y (0)=0

ey (1+x2)dy−2x (1+ey )dx=0

ey (1+x2)dy=2x (1+ey )dx

eydy(1+ey )

=2xdx(1+x2)

u=1+ey

du=eydyduey =dy

v=1+x2

dv=2xdx

dv2x

=dx

ey

(u )duey =

2x(v )

dv2x

duu

=dv(v )

∫ duu

=∫ dv(v )

lnu=lnv+c

ln (1+ey )=ln(1+x2 )+c

ln (1+ey )(1+x2 )

=k

(1+ey )(1+x2 )

=c

(1+ey)=c (1+x2 )

Para y (0)=0

(1+e0)=c (1+02 )c=2

(1+ey)=2 (1+x2 )

17. (1+y2) (e2xdx−eydy)−(1+y )dy=0 y (0)=1

(1+y2) (e2xdx−eydy)−(1+y )dy=0

e2xdx−eydy− 1+y1+y2 dy=0

∫e2xdx−∫eydy−∫ 1+y1+y2 dy=0

e2x2 −ey−arctany−ln√1+y2=c

Para y (0)=1

e22 −ey−arctany−ln√1+y2=c

c=2.69

e2x2 −ey−arctany−ln √1+y2=2.69

18. (xy2−y2+x−1 )dx+(x2y−2xy+x2+2y−2x+2)dy=0y (1)=0

(xy2−y2+x−1 )dx+(x2y−2xy+x2+2y−2x+2)dy=0

[y2 (x−1)+(x−1 )]dx=[y (x2−2x+2 )+(x2−2x+2) ]dy=0

(y2+1) (x−1 )dx+(x+1) (x2−2x+2 )dy=0

(y2+1) (x−1 )dx=−(y+1 ) (x2−2x+2 )dy

(x−1)dx(x2−2x+2)

=−(y+1 )(y2+1 )

dy

∫ (x−1)dx(x2−2x+2 )

=−∫ (y+1)(y2+1)

dy

12

¿

ln(x¿¿2−2x+2)(¿y2+1)=−2arctgy+k¿¿

(x¿¿2−2x+2)(y2+1)=e−2arctgy+k ¿

entonces

(x¿¿2−2x+2)(y2+1)e−2arctgy=c ¿

Para y (1)=0

(1¿¿2−2+2)(02+1)e−2arctg0=c¿

c=1

(x¿¿2−2x+2)(y2+1)e−2arctgy=1 ¿

19. yl=sen(x−y) y (0)=0

xz=−y

dzdx

=1−yl

entoces

1−dzdx

=yl

Como yl=sen(x−y) remplazando se tiene

dzdx

=1−senz

dz1−senz

=dx

∫ dz1−senz

=∫dx

∫(sec2z+tgzsecz¿)dz=x+c¿

tgz+secz=x+c

tg (x−y )+sec (x−y )=x+c

Para y (0)=0

tg (0 )+sec (0)=0+cc=0

tg (x−y )+sec (x−y )=x

20. yl=ax+by+c y (1)=1

z=ax+by+c

dzdx

=a+byl

yl=1b (dzdx−a)

Remplazamos en

yl=ax+by+c

entonces

1b (dzdx−a)=z

dzdx

−a=bz

separandolavariabledz

a+bz=dx

Integrando

∫ dza+bz

=∫dx

1bln (a+bz)=x+k

ln (a+bz)=bx+bk

a+bz=cebx

Para y (1)=1 a=b=c=1

1+1z=1e1x

x=5,4

a+bz=ce5.4b

21. (x+y )2yl=a2 y (5)=7

sea

z=x+y

dzdx

=1+yl

Entonces

yl=dzdx

−1

Remplazando en

(x+y )2yl=a2

Entonces

z2(dzdx−1)=a2Separando las variables

z2a2+z2

dz=dx

Integramos

z−aarctg(za )=x+k

Simplificando

x+y=aarctg(za

+c)

Para y (5)=7 y a=1

5+7=1arctg(11

+c)

c=1,63

x+y=aarctg(za

+1.63)

22. (1−y )eyyl+y2

xlnx=0 y (2)=−1

(1−y )ey dydx+

y2

xlnx=0

(1−y )ey dydx=

−y2

xlnx

∫ (1−y )ey

y2 +∫ dxxlnx=c

∫ (1−y )ey

y2 dx+ln(lnx )=c

∫d ey

y =ln (lnx )=c

De donde

−eyy +ln(lnx )=c

ln (lnx )=ey

y +c

Para y (2)=−1

ln (ln2)=e−1

−1+c

c=0.0036

ln (lnx )=ey

y +0.0036

23. xy2 (xyl+y )=a2 y (1)=1

Sea

z=xy

y=zx

yl=

xdzdx

−z

x2

como

xy2 (xyl+y )=a2

Remplazando se tiene

z2x [x dzdx−z+

zx ]=a2

z2dz=a2xdx

z33

=a2x2

2+c

Entonces

2x3y3=3a2x2+kPara y (1)=1

21313=3a212+kk=−1

2x3y3=3a2x2−1

24. (x¿¿2y2+1)dx+2x2dy=0¿ y (0)=0

sea

z=xy

y=zx

dy=xdz−zdxx2

(x¿¿2y2+1)dx+2x2dy=0¿

remplazando

(x¿¿2+1)dx+2x2(xdz−zdxx2 )=0¿

(z¿¿2+1)dx+2xdz−2zdz=0 ¿

(z¿¿2−2z+1)dx+2xdz=0 ¿

dx2x

+dz

(z−1)2=0

∫ dx2x

+∫ dz(z−1)2

=c

12lnx−

1xy−1

=c

Para y (1)=0

12ln1− 1

0−1=c

c=012lnx−

1xy−1

=0

25. (1+x¿¿2y2)y+(xy−1)2xyl=0¿ y (0)=1

Sea

z=xy

y=zx

yl=

xdzdx

−z

x2

Remplazando

(1+z¿¿2)zx

=(z−1 )2x( xdzdx −z

x2 )=0¿

simplificamos

(1+z¿¿2)z=(z−1 )2x dzdx−(z−1)2=0¿

Entonces

(1+z¿¿2)zdz+2z2dx=0¿

2dxx

+(1+z¿¿2)

z2dz=0 ¿

Integrando

∫ 2dxx

+∫ (1+z¿¿2)

z2 dz=0¿

2lnx+z−2lnz−1z=k

−2lny= 1xy

−xy+k

lncy2=xy−1xy

cy2=exy− 1

xy

Para y (0)=1

c12=e0−

1xy

c=1

y2=exy−

1xy

ECUACIONES DIFERENCIALES DE TIPO EXACTAS (EDE)

1.- x (2x2 + y2) +y (x2 + 2y2) dydx = 0

x (2x2 + y2)dx +y (x2 + 2y2) dy=¿0

∂M∂y = 2xy

∂N∂x = 2xy

dfdx =2x

3 + xy2 dfdx = 2y

3 + yx2

F(x, y) = ∫2x3+xy2dx + 𝝓 (y)

F(x, y) = x42 +

y2x22 + 𝝓 (y)

∂F∂y = yx2 + 𝝓` (y)

∂F∂y ¿

dfdy

yx2 + 𝝓` (y) = 2y3 + yx2

𝝓` (y) = 2y3 𝝓 (y) = y42

F(x, y) = x42 +

y2x22 + y4

2 = C R.

2.- (2xy2 - 3)dx + (2yx2+4) dy=¿0∂M∂y = 4xy

∂N∂x = 4xy

dfdx =2xy2 – 3

dfdy = 2yx2 + 4

F(x, y) = ∫2xy2−3dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =x2y2−3x+ϕ(y)

∂F∂y = 2yx

2 + 𝝓` (y) ∂F∂y ¿

dfdy

2yx2 + 𝝓` (y)= 2yx2 + 4 𝝓` (y) =4

𝝓 (y) = 4y

F(x, y) =x2y2−3x+4y=C R.

3.- (2x + y)dx + (x +6y) dy=¿0

∂M∂y = 1

∂N∂x = 1

dfdx =2x+¿ y df

dy = x+6y

F(x, y) = ∫2x+ydx + 𝝓 (y)

F(x, y) =x2+xy+ϕ(y)

∂F∂y = x + 𝝓` (y)

∂F∂y ¿

dfdy

2yx2 + 𝝓` (y)= 2yx2 + 4 𝝓` (y) = 6y

𝝓 (y) = 3y2

F(x, y) =x2+xy+3y2=C R.

4.- (4y+2x -5)dx + (6y+4x−1 ) dy=¿0

∂M∂y = 4

∂N∂x = 4

dfdx = 4y +2x−5 df

dy = 6y+4x−1

F(x, y) = ∫2x+4y−5dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =x2+4xy−5x+ϕ(y)

∂F∂y = 4x + 𝝓` (y)

∂F∂y ¿

dfdy

4x + 𝝓` (y) = 6y+4x−1 𝝓` (y) = 6y−1

𝝓 (y) = 3y2−y

F(x, y) =x2+4xy−5x+3y2−y=C R

5.- (seny−ysenx)dx + (cosx+xcosy−y ) dy=¿0

∂M∂y = cosy−senx ∂N

∂x = cosy−senx

dfdx =seny−ysenx df

dy =cosx+xcosy−y

F(x, y) = ∫seny−ysenxdx + 𝝓 (y)

F(x, y) = xseny+ycosx+ 𝝓 (y)

∂F∂y = xcosy+cosx+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

xcosy+cosx+ϕ (y) = cosx+xcosy−y 𝝓` (y) = −y 𝝓 (y) = −y2

2

F(x, y) = xseny+ycosx−y2

2=C R.

6.-(ex+y)dx + (2+x+yey ) dy=¿0

∂M∂y = 1

∂N∂x = 1

dfdx =e

x+y dfdy =2+x+yey

F(x, y) = ∫ex+ydx + 𝝓 (y)

F(x, y) = ex+xy + 𝝓 (y)∂F∂y = x+ϕ (y) ∂F

∂y ¿ dfdy

x+ϕ (y )=2+x+yey 𝝓` (y) = 2+y ey 𝝓 (y) = 2y+ey(y−1)

F(x, y) = ex+xy +2y+ey (y−1 )=CR.

7.- (5x+4y)dx + (4x−8y3) dy=¿0∂M∂y = 4

∂N∂x = 4

dfdx =5x+4y df

dy =4x−8y3

F(x, y) = ∫5x+4ydx + 𝝓 (y)

F(x, y) = 5x22 +4yx+ 𝝓 (y)

∂F∂y = 4x+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

4x+ϕ (y)=4x−8y3

𝝓` (y) = −8y3𝝓 (y) =−2y4

F(x, y) = 5x22 +4yx−2y4=CR.

8.- (x+y)2dx + (2xy+x2−1) dy=¿0(x2+2xy+y2)dx + (2xy+x2−1) dy=¿0∂M∂y = 2x+2y ∂N

∂x = 2x+2y

dfdx =x

2+2xy+y2 dfdy =2xy+x2−1

F(x, y) = ∫x2+2xy+y2dx + 𝝓 (y)

F(x, y) = x33+ yx

2+ xy2 + 𝝓 (y)

∂F∂y = x

2+2xy+ϕ (y) ∂F∂y ¿

dfdy

x2+2xy+ϕ (y)=2xy+x2−1

𝝓` (y) = −1𝝓 (y) =−y

F(x, y) = x33+ yx

2+ xy2 −y=C R.

9.-(4xy−2sec2x)dx + (2x2+4y ) dy=¿0

∂M∂y =4

∂N∂x = 4

dfdx =4xy−2sec2x df

dy =2x2+4y

F(x, y) = ∫4xy−2sec2xdx + 𝝓 (y)

F(x, y) =2x2y−tgx+ϕ(y)

∂F∂y = 2x2y−tgx+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

2x2+ϕ (y )=¿ 2x2+4y

𝝓` (y) = 4y𝝓 (y) =2y2

F(x, y) =2x2y−tgx+¿ 2y2=CR. 10.-(x2y3)dx + (x3y2) dy=¿0

∂M∂y = 3x2y2 ∂N

∂x = 3x2y2

dfdx =x

2y3 dfdy =x

3y2

F(x, y) = ∫x2y3dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =x3y33

+ϕ(y)

∂F∂y = x

3y2+ϕ (y) ∂F∂y ¿

dfdy

x3y2+ϕ (y) = x3y2

𝝓` (y) = 0𝝓 (y) =k

F(x, y) =x3y33

+k=CR.

11.-(3x2−3xy4)dx + (y2−6x2y3) dy=¿0

∂M∂y = −12xy3 ∂N

∂x =−12xy3

dfdx =3x

2−3xy4 dfdy =y

2−6x2y3

F(x, y) = ∫3x2−3xy4dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =x3−3x2y42

+ϕ(y)

∂F∂y = −6x2y3+ϕ (y) ∂F

∂y ¿ dfdy

−6x2y3+ϕ (y) = y2−6x2y3

𝝓` (y) = y2𝝓 (y) =y33

F(x, y) =x3−3x2y42

+y3

3=CR.

12.-(2xy)dx + (x2−1) dy=¿0∂M∂y = 2x

∂N∂x =2x

dfdx =2xy

dfdy =x

2−1

F(x, y) = ∫2xydx + 𝝓 (y)

F(x, y) =x2y+ϕ(y)

∂F∂y = x

2+ϕ (y) ∂F∂y ¿

dfdy

x2+ϕ (y) = x2−1

𝝓` (y) = −1𝝓 (y) =−y

F(x, y) =x2y−y=CR.

13.-(x+y2 )dx+(2xy+y)dy ¿0

∂M∂y = 2y

∂N∂x =2y

dfdx =x+y2 df

dy =2xy+y

F(x, y) = ∫x+y2dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =x22

+xy2+ϕ(y)

∂F∂y = 2yx+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

2xy+ϕ (y)= 2xy+y

𝝓` (y) = y𝝓 (y) =y22

F(x, y) =x22

+xy2+y2

2=CR.

14.-(1+cos (x+y) )dx+(cos (x+y ))dy ¿0

∂M∂y = −sen(x+y) ∂N

∂x =−sen(x+y)

dfdx =1+cos (x+y ) df

dy =cos (x+y )

F(x, y) = ∫1+cos (x+y )dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =x+sen(x+y)+ϕ(y)

∂F∂y = cos (x+y)+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

cos (x+y)+ϕ (y)= cos (x+y )

𝝓` (y) = 0𝝓 (y) =k

F(x, y) =x+sen (x+y )+k=C R.

15.-(2xy+y+2cosx )dx+(x2+x)dy=¿0∂M∂y = 2x+1 ∂N

∂x =2x+1

dfdx =2xy+y+2cosx df

dy =x2+x

F(x, y) = ∫2xy+y+2cosxdx + 𝝓 (y)

F(x, y) =yx2+xy+2senx+ϕ(y)

∂F∂y = x

2+x+ϕ (y) ∂F∂y ¿

dfdy

x2+x+ϕ (y)= x2+x

𝝓` (y) = 0𝝓 (y) =k

F(x, y) =yx2+xy+2senx+ϕ(y)+k=C R.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON VALOR INICIAL(EDE)

1.-(y2−xy )dx+(2xy−x2

2+seny)dy=¿0 ; y (1)=1

∂M∂y = 2y−x ∂N

∂x =2y−x

dfdx =y

2−xy dfdy =2xy−

x22

+seny

F(x, y) = ∫y2−xydx + 𝝓 (y)

F(x, y) =y2x+yx22 +ϕ(y)

∂F∂y = 2yx−

x22

+ϕ (y) ∂F∂y ¿

dfdy

2yx−x22

+ϕ (y)= 2xy−x22

+seny

𝝓` (y) = seny𝝓 (y) =−cosy

F(x, y) =y2x−yx2

2−cosy=C R.

SEA: y (1)=1 Calculamos C

C = 0.9

2.-(x+ycosx )dx+(senx+y )dy=¿0 ;

y(2)=0.6∂M∂y = cosx

∂N∂x =cosx

dfdx =x+ycosx df

dy =senx+y

F(x, y) = ∫x+ycosxdx + 𝝓 (y)

F(x, y) =x22

+ysenx+ϕ(y)

∂F∂y = senx+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

senx+ϕ (y)=senx+y

𝝓` (y) = y𝝓 (y) =y22

F(x, y) =x22

+ysenx+y2

2=C R.

SEA: y (2)=0.6 Calculamos C

C = 2.7

3.-(sen(xy)+xycos(xy))dx+(x2cos(xy))dy=¿0 ; y (1)=0.5∂M∂y = 2xcos ¿ ∂N

∂x =2xcos ¿

dfdx =sen(xy)+xycos(xy) df

dy =x2cos(xy)

F(x, y) = ∫sen(xy)+xycos(xy)dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =xsen(xy)+ϕ(y)

∂F∂y = x

2cos(xy)+ϕ (y) ∂F∂y ¿

dfdy

x2cos(xy)+ϕ (y)=x2cos(xy)

𝝓` (y) = y0 𝝓 (y) =k

F(x, y) =xsen(xy)=C R.

SEA: y (1)=0.5

Calculamos C

C = 0.4

4.- (yex−y2) dx+(ex−2xy)dy ¿0 ;

y (0.5)=1

∂M∂y = ex−2y ∂N

∂x =ex−2y

dfdx =ye

x−y2 dfdy =e

x−2xy

F(x, y) = ∫yex−y2dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =yex−xy2+ϕ(y)

∂F∂y = ex−2xy+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

ex−2xy+ϕ (y)=ex−2xy

𝝓` (y) = 0𝝓 (y) =k

F(x, y) =F(x, y) =yex−xy2=C R.

SEA: y (0.5)=1

Calculamos C

C = 1.1

5.- (ye−x−sen (x )) dx+(−e−x−2y)dy ¿0 ; y (2)=1

∂M∂y = e

−x ∂N∂x =e

−x

dfdx =ye

−x−sen(x) dfdy =−ex−2y

F(x, y) = ∫ye−x−sen(x)dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =−ye−x+cosx+ϕ(y)

∂F∂y = −e−x+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

−e−x+ϕ (y)=−e−x−2y

𝝓` (y) = −2y𝝓 (y) =−y2

F(x, y) =−ye−x+cosx−y2=C R.

SEA: y (2)=1

Calculamos C

C = -1.5

6.- (x√x2+y2−y) dx+(y√x2+y2−x)dy ¿0 ; y (0.2)=1

∂M∂y =

xy(x2+y2)1/2 -1 ∂N

∂x =xy

(x2+y2)1/2 -1

dfdx =x√x2+y2−y df

dy =y√x2+y2−x ¿

F(x, y) = ∫x√x2+y2−ydx + 𝝓 (y)

F(x, y) =(x2+y2)3/2

3−yx+ϕ(y)

∂F∂y = y(x2+y2)1 /2−x+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

y (x2+y2 )12−x+ϕ (y) =y√x2+y2−x 𝝓` (y) = 0

F(x, y) =(x2+y2)3/2

3−yx=C R.

SEA: y (0.2)=1

Calculamos C

C = 0.15

7.- (2xyex2y−y2exy2

+1) dx+(x2eyx2

+2xyexy2

−2y)dy ¿0

y(0)=1

∂M∂y = 2xex

2y+2xyex2y.x2+2yexy2

+¿ y2exy22xy

∂N∂x

=2xex2y+2xyex2y.x2+2yexy2+¿ y2exy22xy

dfdx =2xyex2y−y2exy2

+1

dfdy =x2eyx2

+2xyexy2

−2y

F(x, y) = ∫2xyex2y−y2exy2

+1dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =ex2y+exy2+x+ϕ(y)

∂F∂y = x2ex2y+2xyex2y+ϕ (y) ∂F

∂y ¿ dfdy

x2ex2y+2xyex2y+ϕ (y) =x2eyx2

+2xyexy2

−2y 𝝓` (y) = −2yϕ (y )=y2

F(x, y) =ex2y+exy2+x+y2=CR.


C = 3

8.- (2x+2xy2+y) dx+(2x2y+x)dy ¿0 ;

y(1)=0∂M∂y = 4yx+1 ∂N

∂x =4xy+1 dfdx =2x+2xy2+y df

dy =2x2y+x

F(x, y) = ∫2x+2xy2+ydx + 𝝓 (y)

F(x, y) =x2+x2y2+xy+ϕ(y)

∂F∂y = 2yx

2+x+ϕ (y) ∂F∂y ¿

dfdy

2yx2+x+ϕ (y)=2yx2+x

𝝓` (y) = 0𝝓 (y) =c

F(x, y) =x2+x2y2+xy=C R.

SEA: y (1)=0

Calculamos C

C = 1

9.- (2x+y) dx+(2y+x)dy ¿0 ; y (0.5)=0.2

∂M∂y = 1

∂N∂x =1

dfdx =2x+y df

dy =2y+x

F(x, y) = ∫2x+ydx + 𝝓 (y)


∂F∂y = x+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

x+ϕ (y)=2y+x

𝝓` (y) = 2y𝝓 (y) =y2

F(x, y) =x2+xy+y2=C R.

SEA: y (0.5)=0.2

Calculamos C

C = 0.4

10.- (x−1y ) dx+(lnx+3y2)dy ¿0 ;

y (0.1)=0.7

∂M∂y = x

−1 ∂N∂x =x

−1

dfdx =x−1y df

dy =lnx+3y2

F(x, y) = ∫x−1ydx + 𝝓 (y)

F(x, y) =ylnx+ϕ(y)

∂F∂y = lnx+ϕ (y) ∂F

∂y ¿ dfdy

lnx+ϕ (y)=lnx+3y2

𝝓` (y) = 3y2𝝓 (y) =y3

F(x, y) =ylnx+y3=C R.

SEA: y (0.1)=0.7

Calculamos C

C = -1.2

11.- (−2x3+2xyex2 ) dx+(ex2

+2y)dy ¿0 ; y (0.6)=0.3∂M∂y = 2xex2 ∂N

∂x =2xex2 dfdx =−2x3+2xyex2 df

dy =ex2+2y

F(x, y) = ∫−2x3+2xyex2dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =−x42

+yex2+ϕ(y)

∂F∂y = ex2+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

ex2+ϕ (y)=ex2+2y

𝝓` (y) = y2𝝓 (y) =y2

F(x, y) =−x42

+yex2+y2=C R.

SEA: y (0.6)=0.3

Calculamos C

C = 0.45

12.- (2x + y)dx + (x +6y) dy=¿0 ; y (0.3)=1

∂M∂y = 1

∂N∂x = 1

dfdx =2x+¿ y df

dy = x+6y

F(x, y) = ∫2x+ydx + 𝝓 (y)


∂F∂y = x + 𝝓` (y)

∂F∂y ¿

dfdy

2yx2 + 𝝓` (y)= 2yx2 + 4

𝝓` (y) = 6y 𝝓 (y) = 3y2

F(x, y) =x2+xy+3y2=C R.

SEA: y (0.3)=1

Calculamos C

C = 3.4

12.- (2x -1)dx + (3y+7) dy=¿0 ; y (1)=4

∂M∂y = 0

∂N∂x = 0

dfdx =2x−1 df

dy = 3y+7

F(x, y) = ∫2x−1dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =x2−x+ϕ(y)

∂F∂y = 𝝓` (y)

∂F∂y ¿

dfdy

𝝓` (y) = 3y + 7 𝝓 (y) = 3y2/2

F(x, y) =x2−x+3y2

2 +7y=C R.


C = 52

13.- (4x -2)dx + (y+14) dy=¿0 ; y (1)=2

∂M∂y = 0

∂N∂x = 0

dfdx =4x−2 df

dy = y+14

F(x, y) = ∫4x−2dx + 𝝓 (y)

F(x, y) =2x2−x+ϕ(y)

∂F∂y = 𝝓` (y)

∂F∂y ¿ df

dy

𝝓` (y) = y + 14 𝝓 (y) = y22 +14x

F(x, y) =2x2−x+y2

2+14x=C R.


C = 17

14.- (2x +y)dx + (x−4y) dy=¿0 ; y (3)=1

∂M∂y = 1

∂N∂x = 1

dfdx =2x+y df

dy = x−4y

F(x, y) = ∫2x+ydx + 𝝓 (y)


∂F∂y = x+𝝓` (y)

∂F∂y ¿

dfdy

x+𝝓` (y) = x−4y 𝝓` (y) = -4y

𝝓 (y) = −2y2

F(x, y) =x2+xy−2y2=C R.


C = 10

15.-(ex+y)dx + (2+x+yey ) dy=¿0 ; y (2)=3

∂M∂y = 1

∂N∂x = 1

dfdx =e

x+y dfdy =2+x+yey

F(x, y) = ∫ex+ydx + 𝝓 (y)

F(x, y) = ex+xy + 𝝓 (y)∂F∂y = x+ϕ (y) ∂F

∂y ¿dfdy

x+ϕ (y )=2+x+yey 𝝓` (y) = 2+y ey

𝝓 (y) = 2y+ey(y−1)

F(x, y) = ex+xy +2y+ey (y−1 )=CR.

SEA: y (2)=3

Calculamos C

C = 59

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES (EDL)

1.- dydx

−2y=x2+5

P(x)= - 2 U(x) = e∫p (x)dx U(x)=e−2x

e−2x dydx

−2ye−2x=e−2xx2+e−2x5

∫d(e−2x.y)=∫e−2xx2dx+5∫e−2xdx

(e−2x.y)=−x2e−2x

2−xe−2x

2−e−2x

4+C

y=−x2

2−x2

−14

+Ce2x R.

2.- drdϕ

+r.tanϕ=secϕ

P (ϕ)= tanϕ U (ϕ) = e∫p (ϕ)dϕ

U (ϕ)= 1cosϕ = secϕ

∫d(secϕ.r)=¿∫sec2ϕdϕ¿

secϕ.r=tanϕ+C

r=tanϕsecϕ

– Csecϕ

R.

3.-1xdydx

−2yx2

=xcosx

dydx

−2yx

=x2cosx

P(x)= - 2x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x−2

x−2dydx −

2yx−2

x =cosx

∫d (x−2y )=∫cosxdx

y=x2senx+C /x2R.

4.-dydx

=yx

+2x+1

dydx

−yx

=2x+1

P(x)= - 1x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x−1

x−1 dydx

−x−1 yx

=x−1(2x+1)

∫d (x−1y )=∫2+¿x−1dx¿

x−1y=2x+lnx+C

y=2x2+¿ R.

5.-dydx

−2y=e2x

P(x)= - 2 U(x) = e∫p (x)dx U(x)=e−2x

e−2x dydx

−e−2x yx

=1

∫d (e−2x.y )=∫dx

e−2x.y=x+C

y=xe2x+e2xC R.

6.-x dydx−2y=x−3

dydx

−2yx

=x−4

P(x)= - 2/x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x−2

x−2 dydx

−x−2 yx

=x−6

∫d (x−2.y )=∫x−6dx

x−2.y=x−5

−5+C

y=x−3

−5+x2C R.

7.-x dydx+3yx

=x3+4x+2x2

dydx

+3yx

=x2+4+2x

P(x)= 3/x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x3

x3 dydx

+x3 yx

=x6+4x3+2x5

∫d (x3.y )=∫x6+4x3+2x5dx

x−2.y=x7

7+x4+

x6

3+C

y=x97

+x6+x8

3+x2C R.

8.-(x2+1) dydx

+2xy=x2+2x

dydx+

2xy(x2+1)

=2x

(x2+1 )+

x2

(x2+1 )

P(x)= - 2x(x2+1 ) U(x) = e∫p (x)dx U(x)=

x2+1

∫d(x¿¿2+1).y ¿=∫x2+2xdx

(x¿¿2+1).y=x3

3+x

2+C ¿

y=x3

3(x¿¿2+1)+x2

(x¿¿2+1)+C

(x¿¿2+1)¿¿¿ R.

9.- secϕ drdϕ−r.cscϕ=secϕcscϕ

drdϕ

−cotϕ.r=cscϕ

P (ϕ)= -cotϕ U (ϕ) = e∫p (ϕ)dϕ U (ϕ)= 1

senϕ = cscϕ

∫d(cscϕ.r)=¿∫csc2ϕdϕ¿

cscϕ.r=−cotϕ+C

y=−cotϕcscϕ

– Ccscϕ

R.

10.-x dydx−4y=x6+ex

dydx−

4yx =x5+

ex

x

P(x)= 1/x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x

x dydx

−x yx

=x6+ex

∫d(x.y)=∫x6+exdx

y=x67

+ex

x +cx R.

11.-3 dydx+12y=4

dydx

+4y=43

P(x)= 4 U(x) = e∫p (x)dx U(x)=4x

4x dydx−16x=16x

∫d(x.y)=∫16xdx

x.y=8x2+C

y=8x+cx R.

12.-2 dydx+10y=2

dydx

+5y=1

P(x)= 5 U(x) = e∫p (x)dx U(x)=e5x

e5x dydx

−e5xy=e5x

∫d(e5x.y)=∫e5xdx

e5x.y=e5x5

+C

y=

15

+ce5x R.

13.-x.dy=(xsenx−y)dx

dydx

x+y=xsenx

dydx

+yx

=senx

P(x)= 1/x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x

x dydx

−y=xsenx

∫d(x.y)=∫xsenxdx

x.y = 1x

¿ +C

y=senxx

−cosx+cx R

14.-−2y−2xdydx

+3=2y

dydx

+2yx

=3

−2x

P(x)= 2/x U(x) = e∫p (x)dx U(x)=x2

x2 dydx−

2yx =

3x2

−2x

∫d(x2.y)=∫ 3x−2

dx

x2.y = 3x2−4

+C

y=34

+ cx2 R

15.-8x2 dydx

+ (2−4x )y=2xex

dydx+

(2−4x)8x2 y=

ex

4x

P(x)= (2−4x )8x2 U(x) = e∫p (x)dx U(x)=

−1lnx−1/4

4

−1lnx−14

4 . dydx−−1lnx

−14

4 .2yx =−1lnx

−14

4 . 3x2

−2x

−1lnx−14

4 .y=¿ +C

y=¿ +C/−1lnx−14

4

SOLUCIÓN DE ED HOMOGENEAS DE ORDEN 2, CUADRATICA CONVALORES IMAGINARIOS

1. 4y”−8y'+5y=0

m=y'

m2−8m+5=0m1=1+0.5im2=1−0.5iy=C1e(1+0.5i)x+C2e(1−0.5i )x

y=ex (e(0.5i)x+e(−0.5i )x)e(0.5i )x=cos (0.5x)+isen (0.5x )e(−0.5 i)x=cos (0.5x )−isen (0.5x )

y=ex (C1cos (0.5x )+C1isen (0.5x)+C2cos (0.5x )−C2isen (0.5x ))

A=C1+C2

B=C1−C2

y=ex(C1cos (0.5x )+C2sen (0.5x ))R

2. y”−2y´+2y=0

m=y'

m2−2m+2=0m1=1+im2=1−iy=C1e(1+i)x+C2e(1−i)x

y=ex (e(i)x+e(−i)x )e(i)x=cos (x )+isen (x )e(−i )x=cos (x)−isen (x )

y=ex (C1cos (x)+C1isen (x )+C2cos (x )−C2isen (x ))

A=C1+C2

B=C1−C2

y=ex (C1cos (x)+C2sen (x) )R

3. - y”+2y'+5y=0

m=y'

m2+2m+5=0m1=−1+2im2=−1−2i

y=C1e(−1+2i)x+C2e(−1−2i)x

y=ex (e(2i )x+e(−2i )x)e(2i)x=cos (2x )+isen (2x )e(−2i)x=cos (2x )−isen (2x )

y=e−x (C1cos (2x )+C1isen (2x)+C2cos (2x )−C2isen (2x ))

A=C1+C2

B=C1−C2

y=e−x(C1cos (2x )+C2sen (2x ))R

4. - y”+4y'+5y=0

m=y'

m2+4m+5=0m1=−2+im2=−2−iy=C1e(−2+i)x+C2e(−2−i)x

y=e−2x (e(i)x+e(−i)x )e(i)x=cos (x )+isen (x )e(−i )x=cos (x)−isen (x )

y=e−2x (C1cos (x)+C1isen (x )+C2cos (x )−C2isen (x ))

A=C1+C2

B=C1−C2

y=e−2x (C1cos (x)+C2sen (x) )R

5. - y”+y'−2y=0

m=y'

m2+m−2=0

m1=−12

+32i

m2=−12

−32i

y=C1e(−12 +32i)x

+C2e(−12 −32i)x

y=e−12

x(e(32 i)x+e(−32 i)x)e(32 i)x=cos(32 x)+isen (32 x)e(−32 i)x

=cos(32 x)−isen(32 x)y=e

−12

x(C1cos(32 x)+C1isen(32 x)+C2cos(32 x)−C2isen(32x))A=C1+C2

B=C1−C2

y=e−12

x(C1cos(32 x)+C2sen(32 x))R

6. - y”+y=0

m=y'

m2+1=0m2=−1

m=(−1 )12

m1=im2=−iy=C1e(i)x+C2e(−i )x

e(i)x=cos (x )+isen (x )e(−i )x=cos (x)−isen (x )

y=(C1cos (x)+C1isen (x )+C2cos (x )−C2isen (x ))

A=C1+C2

B=C1−C2

y=(C1cos (x)+C2sen (x) )R

7. - y”+9y=0

m=y'

m2+9=0

m2=−9

m=(−9 )12

m1=3im2=−3iy=C1e(3i )x+C2e(−3i)x

e(3i)x=cos (3x )+isen (3x )e(−3i)x=cos (3x )−isen (3x )

y=(C1cos (3x )+C1isen (3x)+C2cos (3x)−C2isen (3x ))

A=C1+C2

B=C1−C2

y=(C1cos (3x )+C2sen (3x ))R

8. - y”−2y'+3y=0

m=y'

m2−2m+3m=0(m−1)2=−4m1=1+2im2=1−2iy=C1e(1+2i)x+C2e(1−2i )x

y=ex (e(2i )x+e(−2i )x)e(2i)x=cos (2x )+isen (2x )e(−2i)x=cos (2x )−isen (2x )

y=ex (C1cos (2x )+C1isen (2x)+C2cos (2x)−C2isen (2x ))

A=C1+C2

B=C1−C2

y=ex(C1cos (2x )+C2sen (2x ))R

9. - y”+25y=0

m=y'

m2+25=0m2=−25

m=(−25 )12




A=C1+C2

B=C1−C2

y=(C1cos (5x )+C2sen (5x ))R

10.- y”−4y'+8y=0

m=y'

m2−4m+8=0m1=−2+2im2=−2−2iy=C1e(−2+2i)x+C2e(−2−2i)x

y=e−2x (e(2i )x+e(−2i )x)e(2i)x=cos (2x )+isen (2x )e(−2i)x=cos (2x )−isen (2x )

y=e−2x (C1cos (2x)+C1isen (2x )+C2cos (2x)−C2isen (2x ))

A=C1+C2

B=C1−C2

y=e−2x (C1cos (2x)+C2sen (2x ))R

SOLUCIÓN DE ED HOMOGENEAS DE ORDEN 2, CUADRATICA CONVALORES IGUALES (SEN Y COS)

1.- y”+25y=cos(5X)

m=y'

m2+25=0m2=−25

m=(−25 )12




A=C1+C2

B=C1−C2y=(C1cos (5x )+C2sen (5x ))

f (x )=Acos (5x )+Bsen (5x)f´ (x )=−5Asen (5x)+B5cos (5x)

f(x)=-A25cos left (5x right ) - B25sen left (5x right Remplazamos en la función originaly”+25y=cos(5X)

[−25 Acos(5x )−25Bsen (5x) ]+25 [Acos (5x)+Bsen(5x )]=cos (5x)

Respuesta totaly=x (C1cos (5x )+C2sen (5x ))R

2.-y”+y=sen (x)−cos(x)

m=y'

m2+1=0m2=−1m1=im2=−iy=C1e(i)x+C2e(−i )x

e(i)x=cos (x )+isen (x )e(−i )x=cos (x)−isen (x )

y=(C1cos (x)+C1isen (x )+C2cos (x )−C2isen (x ))

A=C1+C2

B=C1−C2y=(C1cos (x)+C2sen (x) )

f (x )=Asen (x )+Bcos (x )f´ (x )=Acos (x )−Bsen(x )

f(x)=-Asen left (x right ) - Bcos left (x right Remplazamos en la función originaly”+y=sen (x)−cos (x)

[−Asen (x )−Bcos(x )+Asen (x)+Bcos(x) ]=sen (x )−cos (x)

Respuesta totaly=x (Asen (x)+Bcos (x ))R

3.- y”+16y=sen (4x+α )

m=y'

m2+4=0m2=−4m1=4im2=−4iy=C1e(4i )x+C2e(−4i)x

e(4i)x=cos (4x )+isen (4x)e(−4i)x=cos (4x )−isen (4x )

y=(C1cos (4x )+C1isen (4x)+C2cos (4x )−C2isen(4x ))

A=C1+C2

B=C1−C2y=(C1cos (4x )+C2sen (4x ))

f (x )=Asen (4x )+Bcos (4x)f´ (x )=4Acos (4x)−4Bsen (4x)

f(x)=-16Asen left (4x right ) -16 Bcos left (4x right Remplazamos en la función originaly”+y=sen (4x+α)

¿

Respuesta totaly=x (Asen (4x )+Bcos (4x ))R

OPERADORES DIFERENCIALES Sea:L [y ]=2y''−8y'+ryHallar:

1. L [2x2]=?L [y ]=202−90+6

y=2x2 y'=4x y''=4

L [y ]=2 (4 )−8 (4x )+6(2x2)

L [y ]=8−32x+12x2

L [2x2 ]=12x2−32x+8[y]

2. L [x3 ]=?

L [y ]=202−80+6 [y ]

y=x3 y'=3x2 y''=6x

L [y ]=−12x−24x2+6x3

L [x3 ]=6x3−24x2+12x

3. L [e2x]=?L [y ]=202−90+6 [y ]

y=e2x y=2e2x y=4e2x

L [y ]=2 (4e2x)−8 (2e2x )+6(e2x)

L [y ]=8e2x−16e2x+6e2x

L [y ]=−2e2x

L [e2x ]=−2e2x

4. L [e4x]=?L [y ]=202−80+6

y=e4x y'=4e4x y''=16e4x

L [y ]=2 (16e4x )−8 (4e4x)+6(e4x)

L [y ]=32e4x−32e4x+6e4x

L [2x2 ]=6e4x

Dadas y1 (x)=e2x;y2 (x)=e−x soluciones de la EDH

Y”−y'−2y=0 Hallar soluciones que satisfagan los valor,

dadas

5. y (0)=−1y' (0)=4

y (x)=c1e2x+c2e

−x c1=1

y (0)=−1 c2=−2

c1+c2=−1 y=e2x−2e−x

y'(x)=2c1e2x+c2e

−x

y'(0)= 4

OPERADORES DIFERENCIALES COMO PRODUCTO

Hallar el operador diferencial producto y evaluar en y=0,5

1. y''=−8y'+4yL [y ]=D2−8D+4 [y]

SeaD2−8D+4

D1-7,46D2−0,53

D1-7,46=0D2−0,53=0L [y ]=(D1−7,46)(D2−0,53)

2. 4y''−2y'−3yL [y ]=(4D2−2D−3) [y ]

D1=14

−√134

D1−14

+ √134

=0-7

D2=14

+ √134

D2−14−√13

4=0

L [y ]=(D1−14

+ √134

)¿) [y]

3. y''+10y'+4yL [Dy ]=(D2−10D+4)[y]

D1=−5−√21D1+5+√21=0D2=√21−5D2−√21+5=0

L [y ]=(D1+5+√21)¿) [y]

4. 6y''−2y'−4yL [y ]=(6D2+2D+4)[y]

Sea6D2+2D+4=0

D1=−16i(√23−i)D1+

16i(√23−i)=0-

D2=16i(√23−i)D2−

16i(√23+i)=0

L [y ]=(D1+16i(√23−i))¿) [y]

DEMOSTRACIÓN DE OPERADORES DIFERENCIALES

1. y'=Dy''=D2

D2+60D+4¿[y]

D1=−0,35D2=−5,64

(D1+0,35)(D¿¿2+5,64) [y ]=(D1+0,35)(D¿¿2+5,64)¿¿

Son iguales por lo tanto cumple la igualdad

2. y''−7y'+4y=(D¿¿2−7D+4)¿ [y]

D1=y'D2=y''

(D2−7D+4 ) [y ]=(D2−7D+4 )[y]

D1=−6,87D2=0,62

(D1−6,87)(D¿¿2+0,62)[y ]=(D1−6,87)(D¿¿2+0,62) [y ]¿¿

Si cumple la igualdad

3. Verificar que Y (t)=e−3t cos4t es solución de y''+6y'+25y=0

y expresar como operador diferencial producto

y (t)=e−3tcos4ty' (t )=−3e−3tcos4t−4e−3tsen4ty'' (t )=24e−3tsen (4t)−7e−3tcos (4t)

Reemplazamoseny''+6y'+25y=024e−3tsen (4t )−7e−3tcos (4t )+6 ¿¿

25¿¿

24e−3tsen (4t )−7e−3tcos (4t )+6 ¿¿

25¿¿

4. Verificar que y (t)=e−4t.cos5t es solución de y''+8y'+25y=0

y (t)=e−4t+cos5ty' (t )=−4e−4tcos5t−5e−4tsen5ty'' (t )=40e−4tsen5t−9e−4tcos5tReemplazamoseny''+8y'+25y=0

40e−4tsen5t−9e−4tcos5t−32e−4tcos5t−40e−4tsen5t+25e−4tcos5t

U=0 (V )siessolucióndelaED

5. Verificar que y(t)=e−5t es solución de y''+10y'+25y=0

y''+10y'+25y=0y (t )=e−5t y' (t )=−5e−5t

y'' (t )=25e−5t

Reemplazamoseny''+10y'+25y=025e−5t−50e−5t+25e−5t=0 U=0 [v] si es solución de la ED

Ecuaciones Diferenciales (Lineales)deOrden Superior

2.2

2.2.1

Nociones fundamentales. Ecuaciones lineales de orden supe-rior

Ecuaciones diferenciales de orden n

De nición 10 Una ecuación diferencial de orden n es toda ecuación que, expresada en forma fiimpl´ıcita, esdel tipo

F (x, y(x), y (x), . . . , y(n)(x)) = 0o bien, expresada en forma expl´ıcita,

y(n)(x) = f (x, y(x), y (x), . . . , y(n−1)(x))

La solución general de estas ecuaciones es una familia de curvas cuya expresión anal´ıtica depende de n

constantes arbitrarias; escribiéndose y = y(x; C1, . . . , Cn) en forma expl´ıcita, o f (x, y; C1, . . . , Cn) = 0 enforma impl´ıcita. Dichas constantes se determinan una vez dado un conjunto de condiciones iniciales

x0 , y(x0) = y0 , y (x0) = y0 , ... , (n−1)

y(n−1)(x0) = y0

.

.

.

.

a o

Ecuaciones Diferenciales. 20

o bien el correspondiente problema de contorno.

El primer resultado fundamental es el que relaciona las ecuaciones diferenciales de orden superior con los

sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden:

Proposición 6 Toda ecuación diferencial de orden n (expresada en forma normal)

y(n)(x) = f (x, y(x), y (x), . . . , y(n−1)(x))

es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden

dydxdy 1 dx

dy n−2 dx

=

=

.=

y1(x)

y2(x)

yn−1(x)dy n−1 dx

= f (x, y1(x), . . . , yn−1(x)) (2.1)

donde y(x), y1(x), . . . , yn−1(x) son funciones desconocidas.

( Dem. ) Inmediata.

De este modo, resolver la ecuación diferencial de orden n equivale a resolver el sistema anterior, esto es,

a buscar las n funciones y(x), y1(x), . . . , yn−1(x). Cada una de ellas contendrá una constantearbitraria y eltotal de éstas se determinará a partir de las condiciones iniciales, que ahora se escribirán

x0 , y(x0) = y00 , y1(x0) = y10 , ... , yn−1(x0) = yn0 −1

La cuestión que se plantea ahora es la de la existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferen-

ciales de orden superior en general. En virtud de la proposición precedente ello es equivalente a estudiar laexistencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden 1.

Teorema 5 (de existencia y unicidad local para sistemas de 1er orden): Considérese el sistema de ecuacionesde primer orden

con las condiciones iniciales

dy 1 dx

dy n dx

= f1(x, y1(x), . . . , yn(x))

.= fn(x, y1(x), . . . , yn(x))

x0 , y1(x0) = y10 , ... , yn(x0) = yn0

y sea el rectángulo

D = [x0 − a, x0 + a] × [y10 − b1, y10 + b1] × . . . × [yn0 − bn, yn0 + bn] ⊂ Rn+1

(con a, b1, . . . , bn > 0). Si se veri can las condicionesfi

1. fi(x; y1, . . . , yn) (i = 1, . . . , n) son funciones continuas en D.1Aunque los sistemas de ecuaciones serń objeto de estudio en el pr´ximo cap´ıtulo, adelantamos este resultado por

razonesobvias.


2. Cada una de estas funciones satisface la condición de Lipschitz; es decir, para todo par de puntos

(x, y10, . . . , yn0 ), (x, y11, . . . , yn1 ) ∈ D y ∀i existe una constante L > 0 tal quen

|fi(x, y11, . . . , yn1 ) − fi(x, y10,. . . , yn0 )| ≤ L

|yj1 − yj0|

j=1

Entonces existe una uńica solución del problema, y1(x), . . . , yn(x), de nida en un cierto fiintervalo (x0 −δ, x0 + δ) (con 0 < δ ≤ a).

( Dem. ) Sigue los mismos pasos que la del teorema de Picard:

1. fi están acotadas en D (por ser D compacto), luego ∃Mi > 0 tales que |fi(x, y1, . . . , yn)| ≤ Mi, ∀i.

2. Se construyen las n sucesiones funcionales {yin(x)} (con n ∈ {0} ∪ N e i = 1, . . . , n),

de nidas comofi

yi0(x) = yi0x

yi1(x)

yin+1(x)

= yi0 +

.= yi0 +

x0

x

fi(t, y10(t), . . . , yn0 (t))dt

fi(t, y1n(t), . . . , ynn(t))dtx0

n→∞δ, x0 + δ) (δ depende de todas las constantes involucradas en el teorema).

3. Se prueba que yi(x) constituyen la solución del sistema.

4. Se prueba que esa es la uńica solución del problema (usando la condición de Lipschitz).

Comentarios:

· Análogamente al resultado para funciones de dos variables, se tiene ahora el siguiente:Sea una función f (x, y1, . . . , yn) y D ⊂ Rn+1 una región compacta en su dominio. Si, ∀i(i = 1, . . . , n),∂f∂yi

existen y son funciones continuas en D, entonces f satisface la condición de Lipschitz.

· En el caso de las n − 1 primeras ecuaciones del sistema (2.1), los segundos miembros, fi(x,

y1, . . . , yn),son funciones continuas que tienen derivadas parciales continuas en D; por consiguiente para que severi quen las hipótesis del teorema de existencia y unicidad en este caso, basta con que filas cumplanla función f del segundo miembro de la u´ltima ecuación.

· Los resultados sobre prolongación de soluciones y de existencia y unicidad de solución maximal seestablecen de manera análoga a como se estudió en el cap´ıtulo anterior para las ecuaciones de primerorden.

· También se pueden extender estos resultados a ecuaciones diferenciales de variable compleja y la funciónf anal´ıtica.

.

.

Se demuestra que lim {yin(x)} = yi(x) , funciones l´ımite que est´an de nidas en un intervalo (xfi

2.2.2

Ecuaciones diferenciales lineales de orden n

Dentro del conjunto de las ecuaciones diferenciales de orden superior, prestaremos especial atenci´on a laslineales.


De nición 11 Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de orden n que es fiuna expresiónlineal de la función y sus derivadas 2; por tanto, tiene la forma

fn(x)dny

n + fn−1(x)dn−1y

n−1 + . . . + f1(x)

dydx + f0(x)y + f (x) = 0

Se denomina ecuación lineal homogénea de orden n (asociada o no a una ecuación lineal completa) a

toda ecuación lineal en la que f (x) = 0; esto es,

fn(x)dny

n + fn−1(x)dn−1ydxn−1 + . . . +

f1(x)dydx + f0(x)y = 0

Si fn(x) = 0, ∀x ∈ [a, b], entonces la ecuación se puede expresar en forma normal

dnyn = −

f n−1 (x) d n−1yn−1 − ...

−f 1 (x) dyfn(x) dx

− f 0 (x) fn(x) y − f

(x)fn(x)

=0

que habitualmente escribiremos

dnydxn + Fn−1(x)

dn−1ydxn−1 + . . . +

F1(x)dydx + F0(x)y = F (x) (2.2)

Los puntos en los que fn(x) = 0 se denominan puntos singulares de la ecuación lineal.

Al igual que ya se hizo con la ecuación lineal de primer orden, se puede traducir la ecuación lineal al

lenguaje de operadores. As´ı, si se considera el espacio de las funciones en R in nitamente fiderivables, C∞(R),se puede de nir el operador de derivaciónfi

D : C∞(R) −→→

y

C∞(R)y

y se puede escribir y = D0(y) ≡ I(y), y = D1(y), y = D2(y), . . . ,y(n) = Dn(y). A partir de aqu´ı, seintroduce el operador

L := Dn + Fn−1Dn−1 + . . . + F0Idel cual puede probarse con facilidad que es lineal, y que permite escribir la ecuación (2.2) como

L(y) = F (x)

(con lo que el nombre dado queda justi cado).fi

Se plantea ahora la cuestión de la de la existencia y unicidad de soluciones para ecuacionesdiferenciales

lineales de orden superior. Aún cuando sigue vigente el teorema 5, en este caso concreto se puede precisaralgo más.

Teorema 6 (de existencia y unicidad para ecuaciones lineales): Considérese la ecuación (2.2) con lacondición inicial

y(x0) = y0 , y (x0) = y1 , . . . , y(n−1)(x) = yn−1y tal que las funciones F (x), F0(x), . . . , Fn−1(x) son continuas en un cierto intervalo I = (x0 − a, x0 + a)(con 0 < a). Entonces existe una uńica solución y = y(x) de nida en el intervalo I , que es fiderivable con

dx dx

dx

dx fn(x) dx

dxe

continuidad hasta el orden n.

( Dem. ) Expresando la ecuaci´on lineal en forma normal

dnyn = −Fn−1(x)

dn−1ydxn−1 + . . . −

F1(x)dydx − F0(x)y + F (x) ≡ G(x, y, y , . . . , yn−1)

2Obs´rvese que los coe cientes funcionales son funciones de x u´nicamente.fi


dado que las funciones Fi(x) (i = 0, 1, . . . , n − 1) son continuas por hipótesis, también lo son G y

∂G∂y(i) = Fi

, por lo que son aplicables los teoremas generales de existencia y unicidad, concluyéndose, pues, que elproblema de valor inicial dado tiene una uńica solución maximal y(t) de nida en un cierto fiintervalo abierto.Ahora se trata de comprobar que dicho intervalo es I .

Por simplicidad, se hará la demostración para el caso de la ecuación lineal de primer orden. Se comienza

comprobando que, dado T > 0, la solución está de nida para todo x fi ∈ [x0, x0 + T ]. En efecto, a partir dela expresión (1.8), que en este caso es

x

y(x) = y0 +x0(−g(t)y(t) + f (t))dt

se obtiene|y(x)| ≤ |y0|+

x

x0|g(t)||y(t)|dt +

x

x0|f (t)|dt

por lo que, llamando φ(x) = |y(x)| y con L = maxI |g(x)|, M = maxI |f (x)|, se tienex

y utilizando el lema de Gronwald,

φ(x) ≤ |y0| +L x0

φ(t)dt + M (x − x0)

φ(x) = |y(x)| ≤ |y0|eL(x−x0) +

ML eL(x−x0) − 1 = |y0|eLT +

ML eLT − 1

acotación que prueba que la solución maximal está de nida en el intervalo [xfi 0, x0 + T ] y como esto vale paracualquier T , se ha demostrado que y(x) está de nida para todo x ≥ xfi 0 en I . De igual manera seprobar´ıa quelo está también para todo x ≤ x0 en I , luego se concluye que existe solución maximal en I y,en particular,en todo R, si I = R.

Comentario:

· Es importante resaltar que, si los coe cientes funcionales son continuos en todo R, fientonces la existenciade la solución está garantizada también en todo R.

Sobre la resolución de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se tiene el mismo resultado

que para las de primer orden:

Proposición 7 El conjunto de soluciones de la ecuación (2.2) está dado por yP + yH , donde yPes unasolución particular cualquiera de la ecuación completa e yH es la solución general de la ecuación homogéneaasociada.

( Dem. ) Análoga a la de la proposición 2.

2.3

2.3.1

Estudio de las soluciones de las ecuaciones diferencialeslin-eales de orden n

Dependencia e independencia lineal de funciones. Wronskiano

Antes de tratar el estudio de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, es preciso

introducir algunos conceptos y resultados sobre dependencia e independencia lineal de funciones.

De nici´on 12 Dado un conjunto de funciones {yfi 1(x), . . . , yn(x)} de nidas en el mismo dominio fiD ⊆ R,estas funciones son linealmente independientes en D sii se cumple que, ∀x ∈ D,

con α1, . . . , αn ∈R.

α1y1(x) + . . . + αnyn(x)

= 0

⇐⇒ α1 = . . . = αn = 0


Enunciaremos, a continuación, algunas condiciones su cientes para garantizar la fiindependencia lineal de

funciones.

Dado el conjunto de funciones {y1(x), . . . , yn(x)} en D, se observa, en primer lugar que, si se veri ca que,fi

∀x ∈ D,α1y1(x) + . . . + αnyn(x) = 0

para algunos α1, . . . , αn ∈ R, entonces también se cumplen las siguientes relaciones, ∀x ∈ D,

α1y1(x) + . . . + αnyn(x)α1y1(x) + . . . + αnyn(x)

==

.

00

(n−1) (x) + . . . + αnyn(n−1)(x)

= 0 (2.3)

De nición 13 Sea un conjunto de funciones {yfi 1(x), . . . , yn(x)} de nidas en el mismo dominio Dfi⊆ R. Lamatriz asociada al sistema (2.3)

y1(x)y1(x).

(n−1)

. . . yn(x). . . yn(x)

.(n−1)

se denomina matriz wronskiana del conjunto y su determinante en cada punto x ∈ D, que denotaremos porW (x) = W (y1(x), . . . , yn(x)), recibe el nombre de wronskiano.

Con esta nomenclatura el primero de los resultados anunciados, que se obtiene como consecuencia directa

de lo expuesto, es el siguiente:

Proposición 8 Sea el conjunto de funciones {y1(x), . . . , yn(x)} en D. Si W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0 paraalgún x ∈ D, entonces las funciones y1(x), . . . , yn(x) son linealmente independientes en D.

Equivalentemente, si y1(x), . . . , yn(x) son linealmente dependientes en D entonces W (y1(x),. . . , yn(x)) =

0, para todo x ∈ D.

( Dem. ) En efecto, si W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0 para algún x ∈ D, entonces la uńica solución posible delsistema (2.3) en ese punto es que α1 = . . . = αn = 0 y, por tanto, en cualquier otro punto de Dse tendráque α1y1(x) + . . . + αnyn(x) = 0 con α1 = . . . = αn = 0, luego las funciones y1(x), . . . , yn(x) son linealmenteindependientes en D.

El rec´ıproco de este enunciado no es cierto, en general (véase el ejemplo en el próximo comentario), a

menos que se imponga alguna hipótesis adicional, tal como enuncia el siguiente resultado que relaciona elconcepto de independencia lineal con las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

Teorema 7 Sea el conjunto de funciones {y1(x), . . . , yn(x)} en un intervalo I ⊂ R. Si y1(x), .. . , yn(x)son linealmente independientes en I y además son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogéneaL(y) = 0, cuyos coe cientes Ffi i(x) son funciones continuas, entonces W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0, ∀x ∈ I ,

.

.α1y1

.

.y1 (x)... . .

yn(x)

( Dem. ) Supóngase que W (y1(x0), . . . , yn(x0)) = 0 para algún x0 ∈ I . Entonces, se pueden elegir lasconstantes αi de manera que se satisfaga el sistema de ecuaciones (2.3) y tales que no todas ellas sean nulas(ya que al ser el determinante del sistema nulo en algún punto, existen soluciones no triviales del mismo).Para tales valores de las constantes, la combinación lineal

y(x) = α1y1(x) + . . . + αnyn(x)

es solución de la ecuación lineal homogénea dada (véase el teorema 8) y, en virtud de las ecuaciones (2.3),satisface además las condiciones iniciales

y(x0) = 0 , y (x0) = 0 ,..., yn−1(x0) = 0


Pero también estas condiciones iniciales son satisfechas por la solución trivial y(x) = 0, luego, en virtud delteorema de existencia y unicidad, ésta es la uńica solución posible y, por tanto

y(x) = α1y1(x) + . . . + αnyn(x) = 0

por lo que y1(x), . . . , yn(x) han de ser linealmente dependientes, en contra de la hipótesis.

Comentario:

· Si las funciones y1(x), . . . , yn(x) linealmente independientes no son soluciones de una ecuación linealhomogénea, pueden tener el wronskiano nulo, no sólo en algunos puntos, sino idénticamente en todo I .Ejemplo: En I = [0, 2] considérense las funciones

y1(x) = (x − 1)20

si 0 ≤ x ≤ 1si 1 ≤ x ≤ 2 ; y2(x) = 0

(x − 1)2si 0 ≤ x ≤ 1si 1 ≤ x ≤ 2

Evidentemente W (y1(x), y2(x)) = 0, ∀x ∈ I . Sin embargo, se trata de dos funciones linealmenteindependientes, ya que la igualdad α1y1(x) + α2y2(x) = 0, considerada en el segmento 0 ≤ x <1, dacomo solución α1 = 0; mientras que considerada en el segmento 1 < x ≤ 2, da como soluciónα2 = 0;por consiguiente α1 = α2 = 0.

2.3.2 Solución de la ecuación lineal homogénea

Una vez aclarados los puntos precedentes, se puede iniciar ya el estudio de las soluciones de las ecuacionesdiferenciales lineales de orden n.

En primer lugar se tiene:

Teorema 8 (Principio de superposición): Si y1(x), . . . , ym(x) son soluciones (particulares) de la ecuaciónlineal homogénea L(y) = 0 en un dominio I ⊆ R, entonces cualquier combinación lineal de ellas, y(x) =m

ciyi(x) , es también solución de dicha ecuación.i=1

( Dem. ) Es una consecuencia trivial de la linealidad del operador L.

Teniendo ésto en cuenta, el siguiente paso es:

Teorema 9 Sea L(y) = 0 una ecuación lineal homogénea de orden n cuyos coe cientes Ffi 0(x), . . ., Fn−1(x)son funciones continuas en un intervalo I ⊂ R. Entonces, el conjunto de soluciones de dicha ecuación (estoes, ker L) es un espacio vectorial de dimensión n.

( Dem. ) Evidentemente el núcleo de un operador lineal es un espacio vectorial. Hay que comprobar quesu dimensión es n.

Sea x0 ∈ I . Considérense los siguientes problemas de valores iniciales

L(y(x)) = 0L(y(x)) = 0

L(y(x)) = 0.

y(x0) = 1, y (x0) = 0, . . . , y(n−1)(x0) = 0y(x0) = 0, y (x0) = 1, . . . , y(n−1)(x0) = 0

y(x0) = 0, y (x0) = 0, . . . , y(n−1)(x0) = 1

.

.

como se satisfacen las condiciones del teorema de existencia y unicidad, existe soluci´on u´nica para cadauno de ellos. Sean y1(x), . . . , yn(x) ∈ C∞(I ) las soluciones respectivas, las cuales satisfacen obviamente queW (y1(x0), . . . , yn(x0)) = 1 = 0, luego son linealmente independientes en I y, por tanto dim ker L ≥ n.


Probemos, seguidamente, que {y1(x), . . . , yn(x)} es una base de ker L. Sea y ∈ ker L; esto es, tal que

n

L(y) = 0, y supóngase que y(x0) = λ1, y (x0) = λ2, . . . , y(n−1)(x0) = λn. La función y(x) =

λiyi(x)

i=1también es solución de L(y) = 0 y satisface las condiciones iniciales dadas, luego por el teorema de existencia yunicidad, es la solución ∀x ∈ I . As´ı pues, {y1(x), . . . , yn(x)} es base de ker L y, por consiguiente, dim ker L =n.

De este modo, hallar la solución general de una ecuación lineal homogénea con coe cientes ficontinuos pasa

por encontrar n soluciones particulares linealmente independientes. Ello da origen a la siguiente de nición:fi

De nición 14 Se denomina sistema fundamental de soluciones de una ecuación lineal homogénea fide ordenn (cuyos coe cientes sean funciones continuas en un intervalo I = [a, b] fi ⊂ R) a cualquier conjunto de nsoluciones particulares linealmente independientes.

El conocimiento de un conjunto de n soluciones linealmente independientes de ne de manera unfi´ıvoca la

ecuación diferencial lineal homogénea de la cual ese conjunto es un sistema fundamental de soluciones, yaque:

Teorema 10 Sean dos ecuaciones lineales homogéneas con coe cientes continuos en un intervalo Ifi⊂ R

L1(y) ≡dny

n + Fn−1(x)dn−1ydxn−1 + . . . +

F1(x)dydx + F0(x)y = 0

L2(y) ≡ dnyn + Gn−1(x) dn−1y

n−1 + . . . +

G1(x)

dydx + G0(x)y = 0

tales que tienen un mismo sistema fundamental de soluciones {y1(x), . . . , yn(x)}. Entonces

Fi(x) = Gi(x),∀x ∈ I (ambas ecuaciones son iguales).

( Dem. ) En efecto, si y1(x), . . . , yn(x) son soluciones de ambas ecuaciones también lo son de su diferencia

0 = L1(y) − L2(y) = (Fn−1(x) − Gn−1(x))

dn−1ydxn−1 + . . . + (F1(x) −

G1(x))dydx + (F0(x) − G0(x))y

y si Fn−1(x) = Gn−1(x) se tendr´ıa una ecuación lineal homogénea de orden n − 1 con n

soluciones lin-ealmente independientes, en contradicción con el teorema anterior, luego Fn−1(x) = Gn−1(x). Iterando elrazonamiento se llega al mismo resultado para el resto de coe cientes.fi

El procedimiento para hallar la ecuación lineal homogénea de nida por un sistema fifundamental de

soluciones es como sigue:

Sea {y1(x), . . . , yn(x)} un conjunto que es sistema fundamental de soluciones de una ecuación homogénea

L(y) = 0 en I = [a, b] (por tanto son funciones derivables con continuidad hasta el orden que haga falta).Necesariamente (teorema 7) W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0, ∀x ∈ I . Sea y(x) otra solución cualquiera de la

dx

dx dx

.

.y1 (x)..yn (x) (x)

y1 (x) yn (x)

dx dx

ecuación, entonces y1(x), . . . , yn(x), y(x) son linealmente dependientes en I y, por tanto, ∀x ∈ I ,

y1(x) ... yn(x) y(x)

W (y1(x), . . . , yn(x), y(x)) =

y1(x).

(n−1)

...

...

yn(x).

(n−1) y

y (x)

(n−1)=0

(n) ... (n) y(n)(x)

(obsérvese que la u´ltima columna es una combinación lineal de las anteriores). Desarrollandoel determinantepor la u´ltima columna se obtiene, por tanto, una ecuación diferencial lineal homogénea

fn(x)dny

n + fn−1(x)dn−1y

n−1 + . . . + f1(x)

dydx + f0(x)y = 0


donde fn(x) = W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0, ∀x ∈ I , y el resto de los coe cientes son los fideterminantes de lassubmatrices de orden n que aparecen en el desarrollo del determinante. Por tanto, dividiendo por fn(x)queda

dnydxn + Fn−1(x) dn−1y

dxn−1 + . . . +

F1(x)

dydx + F0(x)y = 0

que es una ecuación diferencial lineal homogénea con coe cientes Ffi i(x) continuos, ya que son productos ysumas de las funciones yi(x).

A partir de aqu´ı se obtiene el siguiente resultado:

Proposición 9 Sea {yp(x), y1(x), . . . , yn(x)} un conjunto de funciones tales que:

1. yp(x) es una solución particular de una ecuación lineal con coe cientes continuos, L(y) fi= F (x) en

I = [a, b].

2. {y1(x), . . . , yn(x)} es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea L(y) = 0 en

I = [a, b].

Entonces dicho conjunto de funciones determina un´ıvocamente la ecuación lineal completa L(y) = F (x)

( Dem. ) En efecto, el conjunto {y1(x), . . . , yn(x)} determina, de manera un´ıvoca, la ecuación homogéneasegún el procedimiento descrito; esto es, el operador L(y). Entonces F (x) se determina haciendo L(yp) =F (x).

(Véase un ejemplo de aplicación en la colección de problemas).

Comentario:

· En las condiciones de aplicación de los anteriores teoremas, el conocimiento de una solución particular

´se conoce con el nombre de método de D’Alembert, y se va a ilustrar con la ecuación lineal homogéneade 2o orden

y + f1(x)y + f0(x)y = 0Si yp(x) es una solución particular, haciendo el cambio de variable y = zyp se tiene que y

= zyp + z ypy y = zyp + 2z yp + z yp, luego sustituyendo en la ecuación

0 ==

y + f1(x)y + f0(x)y = zyp + 2z yp + z yp + f1zyp + f1z yp + f0zypz(yp + f1yp + f0yp) + 2z yp + z yp + f1z yp = z yp + z (2yp + f1yp)

y esta es una ecuación lineal homogénea de primer orden para la función u = z .

2.3.3 Solución de la ecuación lineal completa: método de variación de con-stantes

Analicemos, ahora, el problema de hallar la solución de la ecuación lineal completa. El método que vamosa presentar consiste en obtener dicha solución a partir de n soluciones linealmente independientes conocidasde la ecuación lineal homogénea asociada.

De acuerdo con lo expuesto anteriormente, si se tiene una ecuación lineal de orden n (con

de la ecuación homogénea permite reducir el orden del problema en una unidad. Este procedimiento

coe cientesficontinuos), L(y) = F (x), y un sistema fundamental de soluciones {y1(x), . . . , yn(x)}, de la ecuación linealhomogénea asociada L(y) = 0, la solución general de esta u´ltima ecuación es una combinación lineal yH (x) =n

ciyi(x) , por lo que para tener la solución general de la ecuación lineal completa basta con obtener una

i=1solución particular de la misma (proposición 7). Entonces:


Proposición 10 Sea una ecuación lineal de orden n (con coe cientes continuos), L(y) = F (x), fiy sea{y1(x), . . . , yn(x)} un sistema fundamental de soluciones de la ecuación lineal homogénea asociada L(y) = 0.Entonces, una solución particular de la ecuación lineal completa es la combinación lineal (con coe cientesfifuncionales)

n

yP (x) =i=1

donde las funciones Ci(x) son la solución del sistema

Ci(x)yi(x)

y1(x).

(n−1)

. . . yn(x)

.(n−1)

C1(x).

Cn(x)

0.

F (x)

(2.4)

( Dem. ) La demostración se basa en la aplicación del método de variación de constantes o de Lagrange.El método consiste en suponer que una solución particular es yP (x) =

n

poniendo C(x) = (C1(x), . . . , Cn(x)) e Y(x) = (y1(x), . . . , yn(x)), se puede escribir en forma compacta como

yP (x) = C(x), Y(x) (2.5)

teniéndose queL(Y(x)) ≡ L(y1(x), . . . , yn(x)) = (0, . . . , 0) ≡ 0

Derivando la expresión (2.5) se obtiene

yP (x) = C (x), Y(x) + C(x), Y (x)

y, dado que buscamos una solución particular, se pueden, en principio, elegir las funciones

{Ci(x)} demanera que C (x), Y(x) = 0. A partir de aqu´ı, derivando sucesivamente y tomando en cada pasoC (x), Y(i−1)(x) = 0 se obtiene

yP (x)yP (x)

(n)

==.=

C (x), Y(x) + C(x), Y (x)C (x), Y (x) + C(x), Y (x)

C (x), Y(n−1)(x) + C(x), Y(n)(x)

concon

C (x), Y(x) = 0C (x), Y (x) = 0

Sustituyendo ahora en la ecuación diferencial lineal resulta

L(yP (x)) ≡dny P

n + Fn−1(x)dn−1y P

n−1 + . . . + F1(x)

dy P dx + F0(x)yP

=

==

C(x), Y(n)(x) + C (x), Y(n−1)(x) + Fn−1(x) C(x), Y(n−1)(x) +. . . + F1(x) C(x), Y (x) + F0(x) C(x), Y(x)C(x), Y(n)(x) + Fn−1(x) C(x), Y(n−1)(x) + . . . + F0(x) C(x), Y(x) + C (x), Y(n−1)(x)C(x), Y(n−1)(x) = F (x)

luego para que yP (x)=

n

satisfagan las siguientes condiciones

C (x), Y(x)C (x), Y (x)

C (x), Y(n−1)(x)

==

.=

00

F (x)

As´ı pues, el vector C(x) está completamente determinado como solución del sistema (2.4)C (x), Y(x) ≡

.

.y1 (x)... . .

yn(x)

.

.

= ..

i=1 Ci(x)yi(x); expresiń que,o

.

.yP (x)

dx dx

i=1 Ci(x)yi(x) sea soluciń de la ecuaciń lineal completa es su ciente con que sefio o

.

.

.

...

≡ C1(x)y1 (x) + . . . + Cn(x)yn

. C1(x)y1(x)

+ . . . + Cn(x)yn(x)=.

0

C (x), Y(n−1)(x) (n−1) (n−1) (x) = F (x)


(que es compatible y determinado, ya que {y1(x), . . . , yn(x)} es un sistema fundamental de soluciones de laecuación homogénea y, por tanto, W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0, ∀x ∈ I , luego existe soluciónC (x) y de aqu´ıC(x)).

(Véase un ejemplo de aplicación en la colección de problemas).

Llegados a este punto está claro que lo uńico que queda por hacer para tener la solución general de una

ecuación lineal de orden n es conocer un sistema fundamental de soluciones de la ecuación lineal homogéneaasociada. Obtener tal sistema no es, en general, un problema elemental, salvo cuando los coe cientes sonficonstantes, tal como vamos a ver en la siguiente sección.

Para nalizar, es conveniente senãlar que también para las ecuaciones lineales completas sefipuede es-

tablecer un principio de superposición de soluciones, en el siguiente sentido:

Proposición 11 Sean L(y) = F1(x), . . . , L(y) = Fn(x) ecuaciones diferenciales lineales. Si y1(x), . . . , yn(x)son soluciones respectivas de ellas, entonces y1(x) + . . . + yn(x) es solución de la ecuaciónlineal L(y) =F1(x) + . . . + Fn(x)

( Dem. ) Trivial.

2.4

2.4.1

Ecuaciones diferenciales lineales con coe cientes ficonstantes

Ecuaciones lineales homogéneas con coe cientes constantesfi

Comenzaremos el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales (de orden n) con coe cientes ficonstantes conel caso de las ecuaciones homogéneas. Se trata, pues, de resolver la ecuación del tipo

dnyn + an−1

dn−1yn−1 + . . .

+ a1dydx + a0y = 0

con a0, . . . an−1 ∈ R. En forma abreviada, y como ya es costumbre, escribiremos L(y) = 0, donde

en estecaso el operador lineal L es

L := Dn + an−1Dn−1 + . . . + a1D + a0IEntonces se de ne:fi

De nición 15 La ecuaciónfi

p(x) := xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0

se denomina ecuación caracter´ıstica y el polinomio p(x) es el polinomio caracter´ıstico de laecuación difer-encial lineal homogénea dada.

Y para hallar un sistema fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal se utiliza el siguiente

´

Teorema 11 (de la 1a descomposición): Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo K y F : E → Eun endomor smo. Sea p(x) fi ∈ K (X ) un polinomio y p(x) = p1(x) . . . pr (x) una descomposición tal quem.c.d. (pi(x), pj (x)) = 1, ∀i, j . Entonces

dx dx

teorema de Algebra lineal:

Ker p(F ) := Ker p1(F ) ⊕ . . . ⊕ Ker pr (F )

donde los subespacios Ker pi(F ) son invariantes por F .


En el caso que nos ocupa E = C∞(R), K = R, F = D y p(x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 es unpolinomio que anula D en Ker L; es decir, p(D)(y) = 0, ∀y ∈ Ker L; o lo que es lo mismo, p(D)(y) = L(y).Entonces hay que distinguir los siguientes casos:

p(x) tiene n ra´ıces reales simples

En este caso resulta:

Proposición 12 Si la ecuación caracter´ıstica de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tienen ra´ıces reales distintas λ1, . . . , λn ∈ R, entonces

{eλ1x, . . . , eλnx}

es un sistema fundamental de soluciones de dicha ecuación y, por tanto, la solución general de la ecuaciónes

y(x) =n

i=1cieλix

( Dem. ) En primer lugar se tiene la descomposición

p(x) = (x − λ1) . . . (x − λn)

luego, aplicando el teorema de la 1a descomposición,

Ker L = Ker p(D) = Ker (D − λ1I) ⊕ . . . ⊕ Ker (D − λnI)

y ahora hay que calcular Ker (D − λiI); esto es, hallar y ∈ C∞(R) tal que solucione la ecuación

(D − λiI)y = y − λiy = 0

que es de variables separadas y tiene como solución

y(x) = C1eλix ⇔ Ker (D − λiI) = {eλix}

Por consiguienteKer L = Ker p(D) = {eλ1x, . . . , eλnx}

luego ese conjunto es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y la proposición quedaprobada.

(Obsérvese que, efectivamente, se trata de un conjunto de funciones linealmente independientes, ya que,

como puede comprobarse fácilmente, W (eλ1x, . . . , eλnx) = 0. P. ej., el wronskiano en x = 0 es

W (0) = ((λ2 − λ1)(λ3 − λ2) . . . (λn − λn−1))((λ3 − λ2) . . . (λn − λn−1)) . . . (λn − λn−1) =0

y recibe el nombre de determinante de Vandermonde).

p(x) tiene ra´ıces reales m´ ltiples

En este caso se tiene:

Proposición 13 Si la ecuación caracter´ıstica de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tienem ra´ıces reales λ1, . . . , λm ∈ R (1 ≤ m < n) con multiplicidades µ1, . . . , µm respectivamente (µ1 + . . . + µm =n); entonces

{eλ1x, xeλ1x, . . . , xµ1−1eλ1x; . . . ; eλmx, xeλmx, . . . , xµm−1eλmx}es un sistema fundamental de soluciones de dicha ecuación y, por tanto, la solución general de la ecuaciónes y(

x)=

m

u

i=1 (c1i eλix + c2i xeλix +. . .+ cµi i−1xµi−1eλix)


( Dem. ) Se procede como en el caso anterior. En primer lugar se tiene la descomposiciónp(x) = (x − λ1)µ1 . . . (x − λm)µm

luego, aplicando el teorema de la 1a descomposición,Ker L = Ker p(D) = Ker (D − λ1I)µ1 ⊕ . . . ⊕ Ker (D − λmI)µm

y ahora hay que calcular Ker (D − λiI)µi ; esto es, como dim (Ker (D − λiI)µi ) = µi, se trata de hallar µifunciones yj (x) ∈ Ker (D − λiI)µi linealmente independientes. Unos simples (aunque largos y tediosos)ejercicios de cálculo permiten comprobar que las funciones

y1i (x) = eλix, y2i (x) = xeλix, . . . , yµi (x) = xµi−1eλix

1. Son elementos de Ker (D − λiI)µi .2. Son linealmente independientes (ya que W (y1i (x), . . . , yµi (x)) = 0); luego forman una

base de Ker (D −λiI)µi .

Con lo cual queda probada la proposición.

p(x) tiene n ra´ıces complejas simples

En primer lugar debe observarse que, puesto que la ecuación caracter´ıstica es de coe cientes reales, sifi

tiene una raiz compleja λ = a + bi ∈ C (a, b ∈ R), también lo es su conjugada λ¯ = a − bi. Entonces:

Proposición 14 Si la ecuación caracter´ıstica de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tienealguna ra´ız compleja λj = aj +bj i ∈ C, también tiene su conjugada λ¯j = aj −bi ∈ C (con aj , bj∈ R); entonces

Ker (D − λj I) ⊕ Ker (D − λ¯j I) = {eaj x cos bj x, eaj x sin bj x}

( Dem. ) Es igual que en los casos anteriores. En primer lugar se tiene la descomposiciónp(x) = (x − λ1) . . . (x − λj )(x − λ¯j ) . . . (x − λm)

luego, aplicando el teorema de la 1a descomposición,Ker L = Ker p(D) = Ker (D − λ1I) ⊕ . . . ⊕ ⊕ Ker (D − λj I) ⊕ Ker (D − λ¯j I) ⊕ . . . ⊕ Ker (D − λmI)

Procediendo como en el caso de las ra´ıces reales simples se obtiene queKer (D − λj I) = {eλj x}

¯==

{e(aj +bj i)x}{e(aj −bj i)x}

==

{eaj x(cos bj x + i sin bj x)}{eaj x(cos bj x − i sin bj x)}

Ahora se tiene queKer (D − λj I) ⊕ Ker (D −λ¯j I)

= K1eaj x(cos bj x + i sin bj x) + K2eaj x(cos bj x − i sin bj x)

= (K1 + K2)eaj x cos bj x + i(K1 − K2)eaj x sin bj xdonde K1, K2 ∈ C son constantes arbitrarias. As´ı pues

Ker (D − λj I) ⊕ Ker (D − λ¯j I) = {eaj x cos bj x, eaj x sin bj x}Finalmente queda por comprobar que las funciones halladas son linealmente independientes, para lo cualbasta con comprobar que W (eaj x cos bj x, eaj x sin bj x) = 0, para algún x.

p(x) tiene ra´ıces complejas m´ ltiples

Nótese, primero, que una raiz compleja y su conjugada tienen la misma multiplicidad. Entonces:

Proposición 15 Si la ecuación caracter´ıstica de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n

Ker (D − λ¯j I) = {eλj x}

u

tiene alguna ra´ız compleja λj = aj + bj i ∈ C y su conjugada λ¯j = aj − bj i ∈ C (con aj , bj ∈ R), ambas conmultiplicidad µ; entonces

Ker (D − λj I)µ ⊕ Ker (D − λ¯j I)µ

= {ea1x cos b1x, xea1x cos b1x, . . . , xµ−1ea1x cos b1x;ea1x sin b1x, xea1x sin b1x, . . . , xµ−1ea1x sin b1x}

( Dem. ) Es igual que en el caso de ra´ıces reales m´ultiples.


2.4.2 Ecuaciones lineales completas con coe cientes constantes. Método delfianulador

Pasemos a analizar el caso general de la ecuación lineal completa con coe cientes constantesfi

dnyn + an−1

dn−1yn−1 + . . .

+ a1dydx + a0y = F (x)

con a0, . . . an−1 ∈ R (y F (x) continua). En forma abreviada, L(y) = F (x).

Tal como ya se vio en la sección anterior, a partir de un sistema fundamental de soluciones

de la ecuaciónhomogénea asociada y aplicando el método de variación de constantes, se puede encontrar una soluciónparticular de esta ecuación, con lo que se tendr´ıa su solución general.

Sin embargo, cuando el término independiente F (x) tiene la propiedad de que se anula bajo la acción

de algún operador con coe cientes constantes, hay un método alternativo al de variación de ficonstantes quepermite obtener una solución particular de la ecuación lineal completa. Este procedimiento recibe el nombrede método del anulador o también de la conjetura prudente.

Proposición 16 Sea L(y) = F (x) una ecuación diferencial lineal con coe cientes constantes (yfiF (x) con-tinua). Si K ≡ K (D) es un operador diferencial con coe cientes constantes que anula F (x), fientonces unasolución particular de la ecuación se obtiene resolviendo la ecuación lineal homogenea

(K ◦ L)(y) = 0

( Dem. ) Basta observar que si K (F (x)) = 0 entonces

K (F (x)) = K (L(y)) = (K ◦ L)(y) = 0

A continuación se muestran los resultados del procedimiento para algunos casos t´ıpicos en los que el

término independiente F (x) tiene una forma particular.

Casos particulares:

1. F (x) = eαx(bpxp + . . . + b1x + b0).Hay dos opciones:

(a) Si α no es raiz del polinomio caracter´ıstico entonces una solución particular es de la forma

yP (x) = eαxP p(x)

donde P p(x) es un polinomio de grado p.(b) Si α es raiz del polinomio caracter´ıstico y tiene multiplicidad µ entonces una solución particular

es de la formayP (x) = xµeαxP p(x)

donde P p(x) es un polinomio de grado p.

2. F (x) = cos αx(bpxp + . . . + b1x + b0) ó F (x) = sin αx(bpxp + . . . + b1x + b0).Hay dos opciones:

(a) Si αi no es raiz del polinomio caracter´ıstico entonces una solución particular es dela forma

dx dx

yP (x) = cos αxP1p(x) + sin αxP2p(x)

donde P1p(x), P2p(x) son polinomios de grado p.


(b) Si αi es raiz del polinomio caracter´ıstico y tiene multiplicidad µ entonces una solución particular

es de la formayP (x) = xµ(cos αxP1p(x) + sin αxP2p(x))


3. F (x) = eαx cos βx(bpxp + . . . + b1x + b0) ó F (x) = eαx sin βx(bpxp + . . . + b1x + b0).Hay dos opciones:

(a) Si α + β i no es raiz del polinomio caracter´ıstico entonces una solución particular es de la forma

yP (x) = eαx(cos βxP1p(x) + sin βxP2p(x))

donde P1p(x), P2p(x) son polinomios de grado p.(b) Si α+β i es raiz del polinomio caracter´ıstico y tiene multiplicidad µ entonces una solución particular

es de la formayP (x) = xµeαx(cos βxP1p(x) + sin βxP2p(x))


(Véanse ejemplos de aplicación en la colección de problemas).

2.5

2.5.1

Casos particulares y aplicaciones

Caso particular: ecuaciones de Euler

Un caso particularmente interesante de ecuación diferencial lineal son las denominadas ecuaciones de Euler,que tienen la siguiente expresión general:

an(bx + c)n

dnydxn + an−1(bx +

c)n−1

dn−1ydxn−1 + . . . +

a1(bx + c)dydx + a0y = f (x)

con a0, . . . an, b, c ∈ R. En el caso en que f (x) = 0 se tienen las ecuaciones de Euler homog

éneas.

Estas ecuaciones se transforman en ecuaciones diferenciales lineales con coe cientes fi

constantes haciendoel cambio de variable bx + c = et.

En el caso particular de ecuaciones de Euler homogéneas con b = 1, c = 0; esto es, las ecuaciones de la

formaanxn

dnyn + an−1xn−1

dn−1yn−1 + . . . +

a1xdydx + a0y = 0

se pueden probar directamente soluciones particulares del tipo y = xk . En efecto, pues, si con el cam-bio x = et se transformara en una ecuación diferencial lineal homogénea con coe cientes ficonstantes cuyasolución particular fuese de la forma y = ekt, entonces una solución como la propuesta, y = xk, conducir´ıadirectamente a y = xk = ekt.

2.5.2 Aplicaciones f´ısicas

El estudio anal´ıtico del comportamiento de muchos sistemas en F´ısica conduce a ecuaciones lineales.

Un ejemplo t´ıpico en Mecánica son los osciladores armónicos:

dx dx

1. El oscilador arm´onico simple: su ecuaci´on es

my + ky = 0


2. El oscilador armónico amortiguado: su ecuación es

my + βy + ky = 0

3. El oscilador armónico (amortiguado) forzado: su ecuación es

my + βy + ky = F (t)

En todos los casos se trata de ecuaciones lineales con coe cientes constantes. (Su resolución fiha sido tratadaen los cursos de F´ısica).

El estudio anal´ıtico del comportamiento de muchos sistemas eléctricos conduce también a ecuaciones

lineales. Un ejemplo t´ıpico son los circuitos eléctricos RCL, cuya ecuación es:

LI + RI + 1C I = dE

dtque es, también, una ecuación lineal con coe cientes constantes. (Su resolución ha sido fi

tratada en los cursosde F´ısica).

.

.

.

.

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden

De niciones fundamentales. Teorema de existencia y unicidad de solu-ficiones

De nici´on 16 Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es un sistema de n fiecuaciones difer-enciales de primer orden que, expresado en forma impl´ıcita, es

F1(t, x1(t), . . . , xn(t), x1(t), . . . , xn(t))

Fn(t, x1(t), . . . , xn(t), x1(t), . . . , xn(t))

o bien, expresado en forma expl´ıcita 1,

dx 1 = f1(t, x1(t), . . . ,xn(t))dt

.dx n

= fn(t, x1(t), . . . ,xn(t))dt1Que

es como se dar´an en adelante.

35

=

.=

0

0


Se denomina solución del sistema a cualquier familia de funciones x1(t) . . . , xn(t) diferenciables en I ⊂ R

que satisfaga idénticamente las ecuaciones del sistema

Es muy habitual utilizar la notación vectorial: introduciendo los vectores

x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) ,

x (t) = (x1(t), . . ., xn(t))

, f (t, x(t)) = (f1(t, x(t)), . . . , fn(t, x(t)))

el sistema se puede escribir en forma compacta como

x (t) = f (t, x(t))

Escrito de esta manera, un sistema de ecuaciones de primer orden tiene un aspecto análogo a las ecuacionesde primer orden.

Esta analog´ıa no es meramente formal. En efecto; lo que interesa es hallar la solución al problema de

valor inicialdx 1 dt

dx n dt

= f1(t, x1(t), . . . , xn(t))

.= fn(t, x1(t), . . . , xn(t))

x1(t0) = x01, . . . , xn(t0) = x0n

que, expresado en forma vectorial, es

x (t) = f (t, x(t))

; x(t0) = x0 (3.1)

Entonces, el teorema de existencia y unicidad de soluciones (teorema 5) se establece en los mismos términosque para una sóla ecuación. Con esta notación su enunciado ser´ıa:

Teorema 12 (de existencia y unicidad local para sistemas de 1er orden): Considérese el problemade valorinicial (3.1) y sea un rectángulo D ⊂ R × Rn con centro en (t0, x0). Si f1, . . . , fn son funciones continuas ylipschitzianas en D (para lo cual es su cientefi

con que fi,

∂f i ∂xj

(i, j = 1, . . . , n) sean funciones continuas en

D), entonces existe una uńica solución del problema, x(t), de nida en un cierto intervalo (tfi 0 − δ, t0 + δ) ⊂ R

Comentario:

· A partir de aqu´ı los teoremas relativos a prolongación de las soluciones se establecen también de maneraanáloga al caso de una sóla ecuación.

La solución x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) del problema de valor inicial determina en el espacio eucl´ıdeo R × Rn,

de coordenadas {t, x1, . . . , xn}, una curva diferencial que es la curva integral del sistema. Cuando se cumplenlas condiciones del teorema de existencia y unicidad, por cada punto de dicho espacio pasa una sóla curvaintegral del sistema, el conjunto de las cuales forma una familia de curvas dependiente de n parámetros queconstituyen la solución general del sistema.

3.2.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de orden

.

.

superior

Como ya se vio (proposici´on 6), toda ecuaci´on diferencial de orden n (expresada en forma normal)

x(n)(t) = f (t, x(t), x (t), . . . , x(n−1)(t))

Ecuaciones Diferenciales.

es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden

37

dxdt

dx n−2 dtdx n dt

= x1(t)

.= xn−1(t)

= f (t, x1(t), . . . , xn(t))

y, dado un conjunto de condiciones iniciales de la ecuación lineal,t0 , x(t0) = x0 , x (t0) =

x10

, ... , x(n−1)(t0) = xn0 −1

se tienen como condiciones iniciales para el sistema

t0 , x(t0) = x0 , x1(t0) = x10, ... , xn−1(t0) = xn0 −1

Este resultado se puede generalizar a sistemas como sigue:

Proposición 17 Todo sistema de n ecuaciones diferenciales de órdenes r1, . . . , rn (expresadoen formanormal)

(r ) = (r −1) (t); . . . , xn(t), . . . , x(nrn−1)(t))

.x(nrn)(t) = (r −1) (t); . . . , xn(t), . . . , xn(rn−1)(t))

es equivalente a un sistema de r1 + . . . + rn ecuaciones diferenciales de primer orden.

( Dem. ) Basta aplicar la proposición 6 y reducir cada ecuación del sistema inicial a un subsistema de riecuaciones de primer orden.

También se puede plantear el problema rec´ıproco; es decir, si es posible , a partir de un sistema de n

ecuaciones de primer orden, obtener una ecuación de orden n equivalente, cuya integración permita resolverel sistema. La respuesta es a rmativa (bajo ciertas condiciones) y el proceso constituye, ademfiás, uno de losmétodos fundamentales de integración de sistemas ecuaciones diferenciales.

El método, en l´ıneas generales ser´ıa el siguiente:

1. Se construye un sistema formado por las ecuaciones del sistema inicial y derivadas de éstas.2. Se excluyen (por sustitución) todas las funciones incógnita salvo una, que aparecerá

como la uńicaincógnita de una ecuación de orden superior.

3. Se integra esta u´ltima ecuación (si es posible), determinando dicha función incógnita.

4. Se determinan (en lo posible) las restantes funciones incógnita sin integrar, utilizando

las ecuacionesdel sistema original y sus derivadas.


3.3

3.3.1

Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales

Conceptos generales

.

.

x1 1 (t) f1(t; x1(t), . . . , x1 1.

.fn(t; x1(t), . . . , x1 1

De nici´on 17 Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal es un sistema de n fiecuacionesdiferenciales lineales de primer orden, que, expresado en forma expl´ıcita, es

dx 1 dt = g11(t)x1(t) + . . . + g1n(t)xn(t) + f1(t)


o en forma vectorial,

dx n dt

.= gn1 (t)x1(t) + . . . + gnn(t)xn(t) + fn(t)

38

x (t) = A(t)x(t) + f(t)

donde se han introducido las funciones vectoriales

o bien x (t) − A(t)x(t) = f (t)

x(t) = (x1(t), . . . , xn(t))

, x (t) = (x1(t), . . . , xn(t))

, f (t)) = (f1(t), . . . , fn(t))

1

.g11(t)

. . .

g1n(t).

... gn(t)

El sistema es un sistema lineal homogéneo sii f (t) = 0.

Al igual que ya se hizo con las ecuaciones lineales, se puede traducir la ecuación lineal allenguaje de

operadores. As´ı, si se considera I ⊆ R, se puede de nir el operador vectorialfi

L : C∞(I, Rn) −→→

x(t)

C∞(I, Rn)x (t) − A(t)x(t)

esto es,L(x(t)) := x (t) − A(t)x(t)

del cual puede probarse con facilidad que es lineal y permite escribir la ecuación (2.2) como

o en el caso homogéneo

L(x(t)) = f (t)

L(x(t)) = 0

(3.2)

(3.3)(con lo que el nombre dado queda justi cado).fi

La cuestión de la de la existencia y unicidad de soluciones para estos sistemas tiene la siguiente respuesta:

Teorema 13 (de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones lineales): Considérese el sistema (3.2)con la condición inicial x(t0) = (x01, . . . , x0n) ≡ x0 y tal que las funciones fi(t), gij (t) son continuas en uncierto intervalo I = (x0 − a, x0 + a) (con 0 < a). Entonces existe una uńica solución x(t) de nida en elfiintervalo I , que es derivable con continuidad hasta el orden n.

(En particular, si los coe cientes funcionales son continuos en todo R, entonces la fiexistencia y unicidad

de la solución está garantizada también en todo R).

( Dem. ) Se basa en los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuaciones deprimer orden (teorema 12) y para ecuaciones diferenciales lineales (teorema 6).

3.3.2 Soluciones de los sistemas de primer orden lineales

Comenzaremos el estudio de las soluciones de los sistemas de primer orden lineales con el

.

.

g1 (t)y la matriz A(t) = .

...

1

siguiente resultado:

Proposición 18 Sea el sistema de primer orden lineal (3.2) y x1(t) ∈ C∞(I, Rn) una solución. Entoncesx2(t) ∈ C∞(I, Rn) es solución del sistema si, y sólo si, x2(t) − x1(t) ∈ Ker L; esto es, es solución del sistemalineal homogéneo asociado L(x(t)) = 0.


( Dem. ) Si L(x1(t)) = f (t) y L(x2(t)) = f (t) entonces

L(x2(t) − x1(t)) = L(x2(t)) − L(x1(t)) = f (t) − f (t) = 0

Rec´ıprocamente, si x2(t) − x1(t) ∈ Ker L entonces

0 = L(x2(t) − x1(t)) = L(x2(t)) − L(x1(t))

⇒ f (t) = L(x2(t)) = L(x1(t))

Corolario 1 La solución general del sistema de primer orden lineal (3.2) está dada por x(t) =xP (t)+Ker Ldonde xP (t) es una solución particular cualquiera del sistema y Ker L designa la solución general del sistemalineal homogéneo asociado.

( Dem. ) Inmediata. (Véase también la demostración de la proposición 2).

Teniendo en cuenta que Ker L es un subespacio vectorial de C∞(I, Rn), es inmediato probar el siguiente

resultado:

Proposición 19 Sea el sistema de primer orden lineal homogéneo (3.3). Entonces cualquier combinaciónlineal de soluciones del sistema es también solución.

Y para nalizar este estudio preliminar se tiene:fi

Proposición 20 Sea el sistema de primer orden lineal homogéneo (3.3). Sea la función vectorial complejaz(t) ∈ C∞(I, Cn), que se puede expresar como z(t) = u(t) + iv(t), donde u(t), v(t) ∈ C∞(I, Rn) (sonfunciones vectoriales reales). Entonces z(t) es una solución compleja del sistema si, y sólo si, u(t), v(t) sontambién soluciones (reales); es decir, las partes real e imaginaria de la solución son soluciones por separado.

( Dem. ) Evidente ya que

0 = L(z(t)) = L(u(t) + iv(t)) = L(u(t)) + iL(v(t))

puesto que u(t), v(t) son funciones vectoriales reales.

⇔ L(u(t)) = 0 , L(v(t)) = 0

3.3.3 Dependencia e independencia lineal de soluciones

Se van a introducir, a continuación, algunos conceptos y resultados sobre dependencia e independencia linealde soluciones de sistemas de primer orden lineales.

De nición 18 Dado un conjunto de funciones vectoriales {xfi 1(t), . . . , xn(t)} ⊂ C∞(I, Rn), estasfuncionesson linealmente independientes sii, ∀t ∈ I , se cumple que, si α1, . . . , αn ∈ R,

α1x1(t) + . . . + αnxn(t)

= 0

⇐⇒ α1 = . . . = αn = 0

Como primer resultado se tiene:

.

.

Proposici´on 21 Sea el conjunto de funciones vectoriales de C∞(I, Rn)x1(t)

xn(t)

=

.=

(x11(t), . . . , x1n(t))

(xn1 (t), . . . , xnn(t))


y el determinante

40

x11(t).

x1n(t)

...

...

xn1 (t).

xnn(x)

Si det (x1(t), . . . , xn(t)) = 0 para algún t ∈ I , entonces las funciones x1(t), . . . , xn(t)son linealmente inde-pendientes en I .

Equivalentemente, si x1(t), . . . , xn(t) son linealmente dependientes en I entonces det

(x1(t), . . . , xn(t) =0, ∀t ∈ I .

( Dem. ) Evidente, ya que el sistema α1x1(t) + . . . + αnxn(t) = 0 ha de tener solución α1, . . . , αn no trivialpara todo t ∈ I .

El rec´ıproco de este enunciado no es cierto, en general, a menos que se imponga alguna hipótesis adicional,

tal como se verá posteriormente.

Ejemplo:

· En R, considérense las funcionesx1(t) = (0, cos

t); x2(t) = (0, sin t)

se tiene que det (x1(t), x2(t)) = 0, ∀t ∈ R y, sin embargo, se trata de dos funciones linealmenteindependientes, ya que

α1x1(t) + α2x2(t) = 0α1 cos t +

0α2 sin t=

0α1 cos t + α2 sin t

y el resultado es nulo ∀t ∈ R si, y sólo si, α1 = α2 = 0.

3.3.4 Solución del sistema lineal homogéneo. Matriz Fundamental

Teniendo en cuenta lo expuesto en los apartados precedentes, ahora se puede probar que:

Proposición 22 Para cualquier operador L (de orden n) con coe cientes continuos se tiene quefidim (Ker L) = n.

( Dem. )iniciales

Sea {e1, . . . , en} una base de Rn y t0 ∈ R. Considérense los siguientes problemas devalores

L(x(t)) =x(t0) =

0e1

; ... ; L(x(t)) =x(t0) =

0en

y sean x1(t), . . . , xn(t) ∈ C∞(I, Rn) las soluciones uńicas respectivas. Entonces

det (x1(t0), . . . , xn(t0)) = det (e1, . . . , en) = 0

ya que e1, . . . , en son vectores constantes y linealmente independientes, luego también

x1(t), . . . , xn(t) loson. Sólo queda probar que son también un sistema generador. Para ello considérese cualquiersolución x(t)del sistema; será

x(t0) = λ1e1 + . . . + λnenlo que signi ca que x(t) es solución del problema de valor inicialfi

L(x(t)) =x(t0) =

det (x1(t), . . . , xn(t)) ≡ det

.

...

0λ1e1 + . . . + λnen

pero también λ1x1(t) + . . . + λnxn(t) es solución de dicho problema, por tanto, como la solución es uńica,se concluye que

x(t) = λ1x1(t) + . . . + λnxn(t)


luego {x1(t), . . . , xn(t)} es un sistema generador de dim (Ker L) y, por consiguiente, forman base, con locual dim (Ker L) = n.

Como corolario inmediato de esta proposición se tiene:

Teorema 14 Sea el sistema de primer orden lineal homogéneo con coe cientes continuos (3.3) y fiseanx1(t), . . . , xn(t) ∈ C∞(I, Rn) soluciones linealmente independientes del mismo. Entonces la solución generales una combinación lineal de ellas (con coe cientes constantes)fi

xH (t) = λ1x1(t) + . . . + λnxn(t)

Finalmente, se puede enunciar el resultado análogo al del teorema 7:

Teorema 15 Sea el conjunto de funciones vectoriales {x1(t), . . . , xn(t)} ⊂ C∞(I, Rn). Si x1(t),. . . , xn(t)son linealmente independientes en I y además son soluciones de un sistema lineal homogéneo, L(x(t)) = 0,con coe cientes continuos, entonces det (xfi 1(t), . . . , xn(t)) = 0, ∀t ∈ I .

( Dem. ) Supóngase que ∃t0 ∈ I tal que det (x1(t0), . . . , xn(t0)) = 0, entonces existen λ1, . . . , λn ∈ R, notodos nulos, tales que λ1x1(t0) + . . . + λnxn(t0) = 0 y, en consecuencia, x(t) = λ1x1(t) + . . . + λnxn(t) essolución del problema de valores iniciales

L(x(t)) = 0x(t0) = 0

Pero x(t) = 0 es también solución, y como ésta ha de ser uńica, hay que concluir que, ∀t ∈ I ,

λ1x1(t) + . . . + λnxn(t) = 0

con los λi no todos nulos; en consecuencia x1(t), . . . , xn(t) son linealmente dependientes, contra lahipótesis. La contradicción proviene de suponer que ∃t0 ∈ I tal que det (x1(t0), . . . , xn(t0)) = 0; luegodet (x1(t), . . . , xn(t)) = 0, ∀t ∈ I .

Teniendo presentes estos resultados, el siguiente concepto es el s´ımil para sistemas de ecuaciones difer-

enciales lineales homogéneos de la noción de sistema fundamental de soluciones de una ecuación linealhomogénea.

De nición 19 Una matriz fundamental de un sistema de n ecuaciones de primer orden lineal homogfiéneocon coe cientes constantes (3.3) es toda matriz de orden n cuyas columnas son soluciones filinealmente inde-pendientes del sistema:

1

.x1n(t)

. . . xn1 (t)

.... xnn(x)

Las propiedades más relevantes de las matrices fundamentales (cuya demostración es inmediata tras lo

expuesto en este apartado) son las siguientes:

x1(t)V (t) = .

...

Proposición 23 Sea V (t) una matriz fundamental de un sistema de primer orden lineal homogéneo (3.3).Entonces

1. det V (t) = 0, ∀t.

2. La solución general de L(x(t)) = 0 es x(t) = V (t)c con c ∈ Rn.

3. Si M es cualquier matriz constante tal que det M = 0, entonces V (t)M es también una

matriz funda-mental.


3.3.5 Solución del sistema lineal completo. Método de variación de constantes

Analicemos, ahora, el problema de hallar la solución general del sistema lineal completo. Comoen el caso deuna ecuación diferencial lineal completa, el método consiste en partir de una matriz fundamental del sistema;es decir, de n soluciones linealmente independientes conocidas del sistema lineal homogéneo asociado (estoes, su solución general), de modo que para tener la solución general del sistema lineal completo basta conobtener una solución particular del mismo. Entonces:

Proposición 24 Sea un sistema lineal completo de n ecuaciones diferenciales de primer orden (con coe -ficientes continuos), L(x(t)) = f (t), y sea {x1(t), . . . , xn(t)} un sistema de soluciones linealmente indepen-dientes del sistema lineal homogéneo asociado L(x(t)) = 0. Entonces, una solución particular del sistemalineal completo es la combinación lineal (con coe cientes funcionales)fi

xP (t) =

n

i=1

1

.x1n(t)

. . .

xn1 (t).

... xnn(x)

C1(t).

Cn(t)

donde las funciones Ci(x) se obtienen a partir de la solución del sistema V (t)C (t) = f (t);

esto es, 1

.x1n(t)

. . .

xn1 (t).

... xnn(t)

C1(x).

Cn(x)

f1(t).

fn(t)

(3.4)

( Dem. ) La demostración se basa nuevamente en la aplicación del método de variación de constantes o de

n

Lagrange. El método consiste en suponer que una solución particular es xP (t) =

esta expresión y sustituyendo en la expresión del sistema lineal completo resulta

i=1Ci(t)xi(t) . Derivando

n n n

L(xP (t)) = xP (t) − A(t)xP(t) = i=1

Ci (t)xi(t) + i=1

Ci(t)xi (t)− i=1

Ci(t)A(t)xi(t) = f (t)

Pero L(xi(t)) = 0, ∀i, luego xi (t) = A(t)xi(t) y, por tanto, paraque xP (t) =de la ecuación lineal completa es su ciente con quefi

n

Ci (t)xi(t) = f (t)-19L(xP (t)) =

ni=1 Ci(t)xi(t) sea solución

i=1

expresión que, en forma expl´ıcita es el sistema (3.4), el cual es compatible y determinado,

ya que{x1(t), . . . , xn(t)} es un conjunto de soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo y, portanto, det (x1(t), . . . , xn(t)) = 0, ∀t ∈ I , luego existe solución {Ci (t)} y de aqu´ı

x1(t)Ci(t)xi(t) = .

...

.

. ≡ V (t)C(t)

x1(t) ..

.

...

= ..

.

.

{Ci(t)}.

3.4

3.4.1

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer ordencon coe cientes constantesfi

Ideas generales

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal con coe cientes constantes es un fisistema de necuaciones diferenciales lineales de primer orden que, expresado en forma expl´ıcita, es

dx 1 dt

dx n dt

= a11x1(t) + . . . + an1 xn(t) + f1(x)

.= a1nx1(t) + . . . + annxn(t) + fn(x)


con aij ∈ R (y fj ∈ C∞(R)). En forma vectorial se tiene

43

x (t) = Ax(t) + f (t)

donde la matriz de coe cientes es ficonstante

o bien x (t) − Ax(t) = f (t)

..

a1n

...

...

. an1

(3.5)

También se puede traducir al lenguaje de operadores poniendo L(x(t)) := x (t) − Ax(t), con lo que el sistemase expresa igual que en el caso general

L(x(t)) = f (t)El sistema es un sistema lineal homogéneo sii f (t) = 0; esto es,

L(x(t)) = 0

Los resultados expuestos para el caso general siguen siendo válidos, por supuesto. En concreto, la solución

general de un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden lineal con coe cientes ficonstantes estádada por x(t) = xP (t)+Ker L donde xP (t) es una solución particular cualquiera del sistema y Ker L designala solución general del sistema lineal homogéneo asociado. Como, además, para el operador L del sistemase tiene que dim (Ker L) = n, dicha solución general será del tipo

x(t) = xH (t) + xP (t) = λ1x1(t) + . . . + λnxn(t) + xP (t)

En general la forma más sencilla de integrar un sistema de esta ´ındole suele ser convertirlo en una sóla

ecuación de orden superior, que será necesariamente lineal con coe cientes constantes; fisiguiendo el métodoexpuesto en el apartado 3.2.2. Sin embargo, existen métodos para calcular una matriz fundamental (esto es,un sistema fundamental de soluciones) del sistema homogéneo asociado a un sistema lineal con coe cientesficonstantes. De aqu´ı se obtiene directamente la solución general del sistema homogéneo y, poraplicación delmétodo de variación de las constantes, una solución particular del sistema completo. Estudiaremos dichosmétodos a continuación.

3.4.2 Estudio del sistema homogéneo (con matriz del sistema diagonalizable)

Se va a analizar el problema de hallar la solución general de un sistema de n ecuaciones diferenciales linealhomogéneo con coe cientes constantesfi

L(x(t)) ≡ x (t) − Ax(t) = 0 (3.6)

donde A es una matriz de constantes como (3.5).

Comenzaremos considerando el caso en que la matriz A del sistema es diagonalizable. Esta situación

se presenta cuando todas las ra´ıces λ del polinomio caracter´ıstico de A tienen multiplicidad algebraica(multiplicidad de la ra´ız) es igual a la dimensión del subespacio de vectores propios asociados a ese valorpropio; es decir, es igual a dim ker (A − λ Id).

El primer resultado es el siguiente:

a11A = .

an1..

Proposición 25 Sea el sistema lineal homogéneo con coe cientes constantes (3.6) y sea v ≡ (vfi 1,. . . , vn) ∈Rn un vector propio de A de valor propio real λ ∈ R. Entonces

x(t) = eλtv = eλt(v1, . . . , vn) ∈ C∞(I, Rn)

es solución (real) del sistema.


( Dem. ) Basta con sustituir

L(eλtv) = dt e v − A(eλtv) = λeλtv − eλtAv = λeλtv − eλtλv = 0

Si el vector y el valor propio no son reales, el resultado se establece de forma similar.

Proposición 26 Sea el sistema lineal homogéneo con coe cientes constantes (3.6) y sea v ≡ (vfi 1,. . . , vn) ∈Cn un vector propio de A de valor propio λ = α + iβ ∈ C, (α, β ∈ R). Entonces

x(t) = eλtv = eλt(v1, . . . , vn) ∈ C∞(I, Cn)

es solución (compleja) del sistema.

( Dem. ) Igual que en el caso anterior.

Dado que el sistema de ecuaciones diferenciales es de coe cientes y funciones reales, tambifién sus soluciones

han de poder expresarse por medio de funciones reales; luego en este u´ltimo caso hay que ver como obtenersoluciones reales a partir de la solución compleja hallada. Entonces:

Proposición 27 Sea el sistema lineal homogéneo con coe cientes constantes (3.6) y sea v ≡ (vfi 1,. . . , vn) ∈Cn un vector propio de A de valor propio complejo λ = α + iβ ∈ C, (α, β ∈ R). Entonces v ≡ v1 + iv2, conv1, v2 ∈ Rn, y

x1(t)x2(t)

==

Re (x(t)) = eαt cos βt v1 − eαt sin βt v2 ∈ C∞(I, Rn)Im (x(t)) = eαt sin βt v1 + eαt cos βt v2 ∈ C∞(I, Rn)

son soluciones (reales) linealmente independientes del sistema.

( Dem. ) La primera parte es una consecuencia del resultado anterior y de la proposición 20.

Veamos que son linealmente independientes.

Si λ = α + iβ es valor propio del vector propio v = v1 + iv2 (con v1, v2 ∈ Rn), también lo es

su conjugadaλ¯ = α − iβ , del vector propio v¯ = v1 − iv2. En efecto, ya que

Av = λv ⇒ A¯v¯ = Av¯ = λ¯v¯

(pues A = A¯ por ser los coe cientes del sistema reales). Como λ = λ¯, entonces v y v¯ son fivectores linealmenteindependientes por ser vectores propios de autovalores diferentes, luego

0 ==

det (v, v¯ ) = det (v1 + iv2, v1 − iv2) = det (v1, v1 − iv2) + det (iv2, v1 − iv2)det (v1, v1) − i det (v1, v2) + i det (v2, v1) + det (v2, v2) = −2i det (v1, v2)

de donde det (v1, v2) = 0 y, por tanto, v1, v2 son linealmente independientes. Teniendo ésto en cuentaresulta

det (x1(t), x2(t))

= det (eαt cos βt v1 − eαt sin βt v2, eαt sin βt v1 + eαt cos βt v2)

= e2αt cos βt sin βtdet (v1, v1) + e2αt cos2 βt det (v1, v2)−e2αt sin2 βt det (v2, v1) − e2αt cos βt sin βt det (v2, v2)

= e2αtdet (v1, v2)(sin2 βt + cos2 βt) = e2αtdet (v1, v2) = 0

luego x1(t), x2(t) son linealmente independientes.

Teniendo todo ésto en cuenta, para obtener la solución general de un sistema de n

d λt

ecuaciones diferencialeslineal homogéneo con coe cientes constantes hará falta uńicamente disponer de n vectores fipropios de Alinealmente independientes. Entonces:


Teorema 16 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homogéneo con coe cientes ficonstantes(3.6). Sea v1, . . . , vn una base de vectores (en Rn o en Cn) formada por vectores propios de A y λ1, . . . , λnsus valores propios respectivos, (que pueden ser reales o complejos, distintos o repetidos). Entonces lasfunciones

x1(t) = eλ1tv1, . . . , xn(t) = eλntvnforman una base de ker L (quizás en C) y, por consiguiente, det (x1(t), . . . , xn(t)) = 0, ∀t.

( Dem. ) Se obtiene como consecuencia inmediata de los anteriores resultados.

Observación:

· En el caso en que la base de la proposición anterior no sea real, es posible hallar una base de funcionesreales aplicando la proposición 27. En efecto, considérese el vector propio vi y su conjugado v¯ i, cuyosautovalores son λi ∈ C y su conjugado λ¯i, respectivamente. Tomando la parte real e imaginaria deeλitvi se obtienen dos funciones reales linealmente independientes, mientras que si se tomanla parte

¯

linealmente dependientes de las dos anteriores (de este modo, el número nal de funciones fi

solución esel mismo).

Concluyendo, la solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogéneocon coe -fi

cientes constantes se obtiene del siguiente modo:

1. Se calculan los valores y vectores propios de la matriz A del sistema.2. Para cada vector propio vi se construye la función xi(t) = eλitvi (y si es complejo, a

partir de él o suconjugado, las funciones reales xi1(t) = Re (xi(t)), xi2(t) = Im (xi(t))).

3. Si se tienen n vectores propios linealmente independientes (esto es, la matriz A es diagonalizable), se

construye la solución general como una combinación lineal (con coe cientes constantes) defilas anterioresfunciones.

3.4.3 Estudio del sistema homogéneo (con matriz del sistema no diagonalizable)

En el caso en que la matriz A de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogéneo con coe cientesficonstantes no sea diagonalizable, no va a ser posible hallar una base de Rn o Cn formada por vectores propiosde la misma y, por consiguiente, no es aplicable el teorema 16 para encontrar la solución general del sistema.

Esta situación se presenta cuando hay alguna ra´ız λ del polinomio caracter´ıstico de A cuyamultiplicidad

algebraica (multiplicidad de la ra´ız) es mayor que la dimensión del subespacio de vectores propios asociadosa ese valor propio; es decir, mayor que dim ker (A − λ Id).

Para resolver este problema se intentará seguir un método análogo al caso de las ecuaciones diferenciales

de orden superior cuando hab´ıa alguna ra´ız del polinomio caracter´ıstico con multiplicidad mayor que 1. En

n−1tal caso, se tratará de encontrar soluciones del tipo x(t) =

real e imaginaria de eλitv¯ i se obtienen dos funciones reales linealmente independientes entre si, pero

vitieλt .i=0

En primer lugar se tiene:

Lema 4 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homogéneo con coe cientes ficonstantes (3.6)tal que el polinomio caracter´ıstico de A tiene una o varias ra´ıces λ de multiplicidad µ ≥ 1. Entoncesdim ker (A − λ Id)µ = µ.

( Dem. ) Por simplicidad, se demostrará para el caso en que el polinomio caracter´ıstico de A tiene unasóla ra´ız λ de multiplicidad µ = n. El polinomio caracter´ıstico de la matriz A, P (A) = (−1)n(x − λ)n, anuladicha matriz (teorema de Cayley-Hamilton), luego (A − λ Id)n = 0 y de aqu´ı

dim ker (A − λ Id)n = n − rg (A − λ Id)n = n


En el caso en que haya más de una ra´ız la demostración se generaliza de manera inmediata.

Como ya se ha dicho, la situación de partida es que no existe una base de Rn o Cn formada por vectores

propios, ya que dim ker (A − λ Id) < µ. Comoker (A − λ Id) ⊆ ker (A − λ Id)2 ⊆ . . . ⊆ ker (A − λ Id)m ⊆ . . . ⊆ ker (A − λ Id)µ

resulta que las respectivas dimensiones de estos subespacios veri can las desigualdadesfi

d1 < d2 < . . . < dm = dm+1 = . . . = dµ = µEntonces, el procedimiento se basa en hallar una base de ker (A − λ Id)µ, para lo cual se puede

seguir elsiguiente procedimiento:

1. Hallar una base de ker (A − λ Id).2. Completar la base hallada hasta obtener una de ker (A − λ Id)2.

3. Iterar el proceso hasta obtener una base de ker (A − λ Id)µ.

Entonces la obtención de la solución general se basa en el siguiente resultado:

Proposición 28 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homogéneo con coe cientes ficonstantes(3.6). Sea λ una ra´ız del polinomio caracter´ıstico de la matriz del sistema A, de multiplicidad µ > 1, y seanv1, . . . , vr vectores de una base de ker (A − λ Id)µ pero que no pertenecen a ker (A − λ Id)µ−1. Entonces, paracada vector vj (j = 1, . . . , r), las funciones

xj1(t)xj2(t)

= eλt(A − λ Id)µ−1vj= eλt(t(A − λ Id)µ−1vj + (A − λ Id)µ−2vj )

xj3(t) = eλt

.

t22!

(A − λ Id)µ−1vj + t(A − λ Id)µ−2vj + (A − λ Id)µ−3vj

xjm(t) = eλt tm−1(m − 1)!

(A − λ Id)µ−1vj + . . . + t(A − λ Id)vj + vj

son linealmente independientes y, además, son la soluciones del sistema homogéneo.

( Dem. ) En primer lugar, estas funciones son linealmente independientes, pues

det(xj1(0), . . . , xjm(0)) = det((A − λ Id)µ−1vj , . . . , (A − λ Id)vj , vj ) = 0

pues los vectores columna son linealmente independientes. En efecto,

α1(A − λ Id)µ−1vj + . . . + αµ−1(A − λ Id)vj +

αµvj

= 0 =⇒

µ−1 µ−1 j j j = αµ(A − λ Id)µ−1vj

y como (A − λ Id)µ−1vj = 0 esto implica que αµ = 0. Repitiendo el razonamiento multiplicando por

el factor(A − λ Id)µ−2 se obtendr´ıa que αµ−1 = 0 e iterando el proceso lo mismo para el resto de coe cientes αfi i.

Además son soluciones del sistema homogéneo, pues

xji (t) = λxji (t) + xji−1(t)

y (A − λ Id)xji (t) = xji−1(t)

de dondeAxji (t) = λxji (t) + xji−1(t) = xji (t)

.

.

0 = (A − λ Id) (α1(A − λ Id) v + . . . + αµ−1(A − λ Id)v + αµv )

De esta manera, el c´alculo de n soluciones linealmente independientes de un sistema de ecuaciones

diferenciales lineal homog´eneo con coe cientes constantes en el caso en que la matriz A del fisistema no esdiagonalizable se resuelve aplicando los siguientes pasos:


1. Hallar todos los valores propios de A. Entonces, para cada valor propio λ (con multiplicidad µ > 1):2. Se buscan todos los vectores propios de A, esto es, los vectores vj0 (j0 = 1, . . . , d1) de

una base deker (A − λ Id). Si A tiene sólo d1 < n vectores propios linealmente independientes, de acuerdo con losresultados del apartado anterior, se dispone de d1 soluciones linealmente independientes del tipo

eλtvj0

3. Se buscan todos los vectores vj1 (j1 = 1, . . . , d2 − d1) de una base de ker (A − λ Id)2 tales que

(A − λ Id)2vj1 = 0

pero (A − λ Id)vj1 = 0

De acuerdo con la anterior proposición, para cada uno de estos vectores hay una solución del tipo

eλt(t(A − λ Id)vj1 + vj1 )

y todas ellas (d2 − d1) son linealmente independientes entre si y en relación a las d1 del

punto anterior.

4. Si aún no se tienen n soluciones linealmente independientes, se buscan todos los vectores

vj2 (j2 =1, . . . , d3 − d2 − d1) de una base de ker (A − λ Id)3tales que

(A − λ Id)3vj2 = 0

pero (A − λ Id)2vj2 = 0

De acuerdo con la anterior proposición, para cada uno de estos vectores hay una solución del tipo

eλtt2

2!

(A − λ Id)2vj2 + t(A − λ Id)vj2 + vj2

y todas ellas (d3 − d2 − d1) son linealmente independientes en relación a las de los puntos

anteriores(según se ha probado en la proposición precedente).

5. Se itera el proceso hasta completar las n soluciones linealmente independientes 2.

Comentario:

· Otra manera equivalente de proceder ser´ıa la siguiente: se buscan todos los vectores vj (j= 1, . . . , µ)de una base de ker (A − λ Id)µ (que obviamente contendrá vectores vj0 , vj1 , vj2 . . . de bases de ker (A −λ Id), ker (A − λ Id)2, . . . respectivamente). Entonces, para cada uno de esos vectores hay una solucióndel tipo

eλt vj + t(A − λ Id)vj+

t2

2!

(A − λ Id)2vj + . . .

y todas ellas son linealmente independientes. Obsérvese que cuando vj coincide con alguno de losvectores vj0 , vj1 , vj2 . . . se van obteniendo, en particular, las soluciones anteriores demanera sucesiva.

3.4.4

2A este respecto, existe un resultado de Algebra lineal que garantiza que este algoritmo siempre funciona, dando adem´sa

Estudio del caso general

Finalmente, se va a analizar el problema de encontrar la solución general de un sistema de n ecuacionesdiferenciales lineal no homogéneo con coe cientes constantesfi

L(x(t)) ≡ x (t) − Ax(t) = f (t) (3.7)

donde A es una matriz de constantes como (3.5).

La uńica cuestión es cómo hallar una solución particular del sistema. Para ello se puede utilizar el método

de variación de constantes. Sin embargo, al igual que ya se hizo en el caso de la ecuación diferencial linealcon coe cientes constantes, también se puede emplear el método del anulador o de la conjeturafiprudente,cuando el término independiente f (t) tiene la propiedad de que se anula bajo la acción de algún operadorvectorial con coe cientes constantes.fi

Daremos, a continuación, el resultado de la aplicación de dicho método en un caso particular:

úna cota superior del número de pasos que se requiere para alcanzar el objetivo (véase M. Braun, Ecuaciones Diferencialesysus Aplicaciones, Grupo Ed. Iberoamérica (1990))

u

.

.


Proposición 29 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal no homogéneo con coe cientes con-fistantes (3.7). Si

f (t) = eλt(vptp + . . . + v1t + v0)donde λ no es valor propio de la matriz del sistema A y vi ∈ Rn (0 ≤ i ≤ p), entonces una soluci

ónparticular del sistema es

xP (t) = eλt(uptp + . . . + u1t + u0)donde

upp−1

up−2

u0

===

.=

(λ Id − A)−1vp(λ Id − A)−1(vp−1 − pup)(λ Id − A)−1(vp−2 − (p − 1)up−1)

(λ Id − A)−1(v0 − u1)

(obsérvese que (λ Id − A) es inversible ya que λ no es valor propio de A).

( Dem. ) Es una mera cuestión de cálculo (algo tedioso).

(Véanse ejemplos en la colección de problemas).

Chapter 4

Estudio Cualitativo de EcuacionesDiferenciales

4.1 Introducción

En este cap´ıtulo se va a abordar el estudio cualitativo de los sistemas de ecuaciones diferenciales (de primerorden).

Se comenzará dando una serie de conceptos generales que incluyen el planteamiento del problema y

las primeras nociones y resultados de puntos de equilibrio, estabilidad y comportamiento asintótico desoluciones, asi como los conceptos de espacio de fases, órbitas y curvas integrales de un sistema. Se estudia,a continuación, el problema de la estabilidad. Tras establecer con todo rigor la de nición y fiun resultadode caracter general, se analiza primero la estabilidad de los sistemas lineales y, en particular, la de lossistemas lineales homogéneos con coe cientes constantes, para pasar a investigar la de los fisistemas linealescompletos. Finalmente, se considera la estabilidad de sistemas autónomos en general y se da unresultadosobre estabilidad cuando se efectuan pequenãs variaciones del segundo miembro de una ecuacióndiferencial.

Igual que en los cap´ıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precisión más concreta, se asumirá

que todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.

4.2

4.2.1

Conceptos generales

Planteamiento del problema

En este cap´ıtulo se va a comenzar considerando sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden de tipogeneral

x (t) = f (t, x(t)) (4.1)

dondex(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) ,

f (t, x(t)) = (f1(t, x(t)), . . . , fn(t, x(t)))

siendo el segundo miembro una función vectorial, no necesariamente lineal, de las variables x1,. . . , xn.

Desgraciadamente, en general, no se conocen métodos anal´ıticos de resolución de estas

ecuaciones. Afor-tunadamente, en la mayor´ıa de los casos prácticos, no es necesario conocer expl´ıcitamente las soluciones delsistema, sino que basta con obtener resultados de tipo cualitativo sobre el comportamiento del sistema.

Un ejemplo t´ıpico lo constituyen los modelos que describen la competencia entre especies (modelos

depredador-presa o similares). El problema se plantea en los siguientes términos: sean x1(t) y x2(t) laspoblaciones (en función del tiempo) de dos especies que compiten entre si por los recursos existentes en su“habitat”, de tal manera que sus respectivas tasas de crecimiento-decrecimiento están regidas por un sistema

49


de ecuaciones diferenciales del tipo (4.1). De modo general, no se va a estar interesado realmente en losvalores precisos de x1(t) y x2(t) en cada instante t sino, más bien, en las propiedades cualitativas de estasfunciones. Concretamente, se intentará hallar respuesta a las siguientes cuestiones:

1. ¿Existen valores ξ1, ξ2 de x1(t) y x2(t) respectivamente para los que ambas especies coexisten en un

estado estable? En otra palabras, ¿existen ξ1, ξ2 ∈ R tales que x1(t) = ξ1 y x2(t) = ξ2 es una soluciónde (4.1)?

2. Suponiendo que en un instante dado ambas especies están coexistiendo en equilibrio, ¿quésucede si se

incrementa ligeramente el número de miembros de una de ellas?: ¿continúa habiendo equilibrio o unade ellas se impone sobre la otra?

3. Suponiendo que x1(t) y x2(t) tienen valores dados en t = 0; ¿que ocurre cuando t → ∞?: ¿prevalece

una especie sobre la otra?, ¿se tiende a una situación de equilibrio? o, como m´ınimo, ¿setiende a unasolución periódica?

4.2.2 Puntos de equilibrio. Estabilidad. Comportamiento asintótico

Comenzaremos establececiendo la siguiente nomenclatura:

De nición 20 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales de la forma (4.1).fi

1. Se denominan puntos de equilibrio del sistema a los puntos ξ ≡ (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn tales que

x(t) ≡ (x1(t), . . . , xn(t)) = (ξ1, . . . , ξn) ≡ ξ

es solución del sistema.2. Se dice que las soluciones son estables sii, dada una solución del sistema x1(t), para

toda otra soluciónx2(t) tal que para un valor inicial t0 y para todo i = 1, . . . , n, x1i (t0) y x2i (t0) tienen valores muycercanos, se cumple que los valores x1i (t) y x2i (t) permanecen próximos, para todo t > t0y para todoi = 1, . . . , n.

3. Si x(t) es una solución del sistema, se denomina comportamiento asintótico de la misma asu com-

portamiento cuando t → ∞; es decir, al resultado de hacer lim x(t) .t→∞

As´ı pues, nuestro interés será estudiar las siguientes propiedades de las soluciones de (4.1):

1. Estudiar la existencia de los posibles puntos de equilibrio del sistema.

2. Estudiar la estabilidad de las soluciones.

3. Estudiar el comportamiento asintótico de las soluciones.

Es importante destacar, a este respecto que, a menudo, se puede encontrar una respuesta satisfactoria aestas cuestiones sin necesidad de resolver expl´ıcitamente el sistema de ecuaciones. As´ı, en lo referente a lacuestión de los puntos de equilibrio se tiene el resultado siguiente:

Proposición 30 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (4.1) en I ⊆ R. x0 ∈ Rn esun punto de equilibrio del sistema si, y sólo si, f (t, x0) = 0, ∀t ∈ I , (o bien f (x0) = 0, si f no dependeexpl´ıcitamente de t).

( Dem. ) Basta observar que, considerada una solución x(t), se tiene que x (t) = 0 si, y sólosi, x(t) = x0;esto es, es constante.

Comentario:


· Como consecuencia, obsérvese que todo punto de equilibrio de un sistema es un punto cr´ıtico de lasfunciones x(t) solución (es decir, de las curvas integrales).

El estudio de la estabilidad de las soluciones constituye el problema central de la teor´ıa cualitativa de

las ecuaciones diferenciales, ya que tiene una importancia capital en todas las aplicaciones f´ısicas, debido alhecho de que no es posible, casi nunca, poder medir con exactitud las condiciones iniciales delproblema.Conviene, por tanto, saber si pequenãs variaciones de éstas alteran signi cativamente el ficomportamiento delas soluciones.

La cuestión de la estabilidad es usualmente muy dif´ıcil de analizar, ya que no se conoce expl´ıcitamente

la solución del sistema. El uńico caso que es accesible al estudio es cuando la función vectorial f no dependeexpl´ıcitamente de t. En tal caso:

De nición 21 Un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (4.1) es un sistema autónomo fisii lafunción f no depende expl´ıcitamente de la variable independiente t.

Incluso para sistemas autónomos, sólo hay dos casos en los cuales se ha completado el estudio de la

estabilidad:

1. Cuando f (x) = Ax; esto es, para sistemas lineales homogéneos y completos con coe cientesficonstantes.

2. Cuando, no siendo el sistema lineal homogéneo con coe cientes constantes, sólo interesa fiel estudio de

la estabilidad de las soluciones de equilibrio.

´

Puesto que, de acuerdo con lo dicho, en adelante sólo se van a considerar sistemas autónomos, es impor-

tante destacar el siguiente resultado:

Proposición 31 Todo sistema de n ecuaciones diferenciales no autónomo de la forma (4.1) puedetrans-formarse en un sistema equivalente de n + 1 ecuaciones diferenciales autónomo.

( Dem. ) Si el sistema no autónomo de partida esdx 1 dt

dx n dt

= f1(t, x1, . . . , xn)

.= fn(t, x1, . . . , xn)

basta con introducir la función x0(t) = t, con lo cual se puede escribir el sistema como

4.2.3 ´

dx 0 dtdx 1 dt

dx n dt

=

=

.=

1

f1(x0, x1, . . . , xn)

fn(x0, x1, . . . , xn)

Estos serán los que se estudiarán en el resto del cap´ıtulo.

.

.

.

.

Espacio de fases. Orbitas

Considérese un sistema de n ecuaciones diferenciales de la forma (4.1), con condiciones iniciales dadas

x(t0) = x0 ≡ (x01, . . . , x0n)


Si las funciones f1, . . . , fn no dependen expl´ıcitamente de t (sistema autónomo), se puede dar una inter-pretación de las soluciones x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) del problema que es particularmente cómoda (y nece-saria) para abordar el estudio de la estabilidad. As´ı, en el espacio eucl´ıdeo Rn, de coordenadas rectangulares{x1, . . . , xn}, la solución x1 = x1(t), . . . , xn = xn(t) determina la ley de movimiento de un punto quesigue una cierta trayectoria según la variación del parámetro t, que en esta interpretaciónse identi caráficon el tiempo. De este modo, la derivada x (t) representa la velocidad de un punto de la trayectoria y

´F´ısica y Mecánica. Entonces:

De nición 22 En la interpretación anterior,:fi

1. El sistema x (t) = f (t, x(t)) se denomina sistema dinámico.

2. El espacio E ⊆ Rn formado por todos los puntos que pueden ser condiciones iniciales de un

sis-tema dinámico se denomina espacio de fases del sistema. (Sus coordenadas son, por consiguiente,{x1, . . . , xn}).

3. La curva (t, x(t)) = (t, x1(t), . . . , xn(t)) ⊂ R × E se denomina trayectoria de fases u

órbita del sistema.La curva x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) ⊂ E se denomina curva integral del sistema.

4. La representación de las o´rbitas del sistema (en E ) se denomina diagrama de fases del sistema.

Un sistema dinámico determina, pues, en el espacio Rn un campo de velocidades: x (t).

· Si la función vectorial f = (f1, . . . , fn) depende expl´ıcitamente de t, entonces este campo de velocidadescambia con el tiempo y las trayectorias de fases pueden intersectarse.

· Si, por el contrario, la función vectorial f = (f1, . . . , fn) no depende expl´ıcitamentede t, entonces elcampo de velocidades es estacionario, es decir, no cambia con el tiempo. En este caso, se tiene elsiguiente resultado:

Proposición 32 Sea un sistema dinámico autónomo cuyo espacio de fases es E ⊆ Rn y tal que se cumplenlas hipótesis del teorema de existencia y unicidad. Entonces por cada punto x0 ∈ E del espacio de fasespasa una sóla trayectoria del sistema (es decir, las órbitas de un sistema autónomo no se cruzan en ningúnpunto).

( Dem. ) Sean x1(t) y x2(t) sendas soluciones tales que x1(t0) = x0 y x2(t1) = x0. Entonces la primera essolución del problema de valor inicial

y la segunda lo es de

x (t) = f (x(t)),

x (t) = f (x(t)),

x(t0) = x0

x(t1) = x0

Entonces, teniendo en cuenta que el sistema es autónomo, resulta que x3(t) := x2(t + t1 − t0) es

x1(t), . . . , xn(t) sus componentes. Esta es una interpretación muy natural y cómoda en ciertos problemasde

tambiénsolución del primer problema de valor inicial, por consiguiente se tendrá que x3(t) = x2(t + t1 − t0) = x1(t),por lo que las órbitas de x1(t) y x2(t) han de ser las mismas.

Ejemplo:

· El sistema de ecuacionesdxdt = −y , dy

dt = x

tiene la siguiente familia de soluciones

x(t) = a cos (t + b)

, y(t) = a sin (t + b)


luego las curvas integrales del sistema son hélices en R3C(t) = (t, a cos (t + b), a sin (t + b))

y, como se cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad, por cada punto (t,x, y) pasauna sóla curva integral.Si se considera t como parámetro, en el plano de fases R2 de coordenadas (x, y) se tiene como trayec-torias de fases una familia de circunferencias con centro en el origen,

c(t) = (a cos (t + b), a sin (t + b))

cada una de las cuales es la proyección de una curva integral del sistema. Como se cumplenlas condi-ciones del teorema de existencia y unicidad estas curvas no se cortan. Si se ja a se fiobtiene una trayec-toria determinada, mientras que jar b equivale a elegir el instante inicial; esto es, una fiparametrizacióndel movimiento en concreto. Obsérvese que la ecuación de la trayectoria, x2 + y2 = a2, no depende deb, lo cual signi ca que para una misma trayectoria todos los movimientos (parametrizacionesfidel tipot + b) son equivalentes.En el caso especial a = 0, la trayectoria se reduce a un punto que es un punto de reposo del sistema,dado que no evoluciona con t.

Una de las ventajas de trabajar con las trayectorias u órbitas de un sistema en vez de con la solución

misma del sistema (esto es, las curvas integrales), es que, a menudo, es posible conocer aquéllas sin necesidadde resolver el sistema; es decir, sin obtener las curvas integrales. En efecto, por simplicidadse va a mostrarel procedimiento en el caso particular de sistemas de dos ecuaciones (n = 2).

Proposición 33 Las órbitas del sistema de ecuaciones diferenciales autónomodxdt = f (x, y)dydt

= g(x, y) (4.2)

son las curvas integrales de la ecuación diferencial de primer ordendydx =

g(x, y)f (x, y) (4.3)

( Dem. ) Sea x = x(t), y = y(t) una solución del sistema dado y, por tanto, (x(t), y(t)) una órbita delsistema. Sea t = t1 tal que x (t1) = 0 entonces, de acuerdo con el teorema de la función impl´ıcita, se puededespejar t como función de x en la primera ecuación, t = t(x), en un entorno del punto x1 = x(t1). De estemodo, para todo t próximo a t1, la órbita de la solución dada, expresada en forma expl´ıcita,viene dada porla función y = y(t(x)) ≡ Y (x). Entonces, aplicando la regla de la cadena y el teorema de la función inversaa esta función resulta

dydx = dy dt

dt dxdy

= ddxt =dt

g(x, y)f (x, y) (4.4)

cuya solución es, obviamente, y = Y (x)+ C . Estas funciones, representadas en R2 son las curvas integrales dela ecuación (4.4) que, por construcción, coinciden con las órbitas del sistema dado. Con ello queda probadoel resultado.

As´ı pues, para hallar las órbitas del sistema autónomo de primer orden (4.2) basta con resolver la ecuación

diferencial de primer orden (4.3). Esta ecuación da la pendiente de la recta tangente a la trayectoria delsistema (4.2) que pasa por el punto (x, y), siempre que en dicho punto las funciones f y g no se anulensimultaneamente (si as´ı fuera el caso, el punto en cuestión ser´ıa un punto cr´ıtico y por él no pasar´ıa ningunaórbita).

Comentarios:

· Obsérvese que hay una sutil diferencia entre las órbitas de (4.2) y las curvas integralesde (4.3),y es que, mientras que las primeras son curvas orientadas (con la orientación natural dadapor laparametrización), las segundas no lo son.


· De la ecuación de las trayectorias obtenida de esta manera, que por tanto están dadas, engeneral,en forma impl´ıcita, podrá obtenerse la solución del sistema de partida sólo si es posible hallar unaparametrización de dicha familia de curvas que satisfaga el sistema original.

4.2.4 Estabilidad y estabilidad asintótica de soluciones

En esta sección se comienza a analizar el problema de la estabilidad de los sistema de ecuaciones diferenciales(autónomos).

x (t) = f (x(t)) (4.5)

Empezaremos precisando algo más la noción de estabilidad establecida en la de nición 20.fi

De nición 23 (Liapunov): Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales (autónomo o no) y una fisolución(órbita) del sistema x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)).

1. x(t) es una solución estable sii, para todo ε ∈ R+, existe δ ≡ δ(ε) ∈ R+ tal que, para cualquier solución

y(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) que en t0 satisfaga que |yi(t0) − xi(t0)| < δ, (para todo i = 1, . . . , n), se cumpleque |yi(t) − xi(t)| < ε, en cualquier t > t0.

2. x(t) es una solución asintóticamente estable sii:

(a) Es una solución estable.(b) Existe δ ∈ R+ tal que, para cualquier solución y(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) que en t0satisfaga que

|yi(t0) − xi(t0)| < δ, (para todo i = 1, . . . , n), se cumple que

lim |yi(t) − xi(t)| = 0t→∞

Obsérvese que una solución es asintóticamente estable si, y sólo si, cualquier otra que en t0 permanece

próxima a la dada, para cualquier otro valor t > t0, no sólo sigue permaneciendo próxima, sino que ademásse confunde con la inicial cuando t → ∞.

Ejemplo: Considérese el sistema formado por el péndulo simple en el plano. Su ecuación de movimiento

esd2θ

2 + gl sin θ = 0

que, poniendo x1 = θ, se transforma en el siguiente sistema de primer orden:

dx 1 dt = x2 ;

dx 2 dt

g= − sin x1l

Este sistema tiene dos soluciones de equilibrio que son

x1 = 0 , x2 = 0 y x1 = π , x2 = 0

las cuales tienen muy diferentes propiedades:

· Si se perturba ligeramente la primera de ellas (bien desplazando el péndulo de su posición de equilibrio,bien imprimiéndole una pequenã velocidad), el péndulo ejecuta pequenãs oscilaciones en torno a x1 = 0.Se dice, entonces, que esta posición es de equilibrio estable.

· Si se perturba ligeramente la segunda de ellas (de cualquiera de ambos modos), o bien el péndulo ejecuta

dt

oscilaciones de gran amplitud en torno a x1 = 0, o bien gira inde nidamente.fiSe dice, entonces, que esta posición es de equilibrio inestable.

En las siguientes secciones se analizará la estabilidad y la estabilidad asintótica de las soluciones de los

sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y, en particular, con coe cientes constantes, ya fique en este casoes posible hallar la solución anal´ıticamente.


4.3

4.3.1

Estabilidad de sistemas lineales

Estabilidad de sistemas lineales homogéneos

Considérese un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogéneo

x (t) = A(t)x(t) (4.6)

Un sistema de estas caracter´ısticas siempre tiene como solución particular x0(t) = 0. Entonces, el siguienteteorema relaciona la estabilidad de cualquier solución con la de ésta.

Teorema 17 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogéneo del tipo (4.6).

1. Si la solución x(t) = 0 es estable, entonces cualquier otra solución es también estable.

2. Si la solución x(t) = 0 es asintóticamente estable, entonces cualquier otra solución estambién

asintóticamente estable.

3. Si la solución x(t) = 0 es inestable, entonces cualquier otra solución es también inestable.

4. Si la solución x(t) = 0 es estable pero no asintóticamente estable, entonces cualquier otra solución es

también estable pero no asintóticamente estable.

( Dem. )

1. Si la solución x0(t) = 0 es estable, entonces, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, para toda solución y(t) tal que

|yi(t0)| < δ (∀i), se cumple que |yi(t)| < ε, ∀t > t0.Sea x(t) cualquier otra solución. Se ha de probar que es estable. Sea ε > 0 y cualquier solución z(t)tal que |zi(t0) − xi(t)| < δ (∀i), entonces, tomando y(t) := x(t) − z(t) es también solución (por ser elsistema lineal) y satisface las condiciones del párrafo anterior, luego se tiene que, ∀t >t0 y ∀i

|yi(t)| = |zi(t0) − xi(t)| < ε

2. Si la solución x0(t) = 0 es asintóticamente estable entonces es estable por de nición fiy, por el apartado

anterior, cualquier solución x(t) es también estable. Hay que ver que también lo es asintóticamente.Por serlo x0(t) = 0, ∃δ > 0 tal que, para toda solución y(t) tal que |yi(t0)| < δ (∀i), se cumpleque lim |yi(t)| = 0 . Sea cualquier solución z(t) tal que |zi(t0) − xi(t)| < δ (∀i), entonces, tomando

t→∞y(t) := x(t) − z(t) es también solución (por ser el sistema lineal) y satisface las condiciones del párrafoanterior, luego se tiene que

lim |yi(t)| = lim |zi(t0) − xi(t)| = 0t→∞ t→∞

3. Se va a probar la negación del enunciado; esto es, que si existe alguna solución x(t) estable, entonces

x0(t) = 0 es estable.Sea y(t) una solución cualquiera próxima a x0(t) = 0 en t0, entonces z(t) = y(t) + x(t) es otra solución(por ser el sistema lineal) próxima a x(t) en t0 y, por consiguiente, para todo t (ya que x(t) es estable).Por tanto, y(t) permanece próxima a x0(t) = 0 para todo t > t0, luego x0(t) = 0 es estable.

4. Análoga a la del apartado anterior.

As´ı pues, para estudiar la estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogéneo basta

con analizar la de la solución nula. En el siguiente apartado se hará este análisis para sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales homogéneos con coe cientes constantes.fi


4.3.2 Estabilidad de sistemas lineales homogéneos con coe cientes constantesfi

Considérese un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogéneo con coe cientes ficonstantes (y, por tanto,autónomo)

x (t) = Ax(t) (4.7)

Vamos a estudiar, por simplicidad, el caso en que A ∈ M2×2(R); es decir, sistemas de dos

ecuacionesdiferenciales (a n de poder hacer razonamientos sobre sus órbitas, que están en el plano Rfi 2).Expl´ıcitamenteescrito el sistema es

dxdtdydt

=

=

a11x(t) + a21y(t)

a12x(t) + a22y(t)

y se pueden distinguir los siguientes casos:

1. A tiene valores propios reales, λ1, λ2 ∈ R, y det A = 0 (es decir, ninguno de ellos es nulo).

En este caso, el uńico punto de equilibrio del sistema es (0, 0). Se pueden distinguir lossiguientessubcasos:

(a) λ1 > λ2 > 0 (ambos son positivos y distintos).Si v1, v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la solución general es

x(t) = c1eλ1tv1 + c2eλ2tv2 ≡x(t)y(t)

· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → 0.

Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solución inestable,luego toda solución es inestable.Se dice, entonces, que el punto de equilibrio es un nodo inestable.

(b) λ1 < λ2 < 0 (ambos son negativos y distintos).Si v1, v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la solución general es


· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → 0.· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).

Entonces, del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluciónasintóticamente estable, luego toda solución es asintóticamente estable.Se dice, entonces, que el punto de equilibrio es un nodo estable.

(c) λ1 < 0 < λ2 (uno es positivo y otro negativo).Si v1, v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la solución general es


Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solución inestable,luego toda solución es inestable.Se dice, en este caso, que el punto de equilibrio es un punto de silla.

(d) λ1 = λ2 ≡ λ > 0 (ambos son positivos e iguales).Hay que distinguir dos posibilidades:i. Hay dos vectores propios v1, v2 linealmente independientes; esto es, dim ker (A − λId) = 2.

En este caso la soluci´on general es

x(t) = (c1v1 + c2v2)eλt ≡

x(t)y(t)



Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucióninestable, luego toda solución es inestable.El punto de equilibrio es un nodo inestable.

ii. Hay un sólo vector propio v1 ∈ R2 linealmente independiente; esto es, dim ker (A − λId) = 1.

Se completa una base de R2 con un segundo vector v2 por el método descrito en el cap´ıtuloanterior, de modo que la solución general es

x(t) = (c1v1 + c2(tv1 + v2))eλt≡

x(t)y(t)


Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucióninestable, luego toda solución es inestable.El punto de equilibrio es un nodo inestable.

(e) λ1 = λ2 ≡ λ < 0 (ambos son negativos e iguales).Hay que distinguir dos posibilidades:i. Hay dos vectores propios v1, v2 linealmente independientes; esto es, dim ker (A − λId) = 2.En este caso la solución general es

x(t) = (c1v1 + c2v2)eλt ≡

x(t)y(t)


Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluciónasintóticamente estable, luego toda solución es asintóticamente estable.El punto de equilibrio es un nodo estable.

ii. Hay un sólo vector propio v1 ∈ R2 linealmente independiente; esto es, dim ker (A − λId) = 1.

Se completa una base de R2 con un segundo vector v2 por el método descrito en el cap´ıtuloanterior, de modo que la solución general es

x(t) = (c1v1 + c2(tv1 + v2))eλt≡

x(t)y(t)


Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluciónasintóticamente estable, luego toda solución es asintóticamente estable.El punto de equilibrio es un nodo estable.

2. A tiene valores propios complejos, α ± iβ ∈ C, y det A = 0 (es decir, ninguno de ellos es nulo).

El uńico punto de equilibrio del sistema sigue siendo (0, 0).Sean v1 ± iv2 (con v1, v2 ∈ R2) los vectores propios correspondientes a ambos autovalores. La solucióndel sistema es

x(t) =

eαt((c1 cos βt + c2 sin βt)v1 + (c2 cos βt − c1 sin βt)v1)≡

Hay que distinguir los siguientes subcasos:

(a) α > 0.· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → 0.

x(t)y(t)


Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solución inestable,luego toda solución es inestable.Se dice que el punto de equilibrio es un foco inestable.

(b) α < 0.· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → 0.· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).

Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluciónasintóticamente estable, luego toda solución es asintóticamente estable.Se dice que el punto de equilibrio es un foco estable.

(c) α = 0.En este caso, la solución del sistema es

x(t) = (c1 cos βt + c2 sin βt)v1 + (c2 cos βt − c1 sin βt)v1 ≡

x(t)y(t)

luego las soluciones son órbitas periódicas y, por tanto, son curvas cerradas 1. Del diagramade fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solución estable pero noasintóticamente estable, luego toda solución es estable pero no asintóticamente estable.Se dice que el punto de equilibrio es un centro.

3. det A = 0. En este caso hay, al menos, un valor propio que es nulo.Hay diversos casos a analizar:

(a) λ1 = 0, λ2 = 0 (el segundo valor propio es no nulo).En este caso dim ker A = 1. Sea, entonces, v1 un vector base de ker A y sea v2 un vector propiocorrespondiente al valor propio λ2. Entonces la solución general es

x(t) = c1v1 + c2eλ2tv2 ≡

Se distinguen los dos siguientes casos:i. λ2 > 0.Analizando en detalle la solución se tiene que

x(t)y(t)

x(t) = c1v11 + c2eλ2tv12

, y(t) = c1v21 + c2eλ2tv22

Si c2 = 0, eliminando el factor exponencial de ambas ecuaciones resulta

v21(y − c1v21) = v22(x − c1v11)

que es la ecuación de una familia de rectas paralelas (cuyo vector director es v2.

Obsérveseque, en este caso:· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).· Si t → −∞ entonces x(t) → c1v11, y(t) → c1v21.

Si c2 = 0 se obtienex(t) = c1v11

, y(t) = c1v21

que es una familia uniparamétrica de puntos de equilibrio (inestable), los cuales se hallansobre la recta que pasa por el origen y tiene por vector director v1.Del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucióninestable, luego toda solución es inestable.

e

Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio inestable.ii. λ2 < 0.

El an´alisis es an´alogo al del caso anterior salvo que ahora, cuando c2 = 0,· Si t → +∞ entonces x(t) → c1v11, y(t) → c1v21.· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).

1Obs´rvese que no existen los l´ımites de x(t), y(t) cuando t → ∞.


Entonces, del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0(t) = 0es solución estable pero no asintóticamente estable, luego toda solución es estable pero noasintóticamente estable.Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio estable.

(b) λ1 = λ2 = 0 (ambos valores propios son nulos).Hay dos casos posibles:i. dim ker A = 1.Sea, entonces, v1 un vector base de ker A y sea v2 un segundo vector que completa una basede R2. La solución general es

x(t) = (c1 + c2t)v1 + c2v2≡

x(t)y(t)

Si c2 = 0, se trata de una familia de rectas paralelas (con vector director v1), para la cual· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo cuando c2 > 0 y negativo cuando c2 < 0).· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (negativo cuando c2 > 0 y positivo cuando c2 < 0).

Si c2 = 0 es una familia de puntos de equilibrio (inestable), los cuales se hallan sobre la rectaque pasa por el origen y tiene por vector director v1.Del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0(t) = 0 es solucióninestable, luego toda solución es inestable.Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio inestable.

ii. dim ker A = 2.Sea, entonces, v1, v2 una base de ker A = R2. La solución general es

x(t) = c1v1 + c2v2 ≡ x(t)y(t)

que son todos los puntos del plano. Por consiguiente todos ellos son soluciones estables perono asintóticamente estables.Se trata de puntos de equilibrio indiferente.

A modo de resumen se tiene:

· Las soluciones son asintóticamente estables en todos los casos en que todos los valores propios tienenparte real negativa (casos 1.b, 1.e.i, 1.e.ii y 2.b).

· Las soluciones son estables pero no asintóticamente estables en todos los casos en que hayvalorespropios que tienen parte real negativa y también los hay con parte real nula, pero en esteu´ltimo casose cumple que dim ker (A − λId) = µ (multiplicidad de λ). (casos 2.c, 3.a.ii y 3.b.ii).

· Las soluciones son inestables en todos los casos en que hay algún valor propio que tiene parte realpositiva o nula, pero en este u´ltimo caso se cumple que dim ker (A − λId) < µ (multiplicidad de λ).(casos 1.a, 1.c, 1.d.i, 1.d.ii, 2.a, 3.a.i y 3.b.i).

Todo ello se puede generalizar a sistemas lineales homogéneos con coe cientes constantes de fidn ecuaciones,

enunciando el siguiente resultado:

Teorema 18 Sea un sistema lineal homogéneo con coe cientes constantes del tipo (4.7) con A fi ∈ Mn×n(R).

1. Las soluciones del sistema son estables y asintóticamente estables si, y sólo si, todos los valores propios

tienen parte real negativa.

2. Las soluciones del sistema son estables pero no asintóticamnete estables si, y sólo si, todos los valores

propios tienen parte real no positiva y hay alguno con parte real nula tal que dim ker (A −λId) = µ(multiplicidad del valor propio como raiz del polinomio caracter´ıstico).


3. Las soluciones del sistema son inestables si, y sólo si, algún valor propio tiene parte real positiva o

nula pero, en este u´ltimo caso, dim ker (A − λId) < µ (multiplicidad del valor propio comoraiz delpolinomio caracter´ıstico) 2.

Este teorema permite obtener resultados sobre la estabilidad de estos sistemas sin necesidad de hallar la

solución: basta con estudiar las ra´ıces de la ecuación caracter´ıstica del sistema.

4.3.3 Criterio de Routh-Hurwitz

Según se acaba de ver en el apartado anterior, el problema del estudio de la estabilidad de los sistemas deecuaciones lineales homogéneos con coe cientes constantes se ha reducido al análisis de los fisignos de laspartes reales de los valores propios o ra´ıces de la ecuación caracter´ıstica. Pero si ésta es de grado elevado,su solución puede ser muy dif´ıcil. Es por ello que conviene disponer de métodos que permitandiscernir elsigno de la parte real de las ra´ıces sin necesidad de resolver la ecuación caracter´ıstica. El más signi cativofi

´

Teorema 19 (de Hurwitz): Sea un polinomio de grado n con coe cientes realesfi

bnxn + bn−1xn−1 + . . . + b1x + b0

con bn > 0. La c.n.s. para que todas sus ra´ıces tengan parte real negativa es que todos los menores principales(∆i) de la siguiente matriz (de orden n) sean positivos

b n−1 bn 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0

b n−3 . 0

0

bn−2bn−4.000

bn−1bn−3.000

bnbn−2.000

0bn−1.000

0bn.000

...

...

...

...

...

00.b000

00.b100

00.b2b00

00.b3b10

00

.

b0

Esta matriz se denomina matriz de Hurwitz.

Comentarios:

· Obsérvese que ∆n = b0∆n−1, por lo que, si ∆n−1 > 0, entonces ∆n > 0 ⇔ b0 > 0.· Para polinomios de grado alto la aplicación de este criterio es complicada y existen otros

alternativosy de más fácil ejecución para estos casos.

4.3.4 Estabilidad de sistemas lineales completos con coe cientes constantesfi

Considérese ahora un sistema de ecuaciones diferenciales lineal completo con coe cientes ficonstantes

x (t) = Ax(t) + f (t) (4.8)

En lo que se re ere a la estabilidad de sus soluciones, se tiene el siguiente resultado:fi

de ellos es el siguiente teorema de Algebra lineal (que se enuncia sin demostrar):

b n−5..

0

.

...

.

...

.

...

.

...

.

...b4 b2

Proposición 34 Sea un sistema lineal completo. La estabilidad de sus soluciones es equivalentea la esta-bilidad de la solución de equilibrio x0(t) = 0 del sistema lineal homogéneo asociado x (t) = Ax(t).

2Este enunciado es equivalente al primero.


( Dem. ) En efecto, sean x1(t) y x2(t) dos soluciones del sistema completo próximas entre si ent0, entoncesx2(t) − x1(t) es solución de x (t) = Ax(t), y el resultado es inmediato.

A continuación vamos a utilizar éste y los anteriores resultados para analizar la estabilidad de las solu-

ciones de una ecuación diferencial lineal de orden n.

Proposición 35 La estabilidad de las soluciones de una ecuación diferencial lineal de orden ncon coe -ficientes constantes

y(n)(t) + an−1y(n−1)(t) + . . . + a1y (t) + a0y(t) = f (t)depende de las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la ecuación

p(λ) := λn + an−1λn−1 + . . . + a1λ + a0

En concreto, si A es la matriz del sistema lineal de primer orden con coe cientes constantes fiequivalente aesta ecuación, se tiene que p(λ) = det(A − λId), y entonces:

1. Las soluciones de la ecuación son estables y asintóticamente estables si, y sólo si, todas las ra´ıces tienen

parte real negativa.

2. Las soluciones de la ecuación son estables si, y sólo si, todas las ra´ıces tienen partereal no positiva y

hay alguno con parte real nula tal que dim ker (A − λId) = µ (multiplicidad de la ra´ız).

3. Las soluciones de la ecuación son inestables si, y sólo si, alguna ra´ız tiene parte real positiva o nula

pero, en este u´ltimo caso, dim ker (A − λId) < µ (multiplicidad de la ra´ız) 3.

( Dem. ) La clave de la demostración está en convertir la ecuación lineal de orden n en un sistema de necuaciones lineales de primer orden

dx 0 dtdx 1 dt

dx n−2 dt

dx n−1 dt

= x1(t)

= x2(t)

.= xn−1(t)

= −an−1xn−1(t) − . . . − a1x1(t) − a0x0(t) + f (t)

donde x0 = y, x1 = y , . . . , xn−1 = y(n−1); esto es, en forma vectorial,

x(t) = Ax(t) + f (t)

siendo 0 1 0 ... 0 0 0

. 0−a0

0.0

−a1

1.0

−a2

...

...

...

0.0

−an−2

0.1

−an−1

; . 0 f (t)

Entonces sólo queda por probar que el polinomio caracter´ıstico de la matriz A y el de la ecuación lineal dadason el mismo, con lo que el resultado es una consecuencia inmediata de la proposición 34 y el teorema 18.Dicha prueba se hace por inducción:

· Si n = 2: Entonces

A = 0−a0

1−a1 ⇒ det (A − λId) = λ2 + a1λ + a0 ≡ p(2)(λ)

.

.

0A = .. .

...

.

...

0 f (t) = ..

3Este enunciado es equivalente al primero.


· Si es cierto para n − 1, entonces es cierto para n: Por hipótesis de inducción, para n − 1 se tiene

p(n−1)(λ) := λn−1 + an−2λn−2 + . . . + a1λ + a0

y para n, desarrollando el determinante de la matriz A − λId por la primera columna

det (A − λId) = −λ(−1)n(λn−1 + an−2λn−2 + . . . + a1λ + a0)

y de ah´ı el resultado.

62

4.4

4.4.1

Estabilidad de sistemas no lineales

Estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas autónomos no lin-eales

El estudio de la estabilidad de las soluciones de sistemas no lineales sólo está completado para las solucionesde equilibrio.

Para abordar el estudio de la estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas autónomos no lineales

se consideran primero los sistemas “casi lineales” autónomos del tipo

x (t) = Ax(t) + g(x(t)) (4.9)

con A ∈ Mn×n(R) (matriz de constantes). Entonces:

De nición 24 Dado un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo (4.9), se denomina sistema filinealizadoasociado al mismo a

x (t) = Ax(t)

Y se tiene el siguiente resultado (que se enuncia sin demostración).

Teorema 20 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo (4.9), tal que

1. g(0) = 0.

2. g(x(t))x(t)

es una función continua y lim

x→0

g(x(t))x(t)

= 0 .

Entonces la solución de equilibrio x0(t) = 0 del sistema linealizado es también una solución de equilibrio delsistema y:

1. Si todos los valores propios de A tienen parte real negativa entonces la solución de equilibrio x0(t) = 0

del sistema es asintóticamente estable.

2. Si la matriz A tiene algún valor propio con parte real positiva entonces la solución de

equilibrio x0(t) = 0del sistema es inestable.

3. En el resto de los casos no se puede asegurar nada sobre la estabilidad de la solución deequilibrio

x0(t) = 0 del sistema.

Teniendo esto en cuenta, el estudio de la estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas aut´onomos

no lineales pasa por la “linealizaci´on” de los mismos.


Proposición 36 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo (no lineal)

63

dx(t)dt = f (x(t)) (4.10)

y sea x0 un punto de equilibrio cualquiera del sistema (esto es, tal que f (x0) = 0). Entonces, la estabilidadde la solución de equilibrio xeq (t) = x0 es equivalente 4 a la estabilidad de la solución de equilibrio z0(t) = 0del sistema

dz(t)dt = ∂f i

∂xj x=x0z(t) + g(z(t)) (4.11)

donde g es una función que contiene sólo términos cuadráticos o de orden superior en zk y veri ca quefilimz→0

g(z(t))z(t)

= 0 .

( Dem. ) Desarrollando f (x) por Taylor en un entorno de x0, y teniendo en cuenta que f (x0) = 0,

f (x) = f (z + x0) = f (x0) +

∂f i ∂xk x=x0

z(t) + g(z(t))=

∂f i ∂xj x=x0

z(t) + g(z(t))

con lim

z→0

g(z(t))z(t)

= 0 , y como x) = z + x0, se tiene que

dz(t)dt = dx(t)

dt = f (z + x0)

de donde la ecuación (4.10) queda transformada en (4.11), y x = x0 es solución de equilibrio de (4.10) si, ysólo si, z = 0 es solución de equilibrio de (4.11). De ah´ı el resultado.

Por consiguiente, como corolario del teorema 20 y de esta proposición se obtiene que el estudio de la

estabilidad de las soluciones de equilibrio de un sistema autónomo se basa en el análisis delsigno de la partereal de los valores propios de la matriz jacobiana de la función f en los puntos de equilibrio; esto es:

Proposición 37 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo (no lineal)

dx(t)dt = f (x(t))

y sea x0 un punto de equilibrio cualquiera del sistema (esto es, tal que f (x0) = 0). Entonces:

1. Si todos los valores propios de la matriz

∂f i ∂xj x=x0

tienen parte real negativa, entonces la solución

eq 0

2. Si la matriz

∂f i ∂xj x=x0

tiene algún valor propio con parte real positiva, entonces la solución de

equilibrio xeq (t) = x0 del sistema inicial es inestable.

3. En el resto de los casos no se puede asegurar nada sobre la estabilidad de la solución deequilibrio

xeq (t) = x0 del sistema inicial.


4.4.2 Estabilidad respecto a variaciones del segundo miembro

de equilibrio x (t) = x del sistema inicial es asintóticamente estable.

En este u´ltimo apartado se va a analizar brevemente el problema de la estabilidad de las soluciones deecuaciones diferenciales cuando el segundo miembro de la ecuación sufre pequenãs variaciones.Se enunciael resultado para el caso de una sóla ecuación diferencial.

4En el sentido precisado en el teor. 20.

0) ∈ D). Sean ϕ(t) y ψ(t) soluciones respectivas de ambos problemas de valor inicial. Si existen M


Teorema 21 Consid´erense los problemas de valores iniciales en D ⊆ R2

64

y (t) = f (t, y(t))

; y(t0) = y0

y (t) = f (t, y(t)) + θ(t, y(t)

; y(t0) = y0 +

0

tales que f y θ son funciones continuas y derivables, con derivadas continuas en D ⊆ R2 (con

(t0, y0), (t0, y0 ++

y ε ∈ R+ (arbitrariamente pequen˜o) tales que

∂f∂y ≤ M y |θ(t, y(t)| < ε, para todo (t, y) ∈ D, entonces

|ψ(t) − ϕ(t)| ≤

0e

M |t−t0| +ε

M (eM |t−t0| − 1)

para todo t tal que (t, ϕ(t)), (t, ψ(t)) ∈ D.

( Dem. ) Es una consecuencia del lema de Gronwald.

Chapter 5

La Transformación de Laplace

5.1 Introducción

La transformación de Laplace es un método directo y muy potente para la resolución de problemas devalor inicial de ecuaciones diferenciales lineales con coe cientes constantes. Su uso permite fitransformaruna ecuación diferencial (o un sistema) de esta ´ındole, junto con sus condiciones iniciales, en una ecuaciónalgebraica. En particular se va a estudiar su aplicación al caso de ecuaciones diferenciales con segundosmiembros discontinuos, que es cuando este método se muestra especialmente u´til.

El uso de la transformación de Laplace en este contexto y, en particular su aplicación a problemas

de ingenier´ıa eléctrica, comenzó en los anõs treinta (siglo y medio después de que Laplaceintrodujese sutransformación), como consecuencia de los trabajos de Van der Pool y Doestch que llevaron a abandonarel método operacional de Heaviside, de aplicación más restringida e incómoda y carente de una adecuadajusti cación en aquellos tiempos.fi

En la primera sección del cap´ıtulo se van a introducir los conceptos básicos y propiedadesfundamentales

sobre la transformación de Laplace, que se utilizarán para calcular las transformadas de algunas funcioneselementales. También se estudiará la cuestión de la inversión de la transformación de Laplace por el métodode descomposición en fracciones simples. En la segunda sección se aplicarán las nociones anteriores parala resolución de problemas de valor inicial planteados por ecuaciones y sistemas de ecuacionesdiferencialeslineales y ecuaciones ´ıntegro-diferenciales con coe cientes constantes. El análisis de fialgunos casos especiales(excitaciones discontinuas y excitaciones puntuales) conducirá a la introducción de la función de Heavisidey la delta de Dirac. Finalmente se estudiará el producto de convolución y su aplicación a laresolución deproblemas de valor inicial con excitaciones en cuya expresión aparecen varios términos de forma diversa.

Igual que en los cap´ıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precisión más concreta, se asumirá

que todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.

5.2

5.2.1

De niciones bfi

ásicas y propiedades

Transformadas de Laplace

Comenzaremos de niendo formalmente la transformación de Laplace.fi

De nición 25 Sea f : [0, ∞) fi ⊂ R → R. Se denomina transformada de Laplace de la función f (t) a lafunción F : R → R (si existe) de nida del siguiente modofi

∞ x

F (s) := 0

e−stf (t)dt := lim

x→∞0

e−stf (t)dt

65


En los ejemplos de cálculo que se muestran en la sección 5.2.3 puede observarse que la transformada de

Laplace de una función dada puede no existir para algunos valores de s o, incluso, para ningún valor de s,tal como muestra el siguiente caso:

Ejemplo:2

2

para t > s + 1, luego para x > s + 1

limx→∞ 0

x 2

x→∞

x

s+1etdt = lim (ex − es+1) = +∞

x→∞

El siguiente resultado establece condiciones su cientes que garantizan la existencia de la fitransformada

de Laplace y precisan su dominio de de nición (esto es, los valores de s para los que existe).fi

Teorema 22 (de existencia de la transformada de Laplace): Sea f : [0, ∞) ⊂ R → R tal que:

1. La restricción de f a cualquier intervalo nito [0, x] fi ⊂ R es una función continua (por lo menos a

trozos).2. f es de orden exponencial γ ; es decir, existe M ∈ R+ tal que |f (t)| ≤ M eγt , ∀t ∈ [0,

∞).

Entonces la transformada de Laplace F (s) de f (t) existe ∀s ∈ (γ, ∞).

x( Dem. ) La primera condición garantiza la existencia de

la integrale−stf (t)dt para todo x > 0. Sólo

0es necesario, pues, garantizar la convergencia de la integral en el intervalo [0, ∞); pero, porser f (t) de ordenexponencial γ , se tendrá que para s > γ

0

x|e−stf (t)|dt ≤M 0

x|e−(s−γ)t|dt ≤ M

0

∞|e−(s−γ)t|dt =

1s − γ (5.1)

independientemente de x, por lo que la integral impropia es absolutamente convergente y, por tanto, con-vergente.

De nición 26 f : [0, ∞) fi ⊂ R → R es una función admisible sii:

1. La restricción de f a cualquier intervalo nito [0, x] fi ⊂ R es una función continua (por lo menos a

trozos).2. f es de orden exponencial γ .

Comentarios:

· La clase de funciones admisibles es su cientemente amplia para la mayor´ıa de las fiaplicaciones. Enella se incluyen las funciones polinómicas, las exponenciales, las logar´ıtmicas y las periódicas que seancontinuas a trozos en cada periodo.

· Es inmediato probar, además, que la combinación lineal y el producto de funciones admisibles es otrafunción admisible

El siguiente resultado (cuya demostración se omite) permitirá invertir la transformación de Laplace en

muchas ocasiones, sin necesidad de recurrir a una fórmula general de inversión que requiere

· La función f (t) = et no admite transformada de Laplace ya que, para cualquier s, se tiene que

e−stet = et(t−s) > et

e−stet dt > lim

integración enel campo complejo. Para ello bastará con descomponer la función F (s) en suma de funciones que seantransformadas de funciones conocidas, ya que:

Teorema 23 (de unicidad de la transformada de Laplace): Si f (t), g(t) son funciones admisiblesy F (s) =G(s), para todo s grande, entonces f (t) = g(t) en cada punto donde ambas son continuas. En particular, sif y g son continuas para todo t ≥ 0, entonces f = g.


5.2.2 Primeras propiedades

Para estudiar las propiedades de la transformación de Laplace resulta u´til introducir el operador

L : C∞([0, ∞))f (t)

−→→

C∞(R)F (s)

Entonces, como primeras propiedades de las transformadas de Laplace se pueden establecer las siguientes:

Proposición 38 (Linealidad): L es un operador lineal; esto es, si f (t), g(t) son funciones admisibles, en-tonces af (t) + bg(t) (con a, b ∈ R) es también admisible y

L(af (t) + bg(t)) = aL(f (t)) + bL(g(t) ≡ aF (s) + bG(s)

( Dem. ) En efecto∞ ∞ ∞

L(af (t) + bg(t))

=0

e−st(af (t) + bg(t))dt= a 0

e−stf (t)dt +b 0

e−stg(t)dt

= aL(f (t)) + bL(g(t) ≡ aF (s) + bG(s)

La siguiente propiedad es el fundamento de la aplicación de las transformadas de Laplace a la resolución

de ecuaciones diferenciales. As´ı, teniendo en cuenta que si f (t) es una función derivable tal que f (t) esadmisible, entonces f (t) también lo es, se tiene:

Proposición 39 (Derivación): Sea f (t) una función derivable tal que f (t) es admisible, entonces

L(f (t)) = sL(f (t)) − f (0) ≡ sF (s) − f (0)

y, en general, si f (t) es derivable hasta el orden n y f (n)(t) es una función admisible, entonces

L(f (n)(t)) = snF (s) − sn−1f (0) − . . . − sf (n−2)(0) − f (n−1)(0)

(5.2)

( Dem. ) Integrando por partes resulta

L(f (t))=∞

e−stf (t)dt = e−stf (t)

∞+ s

∞

e−stf (t)dt

0 0 0= −f (0) + sL(f (t)) = sF (s) − f (0)

y, en general, procediendo por inducción

L(f (n)(t))= sL(f (n−1)(t)) − f (n−1)(0)= s(sn−1F (s) − sn−2f (0) − . . . − f (n−2)(0)) − f (n−1)(0)= snF (s) − sn−1f (0) − . . . − sf (n−2)(0) − f (n−1)(0)

Comentario:

· En la anterior proposición se asume que f (t) está de nida en t = 0. De no ser as´ı, al fiser f (t) admisibley, por tanto, continua a trozos, ha de existir f (0+) = tlim+ f (t) y se tiene

∞ ∞

L(f (t))= lim→0+

e−stf (t)dt = lim (e−stf (t)|∞ + s

→0+

e−stf (t)dt)

= −f (0+) + sL(f (t)) ≡ sF (s) − f (0+)

→0

y lo mismo para el caso general.

→+→0


La inversión de la transformación de Laplace se verá facilitada en gran medida por las siguientes

propiedades:

Proposición 40 (Integración): Si f (u) una función integrable y admisible (con transformada de Laplace

tF (s)), entonces 0

f (u)du es admisible y

L0

t

f (u)du = F (s)s

t( Dem. ) Poniendo g(t) = f (u)du se tiene que g (t) = f (t) con g(0) = 0, por lo que

utilizando lapropiedad de derivación 0

tF (s) = L(g (t)) = sL(g(t)) = sL

f (u)du

0

Proposición 41 (Valores inicial y nal): Si f (t) es una función admisible (con transformada fide LaplaceF (s)) cuya derivada es admisible y existen los l´ımites de f (t) cuando t → 0+ y t → +∞, entonces

1. lim F (s) = 0 .s→+∞

2. tlim+ f (t) = s lim∞ sF (s) .

3. lim f (t) = lim sF (s) .t→+∞ s→0

( Dem. ) En efecto.

1. Es una consecuencia inmediata de la acotación |F (s)| ≤

Ms − γ , que se obtiene, a su vez, de la acotación

(5.1).

2. Se parte de la propiedad de derivación expresada como

L(f (t)) = sF (s) − lim f (t)t→0+

Haciendo s → +∞ y teniendo en cuenta que, al ser f (t) admisible, se tiene que lim L(f (t))= 0 , el

t→0+resultado es inmediato.

3. Se parte de nuevo de la propiedad de derivación escrita ahora en la formax

L(f (t)) = limx→+∞

de donde, haciendo s → +∞, se obtiene

0

x

e−stf (t)dt = sF (s) − f (0)

xlim sF (s) − f (0)s→0

= lim lims→0 x→+∞ 0

e−stf (t)dt = lim limx→+∞ s→0 0

e−stf (t)dt

x= lim

x→+∞ 0f (t)dt = lim f (x) − f (0) = lim f (t) − f (0)

x→+∞ t→+∞

(Se ha utilizado el hecho de que es posible intercambiar el orden de ejecución de los l

´ımites, por estarF (s) de nida en un entorno de s = 0).fi

transformada de Laplace F (s)), es su ciente con que exista limfi +


Proposición 42 (Multiplicación por t): Si f (t) es una función admisible (con transformada de LaplaceF (s)), entonces

L(tf (t)) = −

dF (s)ds

( Dem. ) En efecto, pues

dF (s)ds = d

ds 0

∞

e−stf (t)dt = − 0

∞

e−sttf (t)dt

f (t)Proposición 43 (División por t): Si es una función admisible, para lo cual, si f (t) esadmisible (con tf (t), entonces

t→0 t

Lf (t)t =

s

∞

F (u)du

( Dem. ) Si g(t)=

f (t)t

se tiene que f (t) = tg(t), y utilizando la propiedad anterior

dG(s)F (s) = −dsde donde

s

∞

F (u)du = limx→+∞ s

x

F (u)du = limx→+∞ s

x−

dG(u)du du = lim (G(s) − G(x)) = G(s) =

Lx→+∞

f (t)t

donde se ha utilizado la propiedad 1 de la proposición 41.

Proposición 44 (Multiplicación por eat): Si f (t) es una función admisible (con transformada de LaplaceF (s)), entonces

L(eatf (t)) = F (s − a)

( Dem. ) En efecto, pues∞ ∞

L(eatf (t)) = 0

e−steatf (t)dt = 0

e−(s−a)tf (t)dt = F (s − a)

Proposición 45 (Traslación): Si f (t) es una función admisible (con transformada de Laplace F (s)), en-tonces la función

f˜(t) = f (t − a) si t ≥ a0 si t < a

es admisible yL(f˜(t)) = e−asF (s)

( Dem. ) En efecto, pues∞ ∞

L(f˜(t)) = e−stf˜(t)dt = e−stf (t − a)dt = (∗)

y haciendo t − a = u,0

(∗) =0

∞

a

e−sue−saf (u)du = e−asF (s)

e− a uf (u)du =

e−stf (t)dt

ds s = 3

= n+1


Proposición 46 (Cambio de escala): Si f (t) es una función admisible (con transformada de Laplace F (s))y a > 0, entonces

( Dem. ) En efecto, haciendo at = u

L(f (at))=

1aF s

a

L(f (at)) = 0

∞

e−stf (at)dt=

1a 0

∞s 1

aFsa

Proposición 47 (Funciones periódicas): Si f (t) es una función admisible periódica de periodo T ; es decir,f (t + T ) = f (t), entonces

L(f (t)) =

T01 − e−sT

( Dem. ) En efecto,∞ T ∞

L(f (t)) = 0

e−stf (t)dt = 0

e−stf (t)dt + T

e−stf (t)dt = (∗)

y haciendo t = T + u en la u´ltima integral

T ∞

(∗) =0T

e−stf (t)dt + 0

e−s(T +u)f (T + u)du∞ T

=0

e−stf (t)dt + e−sT 0

e−suf (u)du =0

e−stf (t)dt + e−sT F (s)

5.2.3 Transformadas de Laplace de algunas funciones elementales

Vamos a utilizar algunas de las propiedades expuestas para calcular, a modo de ejemplo, las transformadasde Laplace de algunas funciones elementales.

1. f (t) = 1.L(1) :=

0

∞e−stdt = lim

x→∞ 0

xe−stdt = lim

x→∞

1 − e−sxs = 1

ssi s > 0, no existiendo si s ≤ 0.

2. f (t) = tn.Para n = 1 se tiene

L(t) :=0

∞e−sttdt = lim

x→∞ 0

xe−sttdt = 1

s2si s > 0, no existiendo si s ≤ 0. (También se obtiene a partir del primer resultado y usando la propiedadde multiplicación por t).Para n = 2, partiendo del anterior resultado y usando la propiedad de multiplicación por t,

Finalmente, por inducción

L(t2) = −

d 12

2s

L(tn) = −

dds L(tn−1) = − d (n − 1)!

ds sn sn!


3. f (t) = tneat.Partiendo del resultado anterior y usando la propiedad de multiplicación por eat:

71

L(tneat) = n!(s − a)n+1

4. f (t) = eat.L(eat) :=

0

∞e−steatdt = lim

x→∞ 0

xe−(s−a)tdt = 1

s − asi s > a, no existiendo si s ≤ a. (También se obtiene a partir del primer resultado y usando la propiedadde multiplicación por eat).

5. f (t) = cos bt , g(t) = sin bt.Sus transformadas de Laplace se pueden determinar directamente como en los otros ejemplos, pero esmás cómodo utilizar la fórmula de Euler:

∞ ∞L(cos bt) + iL(sinbt)

:=0

e−st cos btdt + i 0

e−st sin btdt

=0

∞e−st(cos bt + i sin

bt)dt =0

∞e−steibtdt = 1

s − ibs + ibs + b2

e igualando partes real e imaginaria se obtiene

L(cos bt)

L(sin bt)

=

=

ss2 + b2

bs2 + b2

6. f (t) = eat cos bt , g(t) = eat sin bt.Partiendo del resultado anterior y usando la propiedad de multiplicación por eat:

L(eat cos bt)

L(eat sin bt)

=

=

s − a(s − a)2 + b2

b(s − a)2 + b2

7. f (t) = t cos bt , g(t) = t sin bt.Partiendo del mismo resultado que antes y usando la propiedad de multiplicación por t:

L(t cos bt)

L(t sin bt)

=

=

s2 − b2(s2 + b2)2

2bs(s2 + b2)2

Comentario:

· Naturalmente el uso de las propiedades expuestas puede reiterarse. As´ı, p. ej., para obtener latransformada de Laplace de la función

tf (t) = e−uu sin udu

0

se parte de la transformada de f (t) = sin t y basta con aplicar sucesivamente las propiedades demultiplicación por t, de multiplicación por eat y de integración, para obtener

= 2

L0

te−uu sin udu = 2(s + 1)

s((s + 1)2 + 1)2


5.2.4 Inversión (por descomposición en fracciones simples)

Se va a estudiar, nalmente, el problema de invertir la transformación de Laplace. En general fiello requiereconsiderar s como variable compleja e integrar en el plano complejo. Afortunadamente, en muchoscasosde las aplicaciones, la transformada de Laplace es una función racional con el polinomio del numerador degrado menor que el del denominador (ésto es una consecuencia de la propiedad del valor inicial(1)). Entales casos es más fácil invertir la transformación utilizando el método que a continuación se describe.

Sea la función racional F (s) =

P (s)Q(s) , donde P (s) y Q(s) son polinomios con coe cientes reales yfi

grado (P (s)) < grado (Q(s)). El procedimiento consiste en descomponer la función en suma de fraccionessimples. Entonces, pueden darse los siguientes casos, según las caracter´ısticas de las ra´ıces de Q(s):

1. Si α ∈ R es una ra´ız de Q(s) con multiplicidad µ, entonces en la descomposición en fracciones simples

aparecen los factoresA1

s − α ,A2

(s − α)2 , ... ,Aµ

(s − α)µ (Ak ∈ R)

y, de acuerdo con los resultados del apartado anterior, para cada uno de ellos se tiene, engeneral,∀k = 1, . . . , µ,

Ak(s − α)k

= Ak (k − 1)!

(k − 1)! (s −α)k

= L Ak(k − 1)!

tk−1eαt

2. Si α + iβ ∈ C es una ra´ız de Q(s), también lo es su conjugada α − iβ ∈ C, ambas con la

mismamultiplicidad µ. Entonces se pueden englobar los factores correspondientes a estas dos ra´ıces en unsólo sumando, debiéndose distinguir los siguientes casos:

(a) Si la multiplicidad es µ = 1: Entonces el término correspondiente a estas ra´ıces queaparece en la

descomposición en fracciones simples esAs + B

(s − α)2 + β 2

=A(s − α)

(s − α)2 + β 2

+A α + B

ββ

(s − α)2 + β 2

= L Aeαt cos βt + β e sin βt

(b) Si la multiplicidad es µ = 2: Entonces, en la descomposición en fracciones simples correspondiente

a estas ra´ıces aparece, además del anterior, el términoCs + D

((s − α)2 + β 2)2

=C 2β (s − α)2β ((s − α)2 + β2)2

+ (C α + D)

1((s − α)2 + β 2)2

Para el primer sumando se tiene

y para el segundo

2β (s − α)((s − α)2 + β 2)2

= L eαtt sin βt

1((s − α)2 + β 2)2

=1 (s − α ) 2 + β 2 − (s − α ) 2 + β 22β 2 ((s − α)2 + β 2)2

=1 2β β3 (s − α)2 + β 2

Aα + B αt

−1

2β(s − α)2 − β 2

3 ((s − α)2 + β 2)2

=1

2β 3L(eαt sin βt)

−

12β 2

L(eαtt cos βt)

(c) Si la multiplicidad es µ > 2, entonces la inversión de los correspondientes términoses más cómoda

si se utilizan los métodos de convolución que se expondrán al nal del cap´ıtulo.fi

Comentario:

· Obsérvese que, al expresar la función racional como suma de fracciones simples e invertirla transfor-mación de Laplace, se está haciendo uso de la propiedad expresada en el teorema de unicidad de latransformada de Laplace.


· El cálculo de los coe cientes que aparecen en la descomposición en fracciones simples fipuede hacerse porel conocido método de coe cientes indeterminados. Sin embargo, para los términos ficorrespondientes ara´ıces reales (y, en particular, cuando son simples) es más cómodo el siguiente método:Si α ∈ R es una ra´ız de Q(s) con multiplicidad µ, se tiene

P (s)Q(s) =

µ

k=1

Ak(s − α)k

+ R(s)

donde R(s) es una función racional cuyo denominador ya no contiene la ra´ız α.

Multiplicando ambosmiembros por (s − α)µ se obtiene

P (s)Q(s)/(s − α)µ

=µ

k=1Ak (s − α)µ−k + (s − α)µR(s)

e identi cando el segundo miembro como el desarrollo de Taylor del primero, se obtiene quefi

Aµ =P (s)

Q(s)/(s − α)µ

s=α, Aµ−1 =

dds

P (s)Q(s)/(s − α)µ s=α

y, en generalAk = 1 dµ−k

(µ − k)! dsµ−kP (s)

Q(s)/(s − α)µ s=α

5.3

5.3.1

Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales

Resolución de problemas de valor inicial de ecuaciones y sistemas concoe cientes constantesfi

Utilizando uńicamente las propiedades de linealidad y de derivación de la transformación de Laplace, se estáya en condiciones de resolver algunos problemas de valor inicial para:

1. Ecuaciones diferenciales lineales con coe cientes constantes.fi

2. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coe cientes constantes.fi

3. Ecuaciones ´ıntegro-diferenciales.


5.3.2 Excitaciones discontinuas: Función de Heaviside

El uso de la transformada de Laplace para la resolución de los problemas de valor inicial de ecuacionesdiferenciales senãlados en el apartado anterior muestra toda su e cacia cuando la función quefiaparece en eltérmino independiente de la ecuación (o sistema) presenta discontinuidades de salto en uno o varios puntosde su dominio 1.

Para tratar este tipo de problemas con el método de la transformación de Laplace es de granutilidad la

siguiente función:

De nición 27 Se denomina función de Heaviside o función de salto unidad a la funciónfi

u(t − a) ≡ ua(t) = Si a = 0 se escribe simplemente

u(t).

01

si0

≤ t < asi a ≤ t

1Ello corresponde a que el sistema modelado por dicha ecuaci´on presente saltos bruscos en uno o varios instantes.


El resultado de mayor interés para nosotros es:

Proposición 48 La transformada de Laplace de ua(t) es

74

L(ua(t)) =

e−sas

En particular L(u(t)) =

1s .

( Dem. ) Inmediata, pues

L(ua(t)) := 0

∞

e−stua(t)dt =a

∞

e−stdt =e−sas

Comentarios:

· Una función que presente discontinuidades de salto tal como

f (t) =

f2(t) si a ≤ t < b f3(t) si b ≤ t

se puede expresar en términos de la función de Heaviside de la siguiente forma

f (t)

= f1(t)(u(t) − u(t − a)) + f2(t)(u(t − a) − u(t − b)) + f3(t)u(t − b)

= f1(t) + (f2(t) − f1(t))u(t − a) + (f3(t) − f2(t))u(t − b)

· La propiedad de traslación puede expresarse ahora en términos de la función de Heavisidecomo

L(f˜(t)) = L(u(t − a)f (t − a)) = e−asF (s)

(donde F (s) = L(f (t))), fórmula que permite el cálculo de la transformada de Laplace deuna funcióncon discontinuidades de salto y también su inversión.


5.3.3 Delta de Dirac

Hay muchas aplicaciones cuya modelización matemática conduce a ecuaciones diferenciales lineales (concoe cientes constantes) en las que la función f (t) del término independiente es nula fuera fide un estrechointervalo [a, a + ] en el que toma valores arbitrariamente grandes. Normalmente, además, estosvalores son

βdesconocidos, disponiéndose uńicamente del valor de la integral I =

f (t)dt (si α ≤ a < a + ≤ β ).

α

Este tipo de situaciones se presenta en problemas de naturaleza impulsiva. Por ejemplo, en unsistema

mecánico formado por una masa sujeta mediante un resorte elástico, al golpear con un martilloen uninstante t = a, comunicando un impulso de valor I durante un breve intervalo de tiempo [a, a + ], en elcual el martillo está en contacto con la masa (en este caso, f (t) representa la fuerza aplicada en ese lapsode tiempo). También en el caso de un circuito eléctrico RCL, cuya ecuación

e(t) = RI +

LdI

dt+ 1C

f 1(t) si 0 ≤ t < a

0t

I (τ )dτ

se deriva para obtener la ecuaci´on diferencial

Ld2Idt2 + R dI

dt + 1C I = de

dt = f (t)


cuando la tensión cambia bruscamente en el instante α (de hecho entre α y α + ) desde un valore0 hastael valor e0 + I .

Para tratar estas situaciones se va a considerar el caso ideal que se obtiene al hacer que

I = 1, si f → f0, esta “función” f0 deber´ıa satisfacerβ

→ 0. Fijando

f0(t) = 0 para t = α ; f0(t)dt = 1

si α ≤ a < β

α

condiciones que no puede veri car ninguna función ordinaria.fi

Obsérvese, no obstante, que lo que realmente interesa no es obtener el valor del l´ımite de f cuando → 0,

sino resolver el problema de valor inicial

a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = f (t)

; y(0) = 0 , y (0) = 0 (5.3)

para el caso

→ 0, y que en la resolución de un problema como éste (que para simpli car se ha fitomado

con condiciones iniciales homogéneas) no es preciso conocer los valores de f (t) sino simplemente el valor de

βintegrales de la forma

g(t)f (t)dt , donde g(t) es una función continua. En efecto, la soluciónde (5.3)

αobtenida por el método de variación de constantes a partir de dos soluciones y1 e y2 de la ecuación linealhomogénea asociada es, como se puede comprobar,

y(t) = y1(t) 0

t −y 2 (τ ) a2W (τ )f (τ )dτ + y2(t) 0

t y1(τ )

a2W (τ )f (τ )dτ

Análogamente, la resolución del problema de valor inicial (5.3) utilizando la transformaciónde Laplaceconduce a la ecuación

(a2s2 + a1s + a0)Y (s) = F (s) =

∞

e−stf (t)dt

0

de donde se obtiene Y (s) e, invirtiendo, y(t). En ambos casos f (t) sólo interviene como integrando multi-plicado por una función continua.

β

As´ı pues, para resolver el caso ideal planteado ( → 0) hay quecalcular lim

→0es una función continua. Se tiene:

Lema 5 Si g(t) es continua en [α, β ], entonces

αg(t)f (t)dt cuando g(t)

lim→0

β

αg(t)f (t)dt =g(a) si α ≤ a < β0 en otro caso

( Dem. ) Si α es tal que α ≤ a < β ,parapara t ∈ [a, a + ],

su cientemente pequenõ α ≤ a < a + < β , y como f (t) = 0fi

β

αg(t)f (t)dt= a

a+g(t)f (t)dt

Ahora, con m = min g(t) y M = max g(t) , se tiene[a,a+ ] [a,a+ ]

a+ a+ a+m

af (t)dt ≤ a

g(t)f (t)dt ≤ M a

f (t)dt

es decirm ≤

a

a+g(t)f (t)dt ≤ M

pero como g es continua, cuando

→ 0, tanto m como M tienden a g(a), luego

βlim→0 α

g(t)f (t)dt = g(a)


Si a ≥ β entonces f (t) = 0 en [α, β ], y si a ≤ α entonces, para

luego también f (t) = 0 en [α, β ], por tantoβ

su cientemente pequenõ, fia +

< a,

lim→0 α

g(t)f (t)dt = 0

Este resultado permite considerar el caso ideal → 0 (en que f → f0) en la situación descrita. Para ello

se de ne la siguiente “función”fi 2:

De nición 28 Se denomina delta de Dirac a la “función” δ(t − a) tal que, para toda función ficontinua g(t)en [α, β ], veri ca quefi

β

αg(t)δ(t − a)dt =

g(a) si α ≤ a < β0 en otro caso

Con esta de nición, el ficaso

→ 0 en un problema de valor inicial como (5.3) (pero con condiciones

iniciales cualesquiera) conduce a la ecuación

a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = I δ(t − a)

; y(0) = y0 , y (0) = y1

para cuya resolución basta con conocer L(δ(t − a)).

Proposición 49 La transformada de Laplace de δ(t − a) esL(δ(t − a)) = e−sa

En particular, para a = 0, L(δ(t)) = 1 .

( Dem. ) Inmediata, pues de la propia de nición se obtiene quefi∞

L(δ(t − a)) :=0


e−stδ(t − a)dt = e−sa

5.3.4 Convolución y sistemas lineales

A menudo se presenta el problema de determinar la respuesta de un sistema sometido a varias excitacionesde diverso tipo simultáneamente. Considérese como modelo el caso en que la formulación matemática delsistema conduce al problema de valor inicial (5.3)

a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) =f (t)

; y(0) = 0 , y (0) = 0 (5.4)

con f (t) conteniendo diferentes expresiones tipos de funciones (para simpli car se han ficonsiderado condi-ciones iniciales homogéneas). Su resolución mediante la transformada de Laplace lleva a

Y (s) =

1a2s2 + a1s + a0

F (s) ≡ H (s)F (s) (5.5)

y sólo resta invertir la transformación de Laplace para obtener y(t). Sin embargo, ser´ıa deseable hacerlo detal forma que al cambiar f (t) y, por tanto F (s), no hubiera que rehacer todos los cálculos. Para ello, secomienza observando que en la anterior expresi ´ on H (s) =

1a2s2 + a1s + a0

es la transformada de Laplace de

la función h(t), solución del problema de valor inicial dado cuando F (s) = 1, es decir, cuando f (t) = δ(t).Entonces:

a2h (t) + a1h (t) + a0h(t) = δ(t) ;

h(0) = 0 , h (0) = 0

2Realmente no se trata de una verdadera función en el sentido ordinario, sino de una distribución.


De nición 29 Dado un problema de valor inicialfi

77

a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = f (t)

; y(0) = y0 , y (0) = y1

se denomina función de transferencia o respuesta impulsional del sistema a la función h(t) solución delproblema de valor inicial

a2h (t) + a1h (t) + a0h(t) = δ(t)

; h(0) = 0 , h (0) = 0 (5.6)

esto es a la función cuya transformada de Laplace es

1a2s2 + a1s + a0

.

Comentario:

· Nótese que sólo pueden darse los siguientes casos:1. La solución general de la ecuación (5.6) es h(t) = (c1 cos bt+c2 sin bt)eat, si las

ra´ıces del polinomiocaracter´ıstico asociado son del tipo λ = a + bi.En este caso, la solución particular del problema de valor inicial da c1 = 0.

2. La solución general de la ecuación (5.6) es h(t) = c1eλ1t + c2eλ2t, si las ra´ıces del polinomio

caracter´ıstico son λ1, λ2 ∈ R, con λ1 = λ2.En este caso, la solución particular del problema de valor inicial da c1 = −c2.

3. La solución general de la ecuación (5.6) es h(t) = c1eλt + c2teλt, si las ra´ıces del polinomio

caracter´ıstico son λ1 = λ2 ≡ λ ∈ R.En este caso, la solución particular del problema de valor inicial da c1 = 0.

· Obsérvese que la función de transferencia de un sistema depende uńicamente de “la parte ja” delfiproblema, correspondiente a los coe cientes afi i.

La expresión (5.5) sugiere que y(t) esté relacionada directamente con h(t) y f (t). Se trata de discernir

cómo. En general se tiene que y(t) = h(t)f (t), ya que L(h(t)f (t)) = L(h(t))L(f (t)). El resultado correctoes:

Proposición 50 El problema de valor inicial (5.4) (cuya resolución por el método de Laplace conduce a laexpresión (5.5)) tiene como solución la función

t t

y(t)0f (τ )h(t − τ )u(t − τ )dτ = 0

f (τ )h(t − τ )dτ

( Dem. ) Se va a aproximar la función f (t) medianteN −1

f (t)i=1

y, a su vez, se va a utilizar la aproximación

f (ti)(u(t − ti) − u(t − ti+1))

con lo que, si ci = f (ti)∆ti,

u(t − ti) − u(t − ti+1)

N −1

∆tiδ(t − ti)

f (t) ciδ(t − ti)i=1

A continuación se van a utilizar dos propiedades básicas de las soluciones de problemas de valor inicial deecuaciones diferenciales lineales. En primer lugar, es válido el principio de superposición, por lo que lasolución correspondiente a una combinación lineal de excitaciones es la correspondiente combinación de lassoluciones a cada una de las excitaciones. As´ı pues, se puede aproximar la solución y(t) por

N −1y(t)

i=1ciyi(t)


donde yi(t) son las soluciones de

78

a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = δ(t− ti)

; y(0) = 0 , y (0) = 0

En segundo lugar, por la propiedad de invariancia en el tiempo del sistema se ha de tener que yi(t) =h(t − ti)u(t − ti), lo que se traduce en

L(yi(t)) = H (s)L(δ(t − ti)) = H (s)e−sti

obteniéndose, as´ı, queN −1

y(t) f (ti)∆tih(t − ti)u(t − ti+1)i=1

El segundo miembro de esta expresión puede verse como una suma de Riemann, por lo que, al hacer N → ∞y max{∆ti, 0 ≤ i ≤ N − 1} → 0, se tendrá

t t

y(t)0f (τ )h(t − τ )u(t − τ )dτ = 0


ya que u(t − τ ) = 1 para τ < t.

De nición 30 Dadas dos funciones f (t) y g(t), se denomina producto de convolución de las fimismas a lafunción (si existe)

t(f ∗ g)(t) :=

f (τ )g(t − τ )dτ

0

De la discusión precedente se obtiene inmediatamente el siguiente resultado:

Teorema 24 (de Convolución): Si f (t) y g(t) son funciones admisibles, entonces f (t) ∗ g(t) también lo es y

L((f ∗ g)(t)) = L(f (t))L(g(t))

Comentario:

· El producto de convolución es muy u´til para invertir la transformación de Laplace, ya que, del teoremade convolución se obtiene de inmediato que si Y (s) = F (s)G(s) y f (t) = L−1(F (s) y g(t)= L−1(G(s))entonces y(t) = L−1(Y (s)) = (f ∗ g)(t)).

Utilizando la de nición y/0 este teorema es inmediato comprobar las siguientes propiedades:fi

Proposición 51 Sean f (t), g(t) y h(t) funciones admisibles, entonces:

1. (f ∗ g)(t) = (g ∗ f )(t).2. (f ∗ (g + h))(t)) = (f ∗ g)(t) + (f ∗ h)(t).

3. ((f ∗ g) ∗ h)(t)) = (f ∗ (g ∗ h))(t).

4. (δ ∗ f )(t) = f (t).

Teniendo presente todo ésto, se puede ahora a rmar que la solución del problema de valor fiinicial (5.4) es

t

y(t) = (f ∗ h)(t))=


0

y si se modi ca f (t) sólo será necesario modi car, en consecuencia, el cálculo del productofi fi

de convoluci´oncon la funci´on de transferencia del sistema.


Chapter 6

Ecuaciones Diferenciales en DerivadasParciales

6.1 Introducción

Igual que en los cap´ıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precisión más concreta,se asumirá quetodas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.

6.2

6.2.1

Ecuaciones en derivadas parciales y problemas de contorno

De niciones básicasfi

Antes de comenzar conviene recordar que, como se de nió en el primer cap´ıtulo, una ecuación fidiferencial esuna relación entre una función (su cientemente derivable), sus variables y una o varias fiderivadas sucesivasde la función. En forma impl´ıcita es una expresión del tipo

F (x, y(x), y (x), . . . , y(n)(x)) = 0Entonces:

De nición 31 Se denomina ecuación diferencial en derivadas parciales a una ecuación fidiferencial en la quela función incógnita es de varias variables, u ≡ u(x1, . . . , xn). Esto es, una expresión del tipo:

F x1, . . ., xn,

∂u∂x1 ,...

,∂u ∂ 2u ∂ 2u

, ,∂xn ∂xk1 ∂x1∂x2

,...,

∂ 2u∂x2n

,... =0

(Las ecuaciones en derivadas parciales se suelen expresar siempre en forma impl´ıcita).

1. Se denomina orden de la ecuación al de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuación.2. Se denomina grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden.

Igual que con las ecuaciones diferenciales ordinarias, se van a tratar, en particular, las ecuaciones en

derivadas parciales de tipo lineal:

De nición 32 Una ecuación diferencial en derivadas parciales es de tipo lineal sii es de fiprimer grado enla función incógnita u y en sus derivadas parciales. Se suele escribir L(u) = f (donde u y f son funcionesde varias variables y L es un operador lineal que puede contener en su expresión funciones de

las variablesindependientes).

La ecuación lineal es homogénea sii no tiene término independiente; esto es, f = 0.

79


Ejemplos:

· Una ecuación en derivadas parciales lineal es, por ejemplo,

80

2∂u∂x + xy ∂ 2u

2 − ex ∂u∂y = f (x, y)

donde L = 2

∂∂x + xy ∂ 2

∂x2 − ex ∂∂y .

· No es una ecuación en derivadas parciales lineal la siguiente

u ∂u∂x + xy ∂ 2u

∂x∂y = f (x, y)

ya que L =u

∂∂x + xy ∂ 2

∂x∂y no es un operador lineal, como puede comprobarse fácilmente.

En este cap´ıtulo se prestará especial atención a las ecuaciones diferenciales en derivadasparciales de

segundo orden ya que, como se verá, son las que aparecen en las principales aplicaciones.

6.2.2 Problemas de contorno. Tipos de condiciones de contorno y de valorinicial

En el contexto de este cap´ıtulo, un problema de contorno consiste en resolver una ecuación diferencialen derivadas parciales, esto es, en hallar una función u que satisfaga dicha ecuación en algún dominio delas variables independientes, asi como ciertas condiciones de la función y/o sus derivadas parciales en elcontorno de este dominio. También se acostumbra a exigir condiciones de continuidad de u y susderivadasen el dominio en cuestión y su contorno.

Las condiciones de contorno que se van a considerar principalmente son las siguientes:

De nición 33 Un problema de contorno es lineal sii la ecuación en derivadas parciales a la fique está asociadoes lineal y las propias condiciones de contorno también son lineales. Se tiene, por tanto:

e.d.p. lineal:Conds. cont. lineales:

L(u) = fL1(u) = f1 , . . . , Lk (u) = fk

Si f1 = . . . = fk = 0 se dice que las condiciones de contorno son homogéneas.

Ejemplo:

· En el recinto 0 < x < 1, y > 0 se de nefi

e.d.p. lineal: L(u(x, y)) :=

∂ 2u∂y2 − ∂ 2u

∂x2 = sin πx

Conds. cont. lineales: L1(u(x, 0)) := u(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1

L2(u(x, 0)) :=

∂u∂x

(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1

L3(u(0, y)) := u(0, y) = 0 , y ≥ 0L4(u(1, y)) := u(1, y) = 0 , y ≥ 0

En este ejemplo se tiene f = sin πx, f1 = f2 = f3 = f4 = 0; luego las condiciones de contorno sonlineales y homogéneas.

Igual que en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, se tiene el siguiente

∂x

resultado:


Proposición 52 (Principio de superposición de soluciones): Sea una ecuación en derivadas parciales linealy homogénea L(u) = 0. Si u1, . . . , un son soluciones, entonces:

n1. Cualquier combinación lineal de las mismas, u =

ck uk , es también solución.

k=1

2. Si u1, . . . , un son soluciones que satisfacen una condición de contorno lineal y homogénea, entonces

ncualquier combinación lineal de las mismas, u = k=1

ck uk , satisface también la condición dada.

( Dem. ) Evidente pues, por ser L linealn n

L(u) = L(k=1

ck uk ) = k=1

ck L(uk ) = 0

y la segunda parte de la proposición es inmediata.

A continuación se van a introducir las diversas maneras en que pueden presentarse las condiciones de

contorno.

De nición 34 Un problema de contorno es de tipo Dirichlet sii las condiciones de contorno ficonsisten endar los valores de la función incógnita u en el contorno del dominio de de nición del fiproblema.

De nición 35 Un problema de contorno es de tipo Newmann sii las condiciones de contorno ficonsisten en

∂udar los valores de la derivada direccional de la función incógnita u, en la dirección normal al contorno ∂ ndel dominio de de nición del problema, sobre los puntos de dicho contorno.fi

De nición 36 Un problema de contorno es de tipo mixto sii las condiciones de contorno ficonsisten en

∂udar los valores de una combinación lineal de la función incógnita u y de la derivada direccional (en la ∂ ndirección normal al contorno del dominio de de nición del problema) sobre los puntos de dichoficontorno. Esdecir, de

hu + ∂u∂ n

donde h es una constante arbitraria o una función de las variables independientes.

De nición 37 Un problema de contorno es de tipo Cauchy sii la ecuación en derivadas parcialesfies desegundo orden en alguna de las variables (p. ej., y) y las condiciones de contorno consisten endar losvalores de la función incógnita u y de la derivada parcial

∂u∂y

en y = 0.

M’as adelante se verá cómo se resuelven diversos tipos de ecuaciones en derivadas parcialessometidas a

diferentes clases de condiciones de contorno.

6.2.3 Clasi cación de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo ordenfilineales

Considérese una ecuación en derivadas parciales de segundo orden lineal homogénea con coe cientes con-fi

∂x

stantes. Por simplicidad se tratará la cuestión en dos dimensiones; esto es, se supondrá quela funciónincógnita depende de dos variables, u = u(x, y). Con estas hipótesis, se están considerando ecuaciones cuyaexpresión general es

L(u) := A

∂ 2u2 + B

∂ 2u∂x∂y + C

∂ 2u∂y2 + D

∂u∂x + E

∂u∂y + Fu = 0 (6.1)

donde A, B, C, D, E, F ∈ R son constantes. En estas condiciones se tiene el siguiente resultado

general:


Proposición 53 Toda ecuación en derivadas parciales de segundo orden lineal con coe cientes ficonstantes(en dos dimensiones) del tipo (6.1) puede convertirse (por medio de transformaciones lineales) en una delos tres siguientes tipos:

1. Una ecuación lineal con coe cientes constantes con un uńico término de segundo orden enfiel que

aparecen las derivadas parciales cruzadas de la función incógnita.

2. Una ecuación lineal con coe cientes constantes con un uńico término de segundo orden enfiel que no

aparecen las derivadas parciales cruzadas de la función incógnita.

3. Una ecuación lineal con coe cientes constantes con dos términos de segundo orden (con elfimismo

coe ciente) en los que no aparecen las derivadas parciales cruzadas de la función incfiógnita.

( Dem. ) Si se efectúa el siguiente cambio lineal de coordenadas

t = αx + βy , s = µx + λy (6.2)

(con α, β, µ, λ ∈ R parámetros arbitrarios) y se designa por u˜ = u˜(t, s) a la función transformada de u(x, y),se tiene que

∂u∂x∂u∂y

=

=

α

β

∂ u˜∂t∂ u˜∂t

+ µ

+ λ

∂ u˜∂s∂ u˜∂s

∂ 2u∂x2 = α2 ∂ 2u˜

∂t2 + αµ∂ 2u˜∂t∂s + µα

∂ 2u˜∂s∂t

+ µ2 ∂ 2u˜∂s2

= α2 ∂ 2u˜∂t2 + 2αµ

∂ 2u˜∂t∂s

+ µ2 ∂ 2u˜∂s2

∂ 2u∂x∂y

= αβ2

2+ αλ

2

∂t∂s + µβ2

∂s∂t + µλ2

2= 2αβ

2

2+ (αλ + µβ

)

2

∂t∂s + 2µλ ∂ 2u˜∂s2

∂ 2u∂y2 = β 2 ∂ 2u˜

2 + βλ∂ 2u˜∂t∂s + λβ

∂ 2u˜∂s∂t

+ λ2 ∂ 2u˜2

= β 2 ∂ 2u˜2 + 2β λ

∂ 2u˜∂t∂s

+ λ2 ∂ 2u˜∂s2

con lo que la ecuación (6.1) se transforma en

0 = (α2A + αβB + β 2C)

∂ 2u∂t2 + (2αµA + (αλ + µβ )B + 2β

λC )∂ 2u∂t∂s + (µ2A + µλB + λ2C

)∂ 2u∂s2 +

D(α + β )

∂u∂t

+ E (µ + λ)

∂u∂s

+ Fu

Analicemos la forma de los términos de segundo orden, de manera que se obtenga una de las tresopcionesconsideradas.

1. La ecuación tiene un sólo término de segundo orden en el que aparecen las derivadas parciales cruzadas

de la función incógnita.Hay dos posibilidades:

(a) Si A = C = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformación (6.2).(b) Supóngase que A = 0 (y/o C = 0). Entonces ha de tenerse que

o, equivalentemente

α2A + αβB + β 2C = 0 , µ2A + µλB + λ2C = 0

αβ2

A +αβ

B

+ C =0 , µ

λ

∂ u∂̃t

∂ u˜

∂ u˜

∂ u˜∂s

∂ u∂̃t

∂ u˜

∂t ∂s ∂t

2

A +µ λ B

+ C =0

de donde, despejando, se obtiene la siguiente relaci´on

αβ = 1

2A (−B ± B2 − 4AC ) , µλ = 1

2A (−B B 2 − 4AC ) (6.3)


(en una de las igualdades se toma el signo + y en la otra el −). Para que la transformación (6.2)

α µno sea singular ha de ser = , por lo que la ecuación adopta la forma deseadaβ λ

B ∂ 2u˜∂t∂s + D ∂ u˜

∂t + E ∂ u˜∂s + F u˜ = 0

si, y sólo si, B2 − 4AC > 0.

2. La ecuación tiene un sólo término de segundo orden en el que no aparecen las derivadas parciales

cruzadas de la función incógnita.Hay dos posibilidades:

(a) Si B = C = 0 ó B = A = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformación

(6.2).(b) Suponiendo de nuevo que A = 0 (y/o C = 0), entonces ha de tenerse que

α2A + αβB + β 2C = 0 , 2αµA + (αλ + µβ )B + 2β λC = 0

Si B 2 − 4AC = 0, de la primera de las expresiones (6.3) se obtiene que

αβ = −B

2A , con lo que se

logra la anulación del primer coe ciente. Por otra parte, si se toma µ = 1 y λ = 0; esfidecir, serealiza la transformación

t = −Bx + 2Ay , s = xla segunda ecuación se reduce a

2αA + βB = 0con lo que se obtiene una ecuación en derivadas parciales del tipo 1:

A ∂ 2u˜2 + D ∂ u˜

∂t + E ∂ u˜∂s + F u˜ = 0

3. La ecuación tiene dos términos de segundo orden en los que no aparecen las derivadas parciales cruzadas

de la función incógnita.Hay dos posibilidades:

(a) Si B = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformación (6.2).(b) Si B = 0, la transformación

−Bx + 2Ayt = √

4AC − B 2, s = x

(es pues necesario que B2 − 4AC < 0) convierte la ecuación en derivadas parciales inicial en unade la forma

A ∂ 2u˜2 + ∂ 2u˜

∂s2 + D ∂ u˜∂t + E ∂ u˜

∂s + F u˜ = 0

La discusión precedente da origen a la siguiente de nición que clasi ca las ecuaciones en fi fiderivadas

parciales de segundo orden lineales con coe cientes constantes:fi

De nición 38 Dada una ecuación en derivadas parciales de segundo orden lineal homogénea con ficoe cientesficonstantes (en dos dimensiones) del tipo (6.1).

1. La ecuación es del tipo hiperbólico (y el operador lineal L es hiperbólico) sii B 2 − 4AC > 0; es decir,

es del primer tipo:∂ 2u∂x∂y

+ D ∂u∂x

+ E ∂u∂y

+ Fu = 01Si se desea que el término que aparezca sea

∂s

∂t

∂ 2u˜∂t2 , el an´alisis a efectuar es an

´alogo.


2. La ecuación es del tipo parabólico (y el operador lineal L es parabólico) sii B 2 − 4AC = 0; es decir,

es del segundo tipo:∂ 2u∂x2

+ D ∂u∂x

+ E ∂u∂y

+ Fu = 0

3. La ecuación es del tipo el´ıptico (y el operador lineal L es el´ıptico) sii B 2 − 4AC < 0;es decir, es del

tercer tipo:∂ 2u

2 + ∂ 2u2 + D ∂u

∂x+ E ∂u

∂y+ Fu = 0

Comentario:

· Esta clasi cación es de gran relevancia ya que, para cada clase de ecuación, el tipo de ficondición decontorno y la naturaleza de la solución son diferentes (como ya se verá). Además, cada una de ellascorresponde, en las aplicaciones, a un tipo diferente de problema f´ısico:

1. Las hiperbólicas describen problemas de vibraciones (y requieren dos condiciones iniciales, además

de las de contorno).2. Las parabólicas describen problemas de difusión (y requieren una condición inicial,además de las

de contorno).3. Las el´ıpticas describen problemas de estados de equilibrio (y no requieren condiciones iniciales,

además de las de contorno).

Antes de abordar el estudio y resolución de estos tipos de ecuaciones sometidos a diferentescondiciones

de contorno, es preciso dar algunas nociones sobre las series de funciones trigonométricas conocidas comoseries de Fourier.

6.3

6.3.1

Series de Fourier y funciones ortogonales

Series y coe cientes de Fourierfi

En el estudio de muchos problemas f´ısicos que se modelizan por medio de ecuaciones diferenciales en derivadasparciales (p. ej., problemas de vibraciones mecánicas, conducción del calor, transmisión de ondas, electro-magnetismo, etc.) es necesario trabajar con series de funciones trigonométricas del tipo

f (x) =

12a0 +

∞

(an cos nx + bn sin nx)n=1

(6.4)

Aparte de ello, el estudio puramente teórico de estas series ha in uido notablemente en el fldesarrollo delanaálisis matemático en los u´ltimos 250 anõs.

Una ventaja de estas series es que son capaces de representar funciones de tipo muy general con muchas

discontinuidades (como, p. ej., las funciones discontinuas de impulso en ingenier´ıa electrónica); mientrasque, p. ej., las series de potencias sólo pueden representar funciones de clase C∞.

Se va a comenzar su estudio presentando algunos cálculos clásicos que fueron realizados inicialmente por

Euler, y que se recogen en la siguiente:

∂x ∂y

Proposici´on 54 Sea una serie trigonom´etrica del tipo

12a0 +

∞


(6.5)


tal que converge uniformemente a una función f (x) en el intervalo [−π, π). Entonces los coe cientes de lafiserie son

a0 =1π

π

−πf (x)dx , an =

1π

π

−πf (x) cos nxdx

(∀n ∈ N)

bn =1π

π

−πf (x) sin nxdx

(∀n ∈ N) (6.6)

( Dem. ) Por ser la serie uniformemente convergente en [−π, π) es integrable término a término en dichointervalo, por lo que, teniendo en cuenta que

π π

cos nxdx = 0 ,

−π

la integración término a término

conduce a

−πsin nxdx = 0 (∀n ∈ N)

π

−πf (x)dx = a0π ⇔ a0 =

1π

π

−πf (x)dx

a 0 (obsérvese que el término es, por tanto, el valor medio de f (x) en el intervalo considerado). Multiplicando2ahora (6.4) por cos nx resulta

f (x) cos nx =

12a0 cos nx + a1 cos x cos nx + b1 sin x cos nx + . . . + an cos2 x + bn sin nx cos nx + . . . (6.7)

y, teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas

sin mx cos nx

cos mx cos nx

sin mx sin nx

=

=

=

121212

(sin (m − n)x + sin (m + n)x)

(cos (m − n)x + cos (m + n)x)

(cos (m − n)x − cos (m + n)x)

es fácil comprobar queπ π

−πsin mx cos nxdx = 0, −π

cos mx cos nxdx = 0

; (si m = n)

por lo que, integrando término a término (6.7) se obtieneπ

−πf (x) cos nxdx =an

π

−πcos2 nxdx = anπ ⇔ an =

1π

π

−πf (x) cos nxdx

Realizando un proceso análogo, pero multiplicando por sin nx y usando queπ

se llega a que

−πsin mx sin nxdx = 0

; (si m = n)

π

−πf (x) sin nxdx =bn

π

−πsin2 nxdx = bnπ ⇔ bn =

1π

π

−πf (x) sin nxdx

La situación presentada en esta proposición es, no obstante, demasiado restrictiva, ya que se asume que la

serie trigonométrica es uniformemente convergente a la función f (x) o, lo que es lo mismo, que esta función esdesarrollable por medio de una serie trigonométrica uniformemente convergente. Estas hipótesis no estarán,

en general, aseguradas previamente y, por consiguiente, tampoco la existencia de los coe cientes afi n y bn.El punto de vista que se va a tomar será, pues, dada una función f (x), de nir los ficoe cientes mediante lasfiexpresiones (6.6) y, con ellos, construir la serie trigonométrica (6.5).


De nición 39 Dada una función f (x) integrablefi 2 en [−π, π), se denominan coe cientes de fiFourier def (x) a los valores an, bn obtenidos mediante las expresiones (6.6) y serie de Fourier de f (x) a la serietrigonométrica

12a0 +

∞


y como corolario de la proposición anterior se tiene:

Corollary 1 Dadas dos funciones f (x), g(x) integrables en [−π, π), los coe cientes de Fourier fide αf (x) +βg(x) (α, β ∈ R) son la suma de α veces los de f (x) y β veces los de g(x).

Es de desear que la serie de Fourier de una función f (x) converja (uniformemente) y tenga como suma

la función dada (cumpliéndose, por tanto, la igualdad (6.4)). Desgraciadamente no siempre ocurre as´ı y haymuchas funciones integrables (e incluso continuas) cuya serie de Fourier diverge en uno o más puntos.

Comentario:

· Del mismo modo que una serie de Fourier no tiene por qué ser convergente, una serie trigonométrica notiene por qué ser serie de Fourier de alguna función; esto es, los coe cientes de dicha fiserie no podr´ıanobtenerse mediante expresiones del tipo (6.6) para ninguna función f (x) (ni aun tomando como funciónla suma de dicha serie, en el caso de que fuera convergente).

Ejemplo:

· La serie

∞

n=1

sin nxlog (1 + n)

converge ∀x ∈ R pero se sabe que no es de Fourier.

6.3.2 Convergencia de series de Fourier

El problema fundamental consiste, pues, en investigar las propiedades de una función integrable que garan-ticen que su serie de Fourier, no sólo es convergente, sino que tiene dicha función como suma.

En primer lugar, de la igualdad (6.4) y observando que cada término de la serie trigonométrica que en

ella aparece tiene periodicidad 2π, se obtiene de inmediato que:

Proposición 55 Si

12a0 +

∞

(an cos nx + bn sin nx) es la serie de Fourier de una función f (x) y converge

n=1sumando f (x) (es decir, se cumple la igualdad (6.4)), entonces f (x) es periódica de periodo 2π.

Puede también demostrarse que:

Lema 6 Sea f (x) una función tal que 3:

1. f (x) está acotada.

2. f (x) tiene un número nito de puntos de discontinuidad.fi

e

3. f (x) tiene un número nito de máximos y m´ınimos.fi

Entonces todos los puntos de discontinuidad de f (x) son simples; es decir, existen los l´ımites laterales f (x+)y f (x−) de f (x) en todos los puntos x de su dominio.

2Obs´rvese que no es necesario que sea una función continua.3Estas condiciones se denominan condiciones de Dirichlet.

(f (x+) + f (x−)) en todos los puntos x ∈ R y,


Y a partir de aqu´ı, el siguiente resultado (que se enuncia sin demostración):

Teorema 25 (de Dirichlet): Sea f (x) una función de nida en el intervalo I = [−π, π), tal que:fi

1. f (x) está acotada en I .

2. f (x) tiene un número nito de puntos de discontinuidad en I .fi

3. f (x) tiene un número nito de máximos y m´ınimos en I .fi

4. Fuera de [−π, π) está de nida por periodicidad; es decir, es periódica de periodo 2π.fi

1Entonces existe la serie de Fourier de f (x), que converge a2por tanto, converge a la función f (x) en todos los puntos donde la función es continua.

(En particular, si en los puntos de discontinuidad la función se de ne tomando el valor fimedio de sus

l´ımites laterales en dichos puntos, la serie de Fourier converge a la función en todos los puntos del dominio).

Comentario:

· Obsérvese que la continuidad de una función no es, por tanto, condición necesaria ni su ciente para laficonvergencia de su serie de Fourier (si ésta existe).De este modo, puede darse el caso de que una función discontinua sea representable por unaserie deFourier en todos los puntos de su dominio, siempre que sus discontinuidades sean simples y se comportesu cientemente bien entre los puntos de discontinuidad.fi

Ejemplo:

· Para la función

se tiene que

f (x) = 0π

si −π ≤ x < 0si 0 ≤ x < π

a0 = 1π

0

−π0dx +

0

ππdx = π

an =1π 0

ππ cos nxdx = 0

(n ≥ 1)

bn = 1π 0

ππ sin nxdx

=

1n(1 − (−1)n) (n ≥ 1)

es decir, b2n = 0 y b2n−1 =

22n − 1 ; por consiguiente la serie de Fourier de esta función es

π2 + 2 sin x +

sin 3x3

+ sin 5x5

+ ...

Esta serie converge a la función dada en todos los puntos de los intervalos (−π, 0) ∪ (0, π), pero no enlos puntos de discontinuidad −π, 0, π donde su suma vale π/2.Si la función se extiende por periodicidad a todo R, el resultado sobre la convergencia dela serie es elmismo en todos los intervalos [(2n − 1)π, (2n + 1)π) (n ∈ Z − {0}).


6.3.3 Funciones pares e impares

En los apartados anteriores se ha trabajado con funciones de nidas en el intervalo [−π, π) y fiextendidaspor periodicidad fuera de ese intervalo. En estos casos, también podr´ıa haberse tomado como intervalo detrabajo [0, 2π) u otro cualquiera de longitud 2π. Sin embargo, el haber tomado la primera opción (intervalosimétrico respecto al origen) tiene notorias ventajas a la hora de explotar las propiedades desimetr´ıa oantisimetr´ıa de las funciones. As´ı, como primer resultado se tiene:

Proposición 56 Sea f (x) una función integrable en [−π, π).

1. f (x) es una función par si, y sólo si, sus coe cientes de Fourier sonfi

an =2π 0

π

f (x) cos nxdx , bn = 0

es decir, su serie de Fourier contiene sólo términos en cos nx.2. f (x) es una función impar si, y sólo si, sus coe cientes de Fourier sonfi

an = 0 , bn =

2π 0

π

f (x) sin nxdx

es decir, su serie de Fourier contiene sólo términos en sin nx.

( Dem. ) Inmediata.

Y de aqu´ı:

De nición 40 Una serie de Fourier se dice que es de tipo seno para x (resp. de tipo coseno fipara x) siisólo contiene términos en sin nx (resp. en cos nx).

Y como caso particular del teorema de Dirichlet en este contexto se tiene:

Teorema 26 (de Dirichlet): Sea f (x) una función de nida en el intervalo I = [0, π), tal que fisatisfaga lascondiciones de Dirichlet en I 4. Entonces f (x) se puede desarrollar en una serie de Fourier de tipo cosenoo de tipo seno, con la salvedad, en este u´ltimo caso, de que la serie no puede converger a f (x) en los puntosx = 0, π, . . . , nπ, . . ., a menos que la función tome valor 0 en ellos.

( Dem. ) Es una consecuencia directa del teorema de Dirichlet.

Comentario:

· Para hallar la serie de Fourier de tipo seno de f (x), se rede ne la función f (x) (si es finecesario) dándoleel valor 0 en x = 0, π y extendiéndola, a continuación, al intervalo [−π, 0) de manera que la funciónextendida en [−π, π) sea impar. Fuera de este intervalo se de ne por periodicidad (si es finecesario).

· De igual forma, para hallar la serie de Fourier de tipo coseno de f (x), se extiende la

función al intervalo[−π, 0) de manera que la función extendida en [−π, π) sea par. Fuera de este intervalo se de ne porfiperiodicidad (si es necesario).

Ejemplo:

· Para la función f (x) = cos x de nida en [0, π), la serie de Fourier de tipo seno esfi8

o

π ∞

n=1

n sin 2nx4n2 − 1

mientras que la de tipo coseno es simplemente la propia función.4N´tese que no se pide que sea par ni impar, ni tan siquiera periódica, sino que sólo esté de nida en ese intervalo fi

veri candofiesas condiciones.


6.3.4 Extensión a intervalos arbitrarios

Hasta el momento todo lo que se ha enunciado sobre series de Fourier es válido para funciones de nidas enfiel intervalo [−π, π) (y extendidas por periodicidad fuera de él). No obstante, en muchas aplicaciones seránecesario manejar series de Fourier de funciones periódicas de periodo 2L de nidas en el fiintervalo [−L, L)(con L > 0).

Para obtener dichas series el procedimiento a seguir es el siguiente:

1. Efectuar el cambio de variable t =

πxL o, equivalentemente,

x =Ltπ .

Con ello la función f (x), x ∈ [−L, L), periódica de periodo 2L, se transforma en f˜(t) =f (Lt/π) ,t ∈ [−π, π), que es periódica de periodo 2π.

2. Si f (x) satisface las condiciones de Dirichlet en [−L, L), también lo hace f˜(t) en [−π,

π).Entonces se desarrolla f˜(t) en serie de Fourier de la forma expuesta.

3. Se deshace el cambio de variable en la serie hallada a n de obtener la serie de Fourier fide f (x).

Comentario:

· Otra forma de obtener el mismo resultado consistir´ıa en calcular directamente la serie de Fourier def (x), pero calculando los coe cientes de Fourier del siguiente modo:fi

a0 =1L

L

−Lf (x)dx , an =

1L

L

−Lf (x) cos nxdx (∀n ∈ N)

bn =1L

L

−Lf (x) sin nxdx

(∀n ∈ N)

aunque, en general es más rápido el anterior procedimiento.

6.3.5 Funciones ortogonales: series de Fourier generalizadas

De nición 41 Una sucesión funcional {θfi n(x)} (n ∈ N) es una sucesión de funciones ortogonales sobre elintervalo [a, b] sii

a

b

θn(x)θm(x)dx =0 si m = n

kn = 0 si m = nLa sucesión se denomina ortonormal sii kn = 1, ∀n, y en tal caso, se dice que las funciones de la sucesiónestán normalizadas.

Comentario:

· Si la sucesión funcional {θn(x)} es ortogonal pero no ortonormal entonces es inmediato observar que{φn(x)} con

θn(x)φn(x) = √ kn

es una sucesión ortonormal 5.

Ejemplo:b

e

5Obs´rvese que kn > 0 ya quea(θn(x))2dx .


· La sucesión funcional1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . .

que se ha usado en los apartados anteriores para construir las series de Fourier de funciones, esortogonal en el intervalo [−π, π] pero no en el [0, π], pues

π

1 sin xdx = 2 = 00

y dado queπ π π

−π1dx = 2π ,

−πcos2 nxdx = π ,

−πsin2 nxdx = π

la sucesión ortonormal en [−π, π] obtenida a partir de esta es

1√2π

, cos x√ πsin x, √ π

, cos 2x√ π , sin 2x√ π , ...

En el siglo XIX y principios del XX algunos matemáticos y f´ısicos observaron que se pod´ıanconstruir

series del tipo de Fourier utilizando cualquier sucesión de funciones ortogonales 6. En efecto;supóngase quese tiene una sucesión ortonormal {φn(x)} (n ∈ N) en [a, b] y una función f (x) integrable en [a, b] y que sequiere desarrollar dicha función en una serie que converja a la función, del siguiente modo

∞

f (x) = anφn(x) (6.8)n=1

Intentemos de nir cuáles son los coe cientes afi fi n. Multiplicando ambos miembros de la igualdad por φn(x)se obtiene

f (x)φn(x) = a1φ1(x)φn(x) + . . . + anφ2n(x) + . . .y, asumiendo que se puede integrar término a término y teniendo en cuenta la propiedad de ortonormalidadde las funciones φn(x), resulta

a

bf (x)φn(x)dx = an a

b

φ2n(x)dx = an

luego, tomando esto como modelo se puede de nir:fi

De nición 42 Sea una sucesión ortonormal {φfi n(x)} (n ∈ N) en [a, b] y una función f (x) integrable en[a, b]. Se denomina serie de Fourier generalizada de f (x) respecto a la sucesión {φn(x)} a la serie

∞

anφn(x)n=1

donde los coe cientes sonfib

an = f (x)φn(x)dxa

y se denominan coe cientes de Fourier generalizados de f (x) respecto a la sucesión {φfi n(x)}.

Comentario:

· Obsérvese que, en el desarrollo anterior, se han asumido las hipótesis de que la funciónf (x) puede serexpresada por medio de una serie de la forma descrita y que dicha serie es integrable término a término.En realidad, estas dos condiciones no van a estar aseguradas de entrada para cualquier función y, por

tanto, la igualdad (6.8) no se va a cumplir en general (igual que ya ocurr´ıa con las series de Fourierordinarias, que son un caso particular de éstas).

6Posteriormente, estas series pasaron a ser instrumentos indispensables de trabajo en muchas ramas de la f´ısica matem

´tica,principalmente en Mecánica Cuántica.


6.3.6 Convergencia en media cuadrática de series de Fourier

Se va a estudiar, a continuación en qué condiciones se puede garantizar que una serie de Fourier generalizadaconverja a la función que la de ne. Previamente hay que introducir un nuevo concepto sobre ficonvergenciade series de funciones.

Sea una función f (x) y una sucesión de funciones {pn(x)}, de nidas todas ellas en [a, b] fi ∈R. Si se

desea aproximar f (x) por medio de los términos de esta sucesión, cada uno de los números |f(x) − pn(x)| y(f (x) − pn(x))2 da una medida del error de la aproximación en el punto x. Sin embargo, puede ser preferibledar una medida del error que se re era a todo el intervalo [a, b], lo cual puede conseguirse fimediante lasintegrales

b b

a|f (x) − pn(x)|dx

,a(f (x) − pn(x))2dx

siendo la segunda mejor elección que la primera ya que evita el valor absoluto en el integrando y hace másconvenientes los cálculos necesarios (como se verá). As´ı pues:

De nición 43 Dada una función f (x) y una sucesión de funciones {pfi n(x)}, de nidas e fiintegrables en[a, b] ∈ R.

1. Se denomina error cuadrático medio de f (x) por la sucesión {pn(x)}

b(f (x) − pn(x))2dx

En =a

2. Se dice que {pn(x)} converge en media a f (x) sii

lim En := lim (f (x) − pn(x))2= 0n→∞ n→∞

7 a

y se escribe

Comentario:

8 l.i.m.n→∞pn(x) = f (x) .

· El error cuadrático medio es justamente el cuadrado de la normaf − pn

en el espacio métrico

de funciones integrables en [a, b]. Por consiguiente, la convergencia en media de {pn(x)} af (x) esequivalente a la convergencia de esta sucesión al l´ımite f (x) en ese espacio métrico; es decir

d(f, pn) = f − pn → 0 (n → ∞)

El resultado crucial de este apartado es el siguiente:

Teorema 27 Sea una función f (x) y una sucesión ortonormal de funciones {φn(x)}, de nidas e fiintegrablesen [a, b] ∈ R. Para cada entero positivo k, la k-ésima suma parcial de la serie de Fourier generalizada de

k

f (x) respecto a la sucesión {φn(x)}; es decir, n=1

anφn(x) , produce un error cuadrático medio

b

k

Ekmin =a[f (x) − n=1

anφn(x)]2dx (6.9)

k

que es menor que el de cualquier otra combinaci´on lineal pk =

bnφn(x) .

n=1

7Esta terminolog´ıa es adecuada por cuanto, si se divide En por b − a, se obtiene el valor medio del error cuadr´tico(f (x) − pn(x))2 de la aproximaci´on.

8l.i.m. signi ca l´ımite in media.fi


( Dem. ) Se trata de minimizar el error cuadrático medio

b b k

Ek =a(f (x) − pk (x))2dx = a

(f (x)− n=1

bnφn(x))2dx

mediante una adecuada elección de los coe cientes bfi n. Desarrollando el cuadrado del integrando se tiene

b b k b k

Ek =a

2

af (x)

n=1bnφn(x)dx +

a(n=1

bnφn(x))2dx

bRecordando que los coe cientes de Fourier de f (x) respecto a la sucesiónfi{φn(x)} son an =, la segunda integral del desarrollo es

af (x)φn(x)dx

a

bf (x)

k

n=1bnφn(x)dx =

k

n=1bn

a

bf (x)φn(x)dx=

k

n=1bnan

mientras que la tercera, teniendo en cuenta la ortonormalidad de las funciones φn(x), se transforma en

b(

k

bnφn(x))2dx =b(

k

bnφn(x))(k

bnφn(x))dx =b k

b2nφn(x)2dx =k

b2na n=1 a n=1 n=1 a n=1 n=1

De este modo resultab k k b k k

Ek =a

f (x)2dx −2 n=1

bnan +n=1

b2n =af (x)2dx− n=1

a2n + (bn − an)2n=1

y, observando que los términos de la u´ltima suma son (bn − an)2 ≥ 0, se obtiene nalmente que fiEk es m´ınimoen el caso en que bn = an.

A partir de este teorema se obtiene:

Teorema 28 Sea una función f (x) y una sucesión ortonormal de funciones {φn(x)}, de nidas e fiintegrablesen [a, b] ∈ R. Si los números an son los coe cientes de Fourier de f (x) respecto a la sucesifión {φn(x)},

∞entonces la serie numérica n=1

a2n es convergente y satisface la desigualdad de Bessel:

∞

n=1a2n ≤

a

b(f (x))2dx

( Dem. ) De acuerdo con el teorema anterior, como En ≥ 0para toda elección de bn, es claro que el valorm´ınimo de En (que ocurre cuando bn = an) es también no negativo; lugo (6.9) implica que

b k k b

a(f (x))2dx− n=1

a2n ≥ 0 ⇔n=1

a2n ≤a(f (x))2dx

de donde, al hacer k → ∞, se obtiene el resultado.

Y, como el término n-ésimo de una serie convergente ha de tender a 0 cuando n → ∞, se tienecomo

corolario que:

Teorema 29 Sea una función f (x) y una sucesión ortonormal de funciones {φn(x)}, de nidas e fiintegrablesen [a, b] ∈ R. Si los números an son los coe cientes de Fourier de f (x) respecto a la sucesifi

f (x) dx − 2

´on {φn(x)},entonces lim an = 0 .

n→∞


Con estos resultados se está ya en condiciones de responder a la pregunta de bajo qué condiciones la serie

de Fourier (generalizada) de una función converge en media a dicha función o, lo que es equivalente, cuandolas sumas parciales de la mencionada serie convergen en media a la función. La respuesta es:

Teorema 30 Sea una función f (x) y una sucesión ortonormal de funciones {φn(x)}, de nidas e fiintegrablesen [a, b] ∈ R. La serie de Fourier generalizada de f (x) respecto a la sucesión {φn(x)} converge en media af (x); es decir,

k

l.i.m.k→∞ anφn(x) = f (x) (6.10)n=1

si, y sólo si, la desigualdad de Bessel se transforma en la identidad de Parseval:∞

n=1a2n =

a

b(f (x))2dx

( Dem. ) Teniendo en cuenta el teorema 27, es evidente que la expresión (6.10) es válida si, y sólo si,Ek → 0 cuando k → ∞, y de la fórmula (6.9) se obtiene que ello es equivalente a que se satisfaga la igualdaden la desigualdad de Bessel:

∞

n=1a2n −

a

b(f (x))2dx = 0

que es la identidad de Parseval.

De nición 44 Una sucesión ortonormal de funciones {φfi n(x)}, de nidas e integrables en [a, b] fi ∈ R se diceque es completa sii para cualquier función f (x) (integrable en [a, b] ∈ R) su serie de Fourier generalizadarespecto a la sucesión {φn(x)} converge en media a f (x); es decir, se veri ca la expresión fi(6.10).

As´ı pues, una sucesión ortonormal completa en [a, b] es u´til para construir aproximacionesen media

cuadrática de funciones integrables en [a, b].

Finalmente se enuncia (sin demostración) el siguiente resultado:

Teorema 31 La sucesión ortonormal trigonométrica

1√2π

, cos x√ πsin x, √ π , cos 2x√ π , sin 2x√ π , ...

es completa en [π, π).

Por consiguiente, toda función integrable en [−π, π) puede ser aproximada por su serie de Fourier (en el

sentido de que dicha serie converge en media cuadrática a la función dada) 9.

Comentario:

· Recordemos ahora que, dado un espacio vectorial eucl´ıdeo E y una base de vectores ortonormales {ui},cualquier vector v ∈ E se puede expresar como una combinación

v = αiui (6.11)i

con los coe cientes determinados mediante las expresionesfiα

o

(6.12)

9Conviene recordar que esta a rmaci´n es falsa si se considera la convergencia puntual, como ya se ha visto en alguno defi

losejemplos dados en los apartados anteriores.


Teniendo ésto en mente, se puede establecer la siguiente analog´ıa: el conjunto de funciones integrablesde Riemann en un intervalo [a, b] tiene estructura de espacio vectorial (de dimensión in nita) en el cualfise puede de nir el siguiente producto escalar de funcionesfi

b

f, g := f (x)g(x)dxa

De este modo, una sucesión de funciones ortonormales {φn(x)} se puede considerar como una baseortonormal de dicho espacio (respecto a este producto escalar) y el u´ltimo teorema expresael hechode que cualquier función, elemento de este espacio, se puede expresar como combinación deelementosde esta base, con los coe cientes determinados del mismo modo que en el caso de cualquier fiespacioeucl´ıdeo normal.Es en base a esta analog´ıa que la expresión (6.11) se puede denominar desarrollo en seriede Fourierdel vector v respecto a la base {ui}, y los coe cientes de (6.12) coe cientes de Fourier fi fidel vector vrespecto a la base {ui}.

6.4

6.4.1

Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales de segundo or-den y su resolución

Método de separación de variables. Problema de Sturm-Liouville

Para resolver ecuaciones en derivadas parciales el método más simple es el denominado métodode separaciónde variables, que consiste en asumir la siguiente hipótesis:

Hipótesis 1 (Método de separación de variables): La solución de la ecuación diferencial enderivadasparciales es factorizable en producto de funciones de cada una de las variables independientes

Cuando se aplica este método para la resolución de ecuaciones en derivadas parciales (en dos dimensiones,

como son las que se van a estudiar), con condiciones de contorno (de tipo Dirichlet) lineales yhomogéneas,el problema queda reconvertido en un problema de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias, del cualse trata de hallar soluciones no triviales. En el caso más general , dicho problema se planteaen los siguientestérminos:

De nición 45 Se denomina problema de Sturm-Liouville al problema de resolver una ecuación fidiferencialordinaria del tipo

ddx

p(x) dy(x)dx

+ [λq(x) + f (x)]y(x) = 0 (∀x ∈ [a, b])

con condiciones de contorno lineales y homogéneas.

Si las condiciones de contorno consisten en dar los valores de la función incógnita y(x) enlos extremos del

intervalo; esto es, y(a) e y(b), y las funciones p(x) y q(x) se restringen adecuadamente se tiene el siguienteresultado:

con lim λn = ∞ tal que el parámetro λ ∈ R coincide con alguno de estos valores λn. En tal caso, para

Teorema 32 Sea el problema de contornoddx p(x)

dy(x)dx + [λq(x) + f (x)]y(x) =

0(x ∈ [a, b])

y(a) = y(b) = 0

tal que p(x) > 0 y q(x) > 0 y son funciones continuas en [a, b] (p(x) de clase C 1). Entonces

existensoluciones no triviales a dicho problema si, y sólo si, existe una sucesión creciente y positiva {λn} ⊂ R+

n→∞cada valor λn se tiene un problema de contorno cuya solución (no trivial) yn(x) es uńica salvoun factorconstante arbitrario.


Y se adopta la siguiente terminolog´ıa:

De nición 46 En el teorema anterior, los términos de la sucesión {λfi n} se denominan valores propioso autovalores y las funciones yn(x) correspondientes funciones propias o autofunciones del problema decontorno dado.

En los tres casos que se van a analizar, el problema de Sturm-Liouville que se planteará es un caso

particular del anterior en el que p(x) = q(x) = 1 y f (x) = 0:

Corolario 2 Dado el problema de contorno

d2y(x)dx2 + λy(x) = 0 ; y(0) = 0 , y(L) = 0

· Si λ ≤ 0 entonces la uńica solución del problema es la trivial y(x) = 0.

· Si λ > 0, el problema tiene solución no trivial si, y sólo si, λ =cuyo caso dicha solución es la función

n2π2L2 , para algún valor n ∈ N; en

y(x) = kn sin

nπL x (an ∈ R − {0})

(y cualquier otra que se obtenga multiplicando ésta por un factor constante).

( Dem. )

6.4.2

Trivial (se propone como ejercicio).

Ecuación de ondas (o de la cuerda vibrante)

La primera ecuación que se va a estudiar es la que describe la transmisión de ondas en un medio. Comocaso concreto se va a analizar la siguiente situación: se tiene una cuerda tensa sujeta entre los puntos x = 0y x = L, la cual se somete a una deformación inicial representada por una curva plana f (x). La formade la cuerda va a cambiar en función del tiempo y, por consiguiente, vendrá representada por una funcióny = y(x, t). Tras hacer algunas hipótesis basadas en principios f´ısicos se encuentra que la ecuación delmovimiento de los puntos de la cuerda es la siguiente

∂ 2y2 − a2 ∂ 2y

∂x2 =0 (6.13)

en la cual a es una constante que depende de las caracter´ısticas f´ısicas del problema

10, y se denomina

ecuación de la cuerda vibrante o ecuación de ondas unidimensional.

Se trata, pues, de una ecuación en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homogénea, con coe -fi

cientes constantes de tipo hiperbólico. (ya que, en este caso, B2 − 4AC > 0, según la de nicifión 38).

Vamos a resolver pues el problema clásico de f´ısica matemática que consiste en hallar la solución a esta

ecuación 11. siguiendo el método de separación de variables.

Proposición 57 (solución de Bernouilli de la ecuación de ondas): Sea el problema de la cuerda vibrante,que se plantea en los siguientes términos:

∂t

10Se tiene que a2 =H

ρ , donde H es la componente horizontal de la tensión (que es constante si se asume que sólo hay

movimiento transversal) y ρ es la densidad.11Este problema fue propuesto por Daniel Bernouilli en 1753 y acabado de resolver por Euler en 1777 quien, de este modo,

abrió el vasto campo del estudio de las series de Fourier.


· Ecuación diferencial : la ecuación de ondas en una dimensión (lineal, homogénea e hiperbólica)

96

∂ 2y∂t2 − a2 ∂ 2y

∂x2 =0 (x ∈ [0, L])

· Condiciones de contorno : Extremos jos (condiciones de Dirichlet (lineales homogfiéneas))

y(0, t) =0

, y(L, t) = 0 (6.14)

· Condiciones iniciales : Cuerda inicialmente en reposo de forma dada

∂y∂t t=0

=0 , y(x, 0) = f (x) (6.15)

donde f (x) es una función desarrollable en serie de Fourier en [0, L], con f (0) = f (L)

= 0.

Su solución esy(x, t)=

∞

n=1bn sin

nπL x cos nπ

L at (n ∈ N)

donde bn son los coe cientes de Fourier (de tipo seno) de la función f (x) en [0, L].fi

( Dem. ) El punto de partida será, pues, asumir que

y(x, t) = u(x)v(t)

de modo que, sustituyendo en la ecuación (6.13)

a2u (x)v(t) = u(x)v (t)

⇒ u (x)u(x)

1 v (t)a v(t)

Dado que cada miembro de esta u´ltima ecuación depende de una variable diferente, la igualdad sólo puedeser cierta si, y sólo si, ambos son iguales a una constante λ ∈ R (constante de separación); con lo cual seobtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas con coe cientes ficonstantes

d2u(x)dx2 − λu(x) = 0 , d2v(t)

dt2 − λa2v(t) = 0 (6.16)

Para la primera de ellas, las condiciones de contorno (6.14) se traducen en u(0) = 0, u(L) = 0

y, en virtud del

corolario 2, las soluciones no triviales para u(x) se van a

dar cuando λ = −

n2π2L2

, y serán las autofunciones

un(x) = sin

nπL x

Por otra parte, para cada uno de esos autovalores λ la segunda de las ecuaciones (6.16) tiene

como solucióngeneral

v(t) = c1 sin

nπL at + c2 cos

n π L at

Pero para esta ecuación la primera de las condiciones iniciales (6.15)se traduce en queque c1 = 0 y, por consiguiente, todas las funciones

dvdt (0) = 0 , con lo

vn(x) = cos

nπL at

= 2

son soluciones no triviales de dicho problema.

De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo

Knyn(x, t) ≡ Knun(x)vn(t) ≡= Kn sin

nπL x cos

nπL at (Kn ∈ R − {0} , n ∈ N)


son solución no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno inicialmenteestablecidas). Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 12

y(x, t)=

∞

n=1Kn sin

nπL x cos n π

L at ≡∞

n=1Knyn(x, t)

es también solución y satisface las condiciones de contorno (6.14) y la primera de las condiciones iniciales(6.15). Sólo queda por imponer la segunda de las condiciones iniciales (6.15). Por una parte se tiene

y(x, 0)=

∞

n=1Kn sin

nπL x

y por otra, desarrollando f (x) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, L], resulta

f (x) =

∞

n=1bn sin

nπL x

con lo que y(x, 0) = f (x) lleva a que Kn = bn, ∀n ∈ N.

Comentario:

· Obsérvese que la resolución completa de la ecuación de ondas (esto es la obtención de la solucióncon todas las constantes determinadas) requiere la imposición de condiciones de contorno (de tipoDirichlet) y dos condiciones iniciales.

6.4.3 Ecuación del calor

El análisis matemático del problema de la conducción del calor en un cuerpo fué realizado por el f´ısicomatemático francés Fourier en un tratado de 1822. Basándose en datos experimentales f´ısicosy en razon-amientos anal´ıticos dedujo que, si T (x, y, z, t) era la función que describ´ıa la temperatura de un cuerpo encada punto (x, y, z) y en cada instante t, se satisfac´ıa la siguiente expresión

a2 ∂ 2T2 + ∂ 2T

2 + ∂ 2T∂z2 = ∂T

∂t (6.17)

en la cual a es una constante que depende de las caracter´ısticas f´ısicas del cuerpo en cuestión

13. Esta

ecuación recibe el nombre de ecuación de transmisión del calor tridimensional,

En el estudio que se va a hacer nos limitaremos a considerar el caso de transmisión del calor en una sóla

dimensión, en el que se toma la función T = T (x, t) y, por tanto, estudiaremos la ecuación

∂ 2T∂x2

1 ∂Ta ∂t

Se trata, pues, de una ecuación en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homogénea,con coe cientesficonstantes de tipo parabólico.

Vamos a abordar ahora el problema de la resolución de la ecuación de transmisión del calora lo largo de

una barra de longitud L. Para ello se seguirá el mismo método que para la ecuación de ondas;es decir, elmétodo de separación de variables. Con ello demostraremos el siguiente resultado:

Proposición 58 Sea el problema de la transmisión del calor (en una dimensión), que se

∂x ∂y

= 2

plantea en lossiguientes términos:

12Asumiendo la convergencia y derivabilidad término a término de dicha serie.13Se tiene que a2

=

Kcρ

, donde K es la conductividad térmica, c es el calor espec´ı co y ρ es la densidad.fi


· Ecuación diferencial : la ecuación de transmisión del calor unidimensional (lineal, homogénea yparabólica)

∂ 2T∂x2

1 ∂Ta ∂t

= 0 (x ∈ [0, L])

(6.18)· Condiciones de contorno :mogéneas))

Extremos a temperatura nula (condiciones de Dirichlet (lineales ho-

T (0, t) =0

, T (L, t) = 0 (6.19)

· Condición inicial : Temperatura inicial dada

T (x, 0) = f (x)

donde f (x) es una función desarrollable en serie de Fourier en [0, L], con f (0) = f (L) = 0.

(6.20)

Su solución esT (x, t) =

∞

n=1bn sin

nπL

n2 π2 2

(n ∈ N)

donde bn son los coe cientes de Fourier (de tipo seno) de la función f (x) en [0, L].fi

( Dem. ) El punto de partida será, pues, asumir que

T (x, t) = u(x)v(t)

que, al sustituir en la ecuación (6.18), conducirá a

u (x)u(x)

1 v (t)a v(t)

y de aqu´ı se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas con coe cientes constantesfi

d2u(x)dx2 − λu(x) = 0 , dv(t)

dt − λa2v(t) = 0(λ ∈ R) (6.21)

Para la primera de ellas, las condiciones de contorno (6.19) se traducen en u(0) = 0, u(L) = 0 y, en virtud delcorolario 2, las soluciones no triviales para u(x) se van a

dar cuando λ = −

n2π2L2


un(x) = sin

nπL x (n ∈ N)

Por otra parte, para esos autovalores λ la segunda de las ecuaciones (6.21) tiene como solución general notrivial las funciones

n2 π2 2

(n ∈ N)De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo

KnTn(x, t) ≡ Knun(x)vn(t) ≡ Kn sin

nπL

n2 π2 2

(Kn ∈ R − {0} , n ∈ N)

son solución no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno establecidas).Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 14

T (x, t) =

∞

n=1Kn sin

nπL

n2 π2 2∞

n=1KnTn(x, t)

es también solución y satisface las condiciones de contorno (6.19). Sólo queda por imponer

− 2

xe− L2 a t

= 2

vn(t) = e− L2 a t

xe− L2 a t

xe− L2 a t ≡

la condicióninicial (6.20). Por una parte se tiene

T (x, 0)=

∞

n=1Kn sin

nπL x

14Asumiendo nuevamente la convergencia y derivabilidad término a término de dicha serie.


y, por otro, desarrollando f (x) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, L], resulta

99

f (x) =

∞

n=1= bn sin

nπL x

con lo que T (x, 0) = f (x) lleva a que Kn = bn, ∀n ∈ N.

Comentario:

· Obsérvese que la resolución completa de la ecuación del calor unidimensional (esto es laobtención dela solución con todas las constantes determinadas) requiere la imposición de condiciones de contorno(tipo Dirichlet) y una condición inicial.

6.4.4 Ecuación de Laplace. Problema de Dirichlet

Como punto de partida para obtener la tercera de las ecuaciones que nos interesan, considéresela ecuaciónde transmisión del calor (6.17) y, como caso particular de ella, una situación en la que hay un estado estable.

∂ωEntonces, denominando ω = ω(x, y, z) a la función incógnita, se tiene que = 0 y la ecuación anterior se ∂treduce a

∂ 2ω ∂ 2ω ∂ 2ω2 2

que se denomina ecuación de Laplace, y es una de la más importantes que aparecen en matemática aplicada.

Nos vamos a limitar a considerar el caso bidimensional en el que se toma la función ω = ω(x,y) y, por

tanto, estudiaremos la ecuación∂ 2ω∂x2

+ ∂ 2ω∂y2

=0

Se trata de una ecuación en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homogénea, con coe cientesfi

constantes de tipo el´ıptico.

La resolución de la ecuación de Laplace con unas condiciones de contorno dadas recibe el nombre de

problema de Dirichlet y se puede enunciar as´ı:

De nición 47 Sean una región compacta D fi ⊂ Rn, con borde ∂D = C , y una función f : I ⊂ R → C ⊂ Rn,continua (al menos a trozos). Se denomina Problema de Dirichlet al problema de determinar una funcióncontinua (al menos a trozos) ω: D ⊂ Rn → R tal que:

1. Sea solución de la ecuación de Laplace en D (esto es, armónica).2. Coincida con f sobre la frontera C de D.

Vamos a resolver la ecuación de Laplace en el plano, primero en un rectángulo, siguiendo nuevamente el

método de separación de variables.

Proposición 59 Sea el problema de Dirichlet en un rectángulo del plano, que se plantea en lossiguientestérminos:

· Ecuación diferencial : la ecuación de Laplace en un rectángulo D ⊂ R2 (lineal, homogénea y el´ıptica)

∂ 2ω ∂x +∂ 2ω ∂y2

+ + = 0 (6.22) ∂z2∂x ∂y

=0((x,

y) ∈[0,

a] × [0, b])(6.23)

· Condiciones de contorno : (condiciones de Dirichlet (lineales homog´eneas))

ω(x, 0) = 0

, ω(x, b) = 0

, ω(0, y) = 0

, ω(a, y) = f (y) (6.24)

donde f (y) es una funci´on desarrollable en serie de Fourier en [0, b].


Su solución esω(x, y)=

∞

n=1Kn sinh

nπb x sin nπ

b y (n ∈ N)

donde Kn =bn

sinh naπ, siendo bn son los coe cientes de Fourier (de tipo seno) de la función f (y)fien [0, b).

( Dem. ) Asumiendo queω(x, y) = u(x)v(y)

y sustituyendo en la ecuación (6.23) se llega a

u (x)u(x) = − v (y)

v(y)

y de aqu´ı se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas con coe cientes constantesfi

d2u(x)dx2 − λu(x) = 0 ,

d2v(y)dy2 + λv(y) = 0 (λ ∈ R) (6.25)

Comencemos por resolver la segunda ecuación, para la cual las dos primeras condiciones de contorno (6.24)se traducen en v(0) = 0, v(b) = 0 y, en virtud del corolario 2, las soluciones no triviales para v(y) se van adar cuando λ

=

n2π2b2


vn(y) := sin

nπb y (n ∈ N)

Por otra parte, para esos autovalores λ la primera de las ecuaciones (6.25), junto con la condición de inicialu(0) = 0 en que se traduce la tercera de las condiciones de contorno (6.24), tiene como solución general notrivial las funciones

un(x) = sinh

nπb x (n ∈ N)

De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo

Knωn(x, t) ≡ Knun(x)vn(y) ≡ Kn sinh

nπb x sin

nπb y (Kn ∈ R − {0} , n ∈ N)

son solución no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno establecidas).Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 15

ω(x, y)=

∞

n=1Kn sinh

nπb x sin nπ

b y ≡∞

n=1ωn(x, t)

es también solución y satisface las tres primeras condiciones de contorno (6.24).

Sólo queda por imponer la u´ltima condición de contorno (6.24). Por una parte se tiene

ω(a, y) =

∞

n=1Kn sinh

nπb a sin nπ

b y

y, por otro, desarrollando f (y) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, b], resulta

f (y) =

∞

n=1bn sin

nπb x

con lo que ω(a, y) = f (y) lleva a que Kn =

bnsinh nbπ a , ∀n ∈ N.

Vamos a resolver, a continuación, la ecuación de Laplace en un c´ırculo (esto es, la ecuaci

ón de Laplace encoordenadas polares), siguiendo otra vez el método de separación de variables. Se tiene el siguiente resultado:

15Asumiendo la convergencia y derivabilidad término a término de dicha serie.


Proposición 60 Sea el problema de Dirichlet en un c´ırculo del plano, que se plantea en los siguientestérminos:

· Ecuación diferencial : la ecuación de Laplace en coordenadas polares, en el c´ırculo unidad (lineal,homogénea y el´ıptica)

∂ 2ω2

1 ∂ 2ωr ∂ θ2 + 1 ∂ω

r ∂r =0 ((r, θ) ∈ D = {(r, θ) ∈ R2 | 0 < r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤2π}

(6.26)

· Condición de contorno : (condición de Dirichlet (lineal homogénea))

ω(1, θ) = f (θ)

donde f (θ) es una función desarrollable en serie de Fourier en el intervalo[0, 2π].

(6.27)

Su solución esω(r, θ) =

12a0 +

∞

n=1rn(an cos nθ + bn sin nθ)

(n ∈ N)

donde an, bn son los coe cientes de Fourier de la función f (θ).fi

( Dem. ) Asumiendo queω(r, θ) = u(r)v(θ)

y sustituyendo en la ecuación (6.26) se llega a

r2u (r) + ru

(r)u(r)

= − v (θ)v(θ)

y de aqu´ı se obtienen las dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas con

coe cientes con-fistantes

r2 d2u(r)dr2 + r du(r)

dr − λu(r) = 0 , d2v(θ)dθ2 + λv(θ) = 0 (λ ∈ R) (6.28)

Comencemos por resolver la segunda ecuación, que está de nida en [0, 2π] y,por tanto, en fivirtud del corolario2, las soluciones no triviales para v(θ) se van a dar cuando λ = n2 , y serán las combinacioneslineales

v(θ) = An cos nθ + Bn sinnθ

(n ∈ Z+)

Por otra parte, para esos autovalores λ la primera de las ecuaciones (6.28) se convierte en

r2d2u(r)

2 + r du(r)dr − n2u(r) = 0

que es una ecuación de Euler cuyas soluciones no triviales son

u(r) = A + B log r si n = 0u(r) n −n si n ∈ N

como se desea que u(r) sea continua en r = 0, ha de ser B = 0, con lo que resulta la solución

general notrivial de esta ecuación son las funciones

un(r) = rn (n ∈ Z+)

De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo ω0(r, θ) son constantes y valen 12 A0, y

ωn(r, θ) = rn(An cos nθ + Bn sinnθ)

(An, Bn ∈ R , n ∈ N)

son solución no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno

∂r + 2

dr

= Ar + Br

establecidas).Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 16

ω(r, θ)=

12A0 +

∞

n=1rn(An cos nθ + Bn sin nθ) ≡

12A0 +

∞

n=1ωn(r, t)

16Asumiendo la convergencia y derivabilidad t´ermino a t´ermino de dicha serie.


es también solución.

Sólo queda por imponer la condición de contorno (6.27). Por una parte se tiene

102

ω(1, θ) =

12A0 +

∞

(An cos nθ + Bn sin nθ)n=1

y, por otro, desarrollando f (θ) en serie de Fourier en el intervalo [0, 2π], resulta

f (θ) =

12 A0 +

∞

(an cos nθ + bn sin nθ)n=1

con lo que ω(1, θ) = f (θ) lleva a que An = an y Bn = bn, ∀n ∈ Z+.

Comentario:

· Obsérvese que la resolución completa de la ecuación de Laplace bidimensional (esto es la obtención dela solución con todas las constantes determinadas) no requiere la imposición de condiciones inicialesadicionales a las condiciones de contorno (de tipo Dirichlet).

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