Die abzählbare Physik 5 Lokalisierte Photonen und Phononen

5 Lokalisierte Photonen und Phononen

Rudolf Germer Die abzählbare Physik 1

5. Lokalisierte Photonen und Phononen 5.1. Das Photon im Resonator 5.2. Resonator und Impedanz 5.3. Die Analogie Photon - Phonon, zwei neue mechanische Quanten 5.4. Das M-Zentrum in ZnS, ein experimentelles Beispiel 5.5. Abstrahlung 5.6. Spontane Emission des einzelnen Photons und Abklingzeit 5.7. Photonen auf Leitungen 5.8. Frequenzmischung {Ph -1} Eigenschaften des lokalisierten Photons Die Kraft zum Vergrößern oder Verkleinern der Resonatorlänge {Ph -2} Das Photon im Resonator {Ph-3} Photon und Vakuumimpedanz {Ph-4} Mechanisch-elektrische Analogien {Ph-5} Impedanzanpassung, Reflexion und Transmission {Ph-6} Mehrere Photonen {Ph-7} Zur Feinstrukturkonstante Viele Ergebnisse des in Kapitel 3 behandelten Schwingkreises tauchen bei der Frage wieder auf, welche Eigenschaften ein in einem Resonator gefangenes Photon aufweist. Das lokalisierte Photon ist im Resonator zwar ohne materielle Elektronen existent, die Elementarladung bleibt trotzdem die das elektrische Feld prägende Größe. Bei dem Energietransport mit Leitungen in Kapitel 4 und bei der Emission von Photonen aus Atomen, Speicherringen oder Antennen sind immer Elektronen oder zumindest abzählbare elementare Ladungen beteiligt, daher braucht es einen nicht zu wundern, daß diese auch als wesentliche, die Felder bestimmende Größe erscheinen. Das mechanische Analogon, ein lokalisiertes Phonon, sollte sich ähnlich verhalten. Für ein solches Phonon liegen experimentelle Befunde vor, die mit den in Kapitel 3 prognostizierten feldabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die beteiligten Energien in Einklang sind. Als Folge der Ähnlichkeiten treten zwei mechanische konstante Größen, eine Länge ( die Auslenkung ) und ein Impuls, auf, die den elektromagnetischen Größen Elementarladung und Flußquant entsprechen. Phänomene, die mit den elementaren Quanten unter einem neuen Blickwinkel betrachtet beschrieben werden können, sind das Abstrahlen, die Reflexion und das Mischen.



Wir sind auf der einen Seite mit Photonen vertraut, wir benutzen und messen sie, auf der anderen Seite ist unsere Vorstellung sehr begrenzt, was ein Photon wirklich ist1. Einigkeit besteht sicher darüber, daß die elektromagnetischen Photonen und auch die mechanischen Phononen Größen sind, die es gestatten, den Energieaustausch mit den entsprechenden elektromagnetischen und akustischen Wellen zu beschreiben. Wenn aus einer elektromagnetischen oder akustischen Welle Energie übertragen wird, geschieht dies gequantelt 2, 3 mit der Energie E E = h * f = h / T = h * c / λ [ 1-1 ] ( mit dem Planckschen Wirkungsquant h, der Geschwindigkeit der Wellen c, der Frequenz f, der Periodendauer T, der Wellenlänge λ). Der Energieaustausch der Welle tritt lokalisiert auf, z.B. am Ort des Atoms, dessen Elektron das Orbital wechselt. Während des Ausbreitens stellen wir uns die Energie räumlich verteilt in Form elektrischer und magnetischer Felder oder in potentieller und kinetischer Energie vor. Einzelne Photonen beobachtet man sehr einfach im hochenergetischen Röntgenbereich, mit sichtbarem und infrarotem Licht schon durch den thermischen Hintergrund mit wachsender Wellenlänge zunehmend schwieriger und bei Radiowellen überwiegt das thermische Rauschen der Umgebung. Die einzelnen Photonen sind dann nicht mehr ohne weiteres aus dem Untergrund zu isolieren.

1 The nature of light, ed Chandrasekhar Roychoudhuri, A.F.Kracklauer, Katherine Kreath, CRC Press(2008)

2 Albert Einstein: Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. In: Annalen der Physik. 322, Nr. 6, 1905, S. 132–148

3 M. Planck: "Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum", Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2(1900) Nr. 17, S. 237–245, Berlin (vorgetragen am 14. Dezember 1900)



5.1. Das Photon im Resonator Um Eigenschaften eines Photons zu untersuchen, sollte es so konkret wie möglich betrachtet werden können. In einer sich frei ausbreitenden elektromagnetischen Welle findet man das Photon nur zufällig irgendwo. Wie kann man seine Position, den Ort eingrenzen ? Indem die elektromagnetische Welle zwischen Spiegeln hin und her läuft, im Extrem als stehende Welle zwischen zwei Spiegeln im Abstand λ / 2 . Im Unterschied zur laufenden elektromagnetischen Welle, bei der sich elektrisches und magnetisches Feld in Phase ausbreiten, tritt im Resonator bekanntermaßen wegen der unterschiedlichen Phasendrehung bei der Reflexion und der daraus folgenden unterschiedlichen Interferenz ein periodischer Wechsel der Energie zwischen elektrischem und magnetischem Feld auf. Diesen Wechsel zwischen zwei Formen der Energie beobachtet man allgemein bei harmonischen Oszillatoren, Einzelheiten wurden in Kapitel 3 ausführlich beim Schwingkreis behandelt. Ansonsten verhält sich das derartig lokalisierte Photon „normal“, so läßt sich bei Längenänderung des Resonators leicht zeigen, daß die damit verbundene Energie- und Frequenzänderung durch von außen geleistete Arbeit erreicht wird und das Ergebnis dieser Rechnung ist der bekannte Impuls p des Photons, wie im Abschnitt {Ph -1} behandelt. p = h * f / c [ 5-1 ] Interessant ist nun die Frage : Welche Größen von lokalisierten Photonen und Phononen ändern sich mit der Frequenz und welche nicht ? Dazu wird das Photon auch in den anderen Koordinaten auf das Volumen V = λ³ / 8. begrenzt, wie in Bild 5Ph-1 zu sehen ist.

Bild 5Ph-1 Photon ( Mode ) im Resonator, einem Würfel mit der Kantenlänge λ/ 2 . Unter dieser Annahme kann die maximale Energiedichte Evm eines einzelnen Photons berechnet werden, λ = c / f . Evm = E / V = 8 * h * f / λ ³ = 8 * h * f 4 / c ³ [ 5-2 ] Und weiter ergibt sich für die Beträge der elektrischen und magnetischen Feldstärken entsprechend : [E] ~ [B] ~ f² [ 5-3 ] In der Elektrotechnik ist es üblich, die verschiedenen technisch genutzten Resonatoren analog zu den Schwingkreisen aus den elektromagnetische Felder tragenden Spulen und



Kondensatoren zusammengesetzt zu modellieren. Physikalisch gibt es an solchen Vorstellungen nichts auszusetzen, das elektrische Feld im Resonator entspricht einem Feld zwischen den Elektroden eines Kondensators, das Magnetfeld dem des Verschiebungsstroms, der in Bild 4RC -2 zu sehen war. Man kann sich den Resonator also aus virtuellen Kondensatoren und Spulen zusammengesetzt vorstellen und ergänzend die elektrischen oder magnetischen Felder jeweils durch virtuelle elektrische Ladungen Q und magnetische Flüsse Φ erzeugt denken. Die Inhomogenität der Felder wird in Bild 5Ph-2 für das Elektrische Feld durch die gewölbte Elektrodenform angedeutet :

Bild 5Ph-2 Photon im Resonator, das elektrische Feld wird durch virtuelle Ladungen auf dem Kondensator aus den Flächen A im symbolisch ortsabhängigen Abstand d’ <= d erzeugt Dann gilt für die dafür nötigen Ladungen oder Magnetflüsse ( Einzelheiten sind im Abschnitt {Ph -2} dargestellt ) mit passenden Geometriefaktoren g, die die Inhomogenitäten der Felder berücksichtigen und bei von der Frequenz unabhängiger Impedanz ZRes. Q = ( h * ε ε o * g * c ) 1/2 [ 5-4 ] Φ = ZRes * Q = ( h * c * µ µ o / ( g * π ² ) )1/2 [ 5-5 ] Beide sind also unabhängig von der Frequenz f ! Diese Wirkung der Quellen der Felder ist also nur von der Geometrie des Resonators abhängig, d.h. von dessen qualitativen Proportionen, aber die Stärke der Quelle nicht von der Frequenz der Photonen, die für deren quantitative räumliche Größe relevant ist. Mit steigender Frequenz f werden die Abmessungen des Resonators immer kleiner und damit auch die räumliche ( und auch zeitliche ) Ausdehnung der Felder. Das führt zu den steigenden Feldstärken der Gleichung [ 5-3 ] und den Energiedichten in [ 5-2 ]. Diese Frequenzunabhängigkeit der Quellen ist eine zunächst sicher überraschende Tatsache, nun ist die Frage natürlich, wie groß diese Ladung und der magnetische Fluß sind. Das Produkt aus Ladung und Fluß ist ebenfalls von der Frequenz unabhängig, von der Dimension her eine Wirkung, und für die Geometrie g = g gilt Q * Φ = h / π [ 5-6 ] Mit den kleinsten natürlich möglichen Werten für Ladungen Q und Magnetflüsse Φ ergibt sich für dieses Produkt allerdings e * Φ o = h / 2 [ 2-1 ]



Der Unterschied im Faktor ( 2 / π ) tauchte schon in Kapitel 3 auf, Ursache war einerseits die statische Situation getrennter Komponenten gegenüber der Dynamik des schwingenden Systems. Analog zu den Schwingungsquanten im LC-Kreis zeigt Bild 5Ph-3 das Photon in dem inzwischen vertrauten Koordinatensystem { Q; Φ ; f }. Seine Energie E = h * f ist das gezeigte Volumen : Grundfläche h mal Frequenz f . Im Kapitel 4 {RC-5} wurde der elektromagnetische Impuls, der sich auf einer Leitung ausbreitet, besprochen. Für diesen Impuls waren die Ursprünge reale Ladungen, deren Qualitäten an virtuelle Ladungen und Flußquanten übergingen während sich der Impuls auf der Leitung fortbewegte. Bei einem Atom, das ein Photon abstrahlt, gibt es die elementare Ladung an dieser Quelle, ein Elektron wechselt von einem Energieniveau zum anderen. Bei Radiofrequenzen mit strahlenden Antennen sind die bewegten Elektronen die ursprünglich die Felder tragenden Objekte. Beim Synchrotron und Speicherring kreisen elementare Ladungen. Es ist daher eigentlich nicht verwunderlich, daß die Elementarladung e auch in der Rolle einer virtuellen Ladung das Geschehen prägt.

Bild 5Ph-3 Photon im Resonator, das elektrische Feld wird durch virtuelle Ladungen erzeugt, die Grundfläche ist h, multipliziert mit der Frequenz f ergibt das Volumen die Energie.



5.2. Resonator und Impedanz Die von seiner Geometrie abhängige Impedanz Z des Resonators, wie schon in Kapitel 3 für den Schwingkreis behandelt, ist der Quotient des Magnetfeldes zum elektrischen Z = Φ / Q = ( L/C ) 1/2 [ 3-10 ] und enthält die räumliche Feldverteilung ( den Faktor g * g aus den Gleichungen [ 5-4 ], [ 5-5 ] ). Der spezielle Fall der Vakuumimpedanz Zo = (µ o/εo ) 1/2 [ 4-29 ] wird in Abschnitt {Ph-3} diskutiert. An dieser Stelle hier werden die gequantelten Ladungen e und Flußquanten Φo betrachtet und man kann parallel zu dem in Kapitel 3 schon besprochenen Schwingkreis feststellen, daß gleiche Anzahlen von Elementarladungen n * e und magnetischen Flußquanten m * Φo sich beim Schwingen abwechseln, wenn die Impedanz des Resonators gleich dem halben Klitzingwiderstand ist. Auch die Überlegungen zur Energie im Photon und der Energie statischer Felder ( der Faktor 2 / π ist dafür charakteristisch ) sind übertragbar. Beim Schwingkreis kann man allerdings von realen Quanten e und Φo ausgehen, während diese beim Photon im materiefreien Raum virtuell sind. Erst wenn die Energie groß genug ist, um die Masse des Elektrons zu realisieren, können wir die Ladungen e- + e+ bei der Paarbildung aus Photonen materielle Wirklichkeit werden lassen. Viele Photonen im Resonator ergeben nur Resonanz und machen nur Sinn, wenn sie kohärent in Phase schwingen und sich nicht gegenseitig auslöschen. Dann ergeben sich die in Bild 3LC-10 bis 3LC-12 für den Schwingkreis gezeigten Feldkombinationen und damit für große Zahlen die klassischen Lösungen. Analog zu der in Kapitel 2.3. diskutierten Grenze der Meßgenauigkeit in Bild 2R-3 und Bild 2R-4 sollte man sich an dieser Stelle fragen, wie genau die Impedanz eines Resonators definiert ist und welcher Zusammenhang mit der Anzahl der Photonen besteht ? Auch die Impedanzen tauchen hier nur als gequantelte Größen, der Steigung der Widerstandsgeraden, auf. Die Anzahl unterscheidbarer Impedanzwerte hängt von der Anzahl N der beteiligten Photonen ab. Bei einem Photon existiert zunächst nur ein Impedanzwert : Z1 = Rk/2 mit dem Toleranzbereich ( + oo -> Rk/2 -> 0 ), wie in Bild 2R-3 zu sehen war. Mit größerem Energieinhalt des Resonators läßt sich die Impedanz immer genauer bestimmen. Die Gesetzmäßigkeit, mit der die Zahl K der möglichen Impedanzwerte zunimmt, ist aus Bild 5Ph-4 abzuleiten, wenn man die Grenzen zur nächsten „Impedanzklasse“ an den Quadratzahlen des Füllstandes mit N Photonen betrachtet, an denen jeweils ein neues Strahlenpaar dazukommt und damit die Anzahl der unterscheidbaren Impedanzen um eine Klasse zunimmt. Die Impedanzwerte selbst sind charakterisiert durch das Verhältnis der Anzahl der magnetischen Flußquanten m * Φo zu den elementaren Ladungen n * e. An diesen Grenzen zur nächst größeren „Impedanzklasse“ gilt mit der das Intervall charakterisierenden Photonenzahl N für die Zahl der Impedanzwerte K.

K = 2 * N ½ [ 5-7 ]

Je mehr Photonen vorhanden sind, um so mehr Impedanzwerte können unterschieden werden und um so größer ist der Bereich der erfaßten Impedanzwerte Zmn. Der Wert der Vakuumimpedanz Z0 wird das erste Mal recht gut mit 34 Photonen erreicht. Dieser Wert ist auch insofern interessant, da wegen Z1 = ( Φ o / e ) = Rk/2 [ 5-8 ],



und der Vakuumimpedanz, die für die freie Ausbreitung der Photonen relevant ist, Z0 = (µ o/εo ) 1/2 [ 5-9 ], uns mit Z1/Z0 = ε o * h * c / 2 e² = ¼ * 2 ε o * h * c / e² = 1 / 4α [ 5-10 ] die für die Kopplung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern wichtige Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante α hier begegnet. Dazu mehr in Abschnitt {Ph-7}. 1 / α = 2 * ε o * h * c / e² [ 5-11 ]

Bild 5Ph-4 Zu bestimmten Impedanzwerten gehören Photonenzahlen N, die sich aus den Verhältnissen ganzzahliger Vielfacher m / n der Ladungs- und Flußquanten ergeben. Zur Impedanz Z / (Rk/2)= 1 gehören die Quadratzahlen N². Die Unsicherheit der Poissonstatistik N² +- N liefert darum die oben und unten zu sehenden farblich unterschiedenen Intervalle (Impedanzklassen) 1+-1, 4+-2, 9+-3,…. Auf den Strahlen liegen oben und unten die zu den Photonenzahlen N gehörenden Impedanzwerte. Deren unterscheidbare Anzahl wächst an jedem Intervallübergang bei den Quadratzahlen um 2. Bei linearer Darstellung würden die oberen Geraden bleiben, die unteren würden Hyperbeln ( x und 1/x ). Da Photonen als Bosonen „klumpen“ können, wäre es interessant zu untersuchen, ob solche Anzahlen ( N~ 34, 68, 137, ) bei im Vakuum mit der Impedanz Z0 laufenden elektromagnetischen Wellen besonders häufig als Gruppen auftreten.4

4 Größenabschätzung Elementarladung und Flußquant waren charakteristisch für das Photon im passenden Resonator. Die Ladung setzt sich dabei aus der aktuell gedachten und den Spiegelbildern durch Interferenz zusammen. Wie ist diese



Ladung bei einem Photon, daß sich frei bewegt, verteilt ? Dazu soll aus energetischer Sicht abgeschätzt werden, ob es Grenzen der räumlichen Verteilung gibt. In Gleichung [ 2-1 ], h = 2e * Φo fällt auf, daß sie neben dem dipolaren magnetischen Flußquant Φo die elektrische Ladung 2e enthält. Ladung tritt immer insgesamt neutral auf, speziell beim ungeladenen Photon, also zumindest als „Dipol” von positiver und negativer Ladung mit der Summenladung 0. Die Ladungen sind zwar elektrisch beim lokalisierten Photon als Quanten vorhanden, mit Masse allerdings nur beim Schwingkreis und während der Abstrahlung. Um die Masse der Ladungen mit Photonen erscheinen zu lassen, reicht die Energie erst bei der Paarbildung. Außerdem kann der Spin des Photons erst durch den Spin zweier Elementarladungen gebildet werden. Das übliche Beschreiben elektrischer Probleme mit elektrischen Monopolen ist daher vielleicht nur eine Vereinfachung mit lokaler Gültigkeit. Es gibt kein Coulombfeld bis ins Unendliche, vorher wird es immer neutralisiert. Im folgenden Kapiteln wird der Faktor zwei allerdings immer in Kombination mit dem magnetischen Flußquant auftauchen, da dann das Gesamtsystem symmetrischer erscheint. Unter der Annahme zweier entgegengesetzter Elementarladungen ( + e und – e ), die sich aus dem Unendlichen aneinander zum Abstand d ( λ ) nähern und dabei die Energie des Photons freisetzen, ergeben sich die Energie E und der Abstand d E = h * c / λ = e ² / ( d ( λ ) * 4 * π * ε o ) [ 5-61 ] d ( λ ) = e² * λ / ( 4 * π * ε o * h * c ) = λ * α / ( 2 * π ) [ 5-62 ] Während diese Abschätzung für die Abmessung des elektrischen Feldes einen sehr kleinen Wert liefert ( d = λ / 860 ), der für sichtbares Licht bei der Größe von wenigen Atomen liegt, folgt für die Abmessungen des Magnetfeldes, wenn man annimmt, daß sich ein Paar virtueller Elementarladungen ( + e und – e ) mit dem Abstand r vom Zentrum und der Periode T darum herum bewegt, wegen der fehlenden Masse wird angenommen mit Lichtgeschwindigkeit c 2 * π * r / T = c [ 5-63 ] Aus der Beziehung des magnetischen Flußquants zur Elementarladung, der Energie des Photons und bei einem Strom I = 2e / T gilt Φo = h / 2e = E * T / 2e = h * f / I [ 5-64 ] dann gilt für den Strom mit T aus Gleichung [ 8-6 ] und nach dem Radius r aufgelöst I = 2 * e * c / ( 2 * π * r ) [ 5-65 ] r = Φ o * e * λ / ( h * π ) = λ / ( 2 π ) [ 5-66 ] ein Wert vergleichbar mit der Wellenlänge. Wenn nicht ein einzelnes Photon lokalisiert ist, sondern eine Gruppe von Photonen vorhanden ist, wie bei der Vakuumimpedanz Z0 mit Gruppen von 34 oder 68 Photonen vermutetet, ergeben sich für die Abmessungen der Gruppe etwa 5 λ , was unserer Vorstellung eines Wellenpaketes durchaus nahekommt.



5.3. die Analogie Photon - Phonon, zwei neue mechanische Quanten Parallel zu obigen Gedanken für die elektromagnetische Energieeinheiten, die Photonen, soll nun das mechanische Gegenstück, das Phonon betrachtet werden. In der mathematischen Beschreibung von elektromagnetischen und mechanischen Problemen gibt es zwei gleichwertige Analogien, die hilfreich verwendet werden können5,6 . Kinetische und potentielle Energien in der Mechanik entsprechen dabei denen von elektrischen und magnetischen Feldern. Beide denkbare Kombinationen sind für Vergleiche möglich und in Tabelle 5-1 aufgelistet. Massen M und Federn (Federkonstante f und ng = 1 / f Nachgiebigkeit) entsprechen dabei Spulen L und Kondensatoren C. Mechanisch- elektrische Analogien U [ V ] UM F [ N ] Kraft

I [ A ] IE v [ m/s ] Geschwindigkeit Q [ C ] = [ As ] x [ m ] Auslenkung Φ = L * I [ Vs ] p = M * v [ Ns ] Impuls Udt [ Vs ] L * I F dt [ Ns ] Kraftstoß I dt [ As ] C * U v dt [ m ] dI / dt [ A/s ] b = dv/dt [ m/s² ] Beschleunigung

IM

UE E LI²/2 [ VAs ] Mv²/2 [ Nm ] kin.Energie E Φ ² / 2L [ VAs ] p² / 2M [ Nm ] kin.Energie

E CU²/2 [ VAs ] F²/2f [ Nm ] pot.Energie E Q²/2C [ VAs ] ng F² / 2 [ Nm ] pot.Energie

R [ Ω ] = [V/A] W [ Ns/m ] Reibung

1 / R [ 1 / Ω ] = [A/V] 1 / W [ m/Ns ] "Glätte"

L [ H ] = [ Vs/A ] M [ kg ] = [Ns²/m] Masse

1 / L [ 1/H ] = [ A/Vs ] 1 / M [ 1 / kg ]

C [ F ] =[As/V] ng [ m/N ] Nachgiebigkeit 1/C [ V / As ] f [ N/m ] Federsteife

Z = (L/C)1/2 [V/A] ZM = ( f * M )1/2 [ Ns/m ]

mechanische Impedanz

5 E. Zwicker und M. Zollner, Elektroakustik, Springer 1993 6 R.P.Feynman, R.B Leighton und M.Sands,Vorlesungen über Physik Bd.2, Oldenbourg 2001



Kraft F [ N ] I [ A ] Strom

Geschwindigkeit v [ m/s ] U [ V ] Spannung Auslenkung x [ m ] Φ [ Vs ] Magnetfluß Impuls p [ Ns ] Q = C * U [ C ] = [ As ] Ladung Kraftstoß Fdt [ Ns ] I dt [ As ] C * U Stromstoß v dt [ m ] Udt [ Vs ] L * I Spannungsstoß Beschleunigung b = dv/dt [ m/s² ] dU/dt [ V/s ] Spannungsanstiegs-

geschwindigkeit

kin.Energie Mv²/2 [ Nm ] CU²/2 [ VAs ] elektrische kin.Energie p² / 2M [ Nm ] Q²/2C [ VAs ] Energie

pot.Energie F²/2f [ Nm ] Φ² / 2L [ VAs ] magnetische pot.Energie ng F² / 2 [ Nm ] LI²/2 [ VAs ] Energie

Reibung W [ Ns/m ] 1 / R [ 1 / Ω ] = [A/V] Leitfähigkeit "Glätte" 1 / W [ m/Ns ] R [ Ω ] = [V/A] Widerstand

Masse M [ kg ] = [Ns²/m] C [ F ] =[As/V] Kapazität

1 / M [ 1 / kg ] 1/C [ V / As ] Nachgiebigkeit ng [ m/N ] L [ H ] = [ Vs/A ] Induktivität Federsteife f [ N/m ] 1 / L [1/H] = [A/Vs] Tabelle 5-1 Die beiden Varianten der mechanisch-elektrischen Analogien ( mit v Geschwindigkeit, x Auslenkung, p Impuls, F Kraft ) Mit dieser Analogie ist es möglich, den Wechsel der Energie vom elektrischen zum Magnetfeld in einem schwingenden System auf ein mechanisches übertragen, bei dem potentielle mit kinetischer Energie abwechselt. Dies wird in Abschnitt {Ph-4} demonstriert. So wie in Kapitel 3 die frequenzunabhängigen Größen Ladung und Magnetfluß beim Schwingkreis festgestellt wurden, gibt es bei mechanischen harmonischen Oszillatoren mit schwingenden Massen und gespannten Federn eine von der Frequenz unabhängige maximale Auslenkung Θ und einen entsprechenden Maximalimpuls Π , wenn bei verschiedenen Schwingern das Verhältnis Feder zu Masse das gleiche ist. Dieses Verhältnis wird durch die Größe Kraft pro Geschwindigkeit, die mechanische Impedanz Zm = F / v = ( M / ng ) ½ , bestimmt,. Sie ist materialabhängig und außerdem vom Querschnitt des Wellen leitenden Systems, also vom Durchmesser des Schallfeldes beeinflußt. Damit sind die mechanischen Größen maximale Auslenkung Θ und Maximalimpuls Π zwar als gequantelte Größen existent, sie sind aber nicht solche universellen Quanten für alle mechanischen Probleme, wie die von der Materie unabhängigen elektromagnetischen Ladung und Flußquant. Das mechanische „Impulsquant“ ist Π = h / 2 Θ = ( Zm * h / 2 ) ½ [Ns] [ 5-12 ]



und das „Ortsquant“ Θ = h / 2 Π = ( h / 2Zm ) ½ [m] [ 5-13 ] Für eine dem Klitzingwiderstand Rk entsprechende mechanische Größe Wk gilt Wk = 2Π / Θ = 2 * ( M / ng ) ½ = 2 Zm [ N s / m ] [ 5-14 ] Daß hier der Faktor Zwei auftaucht, ist mit den Gleichungen [ 5-12 ] und [ 5-13 ] vorauszusehen, da in den Formeln der einzelnen Quanten ja nur h/2 auftaucht und ohne den Faktor 2 die Quantenstufen der Wirkung nicht realisiert werden können. Im mechanischen System macht die mathematisch völlige Symmetrie zwischen Auslenkung und Impuls kein Problem, so daß man eine „Leitfähigkeit“ 1/ Zm = ( ng / M ) ½ als zum Widerstand inverse Größe problemlos akzeptiert und den Faktor 2 auch im Nenner beim Viertel der Klitzingimpedanz Wk /4 = Π / 2Θ = Zm / 2 genauso hinnimmt. Wie in Kapitel 1.2 und 2 erwähnt, erfordert die Größe h eine Kombination von zwei Quanten der einen Sorte mit einem der anderen, um ganzzahlig zu sein. Im elektromagnetischen Fall bereitet die elektrisch-magnetische Monopol-Dipol-Unsymmetrie der Maxwellgleichungen einer verbreiteten Schönheitsvorstellung von Naturgesetzen Schwierigkeiten, im mechanischen Denkansatz taucht dieses Problem nicht auf. In der allgemein beim Betrachten von Phononen gern benutzten Vereinfachung, nur eine lineare Kette zu diskutieren, entfällt der Unterschied zwischen Kraft und Druck, die Gleichungen für die mechanischen Quanten beziehen sich dann nur auf die Materialeigenschaft „akustische Impedanz“ Za = vs * ρ , die gleich Schallgeschwindigkeit vs mal Dichte ρ ist. In diesem eindimensionalen Fall gilt für die mechanischen Quanten :

[ 5-15 ]

[ 5-16 ]



5.4. Das M-Zentrum in ZnS, ein experimentelles Beispiel Im Zinksulfidkristall ZnS ist jedes Atom von vier Atomen der anderen Sorte umgeben, wie es Bild 5Ph-5 zeigt. Ein besonderes Phonon an der Grenze des von den Phononen des Wirtskristalls erreichbaren Frequenzspektrums ist das LO-Phonon. Bei ihm handelt es sich um eine stehende Welle, bei der die unterschiedlichen Atome ( Zn und S ) gegeneinander schwingen. Die Knoten ( blau gezeichnet in Bild 5Ph-5 ) der Schwingung liegen jeweils zwischen den benachbarten unterschiedlichen Atomen ( Zn und S ) und dichter aneinander, als bei den im folgenden betrachteten lokalen Schwingungen des M-Zentrums. Die Frequenz ( 10,15 THz ) läßt sich mit spektroskopischen Experimenten messen, die Massen der beteiligten Atome sind bekannt und folglich kann man die aus den Bindungskräften resultierenden Federwirkungen berechnen. Daraus folgt das Modell einer linearen Kette, im Bild 5Ph-5 rechts gezeigt.

Bild 5Ph-5 Atomanordnung in ZnS, Schwingung des LO-Phonons und Modell der linearen Kette. Zu sehen sind die gegenseitige Schwingungsrichtung der Atome und die Knoten ( blau )dieser stehenden Welle. Resonanzen an Kristallbaufehlern können Frequenzen aufweisen, bei denen sich im Kristall keine Schallwellen ausbreiten können. Dadurch sind dann Phononen genauso lokalisiert wie oben Photonen im Resonator. Ein solches System mit drei unterschiedlichen lokalen



Phononen ist das M-Zentrum in ZnS – die Doppel-Schwefel-Fehlstelle7. Die Fehlstelle ist von Zinkatomen umgeben, die in unterschiedlicher Form gegeneinander schwingen können. Die Schwingungen mit der höchsten dabei auftretenden Frequenz zeigt Bild 5Ph-6, mit der mittleren Bild 5Ph-7 und für die niedrigste Bild 5Ph-8. Da die Eigenschaften der Federn mit dem LO-Phonon berechnet werden konnten, sind auch die Schwingungen um das M-Zentrum herum bekannt, wie die Übereinstimmung von Experiment und Rechnung zeigten8. Ursache dieser Fehlstelle ist wahrscheinlich ein größeres Fremdatom an zentraler Stelle ( orange ), vermutlich Wolfram9, das den benachbarten Schwefelatomen wegen seiner Größe den Platz nimmt. Dessen größere Masse macht sich aber bei der Analyse der Schwingungen kaum bemerkbar, da es nur einen kleinen Teil der Masse des schwingenden Komplexes beisteuert und von der Position her, zwischen den Fehlstellen, die Resonanzfrequenzen am wenigsten beeinflußt.

Bild 5Ph-6 Das M-Zentrum in ZnS ( die Doppelfehlstelle des Schwefels ) mit der höchstfrequenten lokalen Schwingung, Phonon 2, ein akustischer Monopol, die hohlen Kreise sind die beiden benachbarten Fehlstellen an der Position des Schwefels

7 I. Broser, R. Germer, F. Seliger & H.-J. Schulz, Luminescence of an M Center in ZnS? J.Phys.Chem.Solids 41 (1980), 101 – 107

8 R.Germer, Local Vibrations at Vacancies and the Nature of the Tl-SO Emission Band of M Centers in ZnS, Phys. Rev. B15, 27, 4 (1983), 2412 – 2418

9 R. Heitz, P. Thurian, A. Hoffmann, and I. Broser, Luminescence of a 5d-centre in ZnS Materials Science Forum, Vol. 83-87 (1992), 1247-1252



Bild 5Ph-6 zeigt das M-Zentrum in ZnS ( die Doppelfehlstelle des Schwefels ) mit der höchstfrequenten lokalen Schwingung, 7,92THz, Phonon 2, einem akustischem Monopol, der atmenden Kugel. Alle schwingenden Atome bewegen sich gleichzeitig entweder auf die Fehlstellen zu oder davon weg, nur das zentrale Atom steht fast still. Die Knoten ( blau ) haben einen sehr kleinen Abstand zu den äußeren Zinkatomen und daher ist die Resonanzfrequenz fast so hoch wie die des LO-Phonons. Das Modell der analogen linearen Kette sehen wir links.

Bild 5Ph-7 Das M-Zentrum in ZnS mit der mittelfrequenten lokalen Schwingung, Phonon 1, einem akustischen Dipol Bild 5Ph-7 zeigt das M-Zentrum in ZnS mit der lokalen Schwingung mittlerer Frequenz – 3,72 THz, Phonon 1, einem akustischem Dipol. Alle schwingenden Atome auf der einen Seite bewegen sich auf die Fehlstellen zu und auf der anderen davon weg. Das zentrale Atom bewegt sich entgegengesetzt zwischen den mittleren Knoten, steht also ebenfalls fast still.

Bild 5Ph-8 Die tieffrequenten lokalen Schwingung, Phonon 0, ein akustischer Dipol



Bild 5Ph-8 zeigt das M-Zentrum in ZnS mit der lokalen Schwingung tiefster Frequenz – 2,56 THz, Phonon 0, ebenfalls einem akustischem Dipol. Alle schwingenden Atome bewegen sich in die gleiche Richtung, hin und her. Die Knoten der Schwingung befinden sich außerhalb des Fehlstellenkomplexes.

wavenumber Wellenzahl

energy Energie

frequency Frequenz

Spring Feder Zn

Spring Feder f

impedance Impedanz Zn

impedance Impedanz S

Phonon nr. 1 /cm meV Thz kg / s² kg / s² N s / m N s / m Monopol 2 264,30 32,77 7,92 270 5,41E-12 Dipol 1 124,20 15,40 3,72 59 2,54E-12 Dipol 0 85,50 10,60 2,56 28 1,75E-12 LO 338,60 41,98 10,15 440 217 6,92E-12 3,40E-12 Tabelle 5-2 Phononenenergien und –impedanzen des M-Zentrums in ZnS Die an den Schwingungen beteiligten Atome sind alle die gleichen, die Lage der Knoten und damit die Länge der beteiligten Federn ist unterschiedlich, wie früher bereits gezeigt7. Für die Analyse hier ist wichtig, daß daraus unterschiedliche mechanische Impedanzen für jede der Schwingungen folgen und hilfreich, daß das Problem eindimensional als lineare Kette zu betrachten ist ( s. Tabelle 5-2 ).

Bild 5Ph-9 Emission des M-Zentrumkomplexes in ZnS im nahen IR, rot : gemessenes Spektrum, schwarz : Simulation aus den Phononen, grün : Bei der Differenz zeigen sich die nicht zur Phononenbande gehörenden Linien, ganz unten die bei der Simulation beteiligten Phononenleitern ausgehend von den Linien bei 1479meV und 1482meV.



Die Phononen treten bei einer Emission eines an der Fehlstelle angeregten Elektrons im nahen Infrarotbereich als Satelliten elektronischer Übergänge auf. Jedes Sorte Phonon bildet eine Leiter mit Energiestufen, die ein ganzzahliges Vielfaches seiner Energie darstellen. Ähnlich wie in Abschnitt {VW-1} erwähnt, wird diese Energie von der des Photons abgezogen und eine niederenergetische Seitenbande des elektronischen Emissionsspektrums aus all den möglichen Photonen-Kombinationen gebildet. In der roten Linie von Bild 5Ph-9 zeigen sich Zusammenstellungen von auswertbar bis zu 8 Phononen einer Sorte. Während in einer früheren Arbeit nur die Energiewerte ausgewertet wurden, um die energetische Lage der Emissionslinien den unterschiedlichen Schwingungskombinationen ausgehend von zwei elektronischen Übergängen zuzuordnen, wird jetzt hier versucht, auch die Amplituden der einzelnen Linien auszuwerten. Folgende Annahmen dienten der Anpassung eines synthetischen Spektrums an das gemessene :

1. Die Linien sind gaußförmig 2. Jedes der drei lokalen und des LO-Phonons hat eine individuelle Linienbreite, die

für beide Phononenbanden gleich ist 3. die Linienbreite nimmt bei Mehrphononenprozessen gering und gleichartig zu

Mit diesen Anpaßparametern wurde per Hand ein Spektrum ausgehend von den zwei Hauptlinien bei 1479 und 1482 meV synthetisiert, die schwarze Linie in Bild 5Ph-9, das bis auf einige, zu diesen beiden Phononenbanden nicht gehörende Linien ( grün die Differenz ), dem gemessenen Spektrum sehr ähnlich ist. Die beobachtete Empfindlichkeit des Verfahrens liegt in der Größenordnung 10% der einzelnen Amplitudenwerte. Bild 5Ph-10 zeigt die Amplituden innerhalb der Leitern der beteiligten Phononen 0 ( 10,61meV ), 1 ( 15,41 meV ) und 2 ( 32,8 meV ) in Abhängigkeit von der beteiligten Leiterstufe. Ohne die in Kapitel 3 gefundenen Quanteneffekte, den Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Photonenzahlen, würde man erwarten, daß die Amplitude innerhalb der Phononenleitern bei Mehrphononenprozessen mit der Anzahl der beteiligten Phononen gleichmäßig abnimmt. Das Ergebnis der Phononen 1 und 2 kann so noch im Rahmen der Fehlergrenzen interpretiert werden. Das Phonon 0 zeigt dagegen bei beiden Phononenbanden gleichartig für drei und vier Phononen deutlich kleinere Amplitude als bei Schwingungen mit sechs bis sieben Phononen. Ein solches Verhalten ist, wie bei der Überlegung zum Schwingkreis in Kapitel 3 gezeigt, zu erwarten, wenn sich die mechanischen Quanten ( Ort und Impuls ) entsprechend der oben in Bild 3LC-13 diskutierten Verteilung für elektrische und magnetische Feldanteile verhalten. Bei dem Ergebnis des Experiments mit Phononen machen sich die zu Ladung und Flußquant beim elektromagnetischen Schwingkreis parallelen Eigenschaften des mechanischen Systems Ort und Impuls bemerkbar. Die zu den gequantelten Auslenkungen und Impulsen gehörenden Energien passen mehr oder weniger gut mit der Energie des Phonons zusammen, und daraus folgen die Wahrscheinlichkeiten ihrer Existenz.



Bild 5Ph-10 Amplitude der Emissionslinien in Abhängigkeit von der Anzahl der beteiligten Phononen. Für jede der Leitern der Phononen 0, 1 und 2 gibt es zwei Werte, jeweils ausgehend von den beiden größten Linien ( Nr. 10 und 11 im Originalspektrum ). Phonon 0 zeigt die erwartete Anomalie deutlich. Oben rechts ist die Kalkulation aus Kapitel 3 eingeblendet, deren Breite von der Impedanz abhängt. Da uns jeweils zwei beobachtete Linien zur Verfügung stehen, die zu gleichartigen Phononenkombinationen aber unterschiedlichen elektronischen Übergängen gehören, ist es sicher zulässig, das Abweichen der beiden äquivalenten Kurven zueinander als Fehlermaß einzuschätzen. Der beobachtete Effekt ist deutlich größer. Daraus läßt sich dann schließen, daß auch die mechanischen Quanten Länge Θ und Impuls Π den Phasenraum digital skalieren. Das bedeutet, daß nur bestimmte Auslenkungen und Impulse sowie ihre ganzzahligen Vielfachen existieren und analoge Zwischenwerte nicht vorkommen oder mit mir Genauigkeit nicht definiert sind. Zum Vergleich der mechanischen Ergebnisse mit den Überlegungen beim Schwingkreis ist oben rechts die Kalkulation der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Kapitel 3 für Energie und Amplitude eingeblendet. Je nach Impedanz des schwingenden Systems ist diese Kurve seitlich zu dehnen oder zu stauchen, wäre also für alle beobachteten Phononen entsprechend Tabelle 5-2 passend.



5.5. Abstrahlung Die spontane Emission von Licht aus angeregten Atomen erfolgt zeitlich exponentiell mit systemtypischen Abklingzeiten. Das gleiche Verhalten zeigen niederfrequente Resonatoren, die ihre Energie abstrahlen oder an Leitungen abgeben. Die Simulation von Bild 5Ph-11 zeigt ein Leitungsteil mit der Impedanz ZR und zwei unendlich stark reflektierenden Abschlüssen an den Orten x = 0 und x = X0 . Dazwischen existiert eine ungedämpfte Schwingung, bis dann zum Zeitpunkt T0 der Schalter S geschlossen wird. Daraufhin wird an der Stelle x = X0 nur noch ein Teil der Schwingung reflektiert und der andere Teil expandiert in die Leitung mit der Impedanz ZU. Das Verhältnis von reflektierter zu transmittierter Energie hängt vom Verhältnis ZR / ZU der beiden Impedanzen zueinander ab. Wenn beide Impedanzen ungleich sind, wird an der Übergangsstelle nur ein vom Impedanzunterschied abhängiger Teil der Energie reflektiert und es erfolgt die Energieabgabe allmählich mit exponentiell abnehmender Amplitude im Resonator und entsprechend in der abgestrahlten Welle.

Bild 5Ph-11 Amplitude in Abhängigkeit von der Zeit, wenn an eins der reflektierenden Enden am Ort x0 der Leitung mit der Impedanz ZR zum Zeitpunkt To eine Leitung mit Impedanz ZU geschaltet wird. Rechts ein größerer Zeit- und Raumbereich Wie weit die Analogie reicht, sieht man am für das Abklingen des Lichtes bei spontaner Emission relevanten Einsteinkoeffizienten10, der mit dem Realteil der Brechzahl n multipliziert werden muß, wenn die Umgebung des strahlenden Atoms nicht Vakuum sondern ein Medium mit der Brechzahl n = ( µ r*εr )1/2 ist. Diese „analoge“ Beschreibung ist zunächst für Resonatoren mit vielen darin enthaltenen Photonen richtig oder als Mittelwert eines Ensembles von Atomen, die jeweils ein Photon abstrahlen. Sie gestattet jedoch nur wenig Aussage über das einzelne Photon an einem einzelnen Atom. Die Situation ist ähnlich zu dem in Kapitel 4 untersuchten Entladen eines Kondensators.

10 A. Einstein: Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift 18 (1917) 121-128; Zuerst abgedruckt in den Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich 18 (1916)



Aus Kapitel 2 kennen wir die Darstellung von Impedanzen mit den abzählbaren Größen Ladung e und Flußquant Φo. Dies soll nun im Zusammenhang mit der Reflexion anwendet werden, Einzelheiten sind in Abschnitt {Ph-5} ausgeführt. Das Ergebnis ist, daß die bekannten Reflexionsgesetze die Erhaltung der Anzahlen von Ladungen und magnetischen Flußquanten beinhalten, wenn man eine mögliche Vorzeichenumkehr mit berücksichtigt. In diesem Fall werden gegebenenfalls bei der Reflexion neue Quanten erzeugt, allerdings mit entgegengesetztem Vorzeichen für die unterschiedliche Richtung beim Ausbreiten.

Bild 5Ph-12 Reflexion elektromagnetischer Signale an der Koppelstelle zweier Leitungen unterschiedlicher Impedanzen R1 und R2. In Bild 5Ph-12 sind die beiden verbundenen Leitungen mit den Wellenwiderständen R1 = (m1/n1)* Φo / e ( grün ) und R2 = (m2/n2)* Φo / e ( rot ) und der Reflexionsstelle ( blau ) zu sehen. Die Leitungen sind jeweils charakterisiert durch das Verhältnis m/n der Anzahl der Flußquanten pro Elektron in ihrem Bereich. Die ankommenden magnetischen und elektrischen Quanten QlΦ und QlQ verteilen sich auf die reflektierten RfΦ und RfQ und den Transmissionsanteil TrΦ und TrQ . Die Tabelle 5-3 gibt die Anzahlen für die einzelnen Anteile an, Einzelheiten und Beispiele sind in Abschnitt {Ph-5} beschrieben. Quelle Reflexion Transmission Φ o

( m1 * n2 ) + ( m2 * n1 ) * m1 = Ql Φ

[( m1 * n2 ) - ( m2 * n1 )] * m1 = Rf Φ

Qm+-Rfm = Tr Φ

e

( m1 * n2 ) + ( m2 * n1 ) * n1 = Ql Q

[( m1 * n2 ) - ( m2 * n1)] * n1 = RfQ

Qe+-Rfe = TrQ

m/n m1/ n1 m1/n1 m2/n2 Tabelle 5-3 Verteilung der Quanten der Quelle auf reflektierte und transmittierte Wellen. Mit den Impedanzen der Quelle Leitung 1, links, R1 = (m1/n1)* {Rk/2} und der Leitung 2 hinter der Reflektionsstelle, rechts R2 = (m2/n2)* {Rk/2} , ist das für Reflektion und Transmission relevante Verhältnis V1,2 = R1 / R2 = ( m1/n1) / (m2/n2) = ( m1 * n2 ) / ( m2 * n1 ) [ 5-17 ] und für die Reflexion gilt



Re = ( m1 * n2 - m2 * n1 ) / ( m1 * n2 + m2 * n1 ) [ 5-18 ] und entsprechend für die Transmission Tr = 1 – |Re| = [ 2 ( m1 * n2 ) ] / [ ( m1 * n2 ) + ( m2 * n1 ) ] [ 5-19 ] Dies bedeutet, daß an der Reflektionsstelle neue Quanten entsprechend den in Kapitel 4, Abschnitt {RC-3} und {RC-4} behandelten Zuständen auftauchen können. Dies geschieht allerdings paarweise mit entgegengesetztem Vorzeichen, so daß die Summe von Ladungen und Flußquanten unverändert bleibt.



5.6. Spontane Emission des einzelnen Photons und Abklingzeit Was folgt aus Zusammenhang zwischen der Impedanz unseres Photonen abstrahlenden Systems und der Abklingzeit für ein einzelnes Atom, das nur ein Photon zur Abstrahlung bereit hält ? Im Experiment beobachten wir nach definierter Anregung, daß irgendwann ! dieses Photon abgestrahlt wird. Aus diesem Einzelfall kann keine Abklingzeit ermittelt werden, nur die Tatsache, daß abgestrahlt wird; die Abklingzeit und die entsprechende Impedanz bleiben also unbestimmt. Erst wenn mehrere Photonen beobachtet sind, also der Versuch im Zeitbereich mit einem einzelnen Atom wiederholt wird oder räumlich gleichzeitig viele Atome angeregt werden, auf jeden Fall also das Experiment mit vielen Photonen in Relation zueinander zur Mittelung durchgeführt wird, kann man genauere Aussagen über die Abklingzeit und damit auch die Impedanz gewinnen. Betrachtet man das einzelne Atom und wiederholt das Experiment, so werden die einzelnen Photonen im allgemeinen mit verschiedener Verzögerungszeit nach einer impulsartigen Anregung ausgesandt. Bei zwei Photonen zu verschiedenen Zeiten könnte man einen zeitlichen Schwerpunkt dazwischen so bestimmen, daß das erste Photon der ersten Halbwertszeit zugeordnet wird und das zweite der Restzeit, wegen der Varianz des Schrotrauschens ist dies aber physikalisch nicht sinnvoll. Mit vier Photonen kann man einen ersten zeitlichen Schwerpunkt bestimmen und auch eine Varianz abzuschätzen, die genauer als der gesamte Zeitbereich von t = 0 ... oo ist.

Bild 5Ph-13 Zeitliches Abklingen der Energie und der Felder mit der Halbwertszeit τ ( oben ) und zeitlich transformierte Darstellung [ 0 =< t’ =< 2 ] mit konstanter Photonendichte ( unten ) Bild 5Ph-13 zeigt das Prinzip. Die wahrscheinliche zeitliche Verteilung der emittierten Photonen wird uns mit der e-Funktion beschrieben. Zur Halbwertszeit wurde bereits die erste Hälfte der Photonen emittiert, die andere Hälfte folgt danach. In der nächsten Halbwertszeit sind wieder genauso viele Photonen zu erwarten wie in der darauf folgenden Restzeit. In der oberen Darstellung sind beide Achsen linear skaliert. Mit einer logarithmischen senkrechten Achse würden die e-Funktionen als Geraden erscheinen, eine solche Darstellung ist uns vertraut. Im unteren Teil des Bildes wird eine andere Transformation verwendet. Die Zeitachse wird so skaliert, daß jeweils gleiche Photonenzahlen pro Zeiteinheit erscheinen. Eine Transformation der Zeitachse t --> t’ gestattet uns dies, und damit wird erreicht, in Bild 5Ph-14 unten symmetrische Verhältnisse darzustellen, wobei mit dieser nichtlinearen



Zeitachse t’ in diesem anders skalierten Bild die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Photonenemission konstant ist. Dies erinnert an das Paradoxon des Zenon von Elea, den Wettlauf mit der Schildkröte und mit einer ähnlichen gedanklichen Zeitkompression.

tn = n * τ ; t’n= ∑=

n

i 0

( 1 / 2 n ) [ 5-20 ]

Bei vier emittierten Photonen kann man dann erwarten, daß zwei in der ersten Hälfte und zwei in der zweiten Hälfte auftreten. Allerdings tritt durch das Schrotrauschen eine Unsicherheit mit der Wurzel aus der Anzahl der Photonen auf : 4 +-2 bedeutet, daß anstatt der gleichmäßigen Verteilung 2 : 2 auch 3 : 1 oder 1 : 3 als Verteilung wahrscheinlich wäre. Die Abklingzeit τ’, die wir aus der zeitlicher Struktur entnehmen können, ist also mit einer Unsicherheit behaftet und man kann nur drei Zeitbereiche unterscheiden, Bild 5Ph-14 oben:

I. den Zeitbereich vor der Abklingzeit II. den Zeitbereich, in den die Abklingzeit fällt III. den Zeitbereich später

Bild 5Ph-14 Bestimmung der Halbwertszeit bei verschiedenen Photonenzahlen. Das gesamte Intervall 0 =< t’ =< 2 ist mit 4 Photonen in drei Klassen aufteilbar, mit 16 schon in fünf



Mit neun Photonen ist bereits eine genauere Klassifizierung möglich, die Abklingzeit ist mit +-3 Photonen im Bereich zwischen dem dritten und dem siebten Photon, Bild 5Ph-14 mitte ; in Bild 5Ph-14 unten mit sechzehn Photonen und +-4 Photonen zwischen dem sechsten und elften Photon ist die zeitliche Struktur noch genauer definiert. Die Genauigkeit, mit der die Abklingzeit bestimmt werden kann, wächst mit der Wurzel der Zahl der Photonen und überträgt sich entsprechend auf die Impedanzbestimmung. Damit ist klar, daß nicht das einzelne Photon die Information der Halbwertszeit trägt, sondert diese Art Information erst als Mittelung der Beziehungen vieler beobachteter Photonen untereinander existiert. Das einzelne Photon trägt die Information des Ortes und der Zeit der Beobachtung, wir leiten andere Größen durch Beobachtung zahlreicher Photonen und passende Integration ab, im allgemeinen bei Verminderung der Menge der gesamten Information; dieses Problem wird in Kapitel 7 ausführlicher behandelt. Eine elektrische Impedanzmessung durch Zählen von Elektronen und magnetischen Flußquanten hat übrigens die gleiche Konsequenz, s. Kapitel 2, erst über die großen Zahlen kann eine große Genauigkeit erreicht werden. Die abzählbaren Größen sind durch das Schrotrauschen charakterisiert. Eine der Interpretationen des Bildes 5Ph-4 ist damit auf folgende Weise möglich : die Abklingzeit ist gekoppelt an die oben diskutierte Reflexion und zwar durch das Verhältnis der unterschiedlichen Impedanzen. Einer Abklingzeit entspricht also das Verhältnis zweier verschiedener Impedanzen. Die Erweiterung um eine Zeitklasse in Bild 5Ph-14 entspricht daher zwei neuen Impedanzwerten in Bild 5Ph-4. Das Ergebnis der Betrachtung zur Abklingzeit übertragen auf die Impedanz zeigt, daß die Impedanz ebenfalls nur mit einer Genauigkeit bestimmt werden kann, die durch die Anzahl der bei der Messung berücksichtigten Quanten gegeben ist. Es muß an dieser Stelle erwähnt werden, daß die obigen Gedanken gelten, wenn man wirklich einen Überblick über den gesamten Abklingprozeß hat. Dies ist nach genügender Intensitätsabnahme oder kontrollierter Anregung der Fall, wenn man zum Beispiel weiß, wie viele Photonen insgesamt auf Grund der Anregung emittiert werden können. Wenn dies nicht bekannt ist, muß man die Zeitdifferenzen zwischen den einzelnen Photonen messen. Der mittlere zeitliche Abstand zwischen den Photonen wird sich bei jeder folgenden Halbwertszeit verdoppeln. Daraus läßt sich dann ebenfalls der Verlauf des Abklingens mit den oben diskutierten Grenzen der Genauigkeit rekonstruieren, die Ableitung einer e-Funktion ist eben wieder eine e-Funktion.



5.7. Photonen auf Leitungen Eine Möglichkeit, vom Verständnis des lokalisierten Photons zum freien Ausbreiten überzugehen, wäre es, den Resonator stückweise zu vergrößern. Dies soll hier geschehen, indem auf das in Kapitel 4 angesprochene Ausbreiten elektromagnetischer Felder längs Leitungen zurückgegriffen wird, damit bleibt das betrachtete Problem zunächst eindimensional. Bisher wurde in Bild 4 RC-23 ein Impuls mit der Energie zweier Photonen gezeigt, der sich längs einer Leitung ausbreitet. Im Unterschied zum normalen, optischen Photon zeigt ein solcher Impuls das elektrische und das magnetische Feld in einer ausgezeichneten Richtung, neben dem Wechselfeld gibt es einen Gleichanteil. Durch Reflexionen an einem Leitungsende ließen sich diese Richtungen umkehren, am offenen Ende das Magnetfeld und am kurzgeschlossenen das elektrische Feld. Ist es auch möglich, ein einzelnes Photon zu realisieren ? Um diese Frage zu klären, werden nun entsprechend der Überlegungen zu Bild 4 RC -21 und Bild 4 RC -22 zwei Teilstücke der Größe C’ mit entgegengesetzter Ladung aneinander gefügt, wie es in Bild 5Ph-15 zu sehen ist.

Bild 5Ph-15 Reflexion an den offenen Enden der λ / 2 -Leitungsstücken und daraus folgende Addition der Felder Sobald die Verbindung ( grün ) zwischen den Teilstücken hergestellt ist, breiten sich die Impulse wechselseitig aus und überlagern sich. Dies ergibt dann zeitweise ein Auslöschen der elektrischen ( gezeigt im grünen Bereich ) oder magnetischen Felder, das typische Verhalten eines λ / 2 -Schwingers. Die Zeit, in der eine elektromagnetische Welle die Länge a’ durchläuft ist T’. Die Periodendauer des ganzen Prozesses ist T = 4 T’. Wie oben ist auch hier die analoge Vorstellung nur Basis für das digitale Schalten der Felder. Aus der im Ansatz des Abschnitts {RC4} verwendeten Startladung von je zwei Elektronen pro Teilstück folgt, daß acht Photonen an dieser Schwingungsform beteiligt sind. Mit nur einem Elektron pro Teilstück wären allerdings nur zwei Photonen vorhanden.



Es ist möglich, in der Mitte dieses schwingungsfähigen Systems eine senkrechte leitende Ebene einzufügen, wie es Bild 5Ph-16 zeigt. Dann würden die elektromagnetischen Wellen dort reflektiert und jeweils in ihrer Hälfte mit der Länge a’ = λ / 4 bleiben. Die Periodendauer einer ganzen Schwingung wäre ebenfalls T = 4 T’. In jeder Hälfte wäre ein Photon, wenn mit einem Elektron pro Teilstück gestartet wird. Dann kann, ausgehend von einer statischen Situation ohne Drehimpuls mit zwei Photonen, deren Drehimpulse entgegengesetzt sind, der Impuls erhalten bleiben. Wegen der reflektierenden Ebene können wir ein Teilstück weglassen, es tritt dann als Spiegelbild virtuell in Erscheinung und kann mit den Ladungen in der Spiegelebene den für die Impulserhaltung nötigen Drehimpuls zur Verfügung stellen. Es ist also auch auf Leitungen möglich, ein einzelnes Photon zu realisieren.

Bild 5Ph-16 Reflektor ( Kurzschluß ) in der Mitte der λ / 2 - Leitung



5.8. Frequenzmischung Werden gleichzeitig Signale mit unterschiedlichen Frequenzen über nichtlineare Kennlinien verarbeitet, so entstehen zusätzliche Frequenzen. Der einfachste Fall einer quadratischen Kennlinie liefert zu zwei Sinussignalen verschiedener Frequenz deren Summen- und Differenzfrequenz hinzu. Diese Mischprodukte enthalten in Amplitude und Phase die Information der Ausgangssignale, für Rundfunk- und Fernsehempfang wird das „Überlagerungsprinzip“ seit fast 100 Jahren angewendet. Man kann daher durchaus fragen, ob ein mit kurzwelliger elektromagnetischer Strahlung aufgenommenes räumlich hochaufgelöstes Bild ( mit Licht oder sogar Röntgenstrahlung ) auf Radiowellen herabgemischt ohne Auflösungsverlust in Echtzeit übertragen werden kann, oder ob die große Wellenlänge der Radiofrequenzen die Auflösung reduziert. In Kapitel 7 wird klar werden, unter welchen Umständen die Information beim Mischen nicht verloren geht. Bei Licht bemerkt man sehr deutlich den Unterschied zwischen der Strahlung, die kohärent ist und mit der man Interferenzen erzeugen kann, und solcher, die inkohärent solche Effekte behindert. Im kohärenten Fall ( z.B. beim Laser ) sind die Wellen in Phase, d.h. die elektromagnetischen Felder verschiedener Photonen sind gleich ausgerichtet und zeigen den gleichen zeitlichen Verlauf, im zweiten Fall ( bei der Glühlampe ) dominiert die Unregelmäßigkeit. In unserem Koordinatensystem macht sich der Unterschied so bemerkbar, wie es Bild 5Ph-17 zeigt. Im kohärenten Fall addieren sich alle Komponenten mit einer gemeinsamen Richtung, inkohärente Komponenten arrangieren sich zufällig, so daß eine Fläche um den Nullpunkt herum am wahrscheinlichsten ist.

Bild 5Ph-17 Kohärente (orange, die Felder addieren sich in Phase ) und ungeordnete Felder ( grün ) der Photonen



Wenn man zwei oszillierende Signale an einer quadratischen Kennlinie mischt, entstehen nur die Summen- und die Differenzfrequenz. Dies zeigt die Simulation mit der kleinstmöglichen ( digital +-1 wie Bild 3 LC-3 ) Amplitude in Bild 5Ph-18, links die Eingangssignale und rechts das gefilterte niederfrequente Ergebnis des Mischens, die Sinusschwingung mit der Differenzfrequenz nach einer kurzen Einschwingphase. Die Eingangssignale haben nur die Amplitudenwerte 1, 0, -1, direkt nach dem Mischen kann maximal der Wert 4 = (1+1)² auftreten.

Bild 5Ph-18 Mischen zweier Oszillationen – Tieffrequente Differenz bei h = 1, elektrische Energie blau, Magnetenergie rot, Summe grün Das Filtern der niederfrequenten Differenzfrequenz erfordert ein Summieren über viele Perioden der Eingangsschwingungen. In der vorliegenden Simulation wurde dies zweimal durchgeführt, jeweils mit einer Zeitdauer, die ein Vielfaches der Periodendauer der beiden Eingangssignale war. Dadurch werden die Frequenzen der Eingangssignale vollständig herausgefiltert und es existieren im Ergebnis die Summen vieler Feldkombinationen unterschiedlicher Art, was sich in einer großen und fein strukturierten Amplitude des Mischproduktes zeigt. Dies ist gleichbedeutend mit einer Welle niederfrequenter Schwingungen mit vielen Photonen, die in Phase schwingen. Aus wenigen hochenergetischen Photonen werden beim Mischen viele niederenergetische gebildet. Daher ergibt sich der klassische sinusförmige Verlauf des Mischproduktes. Mit je zwei Photonen am Eingang entsprechend Bild 3LC-4, hat sich ausgangsseitig in Bild 5Ph-19 bis auf den Einschwingvorgang nur die Amplitude geändert. Interessant ist vielleicht auch, daß der Ansatz mit eingangsseitig zwei stehenden Wellen ( Magnet- und elektrisches Feld wechseln sich ab ) als Ergebnis die laufende Welle mit beiden Feldern in Phase hat. Dies ist aber zwingend, weil das elektrische und das magnetische Feld der beiden Eingangssignale sich



dann jeweils addieren, wenn sie in Phase auftreten, und auslöschen, wenn sie beide gleichzeitig gegenphasig aufeinandertreffen.

Bild 5Ph-19 Mischen zweier Oszillationen – Tieffrequente Differenz bei h = 2, elektrische Energie blau, Magnetenergie rot, Summe grün. Wenn die Energie eines hochfrequenten Schwingungsquants E1 = h * f 1 auf mehrere tieffrequentere N * E2 = E1 = N * h * f 2 verteilt wird, so sind dort innerhalb der Periode des tieffrequenten mehr Feldkombinationen möglich. Die wenigen Feldzustände des hochfrequenten Signals pro Periode aber dafür mit vielen Perioden innerhalb der Beobachtungszeit sind gleichwertig den vielen Amplitudenwerten des tieffrequenten Mischprodukts. Es gibt jetzt zwei extreme Möglichkeiten : Im inkohärenten Fall wird die Energie auf eine Fläche um den Koordinatenursprung verteilt, grüne Fläche in Bild 5Ph-17. Das passiert, wenn die Phasenlage nicht festgehalten ist. In der Wirkungsebene entspricht die Energie für eine feste Periode T der Fläche ~ R² ( R Radius ), die Anzahl der Feldzustände der Peripherie nähert sich zumindest für große Radien dem Umfang ~ R . Die Unsicherheit und damit das Verhältnis Signal zum Rauschen entspricht daher dem des Schrotrauschens, S / R ~ N1/2. Im kohärenten Fall addieren sich die Felder gleicher Phase und die am Ende der linienartigen Struktur auftretenden Feldzustände sind in Ihrer Anzahl proportional zur Energie ( die Feldrichtung aller Photonen zueinander bleibt gleich ), orange in Bild 5Ph-17. Der Umfang ( die Anzahl der durchlaufenen Feldkombinationen ) ist proportional zum Radius ( der in diesem Fall der Energie des Signals entspricht ). Die Informationsinhalt ist in der Wirkung H enthalten und entweder in vielen Perioden ( N * T1 ) der grobgerasterten hochfrequenten Schwingung E1 = h / T1 oder in der tieffrequenten E2 = h * T2 mit der besseren Auflösung in Amplitude und Phase. H = E1 * ( N * T1 ) = E1 * T2 = ( N * E2 ) * T2 [ 5-21 ] Beim Mischen kann gegebenenfalls die zeitliche oder räumliche Information vom Ausgangssignal auf das Mischprodukt übertragen werden, wenn man Amplitude und Phase auswertet, allerdings ist dies durch das Integrieren beim Filtern eingeschränkt, siehe Kapitel 7.



{Ph -1} Eigenschaften des lokalisierten Photons Die Kraft zum Vergrößern oder Verkleinern der Resonatorlänge Wenn im Resonator Bild 5Ph-21 ein Photon ist, so kann dessen Frequenz durch Verschieben eines Spiegels verändert werden. Damit ändert sich auch seine Energie E = h * f . Die dafür nötige Arbeit muß mechanisch geleistet werden. Wenn man eine infinitissimale Längenänderung ε betrachtet Länge λ/2 -> λ/2 + ε [ 5-22 ] ergibt sich die Änderung der Frequenz f = c/ λ -> f + δ = c / ( λ + 2ε ) [ 5-23 ] und die der Energie : E = h * f -> E’ = h * ( f + δ ) = h * c / ( λ + 2ε ) [ 5-24 ] Die mit der Frequenzverschiebung verbundene Änderung der Energie ist ΔE = E’ - E = h * c / ( λ + 2ε ) - h * c/ λ = h * c * (λ −( λ + 2ε ) ) / (λ ( λ + 2ε )) = h * c * 2ε / (λ * λ + 2ελ ) = ∼ h * c * 2ε / (λ * λ) = 2 ∗h * f² * ε / c [ 5-25 ]

Bild 5Ph-21 Kraftaufwand zum Verschieben des Resonatorspiegels Die Längenänderung ε erfordert die Kraft K ( ΔE = K * ε ) K = ΔE / ε = 2 * h * f² / c = 2 * h * c / λ ² [ 5-26 ] Die Kraft ist die Ableitung des Impulses nach der Zeit ( K = dp / dt ) und durch Integration folgt der bekannte Impuls des Photons p = ∫Kdt = K * T / 2 = K / 2f = h * f / c [ 5-27 ]



{Ph -2} Das Photon im Resonator Die Kapazität C ändert sich mit den Abmessungen des Kondensators, im Fall des betrachteten Resonators in Bilde 5Ph-2 skaliert sie mit der Wellenlänge, denn die Kapazität steigt mit der Elektrodenfläche A ~ λ ², und nimmt ab mit dem Elektrodenabstand d ~ λ und speziell im Hohlraumresonator des Bildes 5Ph-2 mit A = λ ² / 4, d = λ / 2 kann man unter Annahme eines die inhomogene Feldgeometrie berücksichtigen Korrekturfaktors g für den statischen Fall abschätzen C = ε εo * g * A / d = ε εo * g * λ ²/ λ = ε ε o * g * λ / 2 = ε ε o * g * c / 2 f [ 5-28] und für das elektrische Potential im Photon gilt im Hohlraumresonator U² = 2 * E / C = 4 * h * f ² / ( ε ε o * g * c ) [ 5-29 ] U = 2 * f * ( h / ( ε ε o * g * c ) ) 1/2 und wegen Q = C * U gilt mit [ 5-28 ] und [ 5-29 ] Q = ( h * ε ε o * g * c ) 1/2 [ 5-4 ] also unabhängig von der Frequenz f ! Die Energie wechselt zwischen der des elektrischen Feldes E = Q * U / 2 = Q² / 2C und der des magnetischen E = L * I²/2 = Φ² / 2L. Bei einer Impedanz ZRes = Φ / Q = ( L/C ) 1/2 des Resonators, die von der Frequenz unabhängig ist, ergibt sich der entsprechende magnetische Fluß Φ = ZRes * Q [ 5-5 ] Aus dem Zusammenhang zwischen der Frequenz f und den Größen L*C : 1/ f ² = T² = 4π ² * L*C und der Lichtgeschwindigkeit c² = 1 / ( µo* εo ) ergibt sich durch Einsetzen Φ = ( h * c * µ µ o / ( g * π ² ) ) 1/2 [ 5-5 ] ebenfalls unabhängig von der Frequenz f !



{Ph-3} Photon und Vakuumimpedanz Diese Frequenzunabhängigkeit in den Gleichungen [ 5-4 ], [ 5-5 ] nach {Ph -2} ist eine bisher nicht beachtete Tatsache, nun ist die Frage natürlich, wie groß diese Ladung und der magnetische Fluß sind. Das Produkt aus zunächst statisch angenommener Ladung und Fluß wäre ebenfalls von der Frequenz unabhängig und ergibt Q * Φ = h / π . In Kapitel 3 wurde gesehen, daß der für statische Verhältnisse geeignete Faktor π im dynamischen Fall durch den Faktor 2 ersetzt werden muß. Die Impedanz Z ist der Quotient des elektrischen zum Magnetfeld Z = E / H = Φ / Q = ( L/C ) 1/2 [ 2-8 ] und im Vakuum gilt bekannterweise Zo = (µ o/εo ) 1/2 [ 4-29 ] Jetzt kann man versuchen, die Ladung und den Magnetfluß für Wellen im Vakuum mit Z0 und wohl auch schwach lokalisiert zwischen zwei sich in großem Abstand befindlichen parallelen Spiegeln abzuschätzen. Es gelten die Energiebeziehung m²*Φo² / 2L = n²*e² / 2C,[ 3-11 ], die Impedanzgleichung Z = Φ / Q = ( L / C)½ ,[ 3-10 ] , und für das Photon E = h * f = h / T = h / (4 π ² * L * C )1/2 [ 3-14 ], woraus für n² folgt n² = h / ( π * e² * Z ) [ 5-30 ] und wenn man in Richtung n auflöst, wie in Kapitel 3 betrachtet, sind die statischen Energien zu groß und für den dynamischen Fall muß π durch 2 ersetzt werden : n = ( h / ( 2 * e² * Z ) )1/2 [ 5-31 ] und mit Z = Zo = (µ o/εo ) 1/2 ,[ 5-9 ] gilt n² = h / ( 2 * e² * ( µ o / ε o ) 1/2 ) = h * c * ε o / ( 2 * e²) = 1 / ( 4 * α ) [ 5-32 ] mit 1 / α = 2 * ε o * h * c / e² = 137,0388 ,[ 5-11 ] der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante. In Zahlen ist n n = 1 / ( 4 * α ) 1/2 ~ 5,853 [ 5-33 ] bezogen auf die Planckladung qp qp = ( 2hc ε o ) 1/2 [ 5-34 ] n * e = qp / 2 [ 5-35 ] keine ganze Zahl, aber mit dem markanten Faktor 1/2, oder nach m aufgelöst m² = h* Zo / ( 2 * Φ o²) = 4 e² * Zo / ( 2 * h) = 4 e² / ( 2 * c * ε o * h)



m = 2 * e / ( h * c * ε o * 2 ) ½ = ( 4 * α ) 1/2 = ( h * Zo / 2 ) 1/2 / Φ o [ 5-36 ] m = 2 * α1/2 ~ 0,1708 deutlich kleiner als 1. An dieser Stelle liegt die Frage nahe, ob sich ein gequantelter magnetischer Fluß in der sich ausbreitenden elektromagnetischen Welle speziell bei kleinen Amplituden bemerkbar macht. Eine Antwort darauf wird in Kapitel 8 versucht.



{Ph-4} Mechanisch-elektrische Analogien, die mechanischen Quanten Bei der analogen mathematischen Beschreibung mechanischer und elektromagnetischer Probleme entsprechen Massen M und Federn ( die Federkonstante ist mit der Steifigkeit s oder der Nachgiebigkeit ng = 1 / f beschrieben ) Spulen L und Kondensatoren C. Für die Energie gilt entsprechend dem elektrischen Fall der Gleichungen für gespeicherte elektrische EC = e²/2C oder magnetische Energie EL= Φo²/2L mit der Geschwindigkeit v, der Auslenkung x, dem Impuls p, der Amplitude A“ und der Kraft F für die kinetische Energie E kin = M * v ² / 2 = p ² / 2 M [ 5-37 ] und die potentielle Energie E pot = f * x ² / 2 = x ² / 2ng [ 5-38 ] mit E pot = f * A“ ² / 2 bei maximaler Auslenkung. Beim harmonischen Oszillator gilt ω ²= 4π ² * f ² = f / M = 1 / ( ng * M ) [ 5-39 ] T ² = 4π ² * ng * M [ 5-40 ] Betrachtet man analog zum Hohlraumresonator im elektrischen Fall ein lokalisiertes Phonon in der Mechanik, z.B. die Resonanz eines Wasserstoffatoms schwingend in der Umgebung schwerer Atome. Dann erfolgt keine Strahlungsbedämpfung, da die Resonanzfrequenz des leichten Atoms oberhalb der Frequenzen liegt, die sich akustisch in einem kristallinen Wirt ausbreiten können. Es ist bekannt, daß die Schwingungen von Atomen und Molekülen bei tiefen Temperaturen ausfrieren, d.h. nicht mehr angeregt werden, wenn die thermische Energie (kB Boltzmannkonstante, T Temperatur ) E th = kB T < h * f [ 2-26 ] ist. Mit der Quantelung der Energie ist natürlich auch verbunden, daß nicht jeder Wert der Amplitude und Geschwindigkeit auftritt. Ziel der Überlegung soll es sein, die im elektromagnetischen Fall beobachteten Eigenschaften zu übertragen, gibt es auch mechanisch Quanten analog zur elektrischen Ladung und dem magnetischen Fluxon ? Nach obiger Analogie, egal welche Zuordnung der mechanischen und elektrischen Energien gewählt wird, entsprechen die Ladungen Q und magnetischen Flüsse Φ den mechanischen Größen einer Länge θ ( einer Auslenkung ) ng * F = θ [ m ] [ 5-41 ] und eines Impulses p M * v = p [ kg m / s ] [ 5-42 ]



und für gleichartig gequantelte Größen wie in der Elektrizität mit e und Φo würde gemäß Gleichung [ 3-11 ] mit einem Längenquant Θ gelten E = h * f = n² * Θ ² / 2ng [ 5-43 ] und einem Impulsquant Π E = h * f = m² * Π ² / 2M [ 5-44 ] und entsprechend dem Bezug zwischen dem Wirkungsquant, der Elementarladung und dem magnetischen Flußquant h = 2e * Φo , [ 2-1 ], mit der Einheit [ Nms ] Π = h / 2 Θ [Ns] [ 5-45 ] Θ = h / 2 Π [m] [ 5-46 ] Aus den Gleichungen [ 5-43 ] und [ 5-44 ] folgt Θ ² / ng = Π ² / M [ 5-47 ] Π ² = M * Θ ² / ng [ 5-48 ] und [ 5-43 ]², [ 5-44 ]² eingesetzt m * Θ ² / ng = h ² / 4 Θ ² [ 5-49 ] Θ 4 = ng * h² / ( 4 * M ) [ 5-50 ] Θ ² = h * ( ng / M ) ½ / 2 [m²] [ 5-51 ] Π ² = h * ( M / ng ) ½ / 2 [N²s²] [ 5-52 ] Für die elementaren Größen der Phononen, mit Θ als Amplitudenquant und Π dem Impuls-Quant, gilt also eine Abhängigkeit von der Materie, in der sich die Phononen ausbreiten. Masse und Federwirkung, also die Energieträger des Phonons, gehen in die Quanten ein und zwar als Kombination der Schallgeschwindigkeit vs und Atommasse M, die im Schallwellenwiderstand Zs zusammengefaßt erscheinen. Dies gilt so für die lineare Kette ( mit dem Atomabstand a ) ! vs = a*(s/M)½ = a*( 1/ M *ng ) ½ = s * a * ( 1 / { M *f}) ½ [ 5-53 ] Zu beachten ist für den allgemeinen Fall, daß die Federkonstante s sich mit dem Querschnitt A eines die Welle leitenden Stabes ändert, f ~ A. Die Schallkennimpedanz Zs ist nicht äquivalent zur elektrischen Impedanz, da sie sich auf den Schalldruck p und nicht auf die Kraft F bezieht. Äquivalent zur elektrischen Impedanz Z = E/H ist die mechanische Impedanz Zm ( mit der Schallschnelle v ) Zs = p / v [ 5-54 ]



Zm = F / v = Zs * A [ 5-55 ] Zm = ( M * f ) ½ = ( M / ng ) ½ [ 5-56 ] Für eine dem Klitzingwiderstand Rk entsprechende mechanische Größe Wk gilt mit E = θ ² / 2ng = p ² / 2 m analog zu Rk = 2 * ( Φ o / e ) in Gleichung [ 2-2 ] Π / Θ = F / v = Zm = Wk / 2 [ N s / m ] Wk = 2 * ( M / ng ) ½ = 2 Zm [ N s / m ] [ 5-57 ] Während im elektrischen Fall die Quanten e und Φo ( zumindest für Vakuum ) allgemein existent sind, sind die mechanischen Quanten materialabhängig von Zm. Natürlich erwartet man, daß aus der gequantelten Energie definierte Amplituden und Impulse folgen. Diese sind nun bei gleichartigen Randbedingungen auch für die Phononen frequenzunabhängig. Π = ( Zm * h/2 ) ½ [Ns] [ 5-12 ] Θ = ( 1/Zm * h/2) ½ [m] [ 5-13 ]



{Ph-5} Impedanzanpassung, Reflexion und Transmission Der Übergang elektromagnetischer Wellen aus einem Bereich der Impedanz ZR = R1 in eine Umgebung mit der Impedanz ZU = R2 ist durch das Impedanzverhältnis VZ = ZR / ZU charakterisiert. Der reflektierte Anteil ist durch den Reflexionsfaktor Re gegeben, der durchgelassene Anteil durch den Transmissionsfaktor Tr. Es gilt Re = (VZ-1) / (VZ+1) [ 5-58 ] Tr = 1 – Re [ 5-59 ] Seien die Impedanzen ZR = (m1/n1)* {Rk/2} ; ZU = (m2/n2)* {Rk/2} , dann ist ihr Verhältnis VZ = ZR / ZU = ( m1/n1) / (m2/n2) = ( m1 * n2 ) / ( m2 * n1 ) [ 5-17 ] und für Reflexion und Transmission gilt Re = [ ( m1 * n2 ) / ( m2 * n1 ) – 1 ] / [ ( m1 * n2 ) / ( m2 * n1 ) + 1 ] = [ ( m1 * n2 ) - ( m2 * n1 ) ] / [ ( m1 * n2 ) + ( m2 * n1 ) ] = (m1*n2)/[(m1*n2) + (m2*n1)] - (m2*n1)/[(m1*n2) + (m2*n1)] = ( m1 * n2 - m2 * n1 ) / ( m1 * n2 + m2 * n1 ) [ 5-60 ] Tr = 1 – |Re| = [ 2 (m1*n2)] / [(m1*n2) + (m2*n1)] [ 5-19 ] oder an der gleichen Stelle für Wellen in der anderen Richtung Tr = 1 – |Re| = [ 2 (m2*n1)] / [(m1*n2) + (m2*n1)] [ 5-19a ] Die schon oben gezeigte Tabelle 5-3 gibt an, wie sich die von der Quelle mit der Impedanz ZR = (m1/n1)* {Rk/2} gelieferten Flußquanten Φo und Elementarladungen e auf den reflektierten und den durchgelassenen Anteil aufspalten. Quelle Reflexion Transmission Φ o

( m1 * n2 ) + ( m2 * n1 ) * m1 = Ql Φ

[( m1 * n2 ) - ( m2 * n1 )] * m1 = Rf Φ

Qm+-Rfm = Tr Φ

e

( m1 * n2 ) + ( m2 * n1 ) * n1 = Ql Q

[( m1 * n2 ) - ( m2 * n1)] * n1 = RfQ

Qe+-Rfe = TrQ

m/n m1/ n1 m1/n1 m2/n2 Tabelle 5-3 Verteilung der Quanten der Quelle auf reflektierte und transmittierte Wellen.



In Tabelle 5-4 werden verschiedene Beispiele für unterschiedliche Impedanzverhältnisse betrachtet. Das Verhältnis m1/n1 charakterisiert die Impedanz des Quellbereiches, m2/n2 die der Umgebung. Beim diesem Reflexionsvorgang können Quanten entstehen, allerdings dann auch mit gleicher Anzahl bei entgegengesetzten Vorzeichen, ein Effekt, der auch schon in Kapitel 4 bei Bild 4 RC -16 ff gesehen wurde. Die Summe der Ausgangsquanten bleibt bei der Reflexion erhalten, genauso wie die Menge der damit vermittelten Informationsmenge. Die in der Spalte „Erzeugte Quanten“ sollte daher die gleiche Information tragen - sie sind verschränkt. ZR = (1/1)* {Rk/2} ; ZU = (2/1)* {Rk/2} Quelle Reflexion Transmission Erzeugte Quanten Φ o

3

- 1

4

-1 +1

e

3

1

2

Δm/ Δn 1/1 1/1 2/1 ZR = (2/3)* {Rk/2} ; ZU = (4/5)* {Rk/2} Quelle Reflexion Transmission Erzeugte Quanten Φ o

44

- 4

48

-4 +4

e

66

6

60

Δm/ Δn 2/3 2/3 4/5 ZR = (5/4)* {Rk/2} ; ZU = (2/3)* {Rk/2} Quelle Reflexion Transmission Erzeugte Quanten Φ o

115

35

80

e

92

-28

120

-28 +28

Δm/ Δn 5/4 5/4 2/3 Tabelle 5-4 Beispiele des Verteilens der Quanten der Quelle auf reflektierte und transmittierte Wellen.



{Ph-6} Mehrere Photonen Beim oben behandelten Mischen trat der Effekt auf, daß zwei Photonen sich überlagern. Ohne die nichtlinearen Effekte, die bei der Quadratur dazu führen, daß das Vorzeichen der Feldrichtungen ignoriert wird, tritt bei der Überlagerung zunächst die in Bild 5Ph-22 gezeigte Überlagerung auf.

Bild 5Ph-22 Überlagerung von zwei Photonen, mögliche Feldkombinationen für einen von vier Fällen. Zu einer der vier Feldkombinationen des roten Photons addieren sich die Komponenten des zweiten, blauen. Die Wirkung jedes einzelnen ist h, die Summe beider also 2h. Von in Bild 5Ph-23 gezeigten Kombinationen mit der Grundfläche 2h ist die ganz rechte schon aus Bild 3LC-4 bekannt. Dies ist die energetisch unproblematischste Kombination, die Fälle gleichzeitig zweier Ladungen und Flußquanten treten nicht auf und damit auch nicht die dabei zu erwartenden hohen Energiewerte. Diese sind entsprechend obigen Überlegungen nicht ausgeschlossen, aber doch entsprechend unwahrscheinlich. In den vier links gezeigten Kombinationen treten sie auf. Bei zwei Photonen gleicher Frequenz läßt sich das durch eine geeignete Phasenlage vermeiden, nicht aber beim Überlagern von Photonen verschiedener Frequenz, bei denen sich die Phasenlage zueinander ständig verschiebt.

Bild 5Ph-23 Verschiedene Kombinationen von zwei Photonen bei unterschiedlicher Phasenlage.



Beim oben betrachteten Mischen zweier Oszillatoren hoher Frequenz ( f1 , f2 ) und mit nur einem Photon treten diese Kombinationen im Laufe der Zeit ( vieler Perioden T1 = 1 / f1 , T2 = 1 / f2) irgendwie nacheinander auf. Nach der nichtlinearen Abtastung der Feldzustände wird das niederfrequente ( fN = f1 - f2 ) Mischprodukt separiert, indem über viele Feldkombinationen [ ( m1i , n1i ) + ( m2i , n2i ) ]² integriert wird. Diese Integration findet zeitlich statt und summiert über viele nacheinander auftretende Einzelkombinationen [ ( m1 , n1 ) , ( m2 , n2 ) ], die im Rahmen einer hochfrequenten Abtastung ( nach obigen Überlegungen kann man die hochfrequenten Schwingungen in mehr als vier unterscheidbare Feldkombinationen zerlegen ) nicht gleichzeitig vorhanden sind, also nicht einfach interferieren. Bei optimaler Filterung wird ein Zeitfenster TF = TN / 2 der halben Periodendauer ( TN = 1 / fN ) der Differenzfrequenz zum Addieren aller in dieser Zeit aufgetretenen Feldbeträge ! benutzt. Dabei wird die Information des Zeitpunkts ti der Abtastung der einzelnen Werte zunächst ignoriert. Dieses große Fenster wird aber mit dem kleinen Zeitraster der hochfrequenten Abtastung weitergeschoben, so daß die mit der Zeitauflösung verbundene Information nicht verloren gehen muß, wie in Kapitel 7 beschrieben.

Bild 5Ph-24 Mischung der Frequenzen f1 und f2 sowie Differenzfrequenz fN = f1 - f2 mit mehr Photonen von entsprechend kleinerer Energie.



{Ph-7} Zur Feinstrukturkonstante Wenn man in die Formel der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante 1 / α = 2 * ε o * h * c / e² [ 5-11 ] für h = 2 e * Φo und c = 1 / ( µo* εo )1/2 einsetzt, ergibt sich daraus das Verhältnis des zweifachen Klitzingwiderstandes Rk = 2 Φo / e mit der Vakuumimpedanz Z0 = ( µ o /εo ) ½ , [ 5-9 ], 1 / α = 2 * Rk / Z0 [ 5-71 ] also als Verhältnis des Widerstandes, der mit einem realen Ladungstransport verbunden ist ( bei vier magnetische Flußquanten pro Elektron ) zu der Impedanz, die für das Ausbreiten materieloser elektromagnetischer Wellen bestimmend ist. Nach Kapitel 4.1.2. bedeutet dies, daß es für die den Strom tragenden Ladungspakete im Vakuum 1 / 2α - mal so viele Möglichkeiten des Weges gibt wie im lokalisierten Stromfluß beim Klitzingwiderstand. Setzt man in Gleichung [ 5-71 ] die elementaren Größen für die Impedanzen ein, so folgt (der Faktor 2 wird an dieser Stelle bereits so gesetzt, wie es sich für Kapitel 9 dann schlüssig ergibt ) 1 / 2α = ( 2Φo / e ) * 1 / ( µ o/εo ) ½ = ( 2Φo / µ o

½ ) / ( e / εo

½ ) [ 5-72 ] ein Quotient aus magnetischen und elektrischen Größen jeweils mit der Einheit [ ( VAms )1/2 ]. Dies sind Wurzeln aus Energie mal einer Weglänge. Eine Größe mit der Einheit Energie mal Zeit ist als „Wirkung“ bekannt, Energie multipliziert mit einer Raumkoordinate ist in physikalischen Beschreibungen nicht üblich. Ein teilweise raumbezogenes hx ergibt sich, wenn man die Planckkonstante h mit der Lichtgeschwindigkeit c multipliziert. hx = h * c = 1,9865 * 10-25 [ Nm² ]= [ VAms ] [ 5-73 ] Im obigen Quotienten [ 5-72 ] enthalten Zähler und Nenner die elektromagnetischen Feldquellen geteilt durch die Wurzel der Naturkonstanten, die die jeweilige elektromagnetische Größe mit raumzeitlichen Größen verbinden. Aus den Quadraten der Klammern in [ 5-72 ] lassen sich dann analog zu [ 5-73 ] Geschwindigkeiten herleiten, und zwar „magnetisch“ vM = 4 Φo² / ( h * µ o ) = c / 2α [ 5-74 ] und „elektrisch“ vE = e² / ( h * εo ) = 2α * c [ 5-75 ] , auf die in Kapitel 8 noch einmal Bezug genommen wird. Ihr geometrischer Mittelwert ist die Geschwindigkeit c der elektromagnetischen Wellen und (2α)² der sie vergleichende Faktor. c = ( vM * vE )1/2 [ 5-76 ] vE / vM = ( 2 α )² [ 5-77 ]



Schon Feynman erwähnt, wie viele Versuche es gibt, die Größe der Feinstrukturkonstante zu verstehen. Aus vorherigen Formeln ergibt sich im Übrigen auch, wenn man die Energie eines kubischen Kondensators geladen mit einem Elektron EC = e² / 2C , bei dem der Plattenabstand d gleich der Kantenlänge a der Elektrodenplatten ist, mit der Energie eines Photons EPh = h * f mit der Wellenlänge λ = d vergleicht, die Feinstrukturkonstante. EC = e² / 2C = e² * d / ( 2εo * a² ) = e² / ( 2εo * d ) [ 5-78 ] und EPh = h * f = h * c / λ = h * c / d [ 5-79 ] Damit liegt die Feinstrukturkonstante α bei gleichem Volumen als Verhältnis der Energien eines statischen Feldes zu der in der Schwingung des Photons vor. EC / EPh = e² / ( 2εo * h * c ) = α [ 5-80 ] Dies zeigt, welch vielfachen Zugriff es auf diese Naturkonstante gibt. Am sinnvollsten erscheint mir bisher allerdings neben dem Hinweis von Sommerfeld auf die Kombination von Naturkonstanten aus verschiedenen Disziplinen der Physik die Interpretation mit Gleichung [ 5-72 ]. Im Zusammenhang mit dem elektromagnetischen Quader, der in Kapitel 9 beschrieben wird, zeigt sich dann der vielfache Zusammenhang mit den elektromagnetischen Quanten und den anderen Naturkonstanten sehr anschaulich.

Die abzählbare Physik 5 Lokalisierte Photonen und Phononen

Documents

Transcript of Die abzählbare Physik 5 Lokalisierte Photonen und Phononen