1

บทท 3

ความหนาแนนของพาหะอสระทสภาวะสมดลเชงความรอน

กานนาไฟฟาของวสดสารกงตวนาขนอยกบจานวนของพาหะอสระซงมทงอเลกตรอนและ

โฮล กลาวคอ ถาจานวนอเลกตรอนในแถบนาหรอจานวนโฮลในแถบเวเลนซเพมขนในวสด

สารกงตวนานนจะทาใหการนาไฟฟาไดดยงขน ปรมาณความหนาแนนของพาหะอสระใน

วสดสารกงตวนาขนอยกบขนาดของชองวางแถบพลงงาน (Eg) ความหนาแนนของผให

(ND) ความหนาแนนของผรบ (NA) และอณหภมของวสดสารกงตวนาในขณะนน ทสภาวะ

สมดลเชงความรอน โอกาสทอเลกตรอนจะถกกระตนดวยความรอนเปนไปตามฟงกชนการ

แจกแจงของเฟอรม-ดแรก (Fermi-Dirac distribution function)

2

โดยท f(E) คอ โอกาสทอเลกตรอนจะอยไดทระดบพลงงาน E

k คอ คาคงทของโบลตซมนน (Boltzmann constant)

T คอ อณหภมในหนวย เควน

EF คอ ระดบพลงงานเฟอรม (Fermi energy level)

…..(1)

ระดบพลงงานเฟอรม (EF) หมายถง ระดบพลงงานทกาหนดสภาวะสมดลเชงความรอนของระบบ

ซงจะขนอยกบอณหภม และปรมาณของอเลกตรอนทงหมดในระบบ ดงนนในการพจารณาความ

หนาแนนของพาหะอสระทสภาวะสมดลเชงความรอน จงจะแยกพจารณาสาหรบกรณของวสด

สารกงตวนาทไมไดรบการเตมสารเจอปน และกรณของวสดสารกงตวนาทมการเตมสารเจอปนซง

ลกษณะไดอะแกรมแถบพลงงาน ความหนาแนนสถานะ การกระจายของฟงกชนเฟอรม-ดแรก

และความหนาแนนของพาหะอสระ ไดแสดงไวดงรปท 1 2 และ 3

3

รปท 1 แสดงลกษณะไดอะแกรมแถบพลงงาน ความหนาแนนสถานะ การกระจายของ

ฟงกชนเฟอรม-ดแรกและความหนาแนนของพาหะอสระ ตามลาดบ ของ วสดสารกงตวนา

แบบอนทรนสก

+ +

- -

Ev

Ec

E

Conduction Band

Valence Band

Eg Ef

Ec

Ev

Ef

EE E

N(E) F(E) n and p

p

n

ni = NCexp[(Ec-EF)/kT]

pi = NVexp[(EF-Ev)/kT]

0 0.5 1

4

รปท 2 แสดงลกษณะไดอะแกรมแถบพลงงาน ความหนาแนนสถานะ การกระจายของ

ฟงกชนเฟอรม-ดแรกและความหนาแนนของพาหะอสระ ตามลาดบ ของ วสดสารกงตวนา

ชนดเอน

-

+

- -

Ev

Ec

E

Conduction Band

Valence Band

Ef

Ec

Ev

Ef

EE E

N(E) F(E) n and p

p

n

ni = NCexp[(Ec-EF)/kT]

pi = NVexp[(EF-Ev)/kT]

ED

-

ND

10 0.5

5

-

+

- -

Ev

Ec

E

Conduction Band

Valence Band

Ef

Ec

Ev

Ef

EE E

N(E) F(E) n and p

p

n

ni = NCexp[(Ec-EF)/kT]

pi = NVexp[(EF-Ev)/kT]

EA

-

NA

0.50 1

รปท 3 แสดงลกษณะไดอะแกรมแถบพลงงาน ความหนาแนนสถานะ การกระจายของ

ฟงกชนเฟอรม-ดแรกและความหนาแนนของพาหะอสระ ตามลาดบ ของ วสดสารกงตวนา

ชนดพ

6

สภาพนาไฟฟาของวสดสารกงตวนา ขนกบความหนาแนนของพาหะอสระทเกดในวสดสารกง

ตวนา ซงแยกออกได ดงตอไปน

วสดการกงตวนาแบบอนทรนสก

สภาพนาไฟฟาของวสดสารกงตวนาแบบอนทรนสกจะเพมขนตามอณหภม

เนองจากอเลกตรอนในแถบเวเลนซจะถกกระตนดวยพลงงานความรอนขนไปยงแถบนาและ

ทงโฮลดวยจานวนทเทากนไวทแถบเวเลนซ

ถากาหนดให NC(E)dE เปนจานวนสถานะพลงงานในแถบนาตอหนงหนวย

ปรมาตรทมคาพลงงานอยระหวาง E และ E+dE ดงนนความหนาแนนของอเลกตรอนในแถบ

นาทมคาพลงงานอยระหวาง E และ E+dE ทอณหภม T ใดๆ จะมคาเทากบ

7

…..(2)

เมอ n(E)dE คอ ความหนาแนนของอเลกตรอนในแถบนาทมคาพลงงานอยระหวาง

E และ E+dE

NC(E) คอ ความหนาแนนของสถานะพลงงาน (density of state) ของแถบนา

ซงแสดงดวยสมการ

…..(3)

โดยท me* คอ มวลยงผล (effective mass) ของอเลกตรอนในแถบนา

คอ คาคงทของแพลงค (Plank constant)h

8

ดงนน ความหนาแนนของอเลกตรอนในแถบนาของสารกงตวนาอนทรนสก (ni) คอ

…..(4)

เมอ EC คอ สถานะพลงงานทขอบลางสดของแถบนา

Et คอ สถานะพลงงานทขอบบนสดของแถบนา

โดยการพจารณาวา ชองวางแถบพลงงานทมคามากกวาพลงงานความรอน (kT) มาก ดงนน

คดวาพลงงานในแถบนา ไมมสภาพซอนสถานะ(non degeneracy) จะไดวา ขอบเขตสงสด

ของการอนทรเกรตจะเปลยนจาก Et เปน +∞ ดงนนในสมการท (4) จะเปลยนเปน

…..(5)

9

แทนสมการท (3) ลงในสมการท(5) จะไดวา

…..(6)

ถากรณท แลวจะได

…..(7)หรอ

10

เมอ

จากสมการท 7 จะเหนวา คดเหมอนกบแถบนาเปนระดบพลงงานเดยวทมสภาพ

ซอนสถานะ (degeneracy) เทากบ NC

ในทานองเดยวกน การหาความหนาแนนของโฮล (pi) ในแถบเวเลนซของวสด

สารกงตวนาแบบอนทรนสก กจะหาไดดงน

หรอ …..(8)

11

โดยท EV คอ สถานะพลงงานบนสดของแถบเวเลนซ ซงในทนใชเปนระดบอางอง

mh* คอ มวลยงผลของโฮลในแถบเวเลนซ

ในสมการท (8) พบวา แถบเวเลนซเปนระดบพลงงานเดยวทมสภาพซอน

สถานะเทากบ NV และเมอนาสมการท (7) คณกบสมการท (8) จะได

…..(10)

…..(9)

เมอ Eg คอ ขนาดของชองวางแถบพลงงาน เทากบ EC-EV

12

ในสมการท (9) เรยกวา กฎของกรยาเชงมวล (law of mass action) ซงหมายถง ผลคณ

ของความหนาแนนของพาหะอสระทงสองชนดมคาคงท ทอณหภมใดอณหภมหนงโดยไม

ขนอยกบระดบพลงงานเฟอรม จะเปนไปตามสมการความสมพนธ

หรอ

…..(11)

…..(12)

จากสมการท (11) และ (12) จะเหนวา ทอณหภมศนยองศาสมบรณระดบพลงงานเฟอรม

(EFi) ของวสดสารกงตวนาแบบอนทรนสกจะอยทกงกลางของชองวางแถบพลงงานและจะ

เปลยนไปตามอณหภมเพยงเลกนอย

13

Homework 3.1

1) จงแสดงใหเหนวา ระดบพลงงานของเฟอรม (EF) ของวสดสารกงตวนา

แบบอนทรนสกทมชองวางของแถบพลงงาน (Eg) และอณหภมสมบร (T) ม

ความสมพนธตามสมการดงน

โดยท me* คอ มวลยงผลของอเลกตรอนในแถบนา

mh* ตอ มวลยงผลของโฮลในแถบเวเลนส

บทท 3 (ตอ)

ความหนาแนนของพาหะอสระทสภาวะสมดลเชงความรอน

วสดสารกงตวนาแบบเอกซทรนสกวสดสารกงตวนาแบบเอกซทรนสก

เมอมการเตมสารเจอปนลงในผลกสมบรณของวสดสารกงตวนา อะตอมของเมอมการเตมสารเจอปนลงในผลกสมบรณของวสดสารกงตวนา อะตอมของ

สารเจอปนเหลานจะกอใหเกดระดบพลงงานของสารเจอปน (impurity energy level)

ขนในชองวางแถบพลงงาน การเตมสารเจอปนลงในของวสดสารกงตวนา ทาใหเกดวสด

สารกงตวนาสองชนดคอ วสดสารกงตวนาชนดเอน ซงเกดจากเตมสารเจอปนเปนผให

และ วสดสารกงตวนาชนดพ ซงเกดจากเตมสารเจอปนเปนผรบ ดงทไดกลาวมาแลว

ถาสารเจอปนทปรากฏในวสดสารกงตวนามทงผใหและผรบ วสดสารกงตวนา

นนจะแสดงชนดการนาไฟฟา (conductivity type) แบบใดขนอยกบความหนาแนนของ

1พาหะขางมากกวา

เกดจากสารเจอปนชนดใด เมอมการเตมสารเจอปนลงไป ระดบพลงงานเฟอรมของวสดสาร

กงตวนานนจะปรบระดบเพอเขาสสภาวะสมดลเชงความรอน ดงนนความหนาแนนของ

โ ไ ใ พาหะอสระทงอเลกตรอนและโฮลจะหาไดในทานองเดยวกนกบวสดสารกงตวนาแบบ

อนทรนสก นนคอ

ความหนาแนนของอเลกตรอนในแถบนา

หรอ ….(13)

2

และความหนาแนนของโฮลในแถบเวเลนซและความหนาแนนของโฮลในแถบเวเลนซ

หรอ ….(14)

ไ จากกฎของกรยาเชงมวล จะไดวา

….(15)

จากสมการท 15 จะเหนวา ผลคณของความหนาแนนของพาหะอสระทงสองชนดมคาคงทท

โ ไ ใ อณหภมหนงโดยไมขนอยกบระดบพลงงานเฟอรม ถาความหนาแนนของพาหะชนดใดเพมขน

พาหะอกชนดตองลดลง ดงนนในผลกวสดสารกงตวนาทเปนผลกจรง (real crystal) จงม

พาหะขางมาก และพาหะขางนอย

3

พาหะขางมาก และพาหะขางนอย

จากเขอนไขความเปนกลางทางไฟฟาของระบบ ประจลบทเกดจากอเลกตรอนกบผรบทถกไอจากเขอนไขความเปนกลางทางไฟฟาของระบบ ประจลบทเกดจากอเลกตรอนกบผรบทถกไอ

ออไนซ (ionized acceptor) จะตองเทากบประจบวกทงหมดทเกดจากโฮลและผใหทถกไอ

ออไนซ (ionized donor) ดงสมการ

….(16)

….(17)

เมอ ND คอ ความหนาแนนของผให ND+ คอ ความหนาแนนของผใหทถกไอออไนซ

nd คอ ความหนาแนนของผใหทไมถกไอออไนซ NA คอ ความหนาแนนของผรบ

NA- คอ ความหนาแนนของผรบทถกไอออไนซ

ไ ไ ไ 4

na คอ ความหนาแนนของผรบทไมถกไอออไนซ

โดยท ….(18)

และ ….(19)

เมอ g คอ แฟคเตอรสภาพซอนสถานะทสถานะพนเมอ g คอ แฟคเตอรสภาพซอนสถาน ทสถาน พน

ED คอ ระดบพลงงานของผให

EA คอ ระดบพลงงานของผรบ

5

พาหะขางมากจะขนอยกบความหนาแนนของพาหะชนดอนทรนสก (intrinsic

carrier densities) จะยงมความเดนมากขน เมออณหภมสงขน ชวงอณหภมนเรยกวา

(i t i i i )ชวงอนทรนสก (intrinsic region)

สวนในชวงทอณหภมปานกลาง พาหะสวนใหญจะไดมากจากสารเจอปนทถก

ไ ไ ใ ไอออไนซทงหมด ทาใหความหนาแนนพาหะคงท เรยกชวงนวา ชวงเอกซทรนสก

(extrinsic region)

สวนในชวงอณหภมตาๆ ความหนาแนนของพาหะอสระ จะขนอยกบความ

หนาแนนของสารเจอปนของผใหทถกไอออไนซ ชวงนเรยกวา ชวงฟรซเอาท (freeze –

t i )out region)

6

รปท 1 กราฟความสมพนธระหวางความหนาแนนของอเลกตรอนกบสวนกลบ

ของอณหภม

7