คณตศาสตร เพมเตม ม.3 เลม1

บทท1 กรณฑทสอง

บทท2 การแยกตวประกอบของพหนาม

บทท3 สมการก าลงสอง

บทท4 พาราโบลา

บทท5 พนทผวและปรมาตร

คณตศาสตร เพมเตม ม.3 เลม1

บทท1 กรณฑทสอง

กรณฑทสอง

ทบทวนความรกนกอน

ความหมายของรากทสอง

1. เมอ 𝑎 แทนจ านวนจรงบวกใดๆ หรอศนย (เขยนแทนดวย 𝑎 ≥ 0)

รากทสองของ 𝑎 คอจ านวนทยกก าลงสองแลวได 𝑎

ตวอยาง

9 เปนรากทสองของ 81 เพราะ 92 = 81

-9 เปนรากทสองของ 81 เพราะ ……….....

1

2 เปนรากทสองของ

1

4 เพราะ ……….....

−1

2 เปนรากทสองของ

1

4 เพราะ ……….....

0.5 เปนรากทสองของ 0.25 เพราะ ……….....

-0.5 เปนรากทสองของ 0.25 เพราะ ……….....

2. เมอ 𝑎 เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ 𝑎 มสองรากคอ รากท

สองทเปนบวก ซงแทนดวยสญลกษณ √𝑎 (เรยกอกอยางหนงวา

กรณฑทสองของ 𝑎) และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวย

สญลกษณ −√𝑎 เมอ 𝑎 = 0 รากทสองของ 𝑎 คอ 0

ตวอยาง

รากทสองของ 4 มสองรากคอ √4 และ −√4

หรอ 2 และ -2

รากทสองของ 25

36 มสองรากคอ ........ และ .........

หรอ ........ และ .........

รากทสองของ 0.49 มสองรากคอ ........ และ .........

หรอ ........ และ .........

รากทสองของ 17 มสองรากคอ ........ และ .........

ในกรณทรากของสองของจ านวนเตมบวกไมเปนจ านวนเตม รากท

สองของจ านวนเตมบวกนนเปนจ านวนอตรรกยะ

3. เมอ 𝑎 เปนจ านวนจรงบวก (√𝑎)2 = 𝑎 และ (−√𝑎)2 = 𝑎

ตวอยาง

(√3)2 = 3

(−√54)2 = ...........

(√5

6)

2

= ...........

(√0.69)2

= ...........

รากทสองของแตละจ านวนตอไปนเทากบเทาใด

1. 36

2. 196

3. 50

4. 200

5. 16

81

6. 24

75

7. 0.16

8. 0.0049

คาสมบรณ

คาสมบรณของจ านวนใดๆ หาไดจากระยะทจ านวนนนอยหางจาก 0

บนเสนจ านวน เชน

จากเสนจ านวน 2.5 อยหางจาก 0 เปนระยะ 2.5 หนวย จงกลาววา

คาสมบรณของ 2.5 เทากบ 2.5

จากเสนจ านวน −3

4 อยหางจาก 0 เปนระยะ

3

4 หนวย จงกลาววา คา

สมบรณของ −3

4 เทากบ

3

4

คาสมบรณของจ านวนจรง 𝑎 ใดๆ ทไมเปนศนย เปนจ านวนจรงบวก

เสมอ และคาสมบรณของศนยเทากบศนย เขยนแทนคาสมบรณของ 𝑎

ดวย |𝑎|

เมอ 𝑎 > 0 คาสมบรณของ 𝑎 เทากบ 𝑎 เมอ 𝑎 < 0 คาสมบรณของ 𝑎

เทากบ – 𝑎 และเมอ 𝑎 = 0 คาสมบรณของ 𝑎 เทากบ 0

นนคอ |𝑎| = 𝑎 เมอ 𝑎 > 0

|𝑎| = −𝑎 เมอ 𝑎 < 0

|𝑎| = 0 เมอ 𝑎 = 0

เชน |8| = ..........

|−8| = ..........

|0| = ..........

กรณฑทสองของ 𝒂𝟐 เปนเทาไร?????

มาตอบค าถามกนกอน

1. √32 = 3 หรอไม

ตอบ

2. √32 เทากบคาสมบรณของ 3 หรอไม

ตอบ

3. √(−9)2 = √92 หรอไม

ตอบ

4. √(−9)2 = 9 หรอไม

ตอบ

5. √(−9)2 เทากบคาสมบรณของ -9 หรอไม

ตอบ

6. นองๆ คดวา เมอ 𝑎 เปนจ านวนจรงใดๆ √𝑎2 เทากบคาสมบรณของ

𝑎 หรอไม

ตอบ

√𝑎2 = |𝑎| เมอ 𝑎 เปนจ านวนจรงใดๆ

ตวอยางท 1 จงหา √36

ตวอยางท 2 จงหา −√81

ตวอยางท 3 จงหา √(−21)2

ตวอยางท 4 จงหา √225

289

ตวอยางท 5 จงหา √0.25

ตวอยางท 6 จงหา −√(−0.09)2

ตวอยางท 7 จงท า √4𝑥2 เมอ 𝑥 > 0 ใหอยในรปอยางงาย

ตวอยางท 8 จงท า √16𝑝2𝑞8 ใหอยในรปอยางงาย

ตวอยางท 9 จงท า √1.44𝑚4𝑛12 ใหอยในรปอยางงาย

1.1 สมบตของ √𝒂 เมอ 𝒂 ≥ 𝟎

จ านวนในรป √𝑎 เมอ 𝑎 ≥ 0 มสมบต 2 ขอ ดงน

1. √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏 เมอ 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0

2. √𝑎

√𝑏= √

𝑎

𝑏 เมอ 𝑎 ≥ 0, 𝑏 > 0

ตวอยางท 1 จงท า √8 ใหอยในรปอยางงาย

ตวอยางท 2 จงหาผลลพธของ √32 × √2

ตวอยางท 3 จงหาผลลพธของ √8

√2

ตวอยางท 4 จงหาผลลพธของ √81

625

ตวอยางท 5 จงหาผลลพธของ √𝑚4

25

ตวอยางท 6 จงหาคาประมาณของ √12 (ก าหนดให √3 ≈ 1.732)

ตวอยางท 7 จงหาคาประมาณของ 3√50 (ก าหนดให √2 ≈ 1.414)

ตวอยางท 8 จงหาคาประมาณของ √75

4 (ก าหนดให √3 ≈ 1.732)

มาชวยกนคด

นองๆ คดวา จากสมบต √𝑎

𝑏=

√𝑎

√𝑏 เมอ 𝑎 ≥ 0 และ 𝑏 > 0 ถา 𝑏 = 0 แลว

สมบตขอนจะยงเปนจรงรเปลา

1.2 การด าเนนการของจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสอง

เนองจากการบวกและการคณจ านวนจรงมสมบตการสลบท สมบต

การเปลยนหม และสมบตการแจกแจง ดงนนการบวกการคณในรป √𝑎 เมอ

𝑎 ≥ 0 กสมบตการสลบท สมบตการเปลยนหม และสมบตการแจกแจงดวย

กลาวคอ

สมบตการสลบทส าหรบการบวก

√𝑎 + √𝑏 = √𝑏 + √𝑎

เชน √2 + √5 = √5 + √2

√6.5 + √3 = ........................

สมบตการเปลยนหมส าหรบการบวก

(√𝑎 + √𝑏) + √𝑐 = √𝑎 + (√𝑏 + √𝑐)

เชน (√2 + √3) + √5 = √2 + (√3 + √5)

(√5 + √7) + √10 = ............................................

สมบตการสลบทส าหรบการคณ

√𝑎 × √𝑏 = √𝑏 × √𝑎

เชน √11 × √15 = √15 × √11

√17 × √9.3 = .............................

สมบตการเปลยนกลมส าหรบการคณ

(√𝑎 × √𝑏) × √𝑐 = √𝑎 × (√𝑏 × √𝑐)

เชน (√5 × √19) × √23 = √5 × (√19 × √23)

(√7 × √13) × √69 = ..............................................

สมบตการแจกแจง

√𝑎 × (√𝑏 + √𝑐) = (√𝑎 × √𝑏) + (√𝑎 × √𝑐)

และ (√𝑎 + √𝑏) × √𝑐 = (√𝑎 × √𝑐) + (√𝑏 × √𝑐)

เชน √2 × (√3 + √5) = (√2 × √3) + (√2 × √5)

(√3 + √7) × √11 = (√3 × √11) + (√7 × √11)

(√7 + √19) × √23 =

…………………………………………….

(√7 × √2) + (√7 × √3) =

……………………………………………..

ตวอยางท 1 จงหาผลบวกของ 2√2 + 4√2

ตวอยางท 2 จงหาผลบวกของ √27 + √12

ตวอยางท 3 จงหาผลลบของ √50 − √8

ตวอยางท 4 จงหาผลลบของ 3√20 − √500

ตวอยางท 5 จงหาผลลพธของ √450 + √200 − √72

ตวอยางท 6 จงหาผลบวกของ 7√12 + √75 − 15√27

ตวอยางท 7 จงหาผลลพธของ (2√5 + 3√7) − (2√7 − 3√5)

ตวอยางท 8 จงหาผลลพธของ (7 + √32) − (4 + √8)

ตวอยางท 9 จงหาผลคณของ √2 × √10

ตวอยางท 10 จงหาผลคณของ √12 × 2√3

ตวอยางท 11 จงหาผลลพธของ √3 × (√3 + √3)

ตวอยางท 12 จงหาผลลพธของ √2 × (√2 + √12)

ตวอยางท 13 จงหาผลลพธของ √3 × (√15 − √75)

ตวอยางท 14 จงหาผลลพธของ 2√6 × (3√6 − 2√24)

ตวอยางท 15 จงหาผลลพธของ 2√242

√18

ตวอยางท 16 จงหาผลลพธของ 6√1125

√20

ตวอยางท 17 จงหาผลลพธของ 5√3 × −4

√27

ในกรณทผลลพธทไดจากการด าเนนการเปนเศษสวนทตวสวนอยใน

รปกรณฑทสอง นยมท าใหตวสวนเปนจ านวนเตมดวยการคณทงตวเศษ

และตวสวนดวยตวสวนนน เชน

ตวอยางท 18 จงหาคาประมาณของ √25

2 (ก าหนดให √2 ≈ 1.414)

ตวอยางท 19 จงหาคาประมาณของ √50

3 (ก าหนดให √6 ≈ 2.449)

ตวอยางท 20 จงท า 2√5 + 3

√5 ใหอยในรปอยางงาย

ชวยกนคดหนอย

ซาราแกปญหาคณตศาสตรขอหนงไดค าตอบเปน 21√2 ซงไมตรงกบ

เฉลย จงใหสมชายชวยคดวาตนท าผดในขนตอนใด ทงสองคนพบวา ซา

ราท าผดในขนตอนสดทายดวยการน า √6 ไปคณ แทนทจะน าไปหาร

แสดงวาค าตอบทแทจรงของปญหานคออะไร

1.3 การน าไปใช

ตวอยางท 1 การเดนทางไกลของลกเสอหมหนงเปนไปตามผงดงรป เรม

ออกเดนทางจากจด A ไปทางทศเหนอ 7 กโลเมตร ถงจด B แลวเดนทาง

ตอไปยงทศตะวนออก 9 กโลเมตร ถงจด C จากนนไดเดนทางตอไปยงทศ

เหนออก 6 กโลเมตร จนถงจด D ซงเปนทตงคายพกแรม จงหาวาทตงคาย

พกแรมอยหางจากจดเรมตนกกโลเมตร

ตวอยางท 2 กลองทรงลกบาศกใบหนงมแตละดานยาว 12 นว ดงรป จงหา

วา 𝑎𝑐 ยาวเทาไร

ตวอยางท 3 ลานกฬากลางแจงรปวงกลมสองแหง ส าหรบผใหญและเดก

มพนท 200π ตารางเมตร และ 50π ตารางเมตร ตามล าดบ จงหาวารศมของ

ลานกฬาส าหรบผใหญยาวกวารศมของลานกฬาส าหรบเดกเทาไร

ตวอยางท 4 รปสามเหลยมดานเทายาวดานละ 𝑎 หนวย จะมความสงและ

พนทเปนเทาไร

แบบฝกหด

ขอท 1 จงท าจ านวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปอยางงาย

ก. √112

ข. √(−17)2

ค. −√(71

84)

2

ง. √9

16𝑥6𝑦8

จ. −√0.0625𝑎16𝑏24

ฉ. √200

ช. −√725

ซ. √7200

ขอ 2 จงหาผลลพธของจ านวนในแตละขอตอไปน

ก. √48 × √12

ข. √200 × √50

ค. √98

√2

ง. √121

625

จ. √0.0064 × √𝑎18

ฉ. √484

𝑚28 เมอ 𝑚 ≠ 0

ขอท 3 จงหาคาประมาณของจ านวนในแตละขอตอไปน เมอก าหนดให

√2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, √5 ≈ 2.236

ก. √18

ข. −√450

121

ค. 7√3125

ง. 15

√2

จ. 2√98

3

ขอ 4 จงหาผลลพธในแตละขอตอไปน

ก. 8√2 + 7√2

ข. 4√3 − √12

ค. √50 + √18 − √8

ง. √500 − 3√125 − √245

ขอท 5 จงหาผลลพธในแตละขอตอไปน

ก. (2√6 + 4√3) + (8√3 − 5√6)

ข. (√180 − √72) − (√200 + √20)

ค. (√675 + √45) − (√300 − √125)

ง. (12√48 + 25) − (48 − 2√75)

ขอ 6 จงหาผลลพธของแตละขอตอไปน

ก. √7 × (2√7 + 5√5)

ข. (√12 + 3√72) × 2√3

ค. −6√175 × 5

3√98

ง. 12√8 × (−√18) × 3√2

72

จ. √4

3𝑦 × √3𝑦 เมอ 𝑦 > 0

ฉ. √12𝑥3

√2𝑥 เมอ 𝑥 > 0

ขอท 7 จงท าจ านวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปอยางงาย

ก. 5√11 −7

√11+

3

√11

ข. 2√50 + 6

√72 −4√162

ขอท 8 จงหาผลลพธของ √49𝑎2𝑏2+√(−5𝑎𝑏)2

(√2𝑎𝑏)2 เมอ 𝑎 > 0 และ 𝑏 > 0

ขอท 9 จงหาคาของ 𝑎 เมอ

𝑎2 = 441

(𝑎 + 1)2 = 16

√4𝑎 = 8

√4(𝑚 + 1) = 20

ขอท 10 ก าหนดให ∆ ABC เปนสามเหลยมมมฉาก ทมดานประกอบมม

ฉากยาวเทากนและมดานตรงขามมมฉากยาว 13√2 หนวย จงหาวาดาน

ประกอบมมฉากแตละดานยาวเทาไร

ขอ 11 จงหาความยาวรอบรปของรปสเหลยมจตรสทมเสนทแยงมมยาว

18√2 หนวย

ขอท 12 ก าหนด ∆ ABC ดงรป ถาความสงจากจด C เปน 5√3 หนวย จง

หาความยาวของดาน BC

ขอท 13 ลานสนามหญารปวงกลมสองแหง แหงทหนงมพนท 176 ตาราง

เมตร และแหงทสองมพนท 44 ตารางเมตร เสนผานศนยกลางของสนาม

หญาแหงทหนงยาวเปนกเทาของเสนผานศนยกลางของสนามหญาแหงท

สอง

ขอท 14 บานของฮงซอลอยในซอยซงหางจากถนนใหญ 50 เมตร บน

ถนนสายนรานอาหารอรอยอยหางจากปากซอยบานของฮงซอลไป 100

เมตร ดงแผนภาพ ปกตฮงซอลจะใชสองเสนทางในการไปรบประทาน

อาหารรานนคอ ไปถนนใหญแลวเดนขนไป กบทางลดจากบานไป

รานอาหารโดยตรง ฮงซอลตองการทราบวาเสนทางลดทฮงซอลใชประจ า

นนสนกวาอกเสนทางหนงกเมตร (ก าหนด √5 ≈ 2.236)

ขอ 15 ถงน าทรงกระบอกใบทหนงสง 7 ฟต สามารถบรรจน าได 6,600

ลกบาศกฟต ถงทรงเดยวกนใบทสองสง 14 ฟต สามารถบรรจน าได

22,000 ลกบาศกฟต รศมของถงใบทหนงเปนกเทาของรศมของถงใบท

สอง (ก าหนดให π ≈22

7 และ √15 ≈ 3.873)

ขอท 16 จงหาคาของ 𝑥 เมอ √𝑥 + 1 + √𝑥 + 6 = 5

ขอท 17 จงหาคาของ 𝑥 เมอ √𝑥 + 8 + √33 − 𝑥 = 9

ขอท 18 จงหาคาของ 𝑥 เมอ √𝑥 − 2 + √4 − 𝑥 = √𝑥 + 1