คณตศาสตร เพมเตม ม.3 เลม1
บทท1 กรณฑทสอง
บทท2 การแยกตวประกอบของพหนาม
บทท3 สมการก าลงสอง
บทท4 พาราโบลา
บทท5 พนทผวและปรมาตร
กรณฑทสอง
ทบทวนความรกนกอน
ความหมายของรากทสอง
1. เมอ 𝑎 แทนจ านวนจรงบวกใดๆ หรอศนย (เขยนแทนดวย 𝑎 ≥ 0)
รากทสองของ 𝑎 คอจ านวนทยกก าลงสองแลวได 𝑎
ตวอยาง
9 เปนรากทสองของ 81 เพราะ 92 = 81
-9 เปนรากทสองของ 81 เพราะ ……….....
1
2 เปนรากทสองของ
1
4 เพราะ ……….....
−1
2 เปนรากทสองของ
1
4 เพราะ ……….....
0.5 เปนรากทสองของ 0.25 เพราะ ……….....
-0.5 เปนรากทสองของ 0.25 เพราะ ……….....
2. เมอ 𝑎 เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ 𝑎 มสองรากคอ รากท
สองทเปนบวก ซงแทนดวยสญลกษณ √𝑎 (เรยกอกอยางหนงวา
กรณฑทสองของ 𝑎) และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวย
สญลกษณ −√𝑎 เมอ 𝑎 = 0 รากทสองของ 𝑎 คอ 0
ตวอยาง
รากทสองของ 4 มสองรากคอ √4 และ −√4
หรอ 2 และ -2
รากทสองของ 25
36 มสองรากคอ ........ และ .........
หรอ ........ และ .........
รากทสองของ 0.49 มสองรากคอ ........ และ .........
หรอ ........ และ .........
รากทสองของ 17 มสองรากคอ ........ และ .........
ในกรณทรากของสองของจ านวนเตมบวกไมเปนจ านวนเตม รากท
สองของจ านวนเตมบวกนนเปนจ านวนอตรรกยะ
3. เมอ 𝑎 เปนจ านวนจรงบวก (√𝑎)2 = 𝑎 และ (−√𝑎)2 = 𝑎
ตวอยาง
(√3)2 = 3
(−√54)2 = ...........
(√5
6)
2
= ...........
(√0.69)2
= ...........
รากทสองของแตละจ านวนตอไปนเทากบเทาใด
1. 36
2. 196
3. 50
คาสมบรณ
คาสมบรณของจ านวนใดๆ หาไดจากระยะทจ านวนนนอยหางจาก 0
บนเสนจ านวน เชน
จากเสนจ านวน 2.5 อยหางจาก 0 เปนระยะ 2.5 หนวย จงกลาววา
คาสมบรณของ 2.5 เทากบ 2.5
จากเสนจ านวน −3
4 อยหางจาก 0 เปนระยะ
3
4 หนวย จงกลาววา คา
สมบรณของ −3
4 เทากบ
3
4
คาสมบรณของจ านวนจรง 𝑎 ใดๆ ทไมเปนศนย เปนจ านวนจรงบวก
เสมอ และคาสมบรณของศนยเทากบศนย เขยนแทนคาสมบรณของ 𝑎
ดวย |𝑎|
เมอ 𝑎 > 0 คาสมบรณของ 𝑎 เทากบ 𝑎 เมอ 𝑎 < 0 คาสมบรณของ 𝑎
เทากบ – 𝑎 และเมอ 𝑎 = 0 คาสมบรณของ 𝑎 เทากบ 0
นนคอ |𝑎| = 𝑎 เมอ 𝑎 > 0
|𝑎| = −𝑎 เมอ 𝑎 < 0
|𝑎| = 0 เมอ 𝑎 = 0
เชน |8| = ..........
|−8| = ..........
|0| = ..........
กรณฑทสองของ 𝒂𝟐 เปนเทาไร?????
มาตอบค าถามกนกอน
1. √32 = 3 หรอไม
ตอบ
2. √32 เทากบคาสมบรณของ 3 หรอไม
ตอบ
3. √(−9)2 = √92 หรอไม
ตอบ
4. √(−9)2 = 9 หรอไม
ตอบ
5. √(−9)2 เทากบคาสมบรณของ -9 หรอไม
ตอบ
6. นองๆ คดวา เมอ 𝑎 เปนจ านวนจรงใดๆ √𝑎2 เทากบคาสมบรณของ
𝑎 หรอไม
ตอบ
ตวอยางท 7 จงท า √4𝑥2 เมอ 𝑥 > 0 ใหอยในรปอยางงาย
ตวอยางท 8 จงท า √16𝑝2𝑞8 ใหอยในรปอยางงาย
ตวอยางท 9 จงท า √1.44𝑚4𝑛12 ใหอยในรปอยางงาย
1.1 สมบตของ √𝒂 เมอ 𝒂 ≥ 𝟎
จ านวนในรป √𝑎 เมอ 𝑎 ≥ 0 มสมบต 2 ขอ ดงน
1. √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏 เมอ 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0
2. √𝑎
√𝑏= √
𝑎
𝑏 เมอ 𝑎 ≥ 0, 𝑏 > 0
ตวอยางท 1 จงท า √8 ใหอยในรปอยางงาย
ตวอยางท 2 จงหาผลลพธของ √32 × √2
ตวอยางท 6 จงหาคาประมาณของ √12 (ก าหนดให √3 ≈ 1.732)
ตวอยางท 7 จงหาคาประมาณของ 3√50 (ก าหนดให √2 ≈ 1.414)
ตวอยางท 8 จงหาคาประมาณของ √75
4 (ก าหนดให √3 ≈ 1.732)
มาชวยกนคด
นองๆ คดวา จากสมบต √𝑎
𝑏=
√𝑎
√𝑏 เมอ 𝑎 ≥ 0 และ 𝑏 > 0 ถา 𝑏 = 0 แลว
สมบตขอนจะยงเปนจรงรเปลา
1.2 การด าเนนการของจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสอง
เนองจากการบวกและการคณจ านวนจรงมสมบตการสลบท สมบต
การเปลยนหม และสมบตการแจกแจง ดงนนการบวกการคณในรป √𝑎 เมอ
𝑎 ≥ 0 กสมบตการสลบท สมบตการเปลยนหม และสมบตการแจกแจงดวย
กลาวคอ
สมบตการสลบทส าหรบการบวก
√𝑎 + √𝑏 = √𝑏 + √𝑎
เชน √2 + √5 = √5 + √2
√6.5 + √3 = ........................
สมบตการเปลยนหมส าหรบการบวก
(√𝑎 + √𝑏) + √𝑐 = √𝑎 + (√𝑏 + √𝑐)
เชน (√2 + √3) + √5 = √2 + (√3 + √5)
(√5 + √7) + √10 = ............................................
สมบตการสลบทส าหรบการคณ
√𝑎 × √𝑏 = √𝑏 × √𝑎
เชน √11 × √15 = √15 × √11
√17 × √9.3 = .............................
สมบตการเปลยนกลมส าหรบการคณ
(√𝑎 × √𝑏) × √𝑐 = √𝑎 × (√𝑏 × √𝑐)
เชน (√5 × √19) × √23 = √5 × (√19 × √23)
(√7 × √13) × √69 = ..............................................
สมบตการแจกแจง
√𝑎 × (√𝑏 + √𝑐) = (√𝑎 × √𝑏) + (√𝑎 × √𝑐)
และ (√𝑎 + √𝑏) × √𝑐 = (√𝑎 × √𝑐) + (√𝑏 × √𝑐)
เชน √2 × (√3 + √5) = (√2 × √3) + (√2 × √5)
(√3 + √7) × √11 = (√3 × √11) + (√7 × √11)
(√7 + √19) × √23 =
…………………………………………….
(√7 × √2) + (√7 × √3) =
……………………………………………..
ตวอยางท 1 จงหาผลบวกของ 2√2 + 4√2
ตวอยางท 5 จงหาผลลพธของ √450 + √200 − √72
ตวอยางท 6 จงหาผลบวกของ 7√12 + √75 − 15√27
ตวอยางท 7 จงหาผลลพธของ (2√5 + 3√7) − (2√7 − 3√5)
ตวอยางท 8 จงหาผลลพธของ (7 + √32) − (4 + √8)
ตวอยางท 9 จงหาผลคณของ √2 × √10
ตวอยางท 10 จงหาผลคณของ √12 × 2√3
ตวอยางท 11 จงหาผลลพธของ √3 × (√3 + √3)
ตวอยางท 12 จงหาผลลพธของ √2 × (√2 + √12)
ตวอยางท 13 จงหาผลลพธของ √3 × (√15 − √75)
ตวอยางท 14 จงหาผลลพธของ 2√6 × (3√6 − 2√24)
ตวอยางท 15 จงหาผลลพธของ 2√242
√18
ตวอยางท 16 จงหาผลลพธของ 6√1125
√20
ตวอยางท 17 จงหาผลลพธของ 5√3 × −4
√27
ในกรณทผลลพธทไดจากการด าเนนการเปนเศษสวนทตวสวนอยใน
รปกรณฑทสอง นยมท าใหตวสวนเปนจ านวนเตมดวยการคณทงตวเศษ
และตวสวนดวยตวสวนนน เชน
ตวอยางท 18 จงหาคาประมาณของ √25
2 (ก าหนดให √2 ≈ 1.414)
ตวอยางท 19 จงหาคาประมาณของ √50
3 (ก าหนดให √6 ≈ 2.449)
ตวอยางท 20 จงท า 2√5 + 3
√5 ใหอยในรปอยางงาย
ชวยกนคดหนอย
ซาราแกปญหาคณตศาสตรขอหนงไดค าตอบเปน 21√2 ซงไมตรงกบ
เฉลย จงใหสมชายชวยคดวาตนท าผดในขนตอนใด ทงสองคนพบวา ซา
ราท าผดในขนตอนสดทายดวยการน า √6 ไปคณ แทนทจะน าไปหาร
แสดงวาค าตอบทแทจรงของปญหานคออะไร
1.3 การน าไปใช
ตวอยางท 1 การเดนทางไกลของลกเสอหมหนงเปนไปตามผงดงรป เรม
ออกเดนทางจากจด A ไปทางทศเหนอ 7 กโลเมตร ถงจด B แลวเดนทาง
ตอไปยงทศตะวนออก 9 กโลเมตร ถงจด C จากนนไดเดนทางตอไปยงทศ
เหนออก 6 กโลเมตร จนถงจด D ซงเปนทตงคายพกแรม จงหาวาทตงคาย
พกแรมอยหางจากจดเรมตนกกโลเมตร
ตวอยางท 2 กลองทรงลกบาศกใบหนงมแตละดานยาว 12 นว ดงรป จงหา
วา 𝑎𝑐 ยาวเทาไร
ตวอยางท 3 ลานกฬากลางแจงรปวงกลมสองแหง ส าหรบผใหญและเดก
มพนท 200π ตารางเมตร และ 50π ตารางเมตร ตามล าดบ จงหาวารศมของ
ลานกฬาส าหรบผใหญยาวกวารศมของลานกฬาส าหรบเดกเทาไร
ตวอยางท 4 รปสามเหลยมดานเทายาวดานละ 𝑎 หนวย จะมความสงและ
พนทเปนเทาไร
ขอท 3 จงหาคาประมาณของจ านวนในแตละขอตอไปน เมอก าหนดให
√2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, √5 ≈ 2.236
ก. √18
ข. −√450
121
ขอท 8 จงหาผลลพธของ √49𝑎2𝑏2+√(−5𝑎𝑏)2
(√2𝑎𝑏)2 เมอ 𝑎 > 0 และ 𝑏 > 0
ขอท 9 จงหาคาของ 𝑎 เมอ
𝑎2 = 441
(𝑎 + 1)2 = 16
√4𝑎 = 8
√4(𝑚 + 1) = 20
ขอท 10 ก าหนดให ∆ ABC เปนสามเหลยมมมฉาก ทมดานประกอบมม
ฉากยาวเทากนและมดานตรงขามมมฉากยาว 13√2 หนวย จงหาวาดาน
ประกอบมมฉากแตละดานยาวเทาไร
ขอ 11 จงหาความยาวรอบรปของรปสเหลยมจตรสทมเสนทแยงมมยาว
18√2 หนวย
ขอท 12 ก าหนด ∆ ABC ดงรป ถาความสงจากจด C เปน 5√3 หนวย จง
หาความยาวของดาน BC
ขอท 13 ลานสนามหญารปวงกลมสองแหง แหงทหนงมพนท 176 ตาราง
เมตร และแหงทสองมพนท 44 ตารางเมตร เสนผานศนยกลางของสนาม
หญาแหงทหนงยาวเปนกเทาของเสนผานศนยกลางของสนามหญาแหงท
สอง
ขอท 14 บานของฮงซอลอยในซอยซงหางจากถนนใหญ 50 เมตร บน
ถนนสายนรานอาหารอรอยอยหางจากปากซอยบานของฮงซอลไป 100
เมตร ดงแผนภาพ ปกตฮงซอลจะใชสองเสนทางในการไปรบประทาน
อาหารรานนคอ ไปถนนใหญแลวเดนขนไป กบทางลดจากบานไป
รานอาหารโดยตรง ฮงซอลตองการทราบวาเสนทางลดทฮงซอลใชประจ า
นนสนกวาอกเสนทางหนงกเมตร (ก าหนด √5 ≈ 2.236)
ขอ 15 ถงน าทรงกระบอกใบทหนงสง 7 ฟต สามารถบรรจน าได 6,600
ลกบาศกฟต ถงทรงเดยวกนใบทสองสง 14 ฟต สามารถบรรจน าได
22,000 ลกบาศกฟต รศมของถงใบทหนงเปนกเทาของรศมของถงใบท
สอง (ก าหนดให π ≈22
7 และ √15 ≈ 3.873)
ขอท 16 จงหาคาของ 𝑥 เมอ √𝑥 + 1 + √𝑥 + 6 = 5
Top Related