วารสารวชาการ มหาวทยาลยราชภฏพระนคร

240

บทคดยอ การวจยในครงน มวตถประสงคเพอศกษา

ความสามารถในการควบคมความคลาดเคลอนประเภท

ท 1 และเปรยบเทยบอ�านาจการทดสอบ 5 วธไดแก

การทดสอบของเบตาโดยใชพนฐานการวเคราะหการ

ถดถอยแบบโพลโนเมยล การทดสอบของแอนเดอรสน-

ดารลงโดยสถตไลคลฮดเรโชว การทดสอบของแอนเดอร

สน-ดารลง การทดสอบของชาฟโร-วลด และการทดสอบ

ของชาฟโร-ฟรานเซย เมอประชากรมการแจกแจงแบบ

ปกต การแจกแจงแบบท การแจกแจงแบบไคสแควร

การแจกแจงแบบเบตา และการแจกแจงแบบไวบลล

ก�าหนดขนาดตวอยางเทากบ 20, 50 และ 100 ทระดบ

นยส�าคญ 0.01, 0.05 และ 0.10 ท�าการจ�าลองขอมลซ�า

แตละลกษณะจ�านวน 1,000 ชด

ผลการศกษาพบวาการทดสอบของแอนเดอร

สน-ดารลงโดยสถตไลคลฮดเรโชว และการทดสอบของ

แอนเดอรสน-ดารลง สามารถควบคมความคลาดเคลอน

ประเภทท 1 ไดในทกขนาดตวอยาง การทดสอบของ

อญชล ป�นทองพนธ*อาไพ ทองธรภาพ**

การเปรยบเทยบการทดสอบภาวะสารปสนทดสาหรบการแจกแจงแบบปกต

Comparison of the Goodness of Fit Tests for Normality

*นกศกษาหลกสตรมหาบณฑต สาขาสถต คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร**อาจารยท �ปรกษา

เบตาโดยใชพนฐานการวเคราะหการถดถอยแบบโพล

โนเมยล และการทดสอบของชาฟโร-วลด สามารถ

ควบคมความคลาดเคลอนประเภทท 1 ไดเมอขนาด

ตวอยางเทากบ 20 และ 50 การทดสอบของชาฟโร-

ฟรานเซย ไมสามารถควบคมความคลาดเคลอนประเภท

ท 1 ไดในทกขนาดตวอยาง ส�าหรบอ�านาจการทดสอบ

พบวาสวนใหญการแอนเดอรสน-ดารลงโดยสถตไลค

ลฮดเรโชว มอ �านาจการทดสอบสงทสด รองลงมาการ

ทดสอบของแอนเดอรสน-ดารลง สวน การทดสอบของ

เบตาโดยใชพนฐานการวเคราะหการถดถอยแบบโพล

โนเมยล และการทดสอบของชาฟโร-วลดมอ �านาจ

การทดสอบทไมแตกตางกน

ค�ำส�ำคญ: การทดสอบภาวะสารปสนทด การแจกแจง

แบบปกต ความคลาดเคลอนประเภทท 1 อ�านาจการ

ทดสอบ

วารสารวชาการ มหาวทยาลยราชภฏพระนคร

241

Abstract The purposes of this research were

to study compare the observed type I error and

power of the test of b23 based on polynomial

regression, Anderson-Darling Statistic based on

the likelihood ratio, Anderson-Darling, Shapiro-

Wilk Statistic and Shapiro-Francia Statistic in

testing normality. The studies data are composed

of normal distribution, t-distribution, chi-square

distribution, beta distribution and weibull

distribution. The sample sizes are 20, 50 and 100.

The specified significance levels are 0.01, 0.05 and

0.10. Each case is repeated 1,000 times.

The results were as follows Anderson-

Darling Statistic based on the likelihood ratio

and Anderson-Darling can control the type I

error at the specified one for all sample size.

The b23 based on polynomial regression and

Shapiro-Wilk Statistic cannot control the type I

error when sample size is 100. Shapiro-Francia

Statistic cannot control the type I error at the

specified one for all sample size. For power of

the test, most cases the power of Anderson-

Darling Statistic based on the likelihood ratio is

the highest. Next in rank is Anderson-Darling.

and b23 based on polynomial regression and

Shapiro-Wilk Statistic are not different in terms

of power of the test.

Keywords: Goodness of Fit Test, Normal

Distribution, Type I error, Power of the Test

บทน�ำ

โดยท วไป การเลอกใชตวสถตทเหมาะสมใน

การวเคราะหขอมลนนขนอยกบปจจยหลายอยาง เชน

กลมประชากร ขนาดตวอยาง ประเภทของขอมล และการ

แจกแจงของประชากร เปนตน ในการทดสอบสมมตฐาน

เกยวกบคาพารามเตอรน น อาจใชสถตทดสอบได 2 แบบ

คอ สถตพาราเมตรก (Parametric Statistics) และ

สถตนอนพาราเมตรก (Nonparametric Statistics)

แตการใชสถตพาราเมตรกนน มขอก�าหนดเบองตน

(Assumptions) ดงน 1) มาตราวดขอมลเปนมาตรา

อนตรภาค หรอมาตราอตราสวน 2) กลมตวอยาง

แตละกลมสมมาจากประชากรทมการแจกแจงแบบ

ปกต (Normal Distribution) และมความแปรปรวน

เทากน

การตรวจสอบวาขอมลทศกษามการแจกแจง

แบบปกตหรอไม มความจ�าเปนอยางยง มนกสถต

ไดเสนอตวสถตส �าหรบการทดสอบการแจกแจงแบบ

ปกตดวยกนหลายวธ ไดแก Fisher (1923-1930)

เสนอตวสถตตวแรกทใชในการทดสอบการแจกแจง

แบบปกตเมอไมทราบคาเฉลยและความแปรปรวนของ

ประชากรเรยกวา Standard Third Moment ( 1b )

และ Standard Fourth Moment ( 2b ) ซงมความไว

(sensitive) ตอการทดสอบความเบ (Skewness) และ

ความโดง (Kurtosis) ตามล �าดบ เปนตน

ปจจบนมนกสถตหลายทานไดเสนอวธการ

ทดสอบการแจกแจงแบบปกตขนมาใหมและพฒนาวธ

การทดสอบแบบเดมอยางตอเนอง เพอเปนทางเลอก

ส�าหรบการทดสอบและเพมอ�านาจการทดสอบใหมาก

ยงขน อาท ตวสถต b23 (Coin, 2007) ซงเปนการ

ทดสอบภาวะสารปสนทดโดยใชพนฐานของตวสถตการ

ถดถอยแบบโพลโนเมยล การทดสอบของ Anderson

และ Darling และ Zhang (2002) ไดน�าการทดสอบ

ภาวะสารปสนทดของ Anderson-Darling ซงเปน

วธทดสอบทใชกนอยางแพรหลายมาพฒนาใหมโดยใช

ตวสถต Likelihood Ratio ซงใหอ �านาจการทดสอบ

ทสงกวาเดม

ในการวจยคร งน ผวจยสนใจเปรยบเทยบ

อ�านาจการทดสอบ 5 วธ ไดแก การทดสอบของ b23

วารสารวชาการ มหาวทยาลยราชภฏพระนคร

242

based on polynomial regression การทดสอบ

ของ Anderson-Darling Statistic based on the

likelihood ratio (ZA)การทดสอบของ Anderson-

Darling (AD) การทดสอบของ Shapiro-Wilk

Statistic (W) และการทดสอบของ Shapiro-Francia

Statistic (W')

วตถประสงคของกำรวจย 1. เพอศกษาความสามารถในการควบคม

ความคลาดเคลอนประเภทท 1 ของการทดสอบท ง 5

วธไดแก การทดสอบของ b23 based on polynomial

regression การทดสอบของ Anderson-Darling

Statistic based on the likelihood ratio (ZA) การ

ทดสอบของ Anderson-Darling (AD) การทดสอบของ

Shapiro-Wilk Statistic (W) และการทดสอบของ

Shapiro-Francia Statistic (W')

2. เพอศกษาเปรยบเทยบอ�านาจการทดสอบ

ของการทดสอบท ง 5 วธ ในแตละลกษณะทก �าหนด

วธด�ำเนนกำรวจย 1. จ�าลองขอมลประชากรทมการแจกแจง

ลกษณะตางๆ ดงน

1.1 การแจกแจงแบบปกต (Normal

Distribution) ทมคาเฉลย (µ) เทากบ 0 และความ

แปรปรวน(Q2 ) เทากบ 1

1.2 การแจกแจงแบบท (t-Distribution)

ก�าหนดจ�านวนองศาอสระ (degrees of freedom)

เทากบ 1

1.3 การแจกแจงแบบไคสแควร (Chi-

square Distribution) ก�าหนดจ�านวนองศาอสระ

(degrees of freedom) เทากบ 1

1.4 การแจกแจงแบบเบต า (Beta

Distribution) ก�าหนดคาพารามเตอร ( a, β)

เทากบ (0.5,0.5)

1.5 การแจกแจงแบบไวบลล (Weibull

Distribution) ก�าหนดคาพารามเตอร (a, b) เทากบ

(0.5, 1)

2. ก�าหนดขนาดตวอยาง ในแตละลกษณะ

ของการแจกแจงเทากบ 20, 50 และ 100

3. เปรยบเทยบคาสถตทดสอบกบคาวกฤต

เพอสรปวาปฏเสธหรอยอมรบสมมตฐานหลก ทระดบ

นยส�าคญ 0.01, 0.05 และ 0.10 ท�าซ �า 1,000 คร ง

4. ค�านวณคาความนาจะเปนของความคลาด

เคลอนประเภทท 1 โดยสมมตฐานหลกของการทดสอบ

มดงน

H0: ขอมลมการแจกแจงแบบปกต

H1 : ขอมลไมมการแจกแจงแบบปกต

ท�าการนบจ�านวนครงของการปฏเสธสมมตฐาน

หลก (H0) เมอสมมตฐานหลกเปนจรง หารดวยจ�านวน

ครงทใชสมตวอยางซ�าท งหมด 1,000 คร ง

5. ถาคาความนาจะเปนของความคลาดเคลอน

ประเภทท 1 ส�าหรบแตละขนาดตวอยาง มคาอยชวงท

ก�าหนดไว จะถอวาวธการทดสอบนนมความสามารถ

ในการควบคมความคลาดเคลอนประเภทท 1 ได โดย

ชวงทใชในการพจารณาความสามารถในการควบคม

ความคลาดเคลอนประเภทท 1 (ชดชนก, 2548) คอ

ทระดบนยส�าคญ 0.01 คาความนาจะเปน

ของความคลาดเคลอนประเภทท 1 จากการทดลองมคา

อยในชวง (0.002, 0.018)

ทระดบนยส�าคญ 0.05 คาความนาจะเปน

ของความคลาดเคลอนประเภทท 1 จากการทดลองมคา

อยในชวง (0.037, 0.064)

ทระดบนยส�าคญ 0.10 คาความนาจะเปน

ของความคลาดเคลอนประเภทท 1 จากการทดลองมคา

อยในชวง (0.084, 0.116)

6. เปรยบเทยบอ�านาจการทดสอบของแตละ

วธ ภายใตลกษณะของการแจกแจง ระดบนยส�าคญ

และขนาดตวอยางเดยวกน โดยพจารณาเฉพาะการ

ทดสอบทสามารถควบคมความคลาดเคลอนประเภท

ท 1 ได

Q 2

วารสารวชาการ มหาวทยาลยราชภฏพระนคร

243

วธกำรทำงสถตท ง 5 วธมดงน 1. การทดสอบของ based on polynomial

Regression

การทดสอบภาวะรปสนทด โดยตวสถต

ตาง ๆ เปนวธการทดสอบทใชกนอยางแพรหลายและถก

สรางโดยใชพนฐานของตวสถต Pearson chi-square

ซง Coin (2007) ไดน�าการทดสอบดงกลาวมาพฒนา

โดยใชพนฐานของตวสถตการถดถอยแบบโพลโนเมยล

ซงใหอ �านาจการทดสอบทสงกวาเดม ฟงกชนการถดถอย

ของตวแบบคอ ( ) 2 30 1 2 3E z(E z( = b + b a + b a + b a2 3= b + b a + b a + b a2 30 1 2 3= b + b a + b a + b a0 1 2 3

โดยท z คอล �าดบตวอยางสมขนาด n จากการ

แจกแจงแบบปกตมาตรฐาน

a คอเวกเตอรของ n ซงเปนคาคาดหวง

ของการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน

การประมาณคาพารามเตอรเพอหาคา ท�า

การค�านวณโดยใชวธก �าลงสองนอยสด (Simple Least

Squares)

2. การทดสอบของ Anderson-Darling

Statistic based on the likelihood ratio

( AZ )Zhang (2002) ไดน�าการทดสอบตวสถต

Anderson-Darling ซงเปนวธทดสอบทใชกนอยางแพร

หลายมาพฒนาโดยใชพนฐานของตวสถต Likelihood

ratio ตวสถต Anderson-Darling Statistic based

on the likelihood ratio มรปแบบดงน

AZ n

i

é ù(é ù( )é ù) ln 1 zé ùln 1 zé ùé ùé ù(é ù(é ù(é ù( )é ù)é ù)é ù)ln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 z(ln 1 z(é ù(ln 1 z(é ù(ln 1 z(é ù(ln 1 z(é ùé ùé ù- Fé ùé ùé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 z- Fln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùFé ùê ú(ê ú( )ê ú))ê ú)Z iê úZ i(Z i(ê ú(Z i((Z i(ê ú(Z i( ln 1 zê úln 1 zê úln zê úln z(ln z(ê ú(ln z(Z iln zZ iê úZ iln zZ i(Z i(ln z(Z i(ê ú(Z i(ln z(Z i(é ùê úé ù(é ù(ê ú(é ù( )é ù)ê ú)é ù) ln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 zé ùê úé ùln z

é ùln zê úln z

é ùln z(ln z(é ù(ln z(ê ú(ln z(é ù(ln z(ln z

é ùln zê úln z

é ùln z é ùê úé ù)é ù)ê ú)é ù)ln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 z(ln 1 z(é ù(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(é ù(ln 1 z(ln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 zln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùé ùé ù

ê úé ùé ùé ù)é ù)é ù)é ù)ê ú)é ù)é ù)é ù)ln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 z(ln 1 z(é ù(ln 1 z(é ù(ln 1 z(é ù(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(é ù(ln 1 z(é ù(ln 1 z(é ù(ln 1 z(ln 1 zé ùln 1 z- Fln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 z- Fln 1 zé ùln 1 zln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 z- Fln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 z- Fln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zé ùln 1 zln zFln zê úln zFln zé ùFé ùê úé ùFé ùln z

é ùln zFln z

é ùln zê úln z

é ùln zFln z

é ùln zê úê úê ú(ê ú(ê ú(ê ú()ê ú)ê ú)ê ú))ê ú)ê ú)ê ú)ln 1 zê úln 1 zê úln 1 zê úln 1 z(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(ln 1 zê úln 1 zê úln 1 zê úln 1 zé ùê úé ùê úé ùê úé ù)é ù)ê ú)é ù)ê ú)é ù)ê ú)é ù)ln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 z(ln 1 z(é ù(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(é ù(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(é ù(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(é ù(ln 1 z(ln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 zln 1 z- Fln 1 zê úln 1 z- Fln 1 zê úln 1 z- Fln 1 zê úln 1 z- Fln 1 zln 1 zé ùln 1 z- Fln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 z- Fln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 z- Fln 1 zé ùln 1 zê úln 1 zé ùln 1 z- Fln 1 zé ùln 1 zê úê úê úë ûê úê úê ú(ê ú(ê ú(ê ú(ë û(ê ú(ê ú(ê ú()ê ú)ê ú)ê ú)ë û)ê ú)ê ú)ê ú)(ê ú(ê ú(ê ú(ë û(ê ú(ê ú(ê ú( )ê ú)ê ú)ê ú)ë û)ê ú)ê ú)ê ú)Z iê úZ iê úZ iê úZ ië ûZ iê úZ iê úZ iê úZ i(Z i(ê ú(Z i(ê ú(Z i(ê ú(Z i(ë û(Z i(ê ú(Z i(ê ú(Z i(ê ú(Z i(Z iê úZ iê úZ iê úZ ië ûZ iê úZ iê úZ iê úZ i(Z i(ê ú(Z i(ê ú(Z i(ê ú(Z i(ë û(Z i(ê ú(Z i(ê ú(Z i(ê ú(Z i(ln 1 zê úln 1 zê úln 1 zê úln 1 zë ûln 1 zê úln 1 zê úln 1 zê úln 1 z(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(ë û(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(ê ú(ln 1 z(Z iln 1 zZ iê úZ iln 1 zZ iê úZ iln 1 zZ iê úZ iln 1 zZ ië ûZ iln 1 zZ iê úZ iln 1 zZ iê úZ iln 1 zZ iê úZ iln 1 zZ i(Z i(ln 1 z(Z i(ê ú(Z i(ln 1 z(Z i(ê ú(Z i(ln 1 z(Z i(ê ú(Z i(ln 1 z(Z i(ë û(Z i(ln 1 z(Z i(ê ú(Z i(ln 1 z(Z i(ê ú(Z i(ln 1 z(Z i(ê ú(Z i(ln 1 z(Z i(ln 1 z- Fln 1 zê úln 1 z- Fln 1 zê úln 1 z- Fln 1 zê úln 1 z- Fln 1 zë ûln 1 z- Fln 1 zê úln 1 z- Fln 1 zê úln 1 z- Fln 1 zê úln 1 z- Fln 1 z

= - +ê ú= - +ê ú= - +ê úê úê úê úê ú)ê ú)ê ú

)ê ú))ê ú)ê ú

)ê ú)Z iê úZ iê ú

Z iê úZ i(Z i(ê ú(Z i(ê ú

(Z i(ê ú(Z i((Z i(ê ú(Z i(ê ú

(Z i(ê ú(Z i( ë ûê úë û(ë û(ê ú

(ë û( )ë û)ê ú)ë û)ê úë ûê ú

ê úê úë ûê ú(ê ú(ë û(ê ú(

ê ú(ê ú(ë û(ê ú()ê ú)ë û)ê ú)

ê ú)ê ú)ë û)ê ú)(ê ú(ë û(ê ú(

ê ú(ê ú(ë û(ê ú( )ê ú)ë û)ê ú)

ê ú)ê ú)ë û)ê ú)ê úê úê úë ûê úê úê ú

ê úê úê úê úë ûê úê úê ú(ê ú(ê ú(ê ú(ë û(ê ú(ê ú(ê ú(ê ú

(ê ú(ê ú(ê ú(ë û(ê ú(ê ú(ê ú()ê ú)ê ú)ê ú)ë û)ê ú)ê ú)ê ú)ê ú

)ê ú)ê ú)ê ú)ë û)ê ú)ê ú)ê ú)(ê ú(ê ú(ê ú(ë û(ê ú(ê ú(ê ú(ê ú

(ê ú(ê ú(ê ú(ë û(ê ú(ê ú(ê ú( )ê ú)ê ú)ê ú)ë û)ê ú)ê ú)ê ú)ê ú

)ê ú)ê ú)ê ú)ë û)ê ú)ê ú)ê ú)= - +ê ú= - +(= - +(

ê ú(= - +( )= - +)

ê ú)= - +)(

= - +(

ê ú(

= - +( )

= - +)

ê ú)

= - +)

= - +ê ú= - +ê ú= - +ê úê úê ú= - +ê ú(ê ú(= - +(ê ú(ê ú

(ê ú(= - +(ê ú( )ê ú)= - +)ê ú)ê ú

)ê ú)= - +)ê ú)(ê ú(= - +

(ê ú(ê ú

(ê ú(= - +

(ê ú( )ê ú)= - +

)ê ú)ê ú

)ê ú)= - +

)ê ú)Z iê úZ i= - +Z iê úZ iê ú

Z iê úZ i= - +Z iê úZ i(Z i(ê ú(Z i(= - +(Z i(ê ú(Z i(ê ú

(Z i(ê ú(Z i(= - +(Z i(ê ú(Z i((Z i(ê ú(Z i(= - +

(Z i(ê ú(Z i(ê ú

(Z i(ê ú(Z i(= - +

(Z i(ê ú(Z i(ê ún i 0.5 i 0.5ê ún i 0.5 i 0.5ê úê úê ú- + -ê ú- + -n i 0.5 i 0.5- + -n i 0.5 i 0.5ê ún i 0.5 i 0.5- + -n i 0.5 i 0.5ë ûê úë ûê ú

å= - +å= - +

โดยท ()( )n n i(n n i(n n i(n n i( )n n i) (n n i(t z(t z(n n it zn n i)n n i)t z)n n i) (n n i(t z(n n i(F = F(F = F( )F = F)n n iF = Fn n i(n n i(F = F(n n i(t zF = Ft z)t z)F = F)t z)n n it zn n iF = Fn n it zn n i)n n i)t z)n n i)F = F)n n i)t z)n n i) คอฟงกชนการ

แจกแจงจากคา สงเกต (Empirical distribution

function) ของ 1 2 nZ ,Z ,...,Z1 2 nZ ,Z ,...,Z1 2 n

()( )Z Z i(Z Z i(Z Z i(Z Z i( )Z Z i) (Z Z i(t z(t z(Z Z it zZ Z i)Z Z i)t z)Z Z i) (Z Z i(t z(Z Z i(F = F(F = F( )F = F)Z Z iF = FZ Z i(Z Z i(F = F(Z Z i(t zF = Ft z)t z)F = F)t z)Z Z it zZ Z iF = FZ Z it zZ Z i)Z Z i)t z)Z Z i)F = F)Z Z i)t z)Z Z i) คอฟงกชนการแจกแจง

สะสมของการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานของ

1 2 nZ ,Z ,...,Z1 2 nZ ,Z ,...,Z1 2 n

3. การทดสอบของ Anderson-Darling (AD)

แนวคดของวธการทดสอบน มพนฐานจาก Accumulating

square distance function การทดสอบของ Anderson-

Darling (1952) มรปแบบคอ

AD ( )( )n

i n 1 i(i n 1 i(i 1

ln P ln 1 Pi n 1 iln P ln 1 Pi n 1 i(i n 1 i(ln P ln 1 P(i n 1 i(n 2i 1(n 2i 1(

n

+ -i n 1 i+ -i n 1 i

=i 1=i 1

+ -(+ -(ln P ln 1 P+ -ln P ln 1 P(ln P ln 1 P(+ -(ln P ln 1 P(i n 1 iln P ln 1 Pi n 1 i+ -i n 1 iln P ln 1 Pi n 1 i(i n 1 i(ln P ln 1 P(i n 1 i(+ -(i n 1 i(ln P ln 1 P(i n 1 i(= - - -(= - - -(n 2i 1= - - -n 2i 1(n 2i 1(= - - -(n 2i 1(ån 2i 1ån 2i 1= - - -å= - - -n 2i 1= - - -n 2i 1ån 2i 1= - - -n 2i 1

โดยท ( )( )()z i(i(

2t / 22

t / 22

i Z i(i Z i((i Z i(P Z e / 2 dti Z iP Z e / 2 dti Z i

- ¥

= F = p= F = p= F = pt / 2= F = pt / 2= F = p= F = p= F = p= F = pP Z e / 2 dt= F = pP Z e / 2 dtP Z e / 2 dt= F = pP Z e / 2 dtP Z e / 2 dt= F = pP Z e / 2 dtt / 2

P Z e / 2 dtt / 2= F = pt / 2

P Z e / 2 dtt / 2-= F = p-= F = p(= F = p( )= F = p)= F = p)= F = p))= F = p)i Z i= F = pi Z i(i Z i(= F = p(i Z i((i Z i(= F = p(i Z i(P Z e / 2 dt= F = pP Z e / 2 dt(P Z e / 2 dt(= F = p(P Z e / 2 dt( )P Z e / 2 dt)= F = p)P Z e / 2 dt)(P Z e / 2 dt(= F = p(P Z e / 2 dt( )P Z e / 2 dt)= F = p)P Z e / 2 dt)i Z iP Z e / 2 dti Z i= F = pi Z iP Z e / 2 dti Z i(i Z i(P Z e / 2 dt(i Z i(= F = p(i Z i(P Z e / 2 dt(i Z i((i Z i(P Z e / 2 dt(i Z i(= F = p(i Z i(P Z e / 2 dt(i Z i( ò= F = pò= F = pP Z e / 2 dt= F = pP Z e / 2 dtòP Z e / 2 dt= F = pP Z e / 2 dt

n คอขนาดตวอยาง

4. การทดสอบของ Shapiro-Wilk Statistic (W)

Shapiro and Wilk (1965) ไดเสนอการ

ทดสอบการแจกแจงของขอมลทมการแจกแจงแบบปกต

ซงในปจจบนเปนวธทไดมการน�ามาใชอยางแพรหลาย

การทดสอบของ Shapiro-Wilk มรปแบบดงน

( ) ()( ){ })})()( )

2k

n i 1 n i 1 i(n i 1 n i 1 i( )n i 1 n i 1 i) (n i 1 n i 1 i((n i 1 n i 1 i(i 1

n 2)2)i(i(i 1

a y y(a y y( )a y y)(a y y(n i 1 n i 1 ia y yn i 1 n i 1 i)n i 1 n i 1 i)a y y)n i 1 n i 1 i)n i 1 n i 1 ia y yn i 1 n i 1 i

Wy y(y y()y y)(y y( iy yi(i(y y(i(

n i 1 n i 1 i- + - +n i 1 n i 1 i(n i 1 n i 1 i(- + - +(n i 1 n i 1 i((n i 1 n i 1 i(- + - +(n i 1 n i 1 i(a y y- + - +a y y(a y y(- + - +(a y y((a y y(- + - +(a y y(n i 1 n i 1 ia y yn i 1 n i 1 i- + - +n i 1 n i 1 ia y yn i 1 n i 1 i(n i 1 n i 1 i(a y y(n i 1 n i 1 i(- + - +(n i 1 n i 1 i(a y y(n i 1 n i 1 i((n i 1 n i 1 i(a y y(n i 1 n i 1 i(- + - +(n i 1 n i 1 i(a y y(n i 1 n i 1 i(=i 1=i 1

=i 1=i 1

a y y-a y yå=

-y y-y yå

โดยท n คอขนาดตวอยาง

k ค อจ�านวน เต มท เ ลกท ส ดท

มากกวาหรอเทากบ n/2

ia คอคาสมประสทธ� เมอ

( )iy คอขอมลทเรยงล �าดบจากนอย

ไปมาก

5. การทดสอบของ Shapiro-Francia

Statistic ( W′ )

Shapiro and Francia (1972) ไดเสนอ

การทดสอบส�าหรบทดสอบการแจกแจงแบบปกต ซงม

หลกการเดยวกบการทดสอบ Shapiro-Wilk แตจะใช

คาคาดหวงของสถตล �าดบของการแจกแจงแบบปกต

มาชวยในการค�านวณ อยางไรกตาม การทดสอบดงกลาว

ใชทดสอบส�าหรบขนาดตวอยาง 35 ถง 99 เทานน

Royston (1982) ไดปรบการทดสอบใหใชไดกบขนาด

ตวอยางทใหญขน ดงนน การทดสอบ Shapiro-Francia

มรปแบบดงน

วารสารวชาการ มหาวทยาลยราชภฏพระนคร

244

2

W

n n ∑ ( ( ) )i i i i(i i( (i i(m y m yi im yi i i im yi i ∑ ∑ ∑ ∑

i 1 i 1i 1=i 1 i 1=i 1 ( (

( ( ) )

) )i i i i

i i i i(i i( (i i(

(i i( (i i(m y m y

m y m yi im yi i i im yi i

i im yi i i im yi i∑ ∑ ∑ ∑

′= ( ( ) )

2 2n n n n2 2

∑ ∑ 2 2∑ ∑2 2 ( ( ) )m y y m y y)m y y) )m y y)i im y yi i i im y yi i(i i(m y y(i i( (i i(m y y(i i((i i(m y y(i i( (i i(m y y(i i( ( ( ( ( ) ) ) )

× − × −(× −( (× −(m y y× −m y y m y y× −m y y(m y y(× −(m y y( (m y y(× −(m y y( )m y y)× −)m y y) )m y y)× −)m y y)(m y y(× −(m y y( (m y y(× −(m y y(i im y yi i× −i im y yi i i im y yi i× −i im y yi i(i i(m y y(i i(× −(i i(m y y(i i( (i i(m y y(i i(× −(i i(m y y(i i((i i(m y y(i i(× −(i i(m y y(i i( (i i(m y y(i i(× −(i i(m y y(i i(∑ ∑ ∑ ∑2∑ ∑2

2∑ ∑2m y y∑ ∑m y y m y y∑ ∑m y yi im y yi i∑ ∑i im y yi i i im y yi i∑ ∑i im y yi i

∑ ∑ ∑ ∑ 2 2∑ ∑2 2

2 2∑ ∑2 2× −∑ ∑× − × −∑ ∑× −m y y× −m y y∑ ∑m y y× −m y y m y y× −m y y∑ ∑m y y× −m y yi im y yi i× −i im y yi i∑ ∑i im y yi i× −i im y yi i i im y yi i× −i im y yi i∑ ∑i im y yi i× −i im y yi i

(

( )

)(

( )

)i 1 i 1 i 1 i 1i 1 i 1= =i 1 i 1 i 1 i 1= =i 1 i 1 ( (

( ( ) )

) )( (

( ( ) )

) )i i i i

i i i i(i i( (i i(

(i i( (i i((i i( (i i(

(i i( (i i(m y y m y y

m y y m y y)m y y) )m y y)

)m y y) )m y y)i im y yi i i im y yi i

i im y yi i i im y yi i(i i(m y y(i i( (i i(m y y(i i(

(i i(m y y(i i( (i i(m y y(i i((i i(m y y(i i( (i i(m y y(i i(

(i i(m y y(i i( (i i(m y y(i i(∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑i i∑ ∑i i i i∑ ∑i i

i i∑ ∑i i i i∑ ∑i im y y∑ ∑m y y m y y∑ ∑m y y

m y y∑ ∑m y y m y y∑ ∑m y yi im y yi i∑ ∑i im y yi i i im y yi i∑ ∑i im y yi i

i im y yi i∑ ∑i im y yi i i im y yi i∑ ∑i im y yi i

โดยท ( ) ( )( )1 n)1 n) (1 n(y ,... , y(y ,... , y( )y ,... , y)(y ,... , y( 1 ny ,... , y1 n)1 n)y ,... , y)1 n) คอตวอยางสมทน�ามา

ทดสอบการเปลยนแปลงจากการแจกแจงแบบปกต im

คอคาคาดหวงจากสถตล �าดบของการแจกแจงแบบปกต

ผลกำรวจย ผลการศกษาการเปรยบเทยบวธการทดสอบ

ท ง 5 วธ สรปเปน 2 กรณ ดงนคอ

1. ความสามารถในการควบคมความ

คลาดเคลอนประเภทท 1 ของการทดสอบท ง 5 วธ

ระดบนยส�าคญ ขนาดตวอยาง 23b AZ AD W

W′

0.01 20 0.006* 0.009* 0.014* 0.010*

0.020 50 0.006* 0.014* 0.010* 0.008*

0.020 100 0.020 0.013* 0.009* 0.025

0.023

0.05 20 0.037* 0.055* 0.062* 0.055*

0.080 50 0.041* 0.064* 0.047* 0.039*

0.106 100 0.074 0.050* 0.049* 0.132

0.080

0.10 20 0.084* 0.106* 0.115* 0.110*

0.184 50 0.081* 0.113* 0.095* 0.093*

0.200 100 0.133 0.104* 0.089* 0.250

0.202

ตำรำงท 1 คาความนาจะเปนของความคลาดเคลอนประเภทท 1 ของการทดสอบท ง 5 วธ

หมำยเหต * หมายถงการทดสอบนน ๆ สามารถควบคมความนาจะเปนของความคลาดเคลอนประเภทท 1 ได

จากตารางท 1 พบวาท งทระดบนยส�าคญ 0.01,

0.05 และ 0.10 การทดสอบของ Anderson-Darling

Statistic based on the likelihood ratio ( AZ ) และการ

ทดสอบของ Anderson-Darling (AD) สามารถควบคม

ความคลาดเคลอนประเภทท 1 ไดทกขนาดตวอยาง

การทดสอบของ b23 based on polynomial regression

และการทดสอบของ Shapiro-Wilk Statistic (W)

ไมสามารถควบคมความคลาดเคลอนประเภทท 1 ไดท

ขนาดตวอยางเทากบ 100 สวนการทดสอบของ Shapiro-

Francia Statistic ( W′ ) ไมสามารถควบคมความ

คลาดเคลอนประเภทท 1 ไดทกขนาดตวอยาง

2. เปรยบเทยบอ�านาจการทดสอบ พจารณา

เฉพาะการทดสอบทสามารถควบคมความคลาดเคลอน

ประเภทท 1 ไดเทานน

วารสารวชาการ มหาวทยาลยราชภฏพระนคร

245

(A)

(B)

(C)

ภำพท 1 เปรยบเทยบอ�านาจการทดสอบของการทดสอบท ง 5 วธ เมอขอมลมการแจกแจงแบบท จ�าแนกตามขนาด

ตวอยาง (A) ทระดบนยส�าคญ 0.01, (B) ทระดบนยส�าคญ 0.05 และ (C) ทระดบนยส�าคญ 0.10 ตามล �าดบ

จากภาพท 1 พบวาท งทระดบนยส�าคญ 0.01,

0.05 และ 0.10 การทดสอบของ Anderson-Darling

(AD) มอ �านาจการทดสอบสงทสด รองลงมาคอ การ

ทดสอบของ b23 based on polynomial regression

และการทดสอบของ Shapiro-Wilk Statistic (W)

มอ �านาจการทดสอบเทากน และการทดสอบของ An-

derson-Darling Statistic based on the likelihood

ratio ( AZ ) ตามล �าดบ

วารสารวชาการ มหาวทยาลยราชภฏพระนคร

246

(D)

(E)

(F)

ภำพท 2 เปรยบเทยบอ�านาจการทดสอบของการทดสอบท ง 5 วธ เมอขอมลมการแจกแจงแบบไคสแควร จ�าแนก

ตามขนาดตวอยาง (D) ทระดบนยส�าคญ 0.01 และ (E) ทระดบนยส�าคญ 0.05

วารสารวชาการ มหาวทยาลยราชภฏพระนคร

247

จากภาพท 2 พบวาท งทระดบนยส�าคญ

0.01, 0.05 และ 0.10 การทดสอบของ Shapiro-

Wilk Statistic (W) และการทดสอบของ Anderson-

Darling Statistic based on the likelihood

ratio (ZA) มอ �านาจการทดสอบสงทสดเทากน รองลงมา

คอ การทดสอบของ Anderson-Darling (AD) และ

การทดสอบของ b23 based on polynomial regres-

sion ตามล �าดบ

(G)

(H)

(I)

ภำพท 3 เปรยบเทยบอ�านาจการทดสอบของการทดสอบท ง 5 วธ เมอขอมลมการแจกแจงแบบเบตาจ�าแนกตาม

ขนาดตวอยาง (G) ทระดบนยส�าคญ 0.01

ภำพท 3 (ตอ) เปรยบเทยบอ�านาจการทดสอบของการทดสอบท ง 5 วธ เมอขอมลมการแจกแจงแบบเบตาจ�าแนก

ตามขนาดตวอยาง (H) ทระดบนยส�าคญ 0.05และ (I) ทระดบนยส�าคญ 0.10

วารสารวชาการ มหาวทยาลยราชภฏพระนคร

248

(J)

(K)

(L)

ภำพท 4 เปรยบเทยบอ�านาจการทดสอบของการทดสอบท ง 5 วธ เมอขอมลมการแจกแจงแบบไวบลลจ�าแนกตาม

ขนาดตวอยาง (J) ทระดบนยส�าคญ 0.01, (K) ทระดบนยส�าคญ 0.05 และ (L) ทระดบนยส�าคญ 0.10 ตามล �าดบ

จากภาพท 3 พบวาท งทระดบนยส�าคญ

0.01, 0.05 และ 0.10 การทดสอบของ b23 based

on polynomial regression มอ �านาจการทดสอบ

สงทสด รองลงมาคอการทดสอบของ Anderson-

Darling Statistic based on the likelihood ratio

(ZA) การทดสอบของ Shapiro-Wilk Statistic

(W) และการทดสอบของ Anderson-Darling (AD)

ตามล �าดบ

วารสารวชาการ มหาวทยาลยราชภฏพระนคร

249

จากภาพท 4 พบวาท งทระดบนยส�าคญ

0.01, 0.05 และ 0.10 การทดสอบของ Anderson-

Darling Statistic based on the likelihood

ratio (ZA) มอ �าจนาจการทดสอบสงทสด รองลงมา

คอ การทดสอบของ Anderson-Darling (AD) การ

ทดสอบของ Shapiro-Wilk Statistic (W) และการ

ทดสอบของ b23 based on polynomial regression

ตามล �าดบ

สรปผลกำรวจย ผลการศกษาพบวาการทดสอบของ Ander-

son-Darling Statistic based on the likelihood

ratio ( AZ ) และการทดสอบของ Anderson-Darling

(AD) สามารถควบคมความคลาดเคลอนประเภทท 1

ไดในทกขนาดตวอยาง การทดสอบของ b23 based

on polynomial regression และการทดสอบของ

Shapiro-Wilk Statistic (W) สามารถควบคมความ

คลาดเคลอนประเภทท 1 ไดเมอขนาดตวอยางเทากบ

20 และ 50 การทดสอบของ Shapiro-Francia

Statistic (W') ไมสามารถควบคมความคลาดเคลอน

ประเภทท 1 ไดในทกขนาดตวอยาง ส�าหรบอ�านาจ

การทดสอบพบวาสวนใหญการทดสอบของ Anderson-

Darling Statistic based on the likelihood ratio

(ZA) มอ �านาจการทดสอบสงทสด รองลงมาการทดสอบ

ของ Anderson-Darling (AD) สวนการทดสอบของ b2

3 based on polynomial regression และการ

ทดสอบของ Shapiro-Wilk Statistic (W) มอ �านาจ

การทดสอบทไมแตกตางกน

ขอเสนอแนะในกำรวจยคร งตอไป ศกษาความสามารถในการควบคมความ

คลาดเคลอนประเภทท 1 ของการทดสอบท ง 5 วธ

โดยใชการแจกแจงอน ๆ ทแตกตางจากทผวจยไดท �า

เชน การแจกแจงแบบเอกซโพเนนเชยล การแจกแจง

แบบลอกนอรมอล เปนตน

บรรณำนกรม

ชดชนก ชาญณรงค. (2548). กำรเปรยบเทยบอ�ำนำจกำรทดสอบของวธกำรทดสอบกำรแจกแจงแบบปกต 4 วธ.

วทยานพนธมหาบณฑต, มหาวทยาลยเกษตรศาสตร.

Anderson, T. W. and Darling, D. A. (1952). A test of goodness-of-fit. Journal of the American

Statistical Association. Ass.49: 765-769.

Coin, D. (2007). A goodness-of-fit test for normality based on polynomial regression. Computational

Statistics and Data Analysis. 52: 2185-2198.

Royston, J.P. (1982). Expected normal order statistics (exact and approximate) as 177. Applied

Statistics. 31: 161-165.

Shapiro, S.S. and R.S. Francia. (1972). An approximate analysis of variance test for normality.

Journal of the American Statistical Association. 67: 216-251.

Shapiro,S.S. and M.B. Wilk. (1965). An analysis of variance test for normality (complete sample).

Biometrika. 66: 760-762.

Zhang, J. (2002). Powerful goodness-of-fit tests based on the likelihood ratio. Journal of the

Royal Statistics Society. B, 64: 281-294.