Soal dan Jawaban Persamaan Kuadrat

1. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x - 5 = 0 adalah x1 dan x2. Hitunglah nilai dari 1/x1 + 1/x2.

Pembahasan Dari persamaan kuadrat di soal dikertahui a = 3, b = 2, dan c = -5.x1 + x2 = -b/a⇒ x1 + x2 = -2/3x1.x2 = c/a⇒ x1 . x2 = -5/31/x1 + 1/x2 = (x1 + x2) / (x1.x2)⇒ 1/x1 + 1/x2 = (-2/3) / (-5/3)⇒ 1/x1 + 1/x2 = -2/3 . (-3/5)⇒ 1/x1 + 1/x2 = 2/5⇒ 1/x1 + 1/x2 = 0,4.

2. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 - 6x - p = 0 dan x1 - x2 = 5, maka tentukanlah nilai p. 

Pembahasan Dari persamaan kuadrat di soal dikertahui a = 2, b = -6, dan c = -p.x1 - x2 = (√D) / a⇒ (x1 - x2) a = √D⇒ (x1 - x2) a = √(b2 - 4.a.c) ⇒ 5(2) = √(36 - 4.2.(-p) ⇒ 10 = √(36 + 8p) ⇒ 100 = 36 + 8p⇒ 8p = 64⇒ p = 8.

3. jika x1 dan x2 merupakan akar dari persamaan 32x + 33-2x - 28 = 0, maka tentukanlah jumlah kedua akar tersebut.

Pembahasan Untuk menyelesaikan soal seperti ini, kita perlu mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan kuadrat yang sederhana.32x + 33-2x - 28 = 0; misalkan 32x = a⇒ 32x + (33)/32x - 28 = 0 ⇒ a + 27/a - 28 = 0 ⇒ a2 - 27 - 28a = 0⇒ a2 - 28a - 27 = 0⇒ (a - 1)(a - 27) = 0⇒ a = 1 atau a = 27Untuk a = 1, maka :32x = a ⇒ 32x =1⇒ 32x = 30 ⇒ 2x = 0⇒ x1 = 0Untuk a = 27, maka :32x = a ⇒ 32x = 27⇒ 32x = 33 ⇒ 2x = 3⇒ x2 = 3/2Jadi  x1 + x2 = 0 + 3/2 = 3/2.

4. Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar  x1 dan x2. Jika persamaan kuadrat tersebut adalah 2x2 - 3x - 5 = 0 , maka tentukanlah sebuah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya -1/x1 dan -1/x2.

PembahasanDari persamaan kuadrat di soal diketahui a = 2, b = -3, dan c = -5.x1 + x2 = -b/a⇒ x1 + x2 = -(-3)/2⇒ x1 + x2 = 3/2x1.x2 = c/a⇒ x1.x2 = -5/2

Persamaan kuadrat baru dapat ditentukan dengan rumus :x2 - (α + β)x + α.β = 0 dengan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru.Pada soal diketahui α = -1/ x1  dan β = -1/x2.α + β = (-1/x1) + (-1/x2)

⇒ α + β = (-1/x1) - (1/x2)⇒ α + β = (-x2 - x1) / (x1.x2)⇒ α + β = - (x1 + x2) / (x1.x2)⇒ α + β = -(3/2) / (-5/2)⇒ α + β = 3/5

α.β = -1/ x1 . (-1/x2)⇒ α.β = 1/(x1.x2)⇒ α.β = 1/ (-5/2)⇒ α.β = -2/5

Jadi persamaan kuadrat yang akarnya -1/ x1 dan -1/x2 adalah :x2 - (α + β)x + α.β = 0⇒ x2 - 3/5x + (-2/5) = 0  ⇒ x2 - 3/5x - 2/5 = 0⇒ 5x2 - 3x - 2 = 0.

5. Suatu persamaan kuadrat x2 - px + p + 1 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Jika diketahui x1 - x2 = 1, tentukanlah nilai p yang memenuhi persamaan tersebut.

PembahasanDiketahui : a = 1, b = -p, c = p + 1.x1 - x2 = (√D) / a⇒ (x1 - x2) a = √D ⇒ (x1 - x2) a= √(b2 - 4.a.c)⇒ 1(1) = √(p2 - 4.1.(p + 1)) ⇒ 1 = √(p2 - 4p - 4) ⇒ 1 = p2 - 4p - 4⇒ p2 - 4p - 5 = 0⇒ (p - 5)(p + 1) = 0⇒ p = 5 atau p = -1.

6. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukanlah persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar (x1 - 2) dan (x2 - 2).

PembahasanDari persamaan kuadrat di soal diketahui a = 1, b = 2, dan c = 3.x1 + x2 = -b/a⇒ x1 + x2 = -2/1⇒ x1 + x2 = -2x1.x2 = c/a

⇒ x1.x2 = 3/1⇒ x1.x2 = 3

Persamaan kuadrat baru dapat ditentukan dengan rumus :x2 - (α + β)x + α.β = 0 dengan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru.Pada soal diketahui α = (x1 - 2)  dan β = (x2 - 2).α + β = (x1 - 2) + (x2 - 2)⇒ α + β = (x1 + x2) - 4⇒ α + β = -2 - 4⇒ α + β = -6

α.β = (x1 - 2)(x2 - 2)⇒ α.β = x1.x2 - 2x1 - 2x2 + 4⇒ α.β = x1.x2 - 2(x1 + x2) + 4⇒ α.β = 3 - 2(-2) + 4⇒ α.β = 3 + 4 + 4⇒ α.β = 11

Jadi persamaan kuadrat yang akarnya (x1 - 2) dan (x2 - 2) adalah :x2 - (α + β)x + α.β = 0⇒ x2 - (-6)x + 11 = 0  ⇒ x2 + 6x + 11 = 0

7. Diberikan persamaan-persamaan kuadrat sebagai berikut:

a) p2 − 16 = 0

b) x2 − 3 = 0

c) y2 − 5y = 0

d) 4 x2 − 16 x = 0

Pembahasana) p2 − 16 = 0(p + 4)(p − 4) = 0p + 4 = 0 → p = − 4p − 4 = 0 → p = 4Sehingga x = 4 atau x = − 4

Himpunan penyelesaian {−4,  4}

b) x2 − 3 = 0(x + √3)(x − √3) = 0x = √3 atau x = − √3

c) y2 − 5y = 0y(y − 5) = 0y = 0 atau y = 5

d) 4 x2 − 16 x = 0Sederhanakan dulu, masing-masing bagi 4 :x2 − 4 x = 0x(x − 4) = 0x = 0 atau x = 4

Soal No. 8Diberikan persamaan-persamaan kuadrat sebagai berikut:a) x2 + 7x + 12 = 0b) x2 + 2x − 15 = 0c) x2 − 9 + 14 = 0d) x2 − 2x − 24 = 0Faktorkan persamaan-persamaan kuadrat di atas!

PembahasanBentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + C = 0Untuk nilai a = 1 seperti semua soal nomor 2, pemfaktoran sebagai berikut:→ Cari dua angka yang jika di tambahkan (+) menghasilkan b dan jika dikalikan (x) menghasilkan ca) x2 + 7x + 12 = 0+ → 7 x → 12Angkanya : 3 dan 4Sehingga x2 + 7x + 12 = 0(x + 3)(x + 4) = 0x = − 3 atau x = − 4

b) x2 + 2x − 15 = 0+ → 2 x → − 15Angkanya : 5 dan − 3

Sehingga x2 + 2x − 15 = 0(x + 5)(x − 3) = 0x = − 5 atau x = 3

c) x2 − 9 x + 14 = 0+ → − 9 x → 14Angkanya : −2 dan − 7Sehingga x2 − 9x + 14 = 0(x − 2)(x − 7) = 0x = 2 atau x = 7

d) x2 − 2x − 24 = 0x2 − 9 + 14 = 0+ → − 2 x → − 24Angkanya : − 6 dan 4Sehingga x2 − 2x − 24 = 0(x − 6)(x + 4) = 0x = 6 atau x = − 4

Soal No. 9Diberikan persamaan-persamaan kuadrat sebagai berikut:a) 2x2 −  x − 6 = 0b) 3x2 − x − 10 = 0Faktorkan persamaan-persamaan di atas!

PembahasanBentuk yang sedikit lebih sulit dari nomor 2, Untuk ax2 + bx + c = 0 dengan a tidak sama dengan 1, makaCari dua angka, namakan P dan Q→ jika dijumlah (+) hasilnya adalah b atau P + Q = bjika di kali (x) hasilnya adalah ac atau P.Q = ac

kemudian masukkan dua angka tadi (P dan Q) ke pola berikut:

1/a (ax + P)(ax + Q) = 0

seterusnya liat contoh bawaha) 2x2 + x − 6 = 0dataa = 2, b = 1 dan c = − 6Cari angka P dan QP + Q = b = 1P.Q = ac = (2)(−6) = − 12Sehingga P = 4 dan Q = − 3

masukkan pola 1/a (ax + P)(ax + Q) = 01/2(2x + 4)(2x − 3) sederhanakan, kalikan 1/2 dengan (2x + 4)(x + 2)(2x − 3) = 0x = −2 atau x = 3/2

b) 3x2 − x − 10 = 0a = 3, b = − 1, c = − 10P + Q = b = − 1P.Q = ac = (3)(−10) = − 30→ P = −6, Q = 51/3(3x − 6)(3x + 5) = 0(x − 2)(3x + 5) = 0x = 2 atau x = − 5/3