I. PERSAMAAN KUADRAT

Drs. KADEK ARTIKA

Langkah-langkah Pembelajaran

1. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran2. Guru mengaitkan materi yang diajarkan

dengan materi sebelumnya3. Guru membagi siswa menjadi beberapa

kelompok belajar dengan anggota 4 orang 4. Guru membimbing kelompok-kelompok

belajar pd saat mereka mengerjakan tugas5. Masing-masing kelompok mempresentasikan

hasil diskusinya di depan kelas6. Guru menghargai upaya maupun hasil

belajar individu dan kelompok  

Tujuan Pembelajaran

Dengan kegiatan diskusi dan pembelajaran kelompok diharapkan siswa terlibat aktif dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggungjawab dalam menyampaikan pendapat, menjawab pertanyaan, memberi saran dan kritik, serta dapat :• menentukan suku ke-n suatu barisan geometri.• menentukan jumlah n suku pertama suatu deret geometri 

1. Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat Satu Peubah

Pak Anas memiliki tambak ikan mas di hulu sungai yang berada di belakang rumahnya. Setiap pagi, ia pergi ke tambak tersebut naik perahu melalui sungai yang berada di belakang rumahnya.Dengan perahu memerlukan waktu 1 jam lebih lama menuju tambak dari pada pulangnya. Jika laju air sungai 4 km/jam dan jarak tambak dari rumah 6 km, berapa laju perahu dalam air yang tenang? Ilustrasi masalah dapat dicermati pada gambar berikut.Alternatif PenyelesaianMisalkan : Vhu = kecepatan perahu kehulu

Vhi = kecepatan perahu kehilir/pulang

thu = waktu yang dibutuhkan perahu menuju tambak

thi = waktu yang dibutuhkan perahu kehilir/pulang

V = x = kecepatan perahu saat air tenang

1. Masalah 1

1hihu V

S

V

S

14

6

4

6

xx

MakaVhu = x - 4

Vhi = x + 4

thi - thu = 1

6 (x + 4) – 6 (x – 4) = (x + 4) (x – 4)6x + 24 - 6x + 24 = x2 + 4x – 4x – 1648 = x2 – 16x2 – 64 = 0(x – 8) (x + 8) = 0x - 8 = 0 atau x + 8 = 0x = 8 atau x = -8Jadi kecepatan perahu di air tenang adalah 8 km/jamNilai x = –8 tidak berlaku sebab kecepatan perahu bergerak maju selalu bernilai positif

Masalah 2Sebuah usaha penyewaan rumah mempunyai sebuah apartemen dengan 30 kamar, akan disewakan. Manager mengetahui dari pengalaman masa lalu bahwa dia dapat menyewakan semua kamar masing-masing dengan sewa Rp 1.000.000 perbuan, tetapi untuk setiap pertambahan sewa Rp 50.000, satu kamar akan tersisa kosong. Ternyata sewa kamar yang didapat selama sebulan sebesar Rp 25.200.000 . Berapa sewa rumah yang dikenakan perbulan, dan berapa kamar yang disewakan

Pembahasan :Misal banyak kamar yang kosong = x Maka banyak kamar yang disewakan = …………… 1)Sewa bulanan = ……………. 2)Pendapatan = banyak kamar yg disewakan x sewa bulanan(1.000.000 + 50.000x )( 30 – x ) = 25.200.00030.000.000 + 500.000x – 50.000x 2 = 25.200.0004.800.000 + 500.000x – 50.000x 2 = 096 + 10x - x 2 = 0x 2 -10x – 96 = 0(x – 16)(x + 6) = 0x = 16 atau x = -6Dengan mensubstitusikan x =16 ke pers 1 dan 2 diperoleh :Banyak kamar yang disewakan =Sewa rumah =

Alternatif Penyelesaian

30 – x Rp 1.000.000 + 50.000x

30 – 16 = 14Rp 1.000.000 + 50.000 x 16 = Rp 1.800.000

Jawablah dengan singkat dan jelas ! 1. Di depan sebuah sekolah akan dibangun lapangan bola basket. Tanah kosong yang tersedia berukuran 60 m x 30 m. Karena dana terbatas, maka luas lapangan yang direncanakan adalah 1000 m2 . Untuk memperoleh luas yang diinginkan, ukuran panjang tanah dikurangi x m dan ukuran lebar dikurangi x m. Temukan sebuah persamaan kuadrat dari masalah ini?2. Dari selembar plat seng berbentuk persegi panjang berukuran 50 cm x 40 cm akan dibuat sebuah tempat air tanpa tutup berbentuk balok dengan luas alas 200 cm2. Buat persamaan kuadrat dari masalah tersebut kemudian tentukan volume tempat air yang terbentuk !3. Pada sebuah kerucut lingkaran tegak diketahui bahwa: penambahan volume karena jari-jarinya bertambah sepanjang 24 cm sama dengan penambahan volume karena tingginya bertambah 24 cm. Jika tinggi semula kerucut 3 cm, berapakah jari-jari kerucut semula ?4. Dua buah jenis printer komputer akan digunakan untuk mencetak satu set buku. Jenis printer pertama 1 jam lebih cepat dari jenis printer kedua untuk menyelesaikan cetakan satu set buku. Jika kedua jenis printer digunakan sekaligus, maka waktu yang digunakan untuk mencetak satu set buku adalah 1,2 jam. Berapa waktu yang dibutuhkan printer jenis kedua untuk mencetak satu set buku.

Latihan Soal

DefinisiPersamaan kuadrat dalam x adalah suatu persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0.Keterangan: x adalah variabel atau peubah a adalah koefisien dari x b adalah koefisien dari x c adalah konstanta persamaan

b. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

1) Cara PemfaktoranCara memfaktorkan berarti mengubah bentuk ax2 + bx + c = 0, menjadi bentuk (x – x1)(x – x2) = 0

ContohTentukan akar-akar persamaan kuadrat 3z2 + 2z – 85 = 0 dengan cara pemfaktoran

Penyelesaian3z2 + 2z – 85 = 03z2 + 17z – 15z – 85 = 0z(3z + 17) – 5(3z + 17) = 0(z – 5)(3z + 17) = 0(z – 5) = 0 atau (3z + 17) = 0z = 5 atau z = -17/3

2) Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Dengan cara ini persamaan kuadrat, diubah menjadi bentuk x2 =pTentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 3x – 2 = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna

Alternatif Penyelesaian2x2 – 3x – 2 = 0 : 2)x2 – 3/2x – 1 = 0x2 – 3/2x = 1(x – ¾) 2 – 9/16 = 1(x – ¾) 2 = 9/16 + 1(x – ¾) 2 = 9/16 + 16/16(x – ¾) 2 = 25/16x – ¾ = ± 5/4x12 = 3/4± 5/4x1 = ¾+ 5/4 = 2x2 = 3/4- 5/4 = -1/2

3) Menggunakan Rumus ABC Akar-akar ax 2 + bx + c = 0 dengan a, b, c bilangan riil

dan a ≠0 adalah:

a

acbbx

2

42

12

b2 - 4ac biasanya disebut diskriminan disingkat DJika D > 0, maka kedua akar persamaan kuadrat itu adalah riil dan berbeda.Jika D = 0, maka kedua akar persamaan kuadrat itu adalah riil yang sama Jika D < 0, maka persamaan kuadrat itu tidak mempunyai akar riil

Contoh 1 Selesaikan persamaan kuadrat 4x 2 - 8x - 3 = 0 dengan rumus abc.Penyelesaian4x 2 - 8x -3 = 0 a = 4, b = -8, c = -3

a

acbbx

2

42

12

4.2

)3.(4.4)8()8( 2

8

48648

8

1128

8

7.168

8

7.48

2

7.2

2

7.21

x

2

7.22

x

Contoh 1 Selesaikan persamaan kuadrat 4x 2 - 8x - 3 = 0 dengan rumus abc.Penyelesaian4x 2 - 8x -3 = 0 a = 4, b = -8, c = -3

2. Tentukan m agar persamaan kuadrat 2x 2 + 4x + 3m - 4 = 0 mempunyai dua akar sama.

2x 2 + 4x + 3m - 4 = 0 2x 2 + 4x + (3m – 4) = 0Agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar sama maka D = 0

D = 42 – 4.2.(3m - 4) = 016 – 24m + 32 = 048 = 24mm = 2

Jadi agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 akar sama maka m = 2

D = b2 - 4ac

Jawablah dengan singkat dan jelas ! 1. Selesaikan persamaan kuadrat di bawah dengan cara memfaktorkan a. x 2 + 5x - 50 = 0 b. x 2 + 3x = 0 c. x 2 - 4 = 0 d. 2x 2 + 3x + 1 = 0 e. 3x 2 + 5x - 2 = 0 2. Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini dengan melengkapkan kuadrat sempurna a. x 2 + 5x +4 = 0 b. 2x 2 – 14x + 12 = 0 3. Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini dengan rumus abc a. x 2 - 15x + 30 = 0 b. x 2 + 8x - 20 = 0 c. x 2 + 3x = 0 4. Tentukan p agar persamaan kuadrat (p+3)x 2 + 3x - 4 = 0 mempunyai dua akar sama.

Latihan soal

c. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Berdasarkan rumus abc, akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 adalah

a

Dbx

21

a

Dbx

22

x 1 =

dengan D = b2 - 4ac

a. Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat

a

Db

a

Dbxx

2221

a

b

b. Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

a

Db

a

Dbxx

2.

2. 21

2

2

4a

Db

2

22

4

)4(

a

acbb

a

c

Kesimpulan : Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dengan a, b, c bilangan riil dan a ≠ 0

0, maka

a

bxx

21

a

cxx 21.

Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 5x +3 = 0 tentukan :a. x1 + x2 b. x1 x2 c. x1

2 + x2

2 21

11.

xxd

Pembahasan

a

bxxa

21.

a

cxxb 21..

51

5

31

3

c. x12

+ x22 = ( x1 + x2 ) 2 - 2 x1 x2

= ( -5 ) 2 - 2 .3

= 25 – 6 = 19

21

11.

xxd

21

21

xx

xx

3

5

Contoh soal

Latihan Soal

1. Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat 4x 2 -2x - 1 = 0 tentukan :

a. x1 + x2 b. x1 x2 c. x12

+ x22

21

11.

xxd

2. Jika untuk persamaan kuadrat 3x 2 + (p – 2)x - 1 = 0 jumlah akar-akarnya adalah 2, tentukan p dan akar-akar tersebut !

3. Salah satu akar x 2 -px +6 = 0 adalah 2 tentukan akar yang lain dan p4. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0,

tunjukkan bahwa :

2

22 4

a

acbqp

d. Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar x1 dan x2

Bentuk lain persamaan kuadrat adalah ax 2 + bx + c = 0 dengan a, b, c bilangan riil dan a ≠ 0 adalah x 2 + b/ax + c/a = 0karena x1 + x2 = -b/a dan x1 x2 = c/a, maka x 2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 atau (x – x1 )(x – x2 )= 0

0, adalah

Kesimpulan Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar x1 dan x2 adalah x 2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 atau(x – x1 )(x – x2 )= 0

Contoh soal1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan -3Penyelesaianx1 + x2 = 2 + (-3) = -1x1 . x2 = 2 . -3 = -6Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan -3 adalahx2 - ( x1 + x2 )x + x1 . x2 = 0 x2 - (-1)x + (-6) = 0 x2 + x - 6 = 0

2. Tentukan PK yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar PK x 2 + 5x +3 =0

PenyelesaianMisalnya x 1 dan x 2 akar-akar PK x 2 + 5x +3 = 0 , makax 1 + x 2 = -b/a = -5/1 = -5x 1 . x 2 = c/a = 3/1 = 3 Misalnya p dan q akar-akar persamaan kuadrat yang dimaksud, makap = x 1 + 2 dan q = x 2 + 2p + q = (x1 + 2 ) + ( x2 + 2 ) = x1 + x2 + 4 = -5 + 4 = -1p . q = (x1 + 2)(x2 + 2)= x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 4= 3 + 2.(-5) + 4 = 3 – 10 + 4 = -3Jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah x 2 - (p + q)x + pq = 0 x 2 - (-1) x +(-3) = 0 x 2 + x - 3 = 0

Latihan soal 1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya a. -3 dan 5 b. 7 dan 0 c. 2 dan 3/22. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 5x -4 = 0 3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 2x -3 = 0

Penyelesaian :

Contoh 2

Contoh 3

MAIN TOPIC