BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah .

Pada makalah ini, kita akan mempelajari tentang rumus persamaan kuadrat dan

persamaan linier untuk menggambarkan fungsi kuadrat.Maka dari itu, kami membuat

makalah ini bertujuan untuk mempelajari lebih dalam tentang persamaan kuadrat dan

persamaan linier yang akhir-akhir ini mungkin sudah tidak diminati oleh para mahasiswa.

Apalagi dengan kemajuan teknolagi zaman sekarang. Para mahasiswa hanya ingin yang

serba instant dan tanpa menguras otak.

Dalam makalah ini kami akan mengupas berbagai rumus dari persamaan kuadrat dan

persamaan linier yang dipakai untuk menyelesaikan berbagai soal yang berhubungan

dengan persamaan kuadrat dan persamaan linier. Selain itu, kami juga sudah membuat

contoh soal beserta pembahasannya, dengan begitu pembaca dapat mengerti cara-cara

yang ditempuh untuk memecahkan persoalan persamaan kuadrat dan persamaan linier.

1.2 Rumusan Masalah

1. Apakah pengertian persamaan kuadrat ?

2. Jelaskan pengertian persamaan linier ?

3. Apa saja rumus-rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier ?

1.3 Tujuan Penulisan

1. Untuk mengetahui pengertian persamaan kuadrat

2. Untuk mengetahui pengertian persamaan linier

3. Untuk mengetahui apa saja rumus-rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier

1

BAB II

PERSAMAAN KUADRAT

2.1 Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Persamaan yang berbentuk disebut persamaan kuadrat atau persamaan

derajat dua dalam x. Adapun bentuk umum persamaan kuadrat adalah

dengan (bilangan real) dan . Jika maka persamaan tersebut bukan

lagi persamaan kuadrat.

2.2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Suatu bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu:

1. Pemfaktoran

Penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan sifat faktor nol, yaitu:

Jika maka atau

Contoh:

Tentukan Hp dari

Jawab:

x = 5 atau x = 3 Hpnya adalah {3, 5}

2. Melengkapi Kuadrat Sempurna

dalam menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk terlebih dahulu

dirubah menjadi bentuk

prinsip yang digunakan untuk menyelesaikan dengan cara tersebut adalah:

1. Jika, maka mempunyai 2 akar real yaitu

2. Jika, maka mempunyai 1 akar real yaitu

3. Jika, maka tidak mempunyai akar real

2

Contoh:

Tentukan Hp dari

Jawab:

menambahkan kedua ruas dengan

, ini berarti atau

nya adalah { , }

3. Menyelesaikan Persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat

Contoh:

Carilah Hp dari dengan menggunakan rumus

Jawab:

3

atau

nya adalah

2.3 Jenis –jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kadang-kadang persamaan kuadrat tidak mempunyai penelesaian. Hal tersebut dapat

diketahui antara lain dengan cara sebagai berikut:

Persamaan kuadrat dengan

Akar-akarnya adalah

Bilangan sering disebut dengan “Diskriminan” dan ditulis akan

membedakan nilai x1 dan x2. Pada persamaan kuadrat berlaku sebagai berikut:

a. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar nyata yang berlainan.

b. Jika D = 0 maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar yang sama (kembar) dan

selaku rasional.

c. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar yang tidak yata atau imajiner.

Contoh:

Tentukan m sehingga mempunyai akar yang sama !

Jawab:

4

jadi m1 = -3 atau m2 = 3

2.4 Jumlah Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan dengan akar-akar x1 dan x2

dan

jika dijumlah akan diperoleh :

Jika dikalikan akan dipreoleh :

2.5 Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika diketahui akar-akar suatu persamaan adalah x1 dan x2, maka dapat kita susun

persamaan kuadrat dengan cara sebagi berikut.

Dengan menggunakan perkalian factor

Contoh: Susulah suatu persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui -8 dan 5

Jawab:

x1 = -8 dan x2 = 5

Dengan menggunakan sifat akar persamaan kuadrat

Contoh: susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya -2 dan 7!

Jawab

Karena x1 = -2 dan x2 = 7, maka

Jadi persamaan kuadrat adalah

2.6 Untuk hal-hal khusus berlaku

5

Kedua akarnya saling berlawanan

Kedua akarnya saling kebalikan

2.7 Hubungan Diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan

kuadrat

kedua akarnya real dan positif, maka

dan

Contoh:

kedua akarnya real dan negative, maka

dan

Contoh:

Kedua akarnya real dan berlawanan tanda, maka

Contoh:

Kedua akarnya sama (kembar), maka

untuk

Contoh:

Kedua akarnya sama tapi tandanya berlawanan, maka

Contoh:

6

Kedua akarnya saling berkeblikan, maka

Contoh:

Salah satu akarnya nol, maka

jadi

Contoh:

FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi f pada himpunan bilangan real R yang ditentukan

oleh dengan dan . Fungsi kuadrat dirumuskan dengan

. Untuk menggambarkan grafik fungsi kuadrat diperlukan

langkah-angkah sebagai berikut:

a. Menentukan titik potong dengan sumbu x, dengan syarat y = 0 atau ada tiga

macam kedudukan grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x yaitu:

7

o Jika , maka . Grafik memotong sumbu x di 2 titik yang berbeda yaitu

dan

o Jika , maka . Grafik memotong sumbu x di 1 titik atau dikatakan

menyinggung sumbu x

o Jika , maka tidak ada nilai x yang memenuhi, ini berarti grafik tidak memotong

sumbu x

b. Menentukan titik potong dengan sumbu y, dengan syarat x = 0

, jadi titik potong disumbu y adalah (0, c)

c. Persamaan sumbu simetris

Bila Grafik memotong sumbu x dititik (x1, 0) dan (x2, 0) maka persamaan sumbu

simetrisnya adalah

d. Titik balik maksimum dan minimum

8

Jika maka nilai akan mencapai nilai minimum untuk atau

jika suatu parabola mempunyai titik balik minimum dengan

sumbu simetris maka grafik parabolanya membuka keatas dengan puncaknya

terletak dibawah

Jika maka nilai akan mencapai nilai minimum untuk atau

jika suatu parabola mempunyai titik balik maksimum dengan

sumbu simetris maka grafik parabolanya membuka keatas dengan puncaknya

terletak dibawah

e. Titik Bantu (jika perlu)

Jika pada langka a sampai d diperoleh titik-titik yag sama, maka dicari titik Bantu. Dari

keterangan di atas dapat disimpulkan bahaw bentuk-bentuk grafik fungsi kuadrat adalah

sebagi berikut:

9

Definit positif adalah suatu bentuk yang selalu positif untuk setiap nilai x

Definit negatif adalah suatu bnetuk yag selalu negatif untuk setiap niali x

Contoh:

Gambarlah Grafik fungsi

a. Titik potong dengan sumbu x →

x = 4 atau x = -1

b. Titik potong dengan sumbu y →

c. Sumbu Simetris

d. Nilai maksimum (karena a > 0)

Jadi titik balik minimum

Membentuk fungsi kuadrat

10

Untuk suatu fungsi kuadrat perlu diperhatikan ciri-ciri khusus yang dimiliki fungsi

kuadrat tersebut, yaitu sebagai berikut

a. Jika fungsi kuadrat tersebut mempunyai titik balik pada (p,q) maka persamaannya

adalah

b. Jika fungsi kuadrat tersebut diketahui mempuyai titik potong dengan sumbu x di

maka persamaannya adalah

c. Jika fungsi kuadrat tersebut diketahui melalui 3 titik sembarang, maka persamaannya

adalah

BAB III

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

3.1 Sistem persamaan linear dengan dua peubah

1. Pengertian sisten persamaan linear dengan dua peubah

Sistem persamaan linear dengan dua peubah pangkat satu misalnya x dan y dan

tidak mengandung perkalian antara kedua peubah tersebut (tidak mengandung suku

xy).

Bentuk persamaan umum persamaan linear dengan dua peubah adalah

dengan a, b, dan c adalah konstanta pada bilangan real.

Gabungan dari beberapa persamaan linear disebut sistem persamaan linear. Sebuah

sistem persamaan linear paling sedikit terdiri atas dua buah linear.

11

Contoh:

2. Menentukan peyelesaiaan sistem persamaan linear dengan dua peubah.

Untuk penyelesaiaan dari suatu sistem persamaan linear dengan dua peubah anda

dapat menggunakan metode grafik, elimiasi, substitusi dan gabungan metode eliminasi

dan substitusi.

a. Metode Grafik

Untuk menentukan penyelesaiaan dengan metode grafik, anda gambarkan

kedua persamaan linear diatas dengan sumbu koordinat. Grafik persamaan linear

berupa garis lurus, kemudian tentukan titik potong antara kedua garis tersebut.

Titik potong merupakan penyelesaiaa Persamaan linear tersebut, ada 3

kemungkinan hubungan antara dua buah garis :

1. Jika kedua garis berpotongan, berarti sistem persamaan linear mempunyai 1

penyelesaian,

2. Jika kedua garis sejajar, berarti sistem persamaan linear tidak mempunyai

penyelesaian

3. Jika kedua garis berhimpit, berarti sistem persamaan linear mempunyai tak terhingga/

banyak penyelesaian.

Akan tetapi trekadang, metode grafik hanya memberikan penyelesaian yang

berupa taksiran bukan penyelesaian eksak.

Contoh soal:

x 0 10.000

y 5000 0

x 0 3000

y 12.000 0

b. Metode Eliminasi

12

Dalam metode eliminasi kita meenghilangkan salah satu variable untuk

mendapatkan nilai variable yang lain, utuk mengeliminasi atau menghilangkan

suatu variable, samakan nilai kedua koefisien variable kemudian kedua persamaan

dijumlah atau dikurangi.

Contoh:

a. Eliminasi variable x

b. Eliminasi variable y

Didapat x = 2000 dan y = 4000 disebut penyelesaian sistem persamaan

dan

c. Penyelesaian dengan metode substitusi

Dalam metode substitusi, suatu variable dinyatakan dalam variable yang lain

dari suatu persamaan, selanjutnya variable ini digunakan untuk menggantikan

variable yang sama dalam persamaan lainnya sehingga menjadi persamaan satu

variable.

Dari persamaan

Substitusi kepersamaan diperoleh

selanjutnya nilai x = 20.000 disubstitusikan ke persamaan

13

didapat x = 2.000 dan y = 4.000

d. Penyelesaian dengan metode gambungan eliminasi dan substitusi

Dalam metode ini, salah satu variable terlebih dahulu dicari dengan metode

eliminasi, kemudian nilai variable ini di substitusikan kedalam salah satu

persamaan sehingga diperoleh nilai variable lainya.

Dengan metode substitusi, disubstitusikan ke persamaan

Dengan metode ini didapat dan

3. Menentukan banyak penyelsaian dari suatu sistem persamaan linear dengan dua

peubah

Sebenarnya, dengan metode grafik anda dapat menentukan banyak

penyelesaian dari SPL dengan dua peubah. Akan tetapi, anda memerlukan waktu yang

cukup lama untuk mengetahui .

Untuk menentukan banyak penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan dua

peubah dapat ditulis sebagai berikut.

garis (1)

garis (2)

garis (1) memiliki gradien = dan -intercept = b

garis (2) memiliki gradien = dan -intercept = q

banyak pnyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut ternyata ditentukan oleh

nilai gradient dan y-intercept kedua persamaan linear.

Jika gradien kedua garis berbeda, sistem persamaan linear konsisten dan

independent atau memiliki satu penyelesaikan

14

Jika gradien kedua garis sama, tetapi y-intercept nya berbeda, sistem persamaan

linear tidak konsisten dan tak memiliki peyelesaian

Jika gradient dan y-intercept kedua garis sama, sistem persamaan linear konsisten

dan independent atau memiliki tak terhingga banyak penyelesaian.

3.2 Sistem persamaan dengan tiga peubah

1. Pengertian system persamaan linear dengan tiga peubah

Suatu sistem persamaan linear dengan tiga peubah mengandung tiga

persamaan linear dengan tiga peubah, suatu penyelesaian dari sistem persamaan linear

dengan tiga peubah adalah suatu pasangan terurut misalnya yang memenuhi

setiap persamaan linear dari system tersebut.

SPL tiga peubah secara umum dapat ditulis:

2. 2Menentukan penyelesaian system persamaan linear dengan 3 peubah

a. Metode substitusi

Soal:

Langkah I : pilih salah satu peubah untuk dinyatakan ke peubah lainnya.

Langkah II: substitusikan persamaan (4) kepersamaan (2) dan (3)

kedua ruas dikali 2

………(5)

Langkah III ubah persamaan (5)

15

………(6)

kemudia substitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (4)

Langkah ke IV : substitusikan persamaan (6) dan (7) ke persamaan asli yang

belum digunakan yaitu persamaan (3)

Langkah ke V: substitusikan kedalam Persamaan linear dua peubah pada

persamaan (6) dan (7)

Demikian penyelesaian sistem persamaan linear adalah

b. Gabungan Metode Eliminasi dan substitusi

Langkah I: Pilih peubah yang paling mudah di eliminasi misal y dan 2 persamaan

yang ada misalnya persamaan (1) dan (2).

kemudian pilih pasangan persamaan (2) dan (3) untuk mengeliminasi y.

16

Langkah II: Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah persamaan (4) dan

persamaan (5) dengan metode eliminasi

Langkah III: masukkan x = 3 kepersamaan (4)

Langkah IV: masukkan nilai x =3 dan z = -2 kepersamaan (2)

Demikian penyelesaian sistem persamaan linear adalah

Contoh soal

Pada suatu hari Roro, Sarah dan Amelia panen jeruk. Hasil kebun Sarah 5 kg lebih

sedikit dari kebun Roro dan lebih banyak 7 kg dari hasil kebun Amelia. Jika jumlah hasil

panen dari ketiga kebun itu 223 kg. hasil panen Roro adalah….

Jawab

Misal: Roro = x , Sarah = y , dan Amelia = z

Substitusikan (1) dan (2)

Substitusikan (1) dan (3)

Substitusikan persamaan (4) dan (5)

Substitusikan z =68 dan y = 80 kepersamaan (3)

17

hasil panen Roro75 kg

Sistem Persamaan Linear dan kuadrat

Adalah suatu persamaan yang tersdiri dari persamaan linear dan persamaan kuadrat.

Bentuk umum persamaan linear dan kuadrat adalah:

Dari persamaan: dan , disubstitusikan persamaan linear

kepersamaan kuadrat

Dengan nilai (D) adalah

Dengan demikian terdapat 3 kemungkinan

4. D > 0

Mempunyai dua penyelesaian, garis dan parabola berpotong pada dua titik berbeda

5. D = 0

Mempunyai satu penyelesaian, garis dan parabola saling bersinggungan

6. D > 0

Garis dan parabola tidak saling berpotongan juga tidak saling bersinggungan sehingga

sistem persamaan tersebut tidak mempunyai himpunan penyelesaian.

18

Jadi fungsi linear berupa garis lurus , sedangkan grafik fungsi kuadrat berupa

parabola.

Soal

a. Tentukan P agar mempunyai satu penyelesaian

Jawab:

Substitusikan ke

Agar persamaan tersebut mempunyai satu penyelesaian maka

dan

b. Tentukan Hp dari

Jawab:

dan

19

3.4 Sistem persamaan kuadrat

Adalah system persamaan yang terdiri atas dua persamaan, masing-masing berbentuk

kuadrat dan memuat dua variable.

Bentuk umum persamaan kuadrat:

a, b, c, q da r merupakan bilangan real a dan p ≠ 0

Cara penyelesaian sistem persamaan kuadrat dengan kuadrat:

7. Substitusikan ke sehingga diperoleh

merupakan persamaan kuadrat dalam x

8. Nilai x yag diperolah disubstitusikan ke salah satu persamaan kuadrat sehingga

diperoleh nilai y

Banyak anggota penyelesaian dan persamaan kuadrat dengan kuadrat ditetukan oleh nilai

D

Soal

a. Tentukan nilai m agar dan

Substitusikan ke

Syarat mempunyai dua penyelesaian D > 0

jadi nilai

b. Tentukan Hp dari sisem persamaan berikut:

20

Jawab:

disubstitusikan

dan disubstitusikan ke persamaan (1) dan (2)

= 4

= 4

BAB IV21

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Rumus persamaan kwadrat

2.1 Pemfaktoran

Penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan sifat faktor nol, yaitu:

Jika maka atau

2.1 Melengkapi Kuadrat Sempurna

dalam menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk terlebih dahulu

dirubah menjadi bentuk

2.1 Menyelesaikan Persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat

Peyelesaiaan sistem persamaan linear dengan dua peubaha. Metode Grafik

b. Metode Eliminasi

22

c. Penyelesaian dengan metode substitusi

d. Penyelesaian dengan metode gambungan eliminasi dan substitusi

4.2 Saran

Memahami rumus – rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier dengan seksama

dan tepat.   Dengan begitu, kita akan dapat menyelesaikan persoalan persamaan

kuadrat dan persamaan linier   dengan cepat dan benar

DAFTAR PUSTAKA

23

David Bergamini.1981.Pustaka Ilmu Life: Tirtara Pustaka.

Kartini, dkk. 1994. Matematika 1A, 1B, 1C SMU. Bandung: Pakar Raya.

Daniel L. Auvil dan Charles Poluga. 1985. Elementary Algebra, Second Edition.

Canada: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

Martin M. Zuckerman. 1985. Algebra and Trigonometry, A straightforward Approach,

Second Edition. Canada: John Wiley and Sons.

W. Gellert, H. Kustner, M. Hellwich, and H. Kastner. 1975. The VNR Concise

Encyklopedia of Mathematics. New York: Van Nostrand Reinhold Company.

Andi Hakim Nasoetion, dkk. 1994. Matematika 1 SMU. Jakarta: Balai Pustaka.

E. Daiman. 1994. Matematika 1 SMU. Bandung: Ganeca Exact.

Wono Setya Budhi. 1999. Matematika SMU IA, IB.-: Pusgrafin.

The Liang Gie. 1993. Filsafat Matematika Bagian Kedua. Yogyakarta: Yayasan Studi

Ilmu dan Teknologi.

M. Sambas, dkk. 1992. Aritmetika untuk SMA. Bandung: Pakar Raya.

Suwaji, dkk.1996. Matematika 1 Cawu 1, 2, 3 SMU. Surabaya: Kendang Sari.

Mary Worral, dkk. 1995. Oxford Ensiklopedia Pelajar Edisi Bahasa Indonesia.

Jakarta: PT Widyadara.

Crosswhite, Hawkinson, Sachs. 1983. Merril Pre-Calculus Mathematics. Ohio :

Charles E. Merril Publishing Co.

Departemen Pendidikan Nasional. 2002. keputusan Menteri Pendidikan Nasional

Republik Indonesia Nomor 111/U/2002 tentang Penyesuaian Garis-Garis besar

Program Pengajaran dan Penilaian pada Sistem Semester (Lampiran IV). Jakarta:

Direktorat jenderal Pendidikan dasar dan Menengah.

24