BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah .
Pada makalah ini, kita akan mempelajari tentang rumus persamaan kuadrat dan
persamaan linier untuk menggambarkan fungsi kuadrat.Maka dari itu, kami membuat
makalah ini bertujuan untuk mempelajari lebih dalam tentang persamaan kuadrat dan
persamaan linier yang akhir-akhir ini mungkin sudah tidak diminati oleh para mahasiswa.
Apalagi dengan kemajuan teknolagi zaman sekarang. Para mahasiswa hanya ingin yang
serba instant dan tanpa menguras otak.
Dalam makalah ini kami akan mengupas berbagai rumus dari persamaan kuadrat dan
persamaan linier yang dipakai untuk menyelesaikan berbagai soal yang berhubungan
dengan persamaan kuadrat dan persamaan linier. Selain itu, kami juga sudah membuat
contoh soal beserta pembahasannya, dengan begitu pembaca dapat mengerti cara-cara
yang ditempuh untuk memecahkan persoalan persamaan kuadrat dan persamaan linier.
1.2 Rumusan Masalah
1. Apakah pengertian persamaan kuadrat ?
2. Jelaskan pengertian persamaan linier ?
3. Apa saja rumus-rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier ?
1.3 Tujuan Penulisan
1. Untuk mengetahui pengertian persamaan kuadrat
2. Untuk mengetahui pengertian persamaan linier
3. Untuk mengetahui apa saja rumus-rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier
1
BAB II
PERSAMAAN KUADRAT
2.1 Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Persamaan yang berbentuk disebut persamaan kuadrat atau persamaan
derajat dua dalam x. Adapun bentuk umum persamaan kuadrat adalah
dengan (bilangan real) dan . Jika maka persamaan tersebut bukan
lagi persamaan kuadrat.
2.2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Suatu bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu:
1. Pemfaktoran
Penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan sifat faktor nol, yaitu:
Jika maka atau
Contoh:
Tentukan Hp dari
Jawab:
x = 5 atau x = 3 Hpnya adalah {3, 5}
2. Melengkapi Kuadrat Sempurna
dalam menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk terlebih dahulu
dirubah menjadi bentuk
prinsip yang digunakan untuk menyelesaikan dengan cara tersebut adalah:
1. Jika, maka mempunyai 2 akar real yaitu
2. Jika, maka mempunyai 1 akar real yaitu
3. Jika, maka tidak mempunyai akar real
2
Contoh:
Tentukan Hp dari
Jawab:
menambahkan kedua ruas dengan
, ini berarti atau
nya adalah { , }
3. Menyelesaikan Persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat
Contoh:
Carilah Hp dari dengan menggunakan rumus
Jawab:
3
atau
nya adalah
2.3 Jenis –jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kadang-kadang persamaan kuadrat tidak mempunyai penelesaian. Hal tersebut dapat
diketahui antara lain dengan cara sebagai berikut:
Persamaan kuadrat dengan
Akar-akarnya adalah
Bilangan sering disebut dengan “Diskriminan” dan ditulis akan
membedakan nilai x1 dan x2. Pada persamaan kuadrat berlaku sebagai berikut:
a. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar nyata yang berlainan.
b. Jika D = 0 maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar yang sama (kembar) dan
selaku rasional.
c. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar yang tidak yata atau imajiner.
Contoh:
Tentukan m sehingga mempunyai akar yang sama !
Jawab:
4
jadi m1 = -3 atau m2 = 3
2.4 Jumlah Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat
Persamaan dengan akar-akar x1 dan x2
dan
jika dijumlah akan diperoleh :
Jika dikalikan akan dipreoleh :
2.5 Menyusun Persamaan Kuadrat
Jika diketahui akar-akar suatu persamaan adalah x1 dan x2, maka dapat kita susun
persamaan kuadrat dengan cara sebagi berikut.
Dengan menggunakan perkalian factor
Contoh: Susulah suatu persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui -8 dan 5
Jawab:
x1 = -8 dan x2 = 5
Dengan menggunakan sifat akar persamaan kuadrat
Contoh: susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya -2 dan 7!
Jawab
Karena x1 = -2 dan x2 = 7, maka
Jadi persamaan kuadrat adalah
2.6 Untuk hal-hal khusus berlaku
5
Kedua akarnya saling berlawanan
Kedua akarnya saling kebalikan
2.7 Hubungan Diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan
kuadrat
kedua akarnya real dan positif, maka
dan
Contoh:
kedua akarnya real dan negative, maka
dan
Contoh:
Kedua akarnya real dan berlawanan tanda, maka
Contoh:
Kedua akarnya sama (kembar), maka
untuk
Contoh:
Kedua akarnya sama tapi tandanya berlawanan, maka
Contoh:
6
Kedua akarnya saling berkeblikan, maka
Contoh:
Salah satu akarnya nol, maka
jadi
Contoh:
FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi f pada himpunan bilangan real R yang ditentukan
oleh dengan dan . Fungsi kuadrat dirumuskan dengan
. Untuk menggambarkan grafik fungsi kuadrat diperlukan
langkah-angkah sebagai berikut:
a. Menentukan titik potong dengan sumbu x, dengan syarat y = 0 atau ada tiga
macam kedudukan grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x yaitu:
7
o Jika , maka . Grafik memotong sumbu x di 2 titik yang berbeda yaitu
dan
o Jika , maka . Grafik memotong sumbu x di 1 titik atau dikatakan
menyinggung sumbu x
o Jika , maka tidak ada nilai x yang memenuhi, ini berarti grafik tidak memotong
sumbu x
b. Menentukan titik potong dengan sumbu y, dengan syarat x = 0
, jadi titik potong disumbu y adalah (0, c)
c. Persamaan sumbu simetris
Bila Grafik memotong sumbu x dititik (x1, 0) dan (x2, 0) maka persamaan sumbu
simetrisnya adalah
d. Titik balik maksimum dan minimum
8
Jika maka nilai akan mencapai nilai minimum untuk atau
jika suatu parabola mempunyai titik balik minimum dengan
sumbu simetris maka grafik parabolanya membuka keatas dengan puncaknya
terletak dibawah
Jika maka nilai akan mencapai nilai minimum untuk atau
jika suatu parabola mempunyai titik balik maksimum dengan
sumbu simetris maka grafik parabolanya membuka keatas dengan puncaknya
terletak dibawah
e. Titik Bantu (jika perlu)
Jika pada langka a sampai d diperoleh titik-titik yag sama, maka dicari titik Bantu. Dari
keterangan di atas dapat disimpulkan bahaw bentuk-bentuk grafik fungsi kuadrat adalah
sebagi berikut:
9
Definit positif adalah suatu bentuk yang selalu positif untuk setiap nilai x
Definit negatif adalah suatu bnetuk yag selalu negatif untuk setiap niali x
Contoh:
Gambarlah Grafik fungsi
a. Titik potong dengan sumbu x →
x = 4 atau x = -1
b. Titik potong dengan sumbu y →
c. Sumbu Simetris
d. Nilai maksimum (karena a > 0)
Jadi titik balik minimum
Membentuk fungsi kuadrat
10
Untuk suatu fungsi kuadrat perlu diperhatikan ciri-ciri khusus yang dimiliki fungsi
kuadrat tersebut, yaitu sebagai berikut
a. Jika fungsi kuadrat tersebut mempunyai titik balik pada (p,q) maka persamaannya
adalah
b. Jika fungsi kuadrat tersebut diketahui mempuyai titik potong dengan sumbu x di
maka persamaannya adalah
c. Jika fungsi kuadrat tersebut diketahui melalui 3 titik sembarang, maka persamaannya
adalah
BAB III
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
3.1 Sistem persamaan linear dengan dua peubah
1. Pengertian sisten persamaan linear dengan dua peubah
Sistem persamaan linear dengan dua peubah pangkat satu misalnya x dan y dan
tidak mengandung perkalian antara kedua peubah tersebut (tidak mengandung suku
xy).
Bentuk persamaan umum persamaan linear dengan dua peubah adalah
dengan a, b, dan c adalah konstanta pada bilangan real.
Gabungan dari beberapa persamaan linear disebut sistem persamaan linear. Sebuah
sistem persamaan linear paling sedikit terdiri atas dua buah linear.
11
Contoh:
2. Menentukan peyelesaiaan sistem persamaan linear dengan dua peubah.
Untuk penyelesaiaan dari suatu sistem persamaan linear dengan dua peubah anda
dapat menggunakan metode grafik, elimiasi, substitusi dan gabungan metode eliminasi
dan substitusi.
a. Metode Grafik
Untuk menentukan penyelesaiaan dengan metode grafik, anda gambarkan
kedua persamaan linear diatas dengan sumbu koordinat. Grafik persamaan linear
berupa garis lurus, kemudian tentukan titik potong antara kedua garis tersebut.
Titik potong merupakan penyelesaiaa Persamaan linear tersebut, ada 3
kemungkinan hubungan antara dua buah garis :
1. Jika kedua garis berpotongan, berarti sistem persamaan linear mempunyai 1
penyelesaian,
2. Jika kedua garis sejajar, berarti sistem persamaan linear tidak mempunyai
penyelesaian
3. Jika kedua garis berhimpit, berarti sistem persamaan linear mempunyai tak terhingga/
banyak penyelesaian.
Akan tetapi trekadang, metode grafik hanya memberikan penyelesaian yang
berupa taksiran bukan penyelesaian eksak.
Contoh soal:
x 0 10.000
y 5000 0
x 0 3000
y 12.000 0
b. Metode Eliminasi
12
Dalam metode eliminasi kita meenghilangkan salah satu variable untuk
mendapatkan nilai variable yang lain, utuk mengeliminasi atau menghilangkan
suatu variable, samakan nilai kedua koefisien variable kemudian kedua persamaan
dijumlah atau dikurangi.
Contoh:
a. Eliminasi variable x
b. Eliminasi variable y
Didapat x = 2000 dan y = 4000 disebut penyelesaian sistem persamaan
dan
c. Penyelesaian dengan metode substitusi
Dalam metode substitusi, suatu variable dinyatakan dalam variable yang lain
dari suatu persamaan, selanjutnya variable ini digunakan untuk menggantikan
variable yang sama dalam persamaan lainnya sehingga menjadi persamaan satu
variable.
Dari persamaan
Substitusi kepersamaan diperoleh
selanjutnya nilai x = 20.000 disubstitusikan ke persamaan
13
didapat x = 2.000 dan y = 4.000
d. Penyelesaian dengan metode gambungan eliminasi dan substitusi
Dalam metode ini, salah satu variable terlebih dahulu dicari dengan metode
eliminasi, kemudian nilai variable ini di substitusikan kedalam salah satu
persamaan sehingga diperoleh nilai variable lainya.
Dengan metode substitusi, disubstitusikan ke persamaan
Dengan metode ini didapat dan
3. Menentukan banyak penyelsaian dari suatu sistem persamaan linear dengan dua
peubah
Sebenarnya, dengan metode grafik anda dapat menentukan banyak
penyelesaian dari SPL dengan dua peubah. Akan tetapi, anda memerlukan waktu yang
cukup lama untuk mengetahui .
Untuk menentukan banyak penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan dua
peubah dapat ditulis sebagai berikut.
garis (1)
garis (2)
garis (1) memiliki gradien = dan -intercept = b
garis (2) memiliki gradien = dan -intercept = q
banyak pnyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut ternyata ditentukan oleh
nilai gradient dan y-intercept kedua persamaan linear.
Jika gradien kedua garis berbeda, sistem persamaan linear konsisten dan
independent atau memiliki satu penyelesaikan
14
Jika gradien kedua garis sama, tetapi y-intercept nya berbeda, sistem persamaan
linear tidak konsisten dan tak memiliki peyelesaian
Jika gradient dan y-intercept kedua garis sama, sistem persamaan linear konsisten
dan independent atau memiliki tak terhingga banyak penyelesaian.
3.2 Sistem persamaan dengan tiga peubah
1. Pengertian system persamaan linear dengan tiga peubah
Suatu sistem persamaan linear dengan tiga peubah mengandung tiga
persamaan linear dengan tiga peubah, suatu penyelesaian dari sistem persamaan linear
dengan tiga peubah adalah suatu pasangan terurut misalnya yang memenuhi
setiap persamaan linear dari system tersebut.
SPL tiga peubah secara umum dapat ditulis:
2. 2Menentukan penyelesaian system persamaan linear dengan 3 peubah
a. Metode substitusi
Soal:
Langkah I : pilih salah satu peubah untuk dinyatakan ke peubah lainnya.
Langkah II: substitusikan persamaan (4) kepersamaan (2) dan (3)
kedua ruas dikali 2
………(5)
Langkah III ubah persamaan (5)
15
………(6)
kemudia substitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (4)
Langkah ke IV : substitusikan persamaan (6) dan (7) ke persamaan asli yang
belum digunakan yaitu persamaan (3)
Langkah ke V: substitusikan kedalam Persamaan linear dua peubah pada
persamaan (6) dan (7)
Demikian penyelesaian sistem persamaan linear adalah
b. Gabungan Metode Eliminasi dan substitusi
Langkah I: Pilih peubah yang paling mudah di eliminasi misal y dan 2 persamaan
yang ada misalnya persamaan (1) dan (2).
kemudian pilih pasangan persamaan (2) dan (3) untuk mengeliminasi y.
16
Langkah II: Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah persamaan (4) dan
persamaan (5) dengan metode eliminasi
Langkah III: masukkan x = 3 kepersamaan (4)
Langkah IV: masukkan nilai x =3 dan z = -2 kepersamaan (2)
Demikian penyelesaian sistem persamaan linear adalah
Contoh soal
Pada suatu hari Roro, Sarah dan Amelia panen jeruk. Hasil kebun Sarah 5 kg lebih
sedikit dari kebun Roro dan lebih banyak 7 kg dari hasil kebun Amelia. Jika jumlah hasil
panen dari ketiga kebun itu 223 kg. hasil panen Roro adalah….
Jawab
Misal: Roro = x , Sarah = y , dan Amelia = z
Substitusikan (1) dan (2)
Substitusikan (1) dan (3)
Substitusikan persamaan (4) dan (5)
Substitusikan z =68 dan y = 80 kepersamaan (3)
17
hasil panen Roro75 kg
Sistem Persamaan Linear dan kuadrat
Adalah suatu persamaan yang tersdiri dari persamaan linear dan persamaan kuadrat.
Bentuk umum persamaan linear dan kuadrat adalah:
Dari persamaan: dan , disubstitusikan persamaan linear
kepersamaan kuadrat
Dengan nilai (D) adalah
Dengan demikian terdapat 3 kemungkinan
4. D > 0
Mempunyai dua penyelesaian, garis dan parabola berpotong pada dua titik berbeda
5. D = 0
Mempunyai satu penyelesaian, garis dan parabola saling bersinggungan
6. D > 0
Garis dan parabola tidak saling berpotongan juga tidak saling bersinggungan sehingga
sistem persamaan tersebut tidak mempunyai himpunan penyelesaian.
18
Jadi fungsi linear berupa garis lurus , sedangkan grafik fungsi kuadrat berupa
parabola.
Soal
a. Tentukan P agar mempunyai satu penyelesaian
Jawab:
Substitusikan ke
Agar persamaan tersebut mempunyai satu penyelesaian maka
dan
b. Tentukan Hp dari
Jawab:
dan
19
3.4 Sistem persamaan kuadrat
Adalah system persamaan yang terdiri atas dua persamaan, masing-masing berbentuk
kuadrat dan memuat dua variable.
Bentuk umum persamaan kuadrat:
a, b, c, q da r merupakan bilangan real a dan p ≠ 0
Cara penyelesaian sistem persamaan kuadrat dengan kuadrat:
7. Substitusikan ke sehingga diperoleh
merupakan persamaan kuadrat dalam x
8. Nilai x yag diperolah disubstitusikan ke salah satu persamaan kuadrat sehingga
diperoleh nilai y
Banyak anggota penyelesaian dan persamaan kuadrat dengan kuadrat ditetukan oleh nilai
D
Soal
a. Tentukan nilai m agar dan
Substitusikan ke
Syarat mempunyai dua penyelesaian D > 0
jadi nilai
b. Tentukan Hp dari sisem persamaan berikut:
20
Jawab:
disubstitusikan
dan disubstitusikan ke persamaan (1) dan (2)
= 4
= 4
BAB IV21
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Rumus persamaan kwadrat
2.1 Pemfaktoran
Penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan sifat faktor nol, yaitu:
Jika maka atau
2.1 Melengkapi Kuadrat Sempurna
dalam menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk terlebih dahulu
dirubah menjadi bentuk
2.1 Menyelesaikan Persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat
Peyelesaiaan sistem persamaan linear dengan dua peubaha. Metode Grafik
b. Metode Eliminasi
22
c. Penyelesaian dengan metode substitusi
d. Penyelesaian dengan metode gambungan eliminasi dan substitusi
4.2 Saran
Memahami rumus – rumus persamaan kuadrat dan persamaan linier dengan seksama
dan tepat. Dengan begitu, kita akan dapat menyelesaikan persoalan persamaan
kuadrat dan persamaan linier dengan cepat dan benar
DAFTAR PUSTAKA
23
David Bergamini.1981.Pustaka Ilmu Life: Tirtara Pustaka.
Kartini, dkk. 1994. Matematika 1A, 1B, 1C SMU. Bandung: Pakar Raya.
Daniel L. Auvil dan Charles Poluga. 1985. Elementary Algebra, Second Edition.
Canada: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Martin M. Zuckerman. 1985. Algebra and Trigonometry, A straightforward Approach,
Second Edition. Canada: John Wiley and Sons.
W. Gellert, H. Kustner, M. Hellwich, and H. Kastner. 1975. The VNR Concise
Encyklopedia of Mathematics. New York: Van Nostrand Reinhold Company.
Andi Hakim Nasoetion, dkk. 1994. Matematika 1 SMU. Jakarta: Balai Pustaka.
E. Daiman. 1994. Matematika 1 SMU. Bandung: Ganeca Exact.
Wono Setya Budhi. 1999. Matematika SMU IA, IB.-: Pusgrafin.
The Liang Gie. 1993. Filsafat Matematika Bagian Kedua. Yogyakarta: Yayasan Studi
Ilmu dan Teknologi.
M. Sambas, dkk. 1992. Aritmetika untuk SMA. Bandung: Pakar Raya.
Suwaji, dkk.1996. Matematika 1 Cawu 1, 2, 3 SMU. Surabaya: Kendang Sari.
Mary Worral, dkk. 1995. Oxford Ensiklopedia Pelajar Edisi Bahasa Indonesia.
Jakarta: PT Widyadara.
Crosswhite, Hawkinson, Sachs. 1983. Merril Pre-Calculus Mathematics. Ohio :
Charles E. Merril Publishing Co.
Departemen Pendidikan Nasional. 2002. keputusan Menteri Pendidikan Nasional
Republik Indonesia Nomor 111/U/2002 tentang Penyesuaian Garis-Garis besar
Program Pengajaran dan Penilaian pada Sistem Semester (Lampiran IV). Jakarta:
Direktorat jenderal Pendidikan dasar dan Menengah.
24
Top Related