Buku Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan

Standar KompetensiMemecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat

Kompetensi Dasar1. Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan

kuadrat2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan

persamaan dan pertidaksamaan kuadrat3. Memahami konsep fungsi4. Menggambarkan grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat5. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

persamaan atau fungsi kuadrat6. Memecahkan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

persamaan atau fungsi kuadrat

Matematika untuk kelas X semester 1 1


A. Persamaan Kuadrat

1. Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya berpangkat paling tinggi dua.

Bentuk Umumnya

ax² + bx + c = 0 ,dengan a,b,c € dan a 0

Contoh 1 :2x² - 4x + 5 = 0 merupakan persamaan kuadrat biasa dengan a = 2, b = -4 , c = 53x² + 6 = 0 merupakan persamaan kuadrat sempurna dengan a = 3, b = 0 , c = 63x² + 6x = 0 merupakan persamaan kuadrat tak-lengkap dengan a = 3 , b = 6 , c = 0

Contoh 2 :Persamaan kuadrat yang tidak baku seperti dibawah ini :

2x² = 5x – 6 ; 3x² = 2 ( x² - 5x + 2 ) ; 3x – 3 = ;

Persamaan yang tidak baku ini dapat diuraikan secara aljabar dengan menggunakan sifat – sifat yang ada seperti dibawah ini :

2x² = 5x – 6 2x² - 5x + 6 = 0 3x² = 2 ( x² - 5x + 2 ) 3x² = 2x² - 10x + 4 x² + 10x – 4 = 0

3x – 3 = (kalikan dgn x) 3x² - 3x = 4 3x² - 3x – 4 = 0

( kalikan dengan [x – 5][x – 2] )

3(x – 2) + 2(x – 5) = 3(x – 5)(x – 2)3x – 6 + 2x – 10 = 3(x² -2x – 5x + 10)5x – 16 = 3x² - 6x – 15x + 305x – 16 = 3x² - 21x + 303x² - 21x + 30 – 5x + 16 = 03x² - 26x + 46 = 0

2. Menentukan Akar Persamaan Kuadratcara menyelesaikan akar – akar persamaan kuadrat ada 3 cara yaitu :

a. MEMFAKTORKAN Langkah – langkahnya sebagai berikut :

Bentuk (ax + m)(ax + n) disiapkan Titik diisi dengan bilangan misalnya m dan n dimana

m x n = ac dan m + n = bsehingga ax² + bx + c = (ax + m)(ax+n)

Contoh 3 :Tentukan akar – akar persamaan kuadrat untuk persamaan 2x² + 9x – 35 = 0Jawab : Diketahui a = 2, b = 9, c = -35



m x n = ac m + n = b= (2)(-35) = -75 = 9

Kriterianya :m x n m+n

-35 x 2 -35 + 235x(-2) 35+(-2)-10x7 -10+7-7x10 -7+10-14x5 -14+5-5x14 -5+14

Berarti m = -5 dan n = 14 jadi (ax + m)(ax + n) = 0 sehingga diperoleh :(2x – 5) (2x + 14) = 0

2x – 5 = 0 2x + 14 = 0

x = x = - 7

jadi akar persamaan kuadrat dari persamaan 2x² + 9x – 35 = 0 adalah x = dan x = - 7

b. RUMUS ABC

Dirumuskan dengan

Contoh 4 :Tentukan akar – akar persamaan kuadrat untuk persamaan 2x² + 9x – 35 = 0Jawab : Diketahui a = 2, b = 9 , c = -35

= =

= = =

= -7


c. MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA Langkah – langkahnya sebagai berikut :

Tambahkan ruas kanan dan kiri dengan lawan c :ax² + bx + c = 0ax² + bx + c + (-c) = 0 + (-c)

Bagi semua ruas baik kanan maupun kiri dengan a jika a 1 :ax² + bx = - c

x² + x =



Tambahkan ruas kanan dan kiri dengan :

x² + x + = +

Ubah kebentuk :

( x + )² = + / difaktorkan

Pindahkan pangkat ke kanan :

x + =

Contoh 5 :Tentukan akar – akar persamaan kuadrat untuk persamaan 2x² + 9x – 35 = 0Jawab : 2x² + 9x – 35 = 0 ( tambahkan kanan kiri dengan 35 )2x² + 9x – 35 + 35 = 0 + 35 ( bagi kanan kiri dengan 2 )

x² + x = (tambahkan kanan kiri dengan = )

x² + x + = + ( faktorkan menjadi [x + ]²)

(x + )² = (pindahkan pangkat dua ke ruas kanan)

x + = ( uraikan )

maka untuk yang positif :

x + = diperoleh x =

untuk yang negatif :

x + = - diperoleh x = -7


3. Jenis – Jenis Akar Persamaan KuadratCARA 1 :Ada 3 jenis dalam menentukan jenis akar persamaan kuadrat yaitu :

1. Dua akar real yang berlainan atau berbeda jika D > 0, ada dua jenis antara lain :a. Rasional jika D Berbentuk kuadrat sempurna

Contoh : 1, 4, 9 , ...b. Irasional jika Dtidak berbentuk kuadrat sempurna

Contoh : 5, 6 , 10 , ...2. Dua akar kembar atau sama jika D = 03. Tidak mempunyai akar real atau imajiner jika D < 0

Untuk menentukan diskriminan dalam menentukan jenis akar persamaan tersebut digunakan rumus :

D = b² - 4ac ; dimana D merupakan diskriminanDiperoleh dari persamaan ax² + bx + c = 0



CARA 2 :Kalau tidak mau menggunakan rumus diskriminan bisa menggunakan akar persamaan kuadrat yang telah dicari terlebih dahulu dengan menggunakan salah satu dari cara diatas. Setelah diperoleh akar persamaan kuadrat maka cara menentukan jenisnya adalah sebagai berikut :

1. Dua akar real yang berlainan / berbeda jika:a. x dan x nya berbeda dan berbentuk bilangan bulat, negatif, pecahan maka

rasional

contoh : x = 2 ,x = -3 atau x = , x = 3

b. x dan x nya berbeda dan berbentuk akar positif maka irasional

contoh : x = ,x =

2. Dua akar kembar atau sama jika x = x Contoh : x = 2 ,x = 2

3. Tidak mempunyai akar real atau imajiner jika berbentuk akar negatif

Contoh : x = ,x =

Contoh 6 :Tentukan jenis akar – akar persamaan kuadrat untuk persamaan 2x² + 9x – 35 = 0Jawab : Diketahui a = 2, b = 9 , c = -35CARA 1 :

D = b² - 4ac = 81 – 4(2)(-35) = 81 + 280 = 361Karena D > 0 dan D berbentuk kuadrat sempurna 361 = (19)² maka jenis akarnya dua akar real yang berlainan atau berbeda dan rasional

CARA 2 :Dengan rumus ABC seperti contoh 4 maka diperoleh :

,

Karena x nya berbentuk bilangan negatif dan pecahan maka jenis akarnya dua akar real yang berlainan atau berbeda dan rasional.

Contoh 7 :Tentukan jenis akar – akar persamaan kuadrat untuk persamaan 4x² - 20x + 25 = 0Jawab : Diketahui a = 4, b = -20 , c = 25CARA 1 :

D = b² - 4ac = 400 – 4(4)(25) = 400 - 400 = 0Karena D = 0 maka jenis akarnya kembar atau sama

CARA 2 :

= =



= =

=

Karena = maka jenis akarnya kembar atau sama

Contoh 8 :Tentukan jenis akar – akar persamaan kuadrat untuk persamaan 2x² + 9x + 35 = 0Jawab : Diketahui a = 2, b = 9 , c = 35CARA 1 :

D = b² - 4ac = 81 – 4(2)(35) = 81 - 280 = - 199Karena D < 0 maka jenis akarnya tidak mempunyai akar real atau imajiner

CARA 2 :

= =

=

Karena dan berbentuk akar negatif maka jenis akarnya tidak mempunyai akar real atau imajiner

Contoh 9:Diketahui persamaan kuadrat x² - 6x + 3p = 0, tentukan nilai atau batas nilai p agar persamaan kuadrat tersebut :

a. Mempunyai dua akar real yang berbedab. Mempunyai dua akar real yang kembarc. Tidak mempunyai akar – akar yang real

Jawab :x² - 6x + 3p = 0, dengan a = 1, b = -6, c = 3pnilai diskriminannya adalah : D = b² - 4ac = 36 – 12p

a. Agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berbeda, syaratnya D > 0D > 036 – 12p > 0p < 3jadi persamaan kuadrat x² - 6x + 3p = 0 mempunyai dua akar real yang berbeda untuk batas nilai p < 3

b. Agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama, syaratnya D = 0D = 036 – 12p = 0



p = 3jadi persamaan kuadrat x² - 6x + 3p = 0 mempunyai dua akar real yang sama untuk nilai p = 3

c. Agar persamaan kuadrat tidak mempunyai akar – akar real, syaratnya D < 0D < 036 – 12p < 0p > 3jadi persamaan kuadrat x² - 6x + 3p = 0 tidak mempunyai akar – akar yang real untuk batas nilai p > 3

Contoh 10:Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat px² - 2p (x – 1) = 3 mempunyai dua akar yang samaJawab :Untuk persamaan kuadrat di atas px² - 2p (x – 1) = 3 maka px² - 2px + 2p – 3 = 0 sehingga a = p, b = - 2p, c = 2p – 3nilai diskriminannya adalah :D = b² - 4ac = 4p² - 4(p)(2p – 3) = 4p² - 8p² + 12p = - 4p² + 12pAgar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang sama syaratnya D = 0

D = 0 - 4p² + 12p = 0

Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh nilai p yaitu 0 dan 3Jadi persamaan kuadrat px² - 2p (x – 1) = 3 mempunyai dua akar sama untuk nilai p = 0 danp = 3

4. Jumlah dan Hasil Kali Akar – Akar Persamaan KuadratPersamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, a 0 memiliki akar – akar dan maka :



Jumlah Akar Persamaan Kuadrat = +

Hasil Kali Persamaan Kuadrat = .

Untuk jumlah akar – akar persamaan kuadrat :

+ = + = =

Untuk Hasil Kali Akar – akar persamaan kuadrat :

. = ( )( ) = =

Jadi jika dan adalah akar – akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dengan a 0 maka

jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat ditentukan dengan rumus :

+ = dan . =

RUMUS UMUM :

x x + x x = x x (x + x )

x + x = (x + x )² - 2x x disebut jumlah kuadrat

x x + x x = {( + )² - 2 }

=

= ( + )³ - 3 ( + )

( - )² = ( + )² - 4

=

= disebut kuadrat selisih

= {( + )² - 2 . }² - 2( . )²

=



=

( + )² disebut kuadrat jumlah

- disebut selisih kuadrat

Contoh 11:Jika dan merupakan akar – akar persamaan 2x² + 9x – 35 = 0, tentukan :

a. + b. . c. d. ( - )²

e. f.

Jawab :

a. + = =

b. . = =

c. = {( + )² - 2 . }² - 2( . )²

= = =

d. ( - )² = ( + )² - 4 =

e. = ( + )³ - 3 ( + ) =

f. =


Buku Persamaan Kuadrat

Documents

Transcript of Buku Persamaan Kuadrat