Muhammad Zainal Abidin Personal BlogSMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel

http://meetabied.wordpress.com

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN PERTIDAKSAMAAN

SATU VARIABEL

Standar Kompetensi :

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel.

Kompetensi Dasar :

Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel.

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sisitem persamaan linear

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya.

Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar.

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel.

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.

BAB I. PENDAHULUAN

A. Deskripsi Dalam modul ini Anda akan mempelajari Sistem persamaan linear-linear dua variabel, tiga variabel, Sistem persamaan linear-kuadrat, Sistem persamaan kuadrat-kuadrat, dan merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear, kuadrat..B. Prasyarat Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi

yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,

kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui

kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,

kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan

membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Menentukan sistem persamaan linear-linear dua variabel, 2. Menentukan sistem persamaan linear-linear tiga variabel,3. Menentukan sistem persamaan linear-kuadrat4. Menentukan sistem persamaan kuadrat-kuadrat5. Merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem

persamaan linear,kuadrat.

BAB II PEMBELAJARAN

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN LINEARBentuk Umum sistem persamaan liniear dan linear1. Sistem persamaan linear dengan 2 variabel / SPL 2 variabel

x dan y adalah variabel

Cara menyelesaikannya dengan :a. Metode Eliminasib. Metode Substitusic. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusid. Metode GrafikContoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut

1. Eliminasi

4y = 8

y = 2

4x = 16

x = 4

2. SubstitusiDari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh 3x – 7(x – 2) = -23x – 7x + 14 = -2-4x = -16 x = 4Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)4 – y = 2y = 4 – 2 = 2

3. Campuran Eliminasi dan Substitusi

4y = 8

y = 2

y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1) x – 2 = 2x = 4

4. Grafik

3x – 7y = -2

(4,2)

Dengan grafik dapat dilihat :a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan

penyelesainnya tepat satu anggota)b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan

penyelesaianc. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya

mampunyai anggota tak terhingga)

2. Sistem persamaan linear dengan 3 variabel / SPL 3 variabel

x, y, z adalah variabel

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :

Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi :Misal dimulai dengan mengeliminasi z

(1) dan (2)

3x + 2y = 8 ..............................(4)

(1) dan (3)

x – y = 2-2

2

x - y = -2............................(5)

(4) dan (5)

3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8

x - y = -2 x 3 3x - 3y = -6

5y = 14

y = 14/5

3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8

x - y = -2 x 2 2x - 2y = -4

+

5x = 4

x = 4/5

x = 4/5 dan y = 14/5 disubstitusi ke persamaan (1) :x + y – z = 34/5 + 14/5 – z = 318/5 – z = 3z = 18/5 – 3z = 3/5Jadi HP : {4/5,14/5,3/5}

Tugas I1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut

a. 2p + 3q = 13p + 4q = 1

b. -5m + 3n = 46m – 5n = 5

c.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :a. 7x = 21 x + 2y = 11

2x – y + z = 7b. a + b + 2c = 3

4a + 2b + c = 132a + b – 2c = 19

c. x + 2y = -73y – z = -115x + 2z = -25

B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRATBentuk Umum :y = px + qy = ax2 + bx + cp, q, a, b dan c RCara menyelesaikannya :1. Substitusi

Substitusikan y = px + q ke y = ax2 + bx + cDiperoleh :px + q = ax2 + bx + cax2 + (b-p)x + (c-q) = 0dengan D = (b-p)2 – 4.a.(c-q)ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya :a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)

2. GrafikAda 3 kemungkinan :

Contoh :Tentukan himpunan penyelesian dari :y = 2 –xy = x2

jawab :Substitusika y = 2 – x ke y = x2 diperoleh :x2 = 2 – x D = b2 – 4acx2 + x – 2 = 0 D = (1)2 – 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9(x – 1)(x + 2) = 0 D > 0 (ada 2 penyelesaian)x = 1 atau x = -2x = 1 disubstitusikan ke y = 2 – x = 2 – 1 = 1x = -2 disubstitusikan ke y = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)}Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut :

D>0

D=0

D<0

y = x2

y = 2 - x

C. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT - KUADRATBentuk Umum :y = ax2 + bx + cy = px2 + qx + rCara menyelesaikannya :1. Substitusi

Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh : (a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0 dengan

D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)Kemungkinan penyelesaiannya :a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik)b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik)c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan)

2. GrafikDengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem koordinat

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari y = x2

y = 8 – x2

(-2,4)

(1,1)

Jawab :Substitusikan (1) ke (2)x2 = 8 – x2

2x2 – 8 = 0x2 – 4 = 0(x – 2)(x + 2) = 0x = 2 atau x = -2x = 2 diperoleh y = 22 = 4x = -2 diperoleh y = (-2)2 = 4Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)}

Tugas II1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. y = x – 3y = x2 – 4x + 3

b. y = x + 32y = x2 – 2x + 1

c. y – 2x – 3 = 0y – 2x2 + 4x – 7 = 0

y = x2

y = 8 - x2

(-2,4) (2,4)

0

8

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :a. y = x2 – 3x – 1

y = 3x2 + 5x + 7b y = x2 + 1

y = 9 – x2

c. y = 2x2 – 6xy = x2 – 2x + 6

D. MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN SPLContoh : Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku. Lima tahun yang akan datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 93 tahun. Jika umur nenek lebih muda 6 tahun dari kakek. Berapa umur nenek sekarang.Jawab :Misal umur kakek sekarang adalah x Umur adikku sekarang adalah yDiperoleh persamaan :a. x – 10 = 6(y – 10)

x – 6y = -50 .............. (1)b. (x + 5)+(y + 5) = 93

x + y + 10 = 93x + y = 83...................(2)Eliminasi persamaan (1) dan (2)x – 6y = -50x + y = 83

- 7y = -133 y = 19x + y = 83x = 83 – 19 = 64

Contoh :Diketahui y = px – 14 dan y = 2x2 + 5x – 12, tentukan batas-batas p supayaa. Berpotongan di 2 titikb. Bersinggunganc. Tidak berpotongan maupun bersinggunganJawab : y = px – 14 substitusikan ke y = 2x2 + 5x – 12diperoleh :2x2 + 5x – 12 = px – 142x2 + (5 – p)x + 2 = 0D = (5 – p)2 – 4.2.2 = 25 – 10p + p2 – 16 = p2 – 10p + 9a. Berpotongan di dua titik (D > 0)

p2 – 10p + 9 > 0(p – 1)(p – 9) > 0p < 1 atau p > 9

b. Bersinggungan di satu titik (D = 0)p2 – 10p + 9 = 0(p – 1)(p – 9) = 0p = 1 atau p = 9

c. Tidak berpotongan dan menyinggung (D < 0)p2 – 10p + 9 < 0(p - 1)(p – 9) < 01 < p < 9

Tugas III

1. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45. Tentukan bilangan-bilangan tersebut

2. Parabola y = ax2 + bc + c melalui titik-titik (1,1), (-1,-5), dan (3, 23)Tentukan nilai a, b, c

3. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan tersebut adalah 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan yang lainnya. Bilangan ketiga sam dengan jumlah bilangan yang lain dikurangi 4. Tentukan bilangan-bilangan itu.

BAB III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta :PT. Galaxy Puspa Mega.Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.