Budiharti, S.Si

Persamaan Kuadrat (1)

PengertianPersamaan kuadrat adalah suatu persamaan

yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0 .

Contoh : x2 − 4 = 0 , x2 − 9x = 0,x2 + 7x = 10 dan lain sebagainya.

Penyelesaian Persamaan KuadratNilai pengganti x yang memenuhi

persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 disebut penyelesaian persamaan kuadrat.

Beberapa cara untuk menyelesaikan (mencari akar-akar) persamaan kuadrat :1. Memfaktorkan 2. Melengkapkan kuadrat sempurna3. Menggunakan rumus kuadrat (rumus

abc)

MemfaktorkanSebelum akan dibahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali

sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0.

Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol.

Secara simbolik dinyatakan bahwa jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 .

Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ” berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol.

Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.a. 4x2 − 32x = 0b. 7x2 = −84x

c.

d. x2 + 5x + 6 = 0

Persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0 dapat diubah menjadi 4x(x − 8) = 0 dengan menggunakan aturan distributif.

Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh4x = 0 atau x − 8 = 0

Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 . Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4x2

− 32x = 0 adalah x = 0 atau x = 8

Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian persamaan kuadrat 7x2 = −84x sebagai berikut.

7x2 + 84x = −84x + 84x Kedua ruas ditambah dengan 84x 7x(x +12) = 0 Menggunakan sifat distributif 7x = 0 atau x +12 = 0 Menggunakan aturan faktor nol

Jadi penyelesaian persamaan 7x2 = −84x adalah x = 0 atau x = −12 .

Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 ?

Untuk memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini.

Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar 1berikut ini.

a) b) c)

1

x2

xx x

11

Persegi (a) menyatakan banyaknya x2 , persegi panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta.

Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x2 + 5x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.

Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar berikut dengan ukuran luas yang sama.

x +3

x +2

Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3).

Jadi persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 sama dengan persamaan (x + 2)(x + 3) = 0 .

Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah.

Denganmenggunakan aturan faktor nol diperoleh (x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0 .

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 adalah x = −2 atau x = −3.

Jadi secara umum, jika x1 dan x2 merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut adalah x2 - x ( x1 + x2 )+ x1 . x2 = 0.

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan

Melengkapkan Kuadrat SempurnaUbahlah persamaan kuadrat semula dalam

bentuk (x + p)2 = q, dengan q 0

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir.

(x + p) = , atau x = -p

q q

Tentukan nilai x dari persamaan x2 – 2x – 2 = 0Penyelesaian :x2 – 2x + 1 + (-1) – 2 = 0(x – 1)2 – 3 = 0(x – 1)2 = 3(x – 1)2 =

x – 1 = atau x – 1 = -

x1 = 1 + atau x =1 -

jadi HP = {1 – , 1 + }

3

33

33

33

Tentukan nilai x dari persamaan x2 – 2x – 2 = 0

Penyelesaian :x2 – 2x = 2x2 – 2x + 1 = 2 + 1(x – 1)2 = 3(x – 1)2 =

x – 1 = atau x – 1 = -

x1 = 1 + atau x =1 -

jadi HP = {1 – , 1 + }

3

33

33

33

(a+b)2 = a2 +2ab +b2

Rumus abc (Al-khawarizmi)Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat

ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc.

Rumus persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut : (cobalah melengkapi)

ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = - c

2

22

4a4acb

2abx

Rumus abc (Al-khawarizmi)Jika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,c ∈

R, a 0

Maka 2a4acbbx

2

12