Kelompok 2 Konsep Dasar MatematikaAnggota : Hari Wihana

Ismatul MaulaSintia NurbayanNovika Andhani

GO

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah:

Dengan a,b,c R dan a 0

a merupakan koefisien x2

b merupakan koefisien x

c adalah suku tetapan atau konstanta

ax2 + bx + c = 0

serta x adalah peubah (variabel)

PERSAMAAN KUADRAT

Jawab:

Contoh 1:

Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat berikut:a. x2 – 3 = 0

b. 5x2 + 2x = 0

c. 10 + x2 - 6x = 0

d. 12x – 5 + 3x2 = 0

a. x2 – 3 = 0 Jadi a = , b = , dan c = 1 0 -3

b. 5x2 + 2x = 0 Jadi a = , b = , dan c = 5 2 0

c. 10 + x2 - 6x = 0 Jadi a = , b = , dan c = 1 -6 10

d. 12x – 5 + 3x2 = 0 Jadi a = , b = , dan c = 3 12 -5

AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

PEMFAKTORAN

MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA

RUMUS abc

Ditentukan dengan tiga cara, yaitu:

Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan ax² + bx + c = 0 dengan faktorisasi,

terlebih dahulu cari dua bilangan yang memenuhi syarat sebagai berikut .

• Hasil kalinya adalah sama dengan ac

• Jumlahnya adalah sama dengan b

Misalkan dua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah dan ,

maka dan

Prinsip dasar yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Dengan faktorisasi adalah sifat perkalian, yaitu :

Jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0 .

Jadi, jika akan mengubah atau memfaktorkan bentuk baku persamaan

kuadrat ax² + bx + c = 0 .

caxx 21bxx 21

1x 2x

01072 xx

Contoh 1 :Tentukan akar-akar dari PersamaanKuadrat berikut

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, di ubah menjadi bentuk

kuadrat sempurna dengan cara sebagai berikut :

a. Pastikan koefisien dari x² adalah 1, bila belum bernilai 1

bagilah dengan bilangan sedemikian hingga koefisiennya

adalah 1.

b. Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah

koefisien dari x kemudian kuadratkan .

c. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna,

sedangkan ruas kanan disederhanakan .

MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA

1. Ubah bentuk ke bentuk

2. Bagi kedua ruas dengan a, sehingga diperoleh:

3. Tambahkan kedua ruas dengan diperoleh

0c 2 bxax c 2 bxax

2

a

cx

a

bx

2

2

a

b

22

22

2

a

b

a

c

a

bx

a

bx

22

22

a

b

a

c

a

bx

Asal Mula RumusMelengkapkan Kuadrat

• Penyelesaian:

333333:

333

333

333

3243

2

6

1

24

2

6

22

24,6,1,0246

2

22

2222

2

atauxanPenyelesai

x

x

x

x

xa

b

a

c

a

bx

cbaberartixx

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari

02462 xx

Dari bentuk umum persamaan kuadrat

bagi kedua ruas untuk mendapatkan

Pindahkan ke ruas kanan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

Pembuktian rumus kuadrat

2

a

cx

a

bx

0c 2 bxax

Pindahkan ke ruas kanan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda positif-negatif di ruas kanan.

Pindahkan ke ruas kanan

sehingga didapat rumus kuadrat

Note :

Diturunkan dari penyelesaianpersamaan kuadrat dengan caramelengkapkan kuadrat sehinggadiperoleh lah rumus ini :Rumus ini disebut juga rumus “abc”

a

acbbx

2

42

2,1

a

acbbx

2

42

2,1

Tentukan akar-akar Persamaan Kuadratdengan rumus abc 01072 xx

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat(Diskriminan)

1. Tanpa harus menyelesaikan persamaan kuadratnya tentukan jenisakar persamaan :

a. x2 – 6x + 5 = 0b. 4x2 + 12x + 9 = 0 c. 5x2 + 2x + 4 = 0

Contoh Soal Diskrminan

Tekan untukmenyelesaiakan

a. x2 – 6x + 5 = 0 Dik : a = 1, b = -6, c = 5 Dit : jenis akar persamaan

Rumus :

Jawab :

D = (-6)2 – 4.1.5

D = 36 – 20 D = 16

Karena D = 16 > 0 dan D = 16 = 42 maka persamaan kuadrat x2 – 6x + 5 = 0 mempunyai dua akarreal yang berlainan dan rasional.

D = b2 – 4ac

Contoh soal D > 0

Contoh soal D = 0

b. 4x2 + 12x + 9 = 0 Dik : a = 4, b = 12, c = 9 Dit : jenis akar persamaan

Rumus :

Jawab :

D = b2 – 4ac D = 122 – 4.4.9 D = 144 – 144

D = 0 Karena D = 0 maka persamaan kuadrat 4x2 + 12x + 9 = 0 memiliki dua akar yang real kembar(sama)

D = b2 – 4ac

Contoh soal D < 0

c. 5x2 + 2x + 4 = 0 Dik : a = 5, b = 2, c = 4 Dit : jenis akar persamaan

Rumus :

Jawab

D = b2 – 4ac D = 22 – 4. 5. 4

D = 4 – 80 D = - 76

Karena D = -76 < 0 maka persamaan kuadrat 5x2 + 2x + 4 = 0 tidak mempunya akar real ataukedua akar khayal .

D = b2 – 4ac

Persamaan Fungsi Kuadrat

1. Bentuk Umumnya :y = f (x) = ax2 + bx + c , a,b,c ∈ R , a ≠ 0

2. Menentukan persamaan fungsi kuadratUntuk menentukan persamaan (rumus) fungsi kuadrat, dapat menggunakan rumus :

a. f (x) = ax2 + bx + c , bila minimal tiga titik yang dilalui diketahui

b. f(x) = a(x - x1)(x - x2) bila x1 dan x2 merupakan absis titik potong dengan

sumbu X dan satu titik lain yang dilalui diketahui

c. f (x) = a(x − p)2 + q , bila (p,q) merupakan titik puncak dan satu titik lain yang

dilalui diketahui.

(0,0)

0a

Untuk a > 0 , grafiknya terbuka ke atas

Y

X

Untuk a < 0 , grafik terbuka ke bawah

Y

X

0a

(0,0)

43)( 2 xxxfBuat grafik fungsi kuadrat dari persamaan

Dik : a = 1, b = -3, c = -4 Dit : Fungsi kuadrat

Jawab :

•Step 1, cari titik potong sumbu y, (x=0)

•Step 2,

•Step 3

y = (0)2 – 3(0) – 4

y = -4 sehingga (0,-4)

cari titik potong sumbu x, (y=0)

0 = x2 – 3x – 4

0 = (x – 4)(x + 1)

x – 4 = 0 atau x + 1 = 0

x1 = 4 atau x2 = -1

Sehingga (4, 0) (-1, 0)

•Akhirnya (4, 0) (-1, 0) (0,-4)

untuk menyempurnakan grafik dari fungsi kuadrat kita harusmenentukan titik puncaknya terlebih dahulu, yakni x puncak (Xp) dan y puncak (Yp)Xp disebut juga sebagai sumbu simetris (Xs), jadi (Xs, Yp)

2. Caranya mencari Yp:rumus : Yp = f(x)

Yp = f(1,5)

Yp = (1,5)2 – 3(1,5) – 4

Yp = 2,25 – 4,5 – 4

Yp = - 6,25

Jadi, ( 1,5, -6,25 )

Titik yang di dapat : ( 4, 0 ) ( -1,0) (0, -4 )Dan titik puncak : ( 1,5, -6,25 )

-4

4-1 1,5

-6,25

Y

X

( 1,5, -6,25 )

43)( 2 xxxf

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akarPersamaan Kuadrat

a

cxxkalihasilRumus

a

bxxjumlahRumus

21

21

:

:

LIAT CONTOH Yukkk….

24,6,1,02462 cbaberartixx

CONTOH

61

621

a

bxx

soal

241

2421

a

cxx

soal

Diketahui Persamaan Kuadrat

02462 xx

• Jadikan ruas kanan = 0.

• Jadikan koefisien variabel berpangkat duabernilai positif.

• Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linear.

• Tetapkan nilai-nilai nolnya (misal: x1 = nilai nolterkecil, x2 = nilai nol terbesar, yaitu x1 < x2).

• Kemudian pasangan harga-harga nol tersebutpada garis bilangan untuk menentukan daerahpenyelesainnya.

• Lihat tanda ketidaksamaannya.

MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN

Bentuk umum Pertidaksamaan Kuadrat :

02 cbxax

02 cbxax

02 cbxax

02 cbxax

21

2

21

2

0

0

xxatauxxHPcbxaxJika

xxxHPcbxaxJika

Penyelesaian:

023

..................065

)1............6665

2

2

xx

faktorkanxx

sifatxx

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan

652 xx

32:

32202

303

023:

1

2

xPeny

karenaxx

xx

xxnolnilai

Dik : a = 1, b = -5, c = 6 Dit : Penyelesaian dari pertidaksamaan

Jawab :

SOAL

1. Tentukan akar-akar persamaan kuadratx2 – 2x – 8 = 0 dengan cara :

a. Memfaktorkan

b. Melengkapkan KuadranSempurna

c. Menggunakan rumus abc

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadratberikut:

a.

b.

c.

0832 2 xx

SOAL

0532 2 xx

043 2 xx

SOAL

3. Jika dan adalah akar-akar PK

, tentukan:

a.

b.

c.

21

11

xx

2

21 xx

1

2

2

1

x

x

x

x

1x 2x

02462 xx

SOAL

3. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut:

a. x2 + 4x – 5 > 0

b.

c. 062 2 xx

43 2 xx

THANK YOU SO MUCH :*