SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA

VARIABEL

Perhatikan bentuk-bentuk persamaan berikut :

934 x

2076 p

932 r

Persamaan linear satu variabel dengan variabel x

Persamaan linear satu variabel dengan variabel p

Persamaan linear satu variabel dengan variabel r

Persamaan linear satu variabel (PLSV) adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah

Persamaan linear dua variabel (PLDV) adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan memiliki dua variabel dengan masing-masing berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah

ax + b = c, dengan a, b, c R dan a 0

ax + by = c, dengan a, b, c R dan a 0, b 0

Perhatikan contoh berikut ini :

427 nm

664 yx

Persamaan linear dua variabel dengan variabel x dan y

Persamaan linear dua variabel dengan variabel m dan n

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk:Maka, dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear dua variabel. Penyelesaian SPLDV tersebut adalah pasangan bilangan (𝑥,𝑦) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Metode Penyelesaian SPLDV

Metode Grafik Metode Substitusi Metode Eliminasi Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi) Metode Determinan

Metode Grafik

metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya.

Metode Grafik

Perhatikan dua sistem persamaan dua variabelSolusi dari sistem ini adalah himpunan pasangan terurut yang merupakan solusi dari kedua persamaan.Grafik garis menunjukkan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan dalam sistem. Oleh karena itu, perpotongan kedua garis adalah gambar dari penyelesaian sistem.

Metode Grafik

Grafik mungkin sejajar atau mungkin berimpit.

Hubungan yang mungkin diantara sebuah sistem, kemiringan dari masing masing grafik, dan penyelesaian persamaan ditunjukkan pada tabel berikut.

Sistem Kemiringan Grafik PenyelesaianKonsisten dan bebas Berbeda Garis berpotongan di satu titik

SatuInkonsistent dan bebas atau berlawanan

Sama Garis sejajar Tidak adaKonsisten dan bergantungan Sama Garis berimpit Tak terhingga

{𝒂 𝒙+𝒃𝒚=𝒑𝒄𝒙+𝒅𝒚=𝒒

Metode Substitusi

metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lainLangkah-langkah :1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan 𝑥 sebagai fungsi 𝑦 atau 𝑦 sebai fungsi 𝑥2. Substitusikan 𝑥 atau 𝑦 pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya

Metode Substitusi

Contoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab

Jadi, penyelesaiannya adalah

Metode Eliminasi

metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel Langkah-langkah :1. Perhatikan koefisien 𝑥 (atau 𝑦)a. Jika koefisiennya sama lakukan operasi pengurangan/penjumlahanb. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persaman-persamaannya dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan seperti langkah a.2. Lakukan kembali langkah 1 untuk mengeliminasi variabel lainnya

Metode EliminasiContoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab Mengeliminasi variabel 𝑦 Mengeliminasi variabel 𝑥 Jadi, penyelesaiannya adalah

Metode Eliminasi-Substitusi

metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode substitusi .Metode eliminasi digunakan untuk mendapatkan variabel pertama, dan hasilnya disubstitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel kedua

Metode Eliminasi-SubstitusiContoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab Mengeliminasi variabel 𝑦 substitusi 𝑥 = 3 ke persamaan (1)

Jadi, penyelesaiannya adalah

Metode Determinan

Determinan adalah bilangan real yang direpresentasikan oleh susunan bilangan yang berbentuk persegi.Nilai dari determinan orde dua

|𝑎 𝑏𝑐 𝑑|=𝑎𝑑−𝑏𝑐

Metode Determinan

Aturan CramerUntuk semua bilangan real 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑝 dan 𝑞 penyelesaian dari sistem

adalah dengan Jika , sistem tidak memiliki penyelesaian atau mempunyai penyelesaian banyak tak terhingga

Metode Determinan (Aturan Cramer)Contoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab

Jadi, penyelesaiannya adalah

Persamaan linear tiga variabel (PLTV) adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan memiliki tiga variabel dengan masing-masing berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear tiga variabel adalahax + by + cz = d, dengan a, b, c R dan a 0

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Apabila terdapat tiga persamaan linear tiga variabel yang berbentuk:Maka, tiga persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear tiga variabel. Penyelesaian SPLTV tersebut adalah pasangan bilangan (𝑥,𝑦, 𝑧) yang memenuhi ketiga persamaan tersebut.

Metode Penyelesaian SPLYV

Metode Substitusi Metode Eliminasi Metode Determinan

Metode Substitusi

Langkah-langkah :1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan 𝑥 sebagai fungsi 𝑦 dan 𝑧 atau 𝑦 sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑧, atau 𝑧 sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑦2. Substitusikan 𝑥 atau 𝑦 atau 𝑧 yang diperoleh pada langkah 1 ke dua persamaan lainnya sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel.3. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang diperoleh pada langkah 2.4. Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada langkah 3 ini ke salah satu persamaan semula untuk memperoleh nilai variabel yang ketiga.

Metode SubstitusiContoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab

... (4)Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (1)

... (5)Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (2)

... (6)

Persamaan (5) dan persamaan (6) merupakan sistem persamaan linear dua variabel.Sistem persamaan linear dua variabel tersebut akan diselesaikan dengan metode substitusi. ... (7)Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (6)

Substitusikan ke persamaan (7)Substitusikan dan ke persamaan (4)

Jadi, penyelesaiannya adalah

Metode Eliminasi

Langkah-langkah :1. Eliminasi salah satu variabel, 𝑥 atau 𝑦 atau 𝑧 sehingga diperoleh sistem persamaan dua variabel.2. Selesaikan sistem persamaan dua variabel pada langkah 1 sehingga diperoleh nilai 2 variabel, 𝑥 dan 𝑦 atau 𝑥 dan 𝑧 atau 𝑦 dan 𝑧.3. Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah 2 ini ke salah satu persamaan semula untuk memperoleh nilai variabel yang ketiga.

Metode Eliminasi

Contoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab Eliminasi 𝑦 dari persamaan (1) dan (2) kemudian persamaan (2) dan (3)

Persamaan (4) dan (5) merupakan sistem persamaan linear dua variabel. Eliminasi 𝑥 dari persamaan (4) dan (5) Eliminasi 𝑧 dari persamaan (4) dan (5)

Substitusi dan ke persamaan (2)

Jadi, penyelesaiannya adalah

Metode Determinan

Nilai dari determinan orde tiga|𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 h 𝑖|𝑎 𝑏

𝑑 𝑒𝑔 h

¿𝑎𝑒𝑖+𝑏𝑓𝑔+ h𝑐𝑑 − ( h𝑎𝑓 +𝑏𝑑𝑖+𝑐𝑒𝑔   )

Metode Determinan

Aturan CramerUntuk semua bilangan real 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, , 𝑖, 𝑝, 𝑞 dan 𝑟 penyelesaian dari sistem

adalah dengan

Metode Determinan

Contoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab

Metode Determinan

Jadi, penyelesaiannya adalah

LATIHANSelesaikan setiap persamaan linear berikut :