SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Kelompok 2/ X-PPB : • Dafa Faris Muhammad (07)• Devita Titania Nindy

(08)• Diajeng Nashukha (09)• Dini Intan Afrida

(10)• Hafara Firdausi (11)• Hanan Qonitah (12)

DEFINISI

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) sama seperti sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), hanya saja

sistem ini memiliki tiga variabel yang berbeda.

BENTUK UMUM

• Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dinyatakan dengan :

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Dengan

CARA PENYELESAIAN

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat diselesaikan melalui berbagai metode, yaitu :

1. Metode Eliminasi dengan Penyamaan2. Metode Substitusi3. Metode Campuran (Eliminasi dan

Substitusi)4. Metode Determinasi5. Metode Invers Matriks (akan dijelaskan

pada BAB Matriks)

1. Metode Eliminasi dengan Penyamaan

Langkah-langkahnya:• Nyatakan x , y , z dalam dua variabel yang lainny• Samakan persamaan yang didapatpada langkah 1

dengan pasangan yang berbeda, sehingga kita memperoleh SPLDV

• Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah2 dengan salah satu metode yang telah diberikan (eliminasi)

• Nilai nilai dua variabel yang didapat pada langkah 3 disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan, sehingga didapat nilai variabel yang ketiga

• Tuliskan himpunan penyelesaiannya

2. Metode Substitusi

“Substitusi” artinya menggantiLangkah-langkahnya:• Nyatakan salah satu variabel yang

memuat variabel yang lain dari salah satu persamaan.

• Substitusikan hasil dari langkah 1 ke persamaan yang lain.

• Dan seterusnya

3. Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)

Metode campuran adalah penyelesaian sistem persamaan yang

menggabungkan metode eliminasi dan substitusi. Metode ini adalah metode

yang paling efektif dalam menyelesaikan sistem persamaan

linear 3 variabel.

4. Metode Determinasi

Sistem persamaan : diubah menjadi bentuk susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy, dan Dz.

r iz hy gx

q fz ey dx

p cz by ax

D = Dx = Dy =

Dz =

Langkah selanjutnya adalah mendeterminan semua bentuk susunan bilangan diatas

ihg

fed

cba

ihr

feq

cbp

irg

fqd

cpa

rhg

qed

pba

Cara determinan ada 2, yaitu :

•  

•  

Setelah di determinan, carilah x, y dan z dengan cara :

CONTOH SOAL

• Tentukan nilai yang memenuhi persamaan

Selesaikan dengan berbagai cara diatas. Apakah semua hasilnya akan sama? Ayo kita buktikan!

1.Penyelesaian dengan Metode Eliminasi dengan Penyamaan

• Dari persamaan 1) dan 2) kita peroleh

• Dari persamaan 2) dan 3) kita peroleh

• a

∴𝑯𝑷= {(𝒙 , 𝒚 ,𝒛 )|(𝟏 ,−𝟏 ,𝟐) }

2. Penyelesaian dengan Metode Substitusi

• Substitusikan persamaan 4) ke persamaan 3)

• Substitusikan persamaan 4) ke persamaan 2)

• Substitusikan persamaan 5) ke persamaaan 6)

• Substitusikan ke persamaan 5

• Substitusikan ke persamaan 3

∴𝑯𝑷= {(𝒙 , 𝒚 ,𝒛 )|(𝟏 ,−𝟏 ,𝟐) }

3. Penyelesaian dengan Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)

• Eliminasi persamaan 1 dan 3, eliminir z

------ 4) • Eliminasi persamaan 1 dan 2,

eliminir z |x3| |x1|

- ------ 5)

• Eliminasi persamaan 4 dan 5, eliminir y

|x1| |x4|

-

• Substitusi pada persamaan 5

• Substitusi dan pada persamaan 3

∴𝑯𝑷= {(𝒙 , 𝒚 ,𝒛 )|(𝟏 ,−𝟏 ,𝟐) }

4. Penyelesaian dengan Metode Determinasi

∴𝑯𝑷= {(𝒙 , 𝒚 ,𝒛 )|(𝟏 ,−𝟏 ,𝟐) }

Wah, ternyata walau diselesaikan dengan cara

yang berbeda-beda, hasilnya tetap sama,

yaitu x = 1, y = -1 dan z = 2

Yuk lanjut ke Soal-soal lainnya, capcus~

SOAL UMUM

Penyelesaian (Menggunakan metode campuran) :

• Diketahui :  

• Ditanya : • Dijawab :

• Eliminasi persamaan 1 dan 3, eliminir c

• Eliminasi persamaan 1 dan 2, eliminir c

• Eliminasi persamaan 4 dan 5, eliminir a

• Substitusi b=5 pada persamaan 4

• Substitusi a=3 dan b=5 pada persamaan 3

Penyelesaian (Menggunakan metode campuran) :

• Diketahui :  

• Ditanya : • Dijawab :

• Eliminasi persamaan 1 dan 2, eliminir z

• Eliminasi persamaan 3 dan 4, eliminir y

• Substitusi x = ½ ke dalam persamaan 3

• Subsitusi x = ½ dan y = - 5/2 ke dalam persamaan 2

SOAL CERITA

Penyelesaian (Menggunakan metode campuran)

Misal : Kakek (K), Ayah (A), Cucu (C)• Diketahui :  

• Ditanya : Berapa umur masing-masing sekarang? K? A? C?

• Dijawab :

1.5 tahun yang lalu umur seorang kakek 15 kali umur cucunya. 7 tahun yang akan datang umur seorang ayah dan anaknya menjadi 57 tahun. selisih umur kakek dan ayahnya adalah 15 tahun. Berapa umur masing-masing sekarang?

• Pengolahan persamaan matematika

• Elimisasi persamaan 2 dan 3, eliminir A

• Eliminasi persamaan 1 dan 4, eliminir K

• Substitusi C = 8 ke dalam persamaan 4

• Substitusi K = 50 ke dalam persamaan 3

2.Pak Panjaitan memiliki 2 Hektar sawah yang ditanami padi dan sudah saatnya diberi pupuk. Terdapat 3 jenis pupuk (Urea, SS, TPS) yang harus digunakan agar hasil panen padi lebih maksimal. Harga per karung setiap jenis pupuk adalah Rp75.000; Rp120.000; Rp150.000. Banyak pupuk yang dibutuhkan Pak Panjaitan sebanyak 40 karung. Pemakaian pupuk Urea 2 kali banyaknya dari pupuk SS. Sementara dana yang disediakan Pak Panjaitan untuk membeli pupuk adalah Rp4.020.000. Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan?

Penyelesaian (Menggunakan metode campuran) :

Misal : Urea (x), SS (y), TPS (z)• Diketahui :  

• Ditanya : Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan?

x? y? z?• Dijawab :

• Substitusi x = 2y ke dalam persamaan 1

------ 4)

• Substitusi x = 2y ke dalam persamaan 3

------ 5)

• Eliminasi persamaan 4 dan 5, eliminir z

-

• Substitusi y = 11 pada persamaan 2

• Substitusi y = 11 dan x = 22 pada persamaan 1

Jadi, banyak pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan dengan uang yang tersedia adalah 22 sak Urea, 11 sak SS, dan 7 sak TSP.

ADA

PERTANYAAN?

TERIMA KASIH