Persamaan Linear DiophantinePosted by hendry_dext Wew. Posting-an kali ini sedikit telaat.. Alasan utama karena semakin lama, materi semakin naik level (meskipun tidak sulit-sulit amett). Tapi, gw berusaha menerangkannya dengan sejelas-jelasnya biar semuanya bisa ngertii..

Nah, sekarang kita akan memasuki babak yang sedikit berbeda dengan pelajaran SMP atau SMA (loh memank di sini ga ada pelajaran sekolah khan yakk). Ini mengenai persamaan diophantine. Lihat di bahasan GCD (algoritma Eulid) karena itu dasar supaya bisa ke sini.

Persamaan diophantine adalah persamaan bersuku banyak ax+by = c, di mana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan integer (bulat). Contoh Persamaan diophantine ax+by=c: 2x+ 4y= 26. Persamaan linear diophantine ax+by= c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika gcd(a,b) membagi c. Bukti: Bisa dilihat di GCD (algoritma Eulid). Di sana dinyatakan bahwa: . Jadi, c merupakan kelipatan dari gcd(a,b).

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Wew. Jangan stress dulu kawan-kawan. Enjoy aja.. Ini gak susah koq..

Contoh soal 1: Tentukan semua bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan berikut: http://www.forkosh.dreamhost.com/mathtex.cgi?15x+%206y=190 Jawab: Mungkin bagi kalian yang penasaran untuk menyelesaikan kasus ini, bisa dengan coba-coba.. Misalnya, jika x = 1, y-nya berapa, dan seterusnya.. Tapi, repott.. ==". Mungkin, 10 tahun lagi baru Nah, untuk mendapatkan solusi, selese.. kita dari gcdnya dulu: gcd Wkwkwkwk (15,6) = 3.

Namun, ternyata 190 tidak habis dibagi 3. Nah, artinya, persamaan di atas tidak punya solusi untuk semua bilangan bulat x dan y.

Eh, jangan bingung. Jawabannya yah gitu aja.. Wew. Guampang khan..

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Contoh Soal 2: Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan berikut: http://www.forkosh.dreamhost.com/mathtex.cgi?15x+%206y=189 Jawab: Wew. Ini soalnya berbeda dengan yang nomor satu.. Cuma beda 190 dengan 189.. Maklum, gw ini males ganti angka.. Jadi, tinggal copy paste aja gitchu.. gak repot.. solusinya jelas berbeda. Pertama, kita tentukan gcd-nya dulu pake algoritma Euclid. 15 = 6 x 2 +3 6 = 3 x 2 + 0. Nah, remainder/ sisa terakhir kedua (yang di-bold) adalah gcd-nya. Jadi, gcd(15,6) = 3. Lalu, perhatikan bahwa 189 itu habis dibagi 3 (atau 3 solusi x 189). Artinya, persamaan itu punya dan y. . Nah, di sini

Lalu, ambil persamaan terakhir (Untuk lebih jelasnya, lihat bahasan GCD bagian pengembangan algoritma Euclid / identitas Bezout): 3 = 15 - 6 x 2 3 = 1 x 15 - 2 x 6 (dikali 63) 189 = 63 x 15 - 126 x 6 Nah, dari sini, kita sudah mendapatkan satu solusi, yaitu x = 63 dan y = -126 (lihat bentuk gcd(a,b)=ax+by)... Tapi, yang diinginkan di soal adalah semua solusi. So, bagaimana caranya.?? Sekarang, kita cari gradiennya: m= -15/6 = -5/2(harus disederhanakan!). Nah, inget lah bahwa jika titiknya ditambah dengan gradien, maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. Jadi, kita mendapatkan semua solusi dalam bentuk parameter k sebagai berikut: y = -126 5 k

x = 63 + 2k, untuk k adalah semua bilangan bulat.

Tanda plus minus boleh terbalik. Jadi, hasilnya bisa saja seperti ini: y = -126 + 5 k x = 63 - 2k, untuk k adalah semua bilangan bulat.

Jika, dirasa angka 126 dan 63 terlalu besar, maka dapat dikecilkan dengan memasukkan sembarang angka k, misalnya k= 30. Maka: y = -126 + 5.30 = 24 dan x = 63 - 2.30 = 3. Jadi, persamaannya menjadi seperti ini: y = 24 + 5k x = 3 - 2k, untuk k semua bilangan bulat.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Aku kasih contoh lagi yg semodel dengan contoh 2 yaa, biar tambah jagoo.. Contoh soal 3: Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan berikut: http://www.forkosh.dreamhost.com/mathtex.cgi?15x+%206y=189 Jawab: Huehue.. Biar sesuai dengan tahunnya donkx.. 2008... LAgi-lagi, gunakan algoritma Euclid: 155 = 1 x 128 + 27 128 = 4 x 27 + 20 27 = 1 x 20 + 7 20 = 2 x 7 + 6 7=1x6+1 6=6x1+0 gcd(155,128) adalah 1. Karena 1 2008, maka persamaan tersebut punya solusi.

Lalu, ubah bentuk algoritma di atas menjadi identitas diophantine. (ambil persamaan kedua terbawah) 1=7-1x6 1 = 7 - (20 - 2 x 7) 1 = 3 x 7 - 20 1 = 3 x (27 - 20) - 20 1 = 3 x 27 - 4 x 20 1 = 3 x 27 - 4 (128 - 4 x 27) 1 = 19 x 27 - 4 x 128 1 = 19 (155 - 128) - 4 x 128 1 = 19 x 155 -23 x 128

Lalu, kalikan dengan 2008, hasilnya: 2008 = (38152) x 155 + (-46184) x 128

Note: jujur angkanya jelek.. wew.. Jadi, kita mendapatkan x dan y-nya: x = -46184 dan y = 38152 Cari gradiennya: m = - (128/155) ==> sudah tidak bisa lebih sederhana... Maka hasilnya: y = 38152 -128 k x = -46184 +155k, untuk k semua bilangan bulat.

Jika ingin angkanya lebih tidak rumit, maka masukkan saja misalnya k =298, maka: y = 38152 - 128. 298 = 8 dan x = -46184 + 155.298 = 6, maka hasilnya: y = 8 - 128 k x = 6 + 155 k, untuk semua k bilangan bulat.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Contoh Soal 4: Tentukan semua bilangan bulat POSITIF yang memenuhi persamaan berikut: http://www.forkosh.dreamhost.com/mathtex.cgi?13x+37y%20=200 Jawab: 37 = 2 x 13 + 11 13 = 1 x 11 + 2 11 = 5 x 2+ 1 2 = 2 x 1 + 0. gcd (13,37) = 1. Satu membagi 200. Artinya punya solusi. 1 = 11 - 5 x 2 1 = 11 - 5 x (13 -11) 1 = 6 x 11 - 5 x 13 1 = 6 x (37 - 2 x 13) - 5 x 13 1 = 6 x 37 - 17 x 13 Kalikan semua dengan 200 200 = 1200 x 37 - 3400 x 13

Maka, x = -3400 dan y = 1200. gradien = m = - (13/37)

Maka, nilai x dan y-nya adalah: y = 1200 -13 k x = -3400 + 37k Namun, ini belum selesai. Coba lihat kembali apa yang diminta soal: bilangan bulat POSITIF. Artinya nilai x dan y harus > 0.

y>0 1200 - 13 k > 0 13k k 1200 92 4/13 ... (i)

x>0 -3400 + 37k>0 37 k > 3400 k > (3400/37) k > 91 33/37... (ii)

91 33/37

k k = 92

92 4/13

Maka, hanya ada satu solusi x dan y, yaitu jika nilai k =92. y = 1200 -13.92 = 4 x = -3400 + 37.92 = 4.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Hueee. Akhirnyaa.. berjam-jam... >.< , postingan mengenai diophantine selesai juga... Ini buatnya

Misalnya kalo ada yang bingung, silakan laporrr.. Aku akan bersedia menjawab.. So, ada yg bingung ga nieh.?? Sumber: Olimpiade Matematika SMA (Suwah Semibiring): Yrama Widya

22 COMMENTS:

1.

dukenNovember 8, 2008 1:31 PM woww...bagus banget tambahin terus ya plajaran2 yang lain. aku tunggu lho.. Reply tutorialnya....

2. raniFebruary 20, 2009 9:44 PM good... it's fantastic..

gradiennya untuk apa ya? kok selama ini aku belum pernah pake gradien untuk diophantine ya? Reply

3. hendry_dextFebruary 21, 2009 10:16 AM Di buku-buku oficial memang ngak disinggung gradien... Tapi, inti pengerjaannya sama seperti yang kutulis di blog ini.. Hwohwohwo.. ^^ Gradien itu untuk mendapatkan selisih y dan selisih x yang relatif prima, sehingga dapat digunakan untuk mengubah parameter x dan y secara lebih akurat. (Penjelasan yang lebih baik bisa ditemukan di contoh soal di atas). ^^ Reply

4. AnonymousMarch 13, 2009 5:06 PM alhamdulillah akhirnya dapt jg tntang persamaan diophantine.. maf kl tidak keberatan tlong ksih tw referensinya tntang persamaan diophantine donk ;) kl ada jurnal jg g p2. makasih bnyk sebelumnya.. Reply tlg tar dikirim ke arofieta@yahoo.com

5.

RofitaMarch 14, 2009 4:35 PM Saya jadi br masih bljar agak lagi diophantine mumet ya?! ke gmn gitcuuu untuk tuch... :) ngubah k???

mhn dijelaskan parameter

trus knp pada contoh 2 variabel y yang dijumlahkan dengan -5 at +5???? knp Mhn sangat Makacih ;) Reply bkn -2 penjelasannya ditunggu at +2??? y.. blsnnya..

6. RofitaMarch 14, 2009 4:43 PM Saya jadi br masih bljar agak lagi diophantine mumet ya?! ke gmn gitcuuu untuk tuch... :) ngubah k???

mhn dijelaskan parameter

trus knp pada contoh 2 variabel y yang dijumlahkan dengan -5 at +5???? knp Mhn sangat Makacih ;) Reply bkn -2 penjelasannya ditunggu at +2??? y.. blsnnya..

7. hendry_dextMarch 14, 2009 5:15 PM Gradien merepresentasikan selisih y/ selisih x..

Dengan demikian, bagian pembilang itu miliknya y, kalo bagiannya penyebut itu milik x..

Apakah sudah terjawab? ^^ Reply

8. RofiMarch 19, 2009 8:06 PM Assalamu'alaikum.... permaslahan.. sy oia mencb pak, mencari sy selesaian punya positif

dari persamaan 4181x-6765y=1000000.., mhn bantuannya y, cz sy cr hasilnya masih ttp ada yang slh.. dimanakah letak kesalahannya??????? makasih banyak Reply

9. hendry_dextMarch 20, 2009 8:57 AM Ya elah. Aku yang imut-imut gini and masih muda en cakep gini dipanggil bapak... ~_~ Huehue.. Ternyata koefisien x dan y nya itu sejalan sesuai penjumlahan fibonacci.. Agak ribet kalo dijabarkan.. Jadi, aku langsung buat identitas Bezoutnya yaa.. Identitas 4181 * (-2584) kalikan kedua 4181 * (-2584*1000000) Artinya x y Gradiennya Jadi: x y Ambil x y Agar Artinya, Selesai. = = k= = = menjadi Bezout: -6765 * (-1597) = 1 ruas dengan sejuta.. - 6765 * (-1597*1000000) = 1000000. = = m solusi = awalnya: -2584000000 -1597000000 4181/ 6765.

=

-2584000000 + 6765 k -1597000000 + 4181 k. 381967 (dengan coba-coba), maka: 6755 + 6765 k 4027 + 4181 k postif, maka k = 0,1,2,3,.... solusinya tak berhingga.

Reply

10. RofitaMarch 23, 2009 4:58 PM ya soal maaf q khan g tw...:) jadi tak dari pangil bapk aj he he...] kak

diatas

emang

perluasan

barisan

fibonacci

identitas bezoutnya dah bisa, tp q binggung gunkan k berapa yang nanti hasilnya positif... semuanya dah tak coba hsilnya negatif.. please ya mhn bantuannya.. ni Tinggal semoga ini terkait thok please dg ?!!! TA kakakq yang q muda en he..he.. imut2.. amin..

dibalas

dengan

kebaikan

gmn bntu aq y? k nya berapa biar positif, kmrn q gnkan k = 31896 makasih sangat oia, blh di mnt tunggu almat seblemnya... jawabny.. emailnya?

blh donk hi hi...:) Reply

11. RofitaMarch 23, 2009 5:02 PM eh iya bknkah identitas bezoutnya itu 4181*(-2584)-6765*1597??.. tlg di cek ulang ya? tar q jg cek ulang lagi...

makacie:)))))))))))) Reply

12. RofitaMarch 23, 2009 5:11 PM

iy

kak,

mf

q

yang

salah

dalam

memasukkan

nilainya ya..

makasih tp q tetep mnta emailnya kl

boleh..

q hrap boleh, :) Reply

13. RofitaMarch 23, 2009 5:14 PM btw x begtu gmn tuch? Reply koq pula bisa lgsung dg jd y x=6755+6765k? nya?

14. RofitaMarch 23, 2009 5:20 PM kak sorry, soalny itu ternyta q salah soal, jgn bingung lht pertanyaanq yow??

amburadul x1*4181+6765x2=1000000

mksih, dtunggu jwbnya y dengn segera Reply

15. hendry_dextMarch 23, 2009 6:35 PM email kuw hendry_dext@yahoo.com... Ada di bagian kanan "About Me" koq.. Hueheee... Ak 4181 x tulis + 6765 ulang y = lagisoalnya: 1000000

Kalo kamu udah bikin identitas Bezuotnya, maka semuanya jadi gampang bgt... Identitas Bezoutnya:

4181 * (-2584) +6765 * (1597) = 1 dikali sejuta jadi: 4181 * (-2584000000)+6765 * (1597000000) = 1000000 Artinya solusi awalnya: x = -2584000000 y = 1597000000 gradiennya Jadi, x = y So, karena x>0 -2584000000 6765 k k>= y> 1597000000 4181 k k = = m -2584000000 = + 1597000000 (-4181)/ (6765) solusinya: 6765 k -4181k maka: > 0 2584000000 381966,0015 (i) > ... 0 0 381967 -4181k k < 381966 6765 > .. k

positif