PERSAMAAN KUADRAT DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

MAKALAH

PERSAMAAN KUADRAT

DAN

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Makalah ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Matakuliah Kajian Matematika SMP 2

Dosen pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

Disusun oleh :

Kelompok II

Kelas: IV A2

Laela Nurmawati (12141100043)

Alfiyan Adi putra (12144100064)

Isti Wulandari ( 12144100071)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2013

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI................................................................................................................ ii

BAB I

A. Pengertian SPLDV.........................................................................................1B. Menyelesaikan SPLDV..................................................................................1

1. Metode Grafik……………………...................................................................12. Metode Subtitusi……………………..............................................................23. Metode Eliminasi………………………...........................................................3

BAB II

A. Pengertian Persamaan Kuadrat....................................................................41. Menyatakan persamaan kuadrat dalam bentuk standar……..................42. Nilai-Nilai A,B Dan C Dalam Bentuk Persamaan Kuadrat Standar……. 5

B. Menyatakan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran...............................5C. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Tak – Lengkap.................................... 6

D. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapi Kuadarat............. 8E. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat....................... 9F. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Grafik......................................10

BAB III

G. Permasalahan…………………………………………...................................................12H. Solusi ...........................................................................................................12

SOAL LATIHAN..........................................................................................................14

JAWABAN SOAL LATIHAN…………………………………......................................................15

DAFTAR PUSTAKA.....................................................................................................17

Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page ii

Sistem persamaan linear dua variable, karena bervariabel x dan y

Dengan a, b, c, p, q dan r R serta .

Bukan sistem persamaan linear dua variabel. Karena x

berpangkat dua.

Bukan sistem persamaan linear dua variabel. Karena ada tiga variabel,yaitu x,y dan z

BAB I

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

A. Pengertian SPLDV

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sistem persamaan yang

hanya memiliki dua variabel dan masing-masing variabelnya berpangkat satu. Sistem

persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk berikut ini:

ax + by = c

px + qy = r

2x - 5y = 3

x + 6y =12

5x + 9y = 13

−x2 + 14y = 8

x - 5y = 3z

x + y =10z

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah pasangan bilangan

(x,y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) ada 4 cara,

yaitu:

1. Metode Grafik

Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua

variabel adalah koordinat titik potong kedua garis tersebut. Jika garis-garisnya tidak

berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan

kosong.

Contoh :

Dengan menggunakan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian

sistemper s ama an l i nea r dua va r i abe l x + y =1 dan x - y = 3 untuk un tuk x ,

y R !

Persamaan Kuadrat dan SPLDV Page 1

Grafik persamaan x + y =1 dan x - y = 3 masing – masing merupakan garis lurus

seperti gambar berikut.

Dari gambar tampak bahwa kedua garis itu berpotongan dititik p. Dari titik p

di buat garis tegak lurus terhadap sumbu x sehingg memotongnya di x =2 dan dari

titik pyang sama dibuat garis tegak lurus sumbu y sehingga memotong di y= -1. Jadi,

koordinat titik p adalah(-2, 1). Dengan demikian himpunan penyelesaian SPLDV

tersebut adalah {(-2, 1)}.

2. Metode Subtitusi

Pada metode subtitusi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear

dua variabel adalah dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk

variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama

dalam persamaan yang lain.

Contoh :

x + y = 2

3x + 2y = 8

Dari persamaan x + y = 2 y = 2- x. Dari persamaan y = 2- x disubtitusikan

(digantikan) ke persamaan 3x + 2y = 8, diperoleh:

3x + 2(2- x)= 8

3x + 4 - 2x = 8

x + 4 = 8

x = 2


x + y =1 x - y = 3

P(2,1)

Nilai x = 4 di subtitusikan ke persamaan y = 2 – x, diperoleh :

y = 2 – 4

y = -2

Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah{(4, -2)}.

3. Metode Eliminasi

Pada metode eliminasi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear

dua variabel adalah dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel

dari sistem persamaan tersebut. Misalkan variabelnya adalah x dan y, untuk

menentukan variabel x harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau

sebaliknya. Dengan kata lain metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu

variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain, oleh karena itu koefisien

salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama.

Contoh :

x + y = 2

3x + 2y = 8

Nilai x dicari dengan mengeliminasi perubahan y:

x + y = 2 x 2 2x + 2y = 4

3x + 2y = 8 x 1 3x +2y =8

-x = -4

x = 4

nilai y yang dicari dengan mengeliminasi peubah x

x + y = 2 x 3 3x + 3y =6

3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y =8

y = - 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{(4, 2)}. Hasil ini sama dengan yang diperoleh

dengan menggunakan metode subtitusi.


BAB II

PERSAMAAN KUADRAT

A. Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya

adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a,b,c ∈ R di

mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0.

Maka, 2 x2 + 3 x – 5 = 0 adalah sebuah persamaan kuadrat dalam x

1. Menyatakan Persamaan Kuadrat Dalam Bentuk Standar

Mengubah sebuah persamaan kuadrat menjadi bentuk standar a x2 + b x + c = 0

a. Hilangkan tanda kurung .

Contoh : x ( x + 1 ) – 5 = 0 menjadi x2 + x - 5 = 0

b. Ubahlah pecahan

Contoh : x – 4 + 3x = 0 menjadi x2 – 4 x + 3 = 0

c. Hilangkan tanda radikal

Contoh : √ x2−3 x=2 menjadi x2 – 3 x – 4 = 0

d. Gabungkan suku sejenis

Contoh : x2 + 7 x = 2 x + 6 menjadi x2 + 5 x - 6= 0


2. Nilai-Nilai A,B Dan C Dalam Bentuk Persamaan Kuadrat Standar

Nyatakan setiap persamaan kuadrat dalam bentuk standar, sedemikian rupa

sehingga a bernilai positif. Kemudian nyatakan nilai-nilai a,b dan c.

Contoh:

a. x2 - 9 x = 10

Bentuk standar : x2 – 9 x – 10 = 0

Nilai a = 1

Nilai b = - 9

Nilai c = - 10

b. 5 x2 - 125

Bentuk standar: 5 x2 – 125 = 0

Nilai a = 5

Nilai b = 0

Nilai c = 125

B. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Pemfaktoran

Aturan Faktor 0

Sebelum kita mulai membahas tentang penyelesaian persamaan kuadrat dengan

metode memfaktorkan, ada baiknya kamu mengetahui dulu tentang aturan faktor

0. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sembarang bilangan dengan bilangan

nol adalah nol.

Contoh: 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0.

Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan

tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa jika ab = 0 maka a = 0 atau b =

0. Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ” berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan

nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol.

Dengan mengenal aturan faktor 0 ini, maka penyelesaian persamaan kuadrat dengan

metode memfaktorkan dapat dilakukan.

Aturan 1 . Setiap persamaan kuadrat mempunyai dua akar

Maka, x2 = 9 mempunyai dua akar yaitu 3 dan - 3

Aturan 2 . Jika hasil kali dua faktor adalah nol,maka salah satu atau keduanya

pasti sama dengan nol


Maka,pada 5 ( x – 3 ) = 0 , faktor x – 3 = 0

Prosedur :

1. Nyatakan dalam bentuk a x2 + b x + c = 0

2. Faktorkan a x2 + b x + c

3. Buat tiap faktor sama dengan nol

4. Selesaikan tiap persamaan hasilnya

5. Periksa tiap akar dalam persamaan asal

Contoh : Selesaikan : x ( x – 4 ) = 5

x2 – 4 x = 5 maka x2 – 4 x – 5 = 0

( x – 5 ) ( x + 1 ) = 0

x – 5 = 0 x + 1 = 0

x = 5 x = - 1

Periksa x2 – 4 x = 5

Jika x = 5 , 5 ( 1 ) =? 5 jika x = - 1 , ( - 1 ) ( - 5 ) =? 5

5 = 5 5 = 5

Jawaban : x = 5 atau x = - 1

C. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Tak – Lengkap

Suatu persamaan kuadrat tak-lengkap dengan satu variabel tak diketahui tidak

memiliki:

1. Suku yang mengandung pangkat satu dari variabel tak diketahui seperti

x2 – 4 = 0

2. Suku konstanta seperti x2 - 4 x = 0

Aturan : Jika sebuah persamaan kuadrat tak lengkap tidak memiliki suku konstanta ,

maka salah satu akarnya adalah nol.

Maka , jika x2 – 4 x = 0 , x = 0 atau x = 4

1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Tak Lengkap Yang Tidak Memiliki

Pangkat Satu Dari Variabel Tak Diketahui

Prosedur:

a. Nyatakan dalam bentuk a x2 = k,dimana k adalah konstanta


b. Bagilah kedua ruas dengan a , menghasilkan x2 = ka

c. Tentukan akar kuadrta kedua ruas,menghasilkan x = ±√ ka

d. Periksa setiap akar dengan memasukkan kedalam persaman asal

Contoh : Selesaikan 4 x2 – 49 = 0

4 x2 = 49

(4 x2 ) : 4 = ( 49 ) : 4 maka x2 = 494

x = ± 72

x = + 72 atau x = -

72

2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Tak-Lengkap Yang Tidak Memiliki Suku

Konstanta

Prosedur:

a. Nyatakan dalam bentuk a x2 + b x = 0

b. Faktorkan a x2 + b x

c. Tetapkan tiap faktor sama dengan nol

d. Selesaikan tiap persamaan hasilnya

e. Periksa tiap akar dengan memasukkan kedalam persamaan asal

Contoh : Selesaikan 3 x2 = 18 x

3 x2 – 18 x = 0

3 x ( x – 6 ) = 0

3 x = 0 x – 6 = 0

x = 0 x = 6

Periksa dalam 3 x2 = 18 x

Jika x = 0 jika x = 6

3 ( 0 2 ) =? 18 ( 0 ) 3 ( 6 2 ) =? 18 ( 6 )

0 = 0 108 = 108

D. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapi Kuadrat

Kuadrat dari sebuah binomial adalah sebuah kuadrat trinomial sempurna.


1. Melengkapi Kuadrat Trinomial Sempurna

Aturan : Jika x2 adalah suku pertama dari sebuah kuadrat trinomial sempurna

dan suku x juga diketahui,maka suku terakhirnya juga dapat ditentukan dengan cara

mengkuadratkan setengah dari koefisien x

Contoh : Lengkapi tiap kuadrat trinomial sempurna dan nyatakan kuadrat

binomialnya x2 + 14 x + ?

Jawaban: Kuadratkan dari 12 ( 14 ) = 72 = 49

Tambahkan 49 untuk mendapatkan x2 + 14 x + 49 = ( x + 7 )2

2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapi Kuadrat

Prosedur :

a. Nyatakan persamaan dalam bentuk x2 + p x = q

b. Kuadratkan setengah koefisien dari x dan tambahkan pada kedua ruas

c. Ganti kuadrat trinomial sempurna dengan kuadrat binomialnya

d. Tentukan akar kuadrat kedua ruas.Tetapkan binomialnya sama dengan plus atau

minus akar kuadrat dari bilangan di ruas lainnya

e. Periksa kadua akar di dalam persamaan asal

Contoh :

Selesaikan x2 + 6 x – 7 = 0 dengan melengkapi kuadrat

Ubahlah x2 + 6 x – 7 = 0

x2 + 6 x = 7

Kuadratkan 12 ( 6 ) = 32 = 9 tambahkan 9 untuk memperoleh

x2 + 6 x + 9 = 7 + 9

( x + 3 )2 = 16

Akar kuadrat ( x + 3 ) = ± 4

x + 3 = 4 x + 3 = - 4

x = 1 x = - 7

Jawaban : x = 1 atau x = - 7

E. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat


Persamaan kuadrat : Jika a x2 + b x + c = 0 , maka x = −b±√b2−4 ac2a

.

a x2 + b x + c = 0

a x2 + b x = - c

x2 + bxa = -

cd

kuadrat dari 12(

ba ) = (

b2 a)2 = b2

4 a2

x2 + b xa + b2

4 a2 = b2

4 a2 - cd

( x + b

2 a)2 = b2−4ac4a2

x + b

2 a = ± √b2−4 ac2 a

.

x = b

2 a ± √b2−4ac2a

.

x = −b±√b2−4 ac2a

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat

Prosedur :


2. Tentukan nilai a,b dan c

3. Subtitusikan nilai a,b dan c kedalam rumus x = −b±√b2−4 ac2a

4. Selesaikan x

5. Periksa tiap akar kedalam persamaan asal

Contoh :

Selesaikan x2 – 4 x = - 3

x2 – 4 x = - 3

x2 – 4 x + 3 = 0

a = 1 b = - 4 c = 3

x = −b±√b2−4 ac2a

x = −(−4 ) ±√(−4)2−4 (1)(3)2(1)


x = +4±√16−122

x = +4±√42

x = 4 ± 2

2

x =4+2

2 x = 4−2

2

x = 3 x = 1

jawaban : x = 3 atau x = 1

F. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Menggunakan Grafik

Cara 1


2. Gambar grafik dari kurva y = a x2 + b x + c (kurva parabola)

3. Tentukan dimana y = 0 memotong y = a x2 + b x + c

Nilai – nilai x dititik perpotongan adalah akar-akar dari a x2 + b x + c = 0

( lihat a x2 + b x + c = 0 sebagai hasil dari penggabungan y = a x2 + b x + c = 0

dengan y = 0 )

Contoh : selesaikan dengan menggunakan grafik : x2 – 5 x + 4 = 0

x2 - 5 x + 4 = 0

lihat gambar kurva berikut

Kurva y = x 2 – 5 x + 4

x = 1 dan x = 4

Cara 2


2. Gambar grafik parabola y = a x2 + b x + c


a. Buatlah tabel nilai ,menggunakan urutan nilai x yang sesuai,cara ini dapat

dilakukan dengan menentukan nilai dari - b

2 a dan memilih x lebih besar atau lebih

kecil dari - b

2 a

b. Hubungkan titik-titik yang telah diplot

Perhatikan bahwa x = - b

2 a = 1 adalah garis lipat atau sumbu simetri dari parabola

3. Tentukan akar – akar dimana parabola memotong sumbu x

Contoh :

Selesaikan dengan menggunakan grafik : x2 - 2 x = 3

x2 - 2 x – 3 = 0

Gambar grafik y = x 2 – 2 x - 3

X x2 – 2 x – 3 = y

4

3

2

16 – 8 – 3 = 5

9 – 6 – 3 = 0

4 – 4 – 3 = - 3

b2 a=

22= 1 1 – 2 – 3 = - 4

0

- 1

- 2

0 – 3 = - 3

1 + 2 - 3 = 0

4 + 4 – 3 = 5

Gambar y = x 2 – 2 x - 3

x = - 1 atau x = 3


BAB III

PERMASALAHAN DAN SOLUSINYA

A. Permasalahan

Kesulitan untuk menentukan akar-akar dari persaman kuadrat.

B. Solusi

1. Guru mendemonstrasikan cara menentukan faktor-faktor pada persamaan kuadrat

yang berbentuk ax² + bx + c, a=1 dengan menggunakan media yang berbentuk kartu.

2. Guru membagikan kartu yang dibuat oleh guru yang terdiri dari 4 macam, Yaitu:

kartu untuk x², kartu untuk x, kartu untuk –x. dan kartu untuk satuan.

3. Guru memberikan 5 soal untuk dikerjakan siswa secara berpasangan dengan

menggunakan kartu yang diberikan guru

4. Guru berkeliling melihat pekerjaan siswa dan memberikan bimbingan seperlunya

terhadap siswa yang mengalami kesulitan.

5. Untuk mengecek pemahaman siswa guru meminta beberapa siswa untuk

memperagakan hasil pekerjaannya dan menggambarkan susunan kartu tersebut

dipapan tulis dan menentukan hasilnya.

6. Dari kegiatan ini diharapkan siswa akan menemukan cara untuk menentukan factor-

faktor dari persamanaan kuadrat yang berbentuk ax² + bx + c , dimana a=1

7. Guru memberikan umpan balik terhadap jawaban siswa dan mengarahkan siswa

kearah jawaban yang benar.

8. Siswa diberi latihan untuk menerapkan konsep yang didapat siswa dari kegiatan di

atas. (tanpa menggunakan kartu)

Contoh kartu


Contoh = x ² + 7x + 12 = ( x + 4 ) ( x + 3 )


SOAL LATIHAN

1. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut

a) 2x +3y = 13

3x +4y = 19

b) x +2y = 9

-5x + 2y = 27

c) 2x – 5y = 15

3x + 4y = 11

2. Selesaikan persamaan kuadrat berikut

a) x2 – x = 6

b) x2 + 9x + 20 = 0

c) 2 + 5x =

12x2


JAWABAN SOAL LATIHAN

a) untuk mencari nilai x,kita eliminasi peubah y

2x +3y = 13 x4 8x+ 12y = 52

3x +4y = 19 x3 9x+12y=57

-x=-5

x=5

untuk mencari nilai y,bisa kita subtitusikan nilai x kedalam persamaan 1 atau 2

2x +3y = 13

2(5)+3y=13

10+3y=13

10+3y-10=13-10

3y=3

y=1

jadi himpunan penyelesaiannya adalah (5,1)

b) untuk mencari nilai x,kita eliminasi peubah y

x +2y = 9

-5x + 2y = 27

6x=-18

x =-3

untuk mencari nilai y kita subtitusikan nilai x kedalam persamaan 1 atau 2

x +2y = 9

(-3)+2y=9

-3+2y+3=9+3

2y=12

y= 6


jadi himpunan penyelesaiannya adalah (-3,6)

c) untuk mencari nilai x kita eliminasi peubah y

2x – 5y = 15 x4 8x-20y=60

3x + 4y = 11 x5 15x+20y=55

23x=115

x= 5

untuk mencari nilai y kita subtitusikan nilai x

2x – 5y = 15

2(5)-5y=15

10-5y=15

10-5y-10=15-10

-5y=5

y=-1

jadi himpunan penyelesaiannya adalah (5,-1)

d) x2 – x = 6

solusi

x2 – x – 6=0

(x-3) (x+2)=0

x-3=0 x+2=0

x=3 x=-2

jadi himpunan penyelesaiannya adalah x=3 atau x=-2

e) x2 + 9x + 20 = 0

solusi

x2 + 9x + 20 = 0

(x+4)(x+5)=0

x = - 4 x = - 5

jadi himpunan penyelesaiannya adalah x = - 4 atau x= - 5


DAFTAR PUSTAKA

Sukino.2007.Matematika Untuk SMA Kelas XII.Jakarta: Erlangga

Sartono Wirodikromo.2001.Matematika Untuk SMA Kelas X.Jakarta:Erlangga

A.Wagiyo.2008.Pegangan Belajar Matematika.Jakarta:Departemen Pendidikan Nasional

Endah Budi Rahayu, dkk.2008.Contextual Teaching and Learning:Matematika

SMP/Madrasah Tsanawiyah Kelas VIII Edisi 4.Jakarta: Departemen Pendidikan

Nasional


PERSAMAAN KUADRAT DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Documents

Transcript of PERSAMAAN KUADRAT DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL