Splkdv (Sistem Persamaan Linear dan kuadrat Dua Variabel)

PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Dalam sesi ini, kita akan belajar tentang “Sistem Persaman

Linear dan Kuadrat”KLIK

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

MATERI LATIHAN SOAL SOAL APLIKASILatihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Latihan 4


MATERI LATIHAN SOAL SOAL APLIKASI



Sistem Pers. Campuran

Sistem Pers. Linear 2 Variabel

Sistem Pers. Linear 3 Variabel

Sistem Pers. Kuadrat

Sistem Persamaan Linear 2 Variabel

Sistem Persamaan Linear adalah himpunan beberapa persamaan linear yang saling terkait.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terdiri atas dua persamaanlinear dua variabel.

Berikut ini adalah beberapa contoh SPLDV :1. x + y = 3 dan 2x – 3y = 12. 5x + 2y = 5 dan x = 4y – 213. x = 3 dan x + 2y – 15 = 0

Himpunan penyelesaian SPLDV dapat diselesaikan dengan 3 cara , yaitu :1. Cara grafik2. Cara substitusi3. Cara eleminasi

Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara Grafik

Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara Substitusi

Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara eleminasi

Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara

Grafik

Untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara grafik,langkahnya adalah sebagai berikut :a. Menggambar garis dari kedua persamaan pada bidang cartesius (dengan menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y)b. Koordinat titik potong dari kedua garis merupakan himpunan penyelesaianCatatan : Jika kedua garis tidak berpotongan (sejajar) , maka SPLDV tidakmempunyai penyelesaian.

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 2x + 3y = 12 dan 4x – 3y – 6 = 0Jawab :i) 2x + 3y = 12 Titik potong dengan sumbu x , y =0 2x + 3.0 = 12 2x = 12 x = 6 diperoleh titik (6,0)

Titik potong dengan sumbu y, x = 0 2.0 + 3y = 12 3y = 12 y = 4 diperoleh titik (0,4)

ii) 4x – 3y – 6 = 0 ↔ 4x – 3y = 6 Titik potong dengan sumbu x , y =0 4x – 3y = 6 4x – 3.0 = 6 x =

Titik potong dengan sumbu y, x = 0 4.0 – 3y = 6 – 3y = 6 y = -2 diperoleh titik (0,-2)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { (3,2) }

46

4

2

-2

5

3,2


Substitusi

Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :a. Menyatakan variabel dalam variabel lain, misal menyatakan x dalam y atau

sebaliknya.b. Mensubstitusikan persamaan yang sudah kita rubah pada persamaan yang lainc. Mensubstitusikan nilai yang sudah ditemukan dari variabel x atau y ke salah satu

persamaan.

Contoh :Tentukan HP dari sistem persamaan x + 2y = 4 dan 3x + 2y = 12Jawab :x + 2y = 4, kita nyatakan x dalam y, diperoleh : x = 4 – 2ySubstitusikan x = 4 – 2y ke persamaan 3x + 2y = 12

3x + 2y = 123(4 – 2y) + 2y = 1212 – 6y + 2y = 12-4y = 0y = 0

Substitusikan y = 0 ke persamaan x = 4 – 2yx = 4 – 2.0x = 4

Jadi himpunan penyelesainnya adalah {(4,0)}


Eleminasi

Eleminasi artinya menghilangkan salah satu variable. Pada cara eleminasi ,koefisien dari variabel harus sama atau dibuat menjadi sama.Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :a. Nyatakan kedua persamaan ke bentuk ax + by = cb. Samakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan, melalui cara

mengalikan dengan bilangan yang sesuai ( tanpa memperhatikan tanda )c. – Jika koefisien dari variabel bertanda sama (sama positif atau

sama negatif), maka kurangkan kedua persamaan – Jika koefisien dari varibel yang dihilangkan tandanya berbeda (positif dan negatif ), maka jumlahkan kedua persamaan.

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari sitem persamaan x + y = 4 dan x – y = 2Jawab :Mengeliminasi xx + y = 4 ( koefisien x sudah sama, dan tandanya sama positif ,

x – y = 2 maka kita kurangkan kedua persamaan )

–2y = 2 Catatan : x – x = 0

y = 1 y – (-y) = 2y

Mengeliminasi yx + y = 4 ( koefisien y sudah sama, dan tandanya berbeda, maka kita

x – y = 2 jumlahkan kedua persamaan )

+2x = 6 Catatan : x + x = 2x

x = 3 y + (-y) = 0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 1)}

Sistem Persamaan Linear 3 Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x,y, dan z dapat dituliskan sebagai berikut :

ax + by + cz = d atau a1x + b1y + c1z = d1

ex + fy + gz = h a2x + b2y + c2z = d2

ix + jy + kz = l a3x + b3y + c3z = d3

dengan a, b, c, d, e, f, g, h, I, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan real .

Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) ialah {(x, y, z)}

Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat ditentukan dengan beberapa cara sebagai berikut :1. Metode substitusi2. Metode eliminasi

Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan cara Substitusi

Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan cara Eleminasi

Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan cara

Substitusi

Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dgn menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut : a. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana,

kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

b. Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat sistem persamaan linear dua variabel.

c. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang diperoleh pada langkah 2.

Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikutx – 2y + z = 63x + y - 2z = 47x – 6y – z = 10

Jawab:Dari persamaan x – 2y + z = 6 x = 2y – z + 6variabel x ini disubstitusikan ke persamaan 3x + y -2z = 4 dan 7x – 6y – z = 10 diperoleh :

3(2y – z + 6) + y – 2z = 46y – 3z + 18 + y – 2z = 47y – 5z = –14 (3)

7(2y – z + 6) – 6y – z = 1014y – 7z + 42 – 6y – z = 108y – 8z = – 32 y – z = – 4 (4)

Persamaan 3 dan 4 membentuk sistem persamaan linear dua variabel y dan z:7y – 5z = –14 dari persamaan y – z = – 4 y = z – 4y – z = –4

variabel y disubstitusikan ke persamaan 7y -5z = –14, diperoleh : 7 (z – 4) – 5z = –147z – 28 – 5z = – 142z = 14z = 7

Substitusikan nilai z = 7 ke persamaan y = z – 4, diperolehy = 7 – 4 = 3

Substitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke persamaan x = 2y – z + 6, diperolehx = 2(3) – 7 + 6x = 6 – 7 + 6x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)}

Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan cara

Eleminasi

Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode eliminasi adalah :a. Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh sistem persamaan

linear dua variabel.b. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang didapat pada langkah 1.c. Substitusikan nilai – nilai dua variabel yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam salah

satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lainnya.

Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear :2x – y + z = 6x – 3y + z = –2x + 2y – z = 3

Eliminasi peubah z:

Dari persamaan pertama dan kedua: Dari persamaan kedua dan ketiga:2x – y + z = 6 x – 3y + z = –2x – 3y + z = –2 x + 2y – z = 3x + 2y = 8 (4) 2x – y = 1 (5)

Persamaan 4 dan 5 membentuk sistem persamaan linear dua peubah x dan yx + 2y = 82x – y = 1

Eliminasi peubah y:x + 2y = 8 x 1 x + 2y = 82x – y = 1 x 2 4x – 2y = 2

5x = 10 x = 2

+

Eliminasi peubah x:x + 2y = 82x – y = 1

x 2x 1

2x + 4y = 162x – y = 1

5y = 15y = 3

Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 3 ke salah satu persamaan semula misal x + 2y – z = 3

x + 2y – z = 32 + 2(3) – z = 3

8 – z = 3x = 5

Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah {(2, 3, 5)}

Sistem persamaan campuran adalah sistem persamaan linear dan kuadrat. Sistem persamaan ini dibagi menjadi dua bagian sebagai berikut :

1. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk Eksplisit

2. Sistem persamaan Linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk Implisit

Sistem Persamaan Campuran

1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat, bagian kuadrat berbentuk Eksplisit

Suatu persamaan dua peubah x dan y dinyatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y)

y = ax + b

y = px2 + qx + r

Bagian linearBagian kuadrat

Dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan – bilangan real.

Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat dapat ditentukan melalui langkah – langkah sebagai berikut :

Langkah 1 :Substitusikan bagian linear ke bagian kuadrat Langkah 2:Nilai – nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan linear

Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini :

y = x – 1y = x2 – 3x + 2

Substitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x + 2, diperoleh x – 1 = x2 – 3x + 2

x2 – 4x + 3 = 0(x – 1)(x – 3) = 0

x = 1 atau x = 3Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x – 1

Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 jadi (3, 2)

Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 jadi (1, 0)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 0), (3, 2)}

2. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisit

Persamaan dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0.

px + qy + r = 0

ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0Bagian linearBagian kuadrat

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q dan r merupakan bilangan – bilangan real.Bilangan kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu :

A. Bentuk implisit yang tidak dapat difaktorkan

B. Bentuk implisit yang dapat difaktorkan

A. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan

Langkah – langkah penyelesaiannya adalah :

Langkah 1:Pada bagian linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x

Langkah 2:Substitusikan x dan y pada langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x dan y

Langkah ketiga:Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah 2, kemudian nilai – nilai yang didapat disubstitusikan ke persamaan linear

Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini : x + y – 1 = 0

x2 + y2 – 25 = 0Dari persamaan x + y – 1 = 0 menjadi y = 1 – xSubstitusi y ke persamaan x2 + y2 – 25 = 0, diperoleh :

x2 + ( 1 – x)2 – 25 = 0x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0

2x2 – 2x – 24 = 0x2 – x – 12 = 0

(x + 3)(x – 4) = 0x = -3 atau x = 4

Substitusi nilai – nilai x = -3 aatau x = 4 ke persamaan y = 1 – xUntuk x = -3 diperoleh y = 1 – (-3) = 4 jadi (-3, 4)Untuk x = 4 diperoleh y = 1 – 4 = -3 jadi (4, -3)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-3, 4)(4, -3)}

B. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan

Langkah – langkah penyelesaiannya adalah :

Langkah 1:Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor –faktor dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L1.L2 = 0.L1.L2 = 0. jadi L1 = 0 atau L2 = 0, dengan L1 dan L2 masing – masing berbentuk linier

Langkah 2:Bentuk – bentuk linear yang diperoleh pada langkah 1 digabungkan dengan persamaan linear semula, sehingga diperoleh sistem – sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kemudian selesaikan tiap sistem persamaan linier itu

Contoh: Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut:

2x + 3y = 84x2 – 12xy + 9y2 = 16

Bagian bentuk kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut:4x2 – 12xy + 9y2 = 16

(2x – 3y)2 – 16 = 0 (2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0

2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0

Penggabungan dengan persamaan linear semula diperoleh:

2x + 3y = 82x – 3y + 4 = 0Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian (1, 2)

2x + 3y = 82x – 3y – 4 = 0

Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian ( 3, 2/3)

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan itu adalah {(1,2), (2, 2/3)}

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dalam bentuk yang sederhana dapat dituliskan sebagai berikut :y = ax2 + bx + c

y = px2 + qx + r

Bagian kuadrat pertama

Bagian kuadrat kedua

Langkah – langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat dan kuadrat

Langkah 1 :Substitusikan bagian kuadrat yang pertama kebagian kuadrat yang kedua

Langkah 2 :Nilai – nilai x yang diperoleh dari langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke bagian kuadrat yang pertama atau bagian kuadrat yang kedua ( pilihlah bentuk yang sederhana).

Sistem Persamaan Kuadrat

Contoh: Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan kuadrat dan kuadrat berikut ini:

y = x2 – 1y = 1 – x2

Substitusi y = x2 – 1 ke persamaan y = 1 – x2, diperoleh :

x2 – 1 = 1 – x2

2x2 – 2 = 0x2 – 1 = 0

(x + 1)(x – 1) = 0x = -1 atau x = 1

Substitusikan x = -1 atau x = 1 ke persamaan y = x2 - 1Untuk x = -1 diperoleh y = (-1)2 – 1 = 0 jadi (-1, 0)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 0),(1, 0)}

Untuk x = 1 diperoleh y = (1)2 – 1 = 0 jadi (1, 0)

UNTUK MENJAWAB PERTANYAAN PADA SETIAP SOAL YANG DIBERIKAN, SILAHKAN KLIK SALAH SATU

GAMBAR PADA SETIAP PILIHAN JAWABAN YANG MENURUT ANDA BENAR.

SELAMAT MENCOBA….

PERHATIAN!!!

LATIHAN 1:Sistem Persamaan Linear 2 Variabel

1. Jika diketahui sistem persamaan berikut ini:2x + y = 5 x + 3y = 10 Maka, berapakah himpunan penyelesaiannya?

2. Jika adalah himpunan penyelesaian persamaan 2x – 3y =7 dan 3x + 2y = 4, maka nilai x2 adalah ...241816

yx,

} {(3,-1)

} {(1,-3)

} {(-1,3)

} {(3,1)

} {(1,3)

3. Diketahui sistem persamaan berikut ini:

Berapakah himpunan penyelesainnya?

83

4

34

2

yx

yx

6,2

2,6

2,6

6,2

6,2

LATIHAN 2:Sistem Persamaan Linear 3 Variabel

1. Jika (x0, y0, z0) penyelesaian sistem persamaan: x + z = 32y – z = 1x – y = 1Maka, x0 + y0 + z0 = ...

346811

2. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan: P + q + r = 122p – q + 2r = 122p + 2q- r =18

Adalah , dengan p : q : r = ....3 : 2 : 12 : 3 : 51 : 2 : 43 : 4 : 52 : 3 : 4

3. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan linear:2x – y = -8

2y + z = 83x + y + z = -3Adalah...

432-2-3

rqp ,,

LATIHAN 3:Sistem Persamaan Campuran

1. Jika himpunan penyelesaian sistem persamaan x-y=1 dan x2-xy=7 adalah maka harga y1+y2=....

-2-1120

2. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y=x2-2x+5 dan y=4x adalah...

2211 ,,, yxyx

} (-1,4){(5,20),

} (-1,4){(-5,20),

} (1,4){(5,20),

} (-1,-4){(-5,20),

} (1,4){(5,-20),

3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x+y=7 dan x2+y2=25 adalah

Berapakah nilai x1dan x2?

3 dan -3-3 dan -43 dan -4-4 dan 43 dan 4

}. ) y,{(x}, ) ,y{(x 2211

LATIHAN 4:Sistem Persamaan Kuadrat

Jika adalah himpunan penyelesaian persamaan 3x2 + y2 = 7 dan x2 – 3y2 = -11 serta y > x > 0, maka nilai x + y sama dengan ...

1,52345

} y){(x,

SOAL APLIKASI

1. Suatu kios fotokopi mempunyai dua buah mesin, masing-masing berkapasitas 4 rim/jam dan 2 rim/jam. Jika pada suatu hari jumlah kerja kedua mesin tersebut 10 jam dan menghasilkan 34 rim, maka lamanya mesin dengan kapasitas 4 rim/jam bekerja adalah...

54679

2. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk,dan 1 kg anggur adalah Rp 70.000,00 dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp 90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk,dan 3 kg anggur Rp 130.00,00, maka harga 1 kg jeruk adalah...

Rp 5.000,00Rp 7.500,00Rp 10.000,00Rp 12.000,00Rp 15.000,00

3. Suatu pesta dihadiri oleh orang dewasa dan anak-anak. Setelah 5 orang dewasa meninggalkan pesta tersebut, perbandingan jumlah orang dewasa dan jumlah anak-anak menjadi 7 : 5. Kemudian setelah 10 orang anak-anak meninggalkan pesta tersebut, perbandingan jumlah orang dewasa dan anak-anak menjadi 7 : 3. Biaya pesta 1 orang adalah Rp 50.000,00. Jumlah biaya yang diperlukan dalam pesta tersebut adalah...

Rp 3.750.000,00Rp 4.500.000,00Rp 5.250.000,00Rp 6.500.000,00Rp 7.250.000,00

4. Badrun mengayuh sepeda dari kota A ke kota B dengan kecepatan rata-rata 60km/jam. Ahmad menyusul 45 menit kemudian. Badrun dan Ahmad masing-masing berhenti selama 15 menit dalam perjalanan, sedang jarak A dan B 225 km. Kecepatan yang harus diambil Ahmad supaya tiba di kota B pada waktu yang sama adalah...

70 km/jam75 km/jam80 km/jam85 km/jam90 km/jam

5. Uang Amir Rp 20.000,00 lebih banyak dibandingkan uang Budi, ditambah dua kali uang Doni. Jumlah uang Amir, Budi, dan Doni adalah Rp 100.000,00. Selisih uang Budi dan Doni adalah Rp 5.000,00. Uang Amir adalah...

Rp 22.000,00Rp 33.000,00Rp 51.000,00Rp 67.000,00Rp 80.000,00

JAWABAN YANG ANDA PILIH SALAH…SILAHKAN COBA LAGI…

JAWABAN YANG ANDA PILIH SALAH…

SILAHKAN COBA LAGI…

JAWABAN YANG ANDA PILIH SALAH…SILAHKAN COBA LAGI…

JAWABAN YANG ANDA PILIH BENAR…SELAMAT YA…

Splkdv (Sistem Persamaan Linear dan kuadrat Dua Variabel)

Education

Transcript of Splkdv (Sistem Persamaan Linear dan kuadrat Dua Variabel)