Lks-03 Persmaan Linear Dan Kuadrat

49 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 49

A. SISTEM PERSAMAAN LINIIER DUA PEUBAH

A.1 ARTI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PEUBAH

Perhatikan persamaan x – y = 4. Persamaan ini dinamakan persamaan liner dua peubah ( variabel ) sebab ada dua variabel dalam persmaan itu yaitu x dan y . Ada banyak pasangan bilangan ( x,y ) yang dapat memenuhi persamaan tersebut, misalnya (5,1), ( 6,2), (0,-4), (-1,-5) dsb. Perhatikan juga persamaan 2x + y = -4 . Perssamaan ini juga mempunyai banyak penyelesain, misalnya : ( 1,-6), (0,-4), (2,-8) dsb. Dari sekian banyak penyelesaian yang memenuhi dua persamaan sekaligus hanyalah ( 0,-4 ). Ini artinya (0,-4) merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua peubah x – y = 4 dan 2x + y = -4. Jika ditulis dalam bentuk himpunan penyelesian maka HP : { (0,-4) }. Jadi sistem persamaan ini hanya mempunyai satu penyelesaian.

Kompetensi Dasar 1 : • Menggunakan sifat dan aturan tentang system persamaan linier dan

kuadrat dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar 2:

• Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan system persamaan

Kompetensi Dasar 3: • Merancang model matematika yang berkaitan dengan system persamaan

linier , menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil yang diperoleh

Indikator 1: a. Menjelaskan arti penyelesaian sustu system persamaan b. Menentukan penyelesaian system persamaan linier dua variabel c. Memberikan tafsiran geometri dari penyelesaian system persamaan linier dua

variabel Indikator 2:

a. Menentukan penyelesaian system persamaan linier tiga variabel b. Menentukan penyelesaian system persamaan linier-kuadrat dua variabel c. Menentukan penyelesaian system persamaan kuadrat dua variable

Indikator 3: a. Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya system

persamaan linier b. Menentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variable system

persamaan linier c. Merumuskan system persamaan linier yang merupakan model matematika dari

masalah d. Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah

Materi Pokok

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT


Perhatikan sistem persamaan : 2x +y = 4 dan 2x + y = 8. Sistem persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, sebab tidak ada satupun harga x dan y yang sekaligus memenuhi sistem persamaan tersebut. Berikutnya kita perhatikan sistem persamaan : 2x – y = 4 dan 4x – 2y = 8. Sistem persamaan ini mempunyai tak hingga penyelesaian , misalnya (0,-4), (1,-2), (2,0 ) dsb. Dengan demikian secara umum sistem persamaan linier dua peubah dapat dinyatakan dalam bentuk :

=+=+

rqypx

cbyax

Jika ( x0 , y0 ) merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linier tersebut maka haruslah memenuhi a x0 + b y0 = c dan p x0 + q y0 = r Jadi secara umum jika diketahui sistem persamaan linier dua peubah maka ada 3 kemungkinan penyelesaian, yaitu : 1. mempunyai satu penyelesaian 2. mempunyai tak terhingga penyelesaian

3. tidak mempunyai penyelesaian

A.2. MENENTUKAN PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PEUBAH

Setidaknya ada 4 cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah, yaitu : 1. cara grafik 2. cara substitusi

3. cara eliminasi

4. cara determinan

A.2.1. CARA GRAFIK Pada waktu di SMP kita pernah mempelajari bahwa grafik sebuah persamaan linier dengan dua peubah dapat digambarkan sebagai sebuah garis lurus . Sebuah garis lurus minimal terdiri dari dua titik, sehingga untuk melukiskan grafik sebuah persamaan linier dua peubah kita harus menentukan terlebih dahulu dua titk tersebut. Untuk memahami cara menentukan penyelesaian �ystem persamaan linier dua peubah dengan cara grafik , perhatikan contoh berikut :

Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari

−=+=−

42

4

yx

yx

Penyelesaian : Kita terlebih dahulu menentukan masing-masing dua titik yang terletak pada dua persamaan tersebut, yaitu : • untuk x – y = 4 2x + y = -4 y X 0 4 Y -4 0 Titik ( 0, -4 ) ( 4, 0 )

• untuk 2x + y = - 4 x – y = 4 X 0 -2 Y -4 0 Titik ( 0, -4 ) ( -2, 0 )

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN


Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah titik potong antara garis x – y = 4 dan 2x + y = -4 , yaitu titik ( 0,-4 ). Jadi HP : { (0,-4) }


=+=+

82

42

yx

yx

Penyelesaian : Kita terlebih dahulu menentukan masing-masing dua titik yang terletak pada dua persamaan tersebut, yaitu : • untuk 2x + y = 4 2X + Y = 8

• untuk 2x + y = 8 X 0 4 Y 8 0 Titik ( 0, 8 ) ( 4, 0 )

2x + y = 4 Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa tidak ada titik potong antara garis 2x + y = 4 dan 2x + y = 8 karena kedua garis tersebut saling sejajar. Maka sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian.


=+=−

824

42

yx

yx

Penyelesaian : Kita terlebih dahulu menentukan masing-masing dua titik yang terletak pada dua persamaan tersebut, yaitu : • untuk 2x - y = 4 2x - y = 4

• untuk 4x - 2y = 8 X 0 2 Y -4 0 Titik ( 0, -4 ) ( 2, 0 )

2x + y = 4 Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa kedua garis berimpit sehingga mempunyai tak terhingga titik potong, dikatakan sistem persamaan tersebut mempunyai tak hingga penyelesaian. Dengan demikian dapat disimpulkan tafsiran geometri dari penyelesaian sistem persamaan linier dua peubah, yaitu :

1. jika dua garis tersebut berpotongan di satu titik, maka sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian

2. jika dua garis tersebut saling sejajar, maka sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian 3. jika dua garis tersebut berimpit, maka sistem persamaan mempunyai tak terhingga penyelesaian

X 0 2 Y 4 0 Titik ( 0, 4 ) ( 2, 0 )

X 0 2 Y -4 0 Titik ( 0, -4 ) ( 2, 0 )


Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan cara grafik :

1.

−=−−=−

435

2

yx

yx 8.

=+−=−

84

632

yx

yx 15.

=−=+

023

82

yx

yx

2.

−=+=−

1252

135

yx

yx 9.

=+−=−

127

1434

yx

yx 16.

=+−=−

2725

92

yx

yx

3.

=+−=+

224

335

yx

yx 10.

=+−=−792

936

yx

yx 17.

−=−=+

473

257

yx

yx

4.

=−=+

647

2283

yx

yx 11.

−=−−=−

278

94

yx

yx 18.

−=−−=+

1223

1273

yx

yx

5.

−=−=+−209

1972

yx

yx 12.

=+=+−

249

2462

yx

yx 19.

=+=−

1143

1552

yx

yx

6.

=−

=+

28

1

4

3

34

1

4

1

yx

yx 13.

−=−−=−

278

94

yx

yx 20.

−=−−=+

1223

1273

yx

yx

7.

−=−=+−209

1972

yx

yx 14.

=+=+−

249

2462

yx

yx

A.2.2. CARA SUBSTITUSI Untuk memahami cara ini perhatikan contoh berikut ini :

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari

−=−−=+

723

1252

yx

yx

Penyelesaian : Kita berinama 2x + 5y = 12………….. persamaan (1) -3x – 2y = -7………….. persamaan (2) misalkan kita memilih persamaan (1) substitusi ke persamaan (2) maka dikerjakan sebagai berikut: persamaan (1) 2x + 5y = 12 diubah menjadi : 2x = 12 – 5y 5y pindah keruas kiri

x = 6 - 2

5y kedua ruas dibagi 2

untuk selanjutnya x = 6 - 2

5y disubstitusikan ke persamaan (2) :

persamaan (2) –3x – 2y = -7

1 UJI KOMPETENSI PENYELESAIAN SISTEM

PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL DENGAN GRAFIK



-3( 6 - 2

5y ) – 2y = -7 substitusi nilai x pers. (1)

-18 + 2

15y – 2y = -7 distributif

-36 + 15y – 4y = -14 kedua ruas dikalikan 2 -36 + 11y = -14 penjumlahan 11y = -14 + 36 kedua ruas ditambah 36 11y = 22 penjumlahan y = 2 kedua ruas dibagi 11 setelah diperoleh harga y = 2 tersebut , untuk mencari harga xmaka harga y = 2 disubstitusikan ke salah satu persamaan, misalnya kita pilih ke persamaan (1), maka diperoleh persamaan : persamaan (1) 2x + 5y = 12 2x + 5.2 = 12 substitusi harga y = 2 2x + 10 = 12 perkalian 2x = 12 – 10 kedua ruas dikurangi 10 2x = 2 pengurangan x = 1 kedua ruas dibagi 2 kedua peubah sudah diperoleh yaitu x = 1 dan y = 2. Jika ditulis dalam himpunan penyelesaian ,maka HP : { (1,2) } Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan cara substitusi :

1.

−=−−=−

435

2

yx

yx 8.

=+−=−

84

632

yx

yx 15.

=−=+

023

82

yx

yx

2.

−=+=−

1252

135

yx

yx 9.

=+−=−

127

1434

yx

yx 16.

=+=+

753

432

yx

yx

3.

−=+−=−

1952

1843

yx

yx 10.

=+−−=−

5595

1824

yx

yx 17.

=−=+

135

72

yx

yx

4.

=+=+−1462

3175

yx

yx 11.

−=+=+−

5310

4776

yx

yx 18.

=−−=−+8843

01126

yx

yx

5.

=+=−

1034

2253

yx

yx 12.

−=−=−

634

12

yx

yx 19.

=−+=−−02

0932

yx

yx

6.

=−−

=−+

054

1

3

1

013

1

2

1

yx

yx 13.

=−−=−+

01232

02024

yx

yx 20.

=−+=−+

242454

863

yx

yx

7.

=−+=−−

0291812

0926

yx

yx 14.

=−+=−+

055,12,0

045,03,0

yx

yx

2 UJI KOMPETENSI

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA

VARIABEL DENGAN SUBSTITUSI


A.2.3. CARA ELIMINASI Untuk memahami cara ini perhatikan kembali contoh berikut ini :


−=−−=+

723

1252

yx

yx

Penyelesaian : Jika kita akan mencari nilai x maka peubah y harus dieliminasi / dihilangkan sebagai berikut : 2x + 5y = 12 2 4x + 10y = 24 kedua ruas dikalikan 2 -3x – 2y = -7 5 -15x –10y = -35 kedua ruas dikalikan 5 (+) -11x = -11 penjumlahan x = 1 kedua ruas dibagi –11 untuk mencari nilai y maka peubah x harus dieliminasi sebagai berikut : 2x + 5y = 12 3 6x + 15y = 36 kedua ruas dikalikan 3 -3x – 2y = -7 2 -6x – 4y = -14 kedua ruas dikalikan 2 (+) 11y = 22 penjumlahan y = 2 kedua ruas dibagi 11 jadi HP : { (1,2) } Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan cara substitusi :

1.

−=−−=−

435

2

yx

yx 9.

=+−=−

84

632

yx

yx 17.

=−=+−123

32

yx

yx

2.

−=−−=−

435

2

yx

yx 10.

=+−=−

84

632

yx

yx 18.

=−=+

023

82

yx

yx

3.

−=+=−

1252

135

yx

yx 11.

=+−=−

127

1434

yx

yx 19.

=+=+

753

432

yx

yx

4.

−=+−=−

1952

1843

yx

yx 12.

=+−−=−

5595

1824

yx

yx 20.

=−=+

135

72

yx

yx

5.

=+=+−1462

3175

yx

yx 13.

−=+=+−

5310

4776

yx

yx 21.

=−+=−−02

0932

yx

yx

6.

=+=−

1034

2253

yx

yx 14.

=−−=−+8843

01126

yx

yx 22.

−=−=−

634

12

yx

yx

3 UJI KOMPETENSI


VARIABEL DENGAN ELIMINASI



7.

=−−

=−+

054

1

3

1

013

1

2

1

yx

yx 15.

=−−=−+

01232

02024

yx

yx 23.

=−+=−+

242454

863

yx

yx

8.

=−+=−−

0291812

0926

yx

yx 16.

=−+=−+

055,12,0

045,03,0

yx

yx

A.2.4. CARA DETERMINAN A.2.4.1. PENGERTIAN DETERMINAN ORDO DUA Susunan bilangan yang terdiri dari 2 baris dan 2 kolom seperti dibawah ini dinamakan determinan ordo dua yang dilambangkan dengan D. : a b baris ke 1 c d baris ke 2

kolom ke 1 kolom ke 2 untuk mencari nilai determinan tersebut dikerjakan sebagai berikut : D = a b = ad – bc

c d

Contoh : tentukan nilai determinan dari 31

42 −

Penyelesaian :

D = 31

42 −= 2.3 – (-4).1= 6 + 4 = 10

A.2.4.2. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PEUBAH DENGAN CARA DETERMINAN

Jika qp

ba = D yang merupakan determinan dari koefisien-koeifisien peubah x dan y

qr

bc = Dx yang merupakan determinan D dimana kolom pertama diganti oleh konstanta c dan r

rp

ca = Dy yang merupakan determinan D dimana kolom kedua diganti oleh konstanta c dan r

maka penyelesaian sistem persamaan linier dua peubah :

=+=+

rqypx

cbyax dapat ditentukan dengan

rumus :



Pada sistem persamaan linier

=+=+

rqypx

cbyax jika :

1. D ≠ 0 maka mempunyai satu penyelesaian 2. Dx ≠ 0, Dy ≠ 0, D = 0 maka tidak mempunyai penyelesaian 3. D = Dx = Dy = 0 maka mempunyai tak hingga penyelesaian

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan :

−=−−=+

723

1252

yx

yx

Penyelesaian :

D = 23

52

−− = 2.(-2) – 5.(-3) = -4 + 15 = 11

Dx = 27

512

−− = 12.(-2) – 5.(-7) = 12.(-2) – 5.(-7) = 11

Dy = 73

122

−− = 2.(-7) – 12.(-3) = -14 + 36 = 22

maka x = D

Dx = 11

11 = 1

y = D

Dy = 11

22 = 2

jadi HP : { (1,2) }

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan cara determinan :

1.

−=−−=−

435

2

yx

yx 7.

=+−=−

84

632

yx

yx 13.

=−=+

023

82

yx

yx

2.

−=+=−

1252

135

yx

yx 8.

=+−=−

127

1434

yx

yx 14.

=+=+

753

432

yx

yx

3.

−=+−=−

1952

1843

yx

yx 9.

=+−−=−

5595

1824

yx

yx 15.

=−=+

135

72

yx

yx

4.

=+=+−1462

3175

yx

yx 10.

−=+=+−

5310

4776

yx

yx 16.

=−+=−−02

0932

yx

yx

danD

Dx x=

D

Dy y=

4 UJI KOMPETENSI


VARIABEL DENGAN DETERMINAN



5.

=+=−

1034

2253

yx

yx 11.

=−−=−+8843

01126

yx

yx 17.

−=−=−

634

12

yx

yx

6.

=−−

=−+

054

1

3

1

013

1

2

1

yx

yx 12.

=−−=−+

01232

02024

yx

yx 18.

=−+=−+

242454

863

yx

yx

A.2.4.3 MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN

SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PEUBAH

Persoalan dalam kehidupan sehari-hari sering berhubungan dengan matematika. Persoalan – persoalan tersebut sering kali dapat diubah menjadi model matematika diantaranya berbentuk sistem persamaan linier dua peubah. Untuk memahami penerapan sistem persamaan linier dua peubah simaklah contoh berikut ini : Contoh : Farid dan Fila berbelanja disebuah toko yang sama untuk membeli keperluan sekolahnya. Farid membeli 8 buku tulis dan 3 pensil, untuk itu ia harus membayar sebesar Rp. 14.250,-. Sedangkan Fila membeli 6 buku tulis dan 4 pensil, untuk itu ia harus membayar sebesar Rp. 12.000,-. Berapakah harga untuk sebuah buku tulis dan harga sebuah pensil ? Penyelesaian: Untuk menyelesaian persoalan tersebut diatas harus diubah ke dalam bahasa matematika yang dinamakan model matematika. Model matematika yang cocok untuk persoalan tersebut adalah sistem persamaan linier dua peubah. Untuk itu kita kerjakan sebagai berikut : Kita misalkan : - harga sebuah buku tulis = x rupiah - harga sebuah pensil = y rupiah maka dapat dibuat tabel sebagai berikut :

Buku tulis Pensil Jumlah uang yang.dibayarkan (Rp) Farid 8 3 14.250 Fila 6 4 12.000

Harga per buah X y

Dari tabel tersebut dapat dibuat sistem persamaan liniernya :

=+=+

1200046

1425038

yx

yx

Untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut dapat menggunakan salah satu cara yang sudah pernah kita pelajari, misalnya cara eliminasi berikut ini : 8x + 3y = 14250 4 32x + 12y = 57000 kedua ruas dikalikan 4 6x + 4y = 12000 3 18x + 12y = 36000 kedua ruas dikalikan 3 (-) 14x = 21000 pengurangan x = 1500 kedua ruas dibagi 14 8x + 3y = 14250 3 24x + 9y = 42750 kedua ruas dikalikan 3 6x + 4y = 12000 4 24x + 16y = 48000 kedua ruas dikalikan 4 (-) -7y = - 6250 pengurangan y = 750 kedua ruas dibagi –7 jadi : - harga sebuah buku tulis ( x ) adalah Rp. 1500,-

- harga sebuah pensil ( y ) adalah Rp. 750,-



1. Dua orang anak A dan B mengikuti lomba dalam rangka HUT kemerdekaan RI yang diselenggarakan

oleh RT setempat. Lomba yang diadakan ada dua macam yaitu makan krupuk dan mencari uang didalam tepung. Dalam waktu yang ditentukan panitia, A dapat memakan 5 krupuk dan dapat mencari uang dalam tepung sebanyak 7 koin. Sedangkan B dapat memakan 6 krupuk dan dapat mencari uang dalam tepung sebanyak 5 koin. Untuk itu panitia memberi hadiah kepada A dan B masing – masing sebesar Rp. 8.500,-. Berapa rupiah hadiah untuk makan krupuk sebuah dan untuk mencari satu koin uang dalam tepung ?

2. Keliling sebuah persegi panjang adalah 28 cm. Jika panjangnya 6 cm lebih dari lebarnya , tentukan panjang dan lebar persegi panjang tersebut ?

3. Sebuah mesin penggilingan padi jenis A mampu menghasilkan 100 kg beras per jam. Sedangkan mesin jenis B mampu menghasilkan 150 kg beras per jam. Dalam satu hari kedua mesin itu mampu menghasilkan 2600 kg beras per jam. Dalam satu hari jumlah jam kerja kedua mesin itu adalah 20 jam. Berapa jam mesin A dan B berkerja dalam satu hari ?

4. Sebuah agen bus melayani penjualan tiket kelas exekutive dan kelas ekonomi. Jumalh tiket yang terjual dalam satu hari untuk kelas exekutive sebanyak 40 dan kelas ekonomi sebanyak 50. Jika dalam satu hari agen bus tersebut mendapatkan uang sebesar Rp. 6.600.000,- dari penjualan dua jenis tiket tersebut, tentukan harga untuk sebuah tiket kelas exekutive dan kelas ekonomi.

5. Sebuah agen penjualan tiket kereta api dalam satu hari mampu menjual 200 tiket untuk dua jenis. Harga tiap lembar jenis I adalah Rp. 2000,- sedangkan jenis II adalah Rp. 3000,- . Jumlah uang hasil penjualan ke dua jenis tiket tersebut sebesar Rp. 510.000,- . Berapakah banyaknya tiket yang terjual untuk jenis I ?

6. Sebuah garis dengan persamaan ax + by = 12. Tentukan nilai a dan b jika garis tersebut melalui titik ( 1,-1 ) dan ( -4,-6 )

7. Sebuah industri mebel memproduksi almari dan kursi. Hasil penjualan 10 almari dan 14 kursi adalah Rp. 8.200.000,- , sedangkan hasil penjualan 15 almari dan 8 kursi adalah Rp. 8.400.000,-. Hitunglah harga jual untuk satu almari dan untuk satu kursi.

8. Sepuluh tahun yang lalu ayah 6 kali umur saya. Lima tahun yang akan datang jumlah umur ayah dan umur saya adalah 65. Hitunglah umur ayah dan umur saya sekarang.

9. Jumlah karyawan sebuah pabrik tekstil dan pabrik rokok adalah 300 orang. Jumlah karyawan pabrik tekstil 200 kurangnya dari dua kali jumlah karyawan pabrik rokok. Hitunglah jumlah karyawan pabrik tekstil dan pabrik rokok

10. Jumlah dua bilangan sama dengan hasil kali kedua bilangan itu. Selisih bilangan yang pertama dengan dua kali bilangan kedua sama dengan dua kali perkalian ke dua bilangan itu. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.

11. Jumlah dua bilangan adalah 29, sedangkan selisih kedua bilangan itu adalah 11. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.

12. Enam tahun yang lalu jumlah umur ayah dan ibu adalah sembilan kali selisihnya. Sekarang umur ayah

17

22 umur ibu .Tentukan umur ayah dan ibu delapan tahun yang akan datang

13. Dalam sebuah gedung bioskop terdapat 250 orang penonton. Hasil penjualan karcis diperoleh Rp. 1.050.000,-. Jika harga karcis kelas I adalah Rp 5000,- dan kelas II Rp. 3000,-. Berapa banyaknya penonton pada kelas I dan pada kelas II

14. Keliling sebuah persegi panjang adalah 38 cm. Jika panjangnya dibuat dua kali panjang semula dan lebarnya dibuat empat kali lebar semula maka kelilingnya menjadi 96 cm. Hitung panjang dan lebar persegi panjang semula.

5 UJI KOMPETENSI

PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

DUA VARIABEL


B. SISTEM PERSAMAAN LINIIER TIGA PEUBAH

Sistem persamaan linier tiga peubah ( x, y dan z ) dapat ditulis dalam bentuk :

=++=++=++

nmzlykx

srzqypx

dczbyax

keterangan : • a,b,c,p,q,r,k,l dan m dinamakan koefisien peubah • d,s dan n dinamakan konstanta jika x0 , y0 dan z0 , memenuhi sistem persamaan linier tersebut maka himpunan penyelesaiannya ditulis HP : { (x0 , y0 , z0) } Paling tidak ada 3 cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah, yaitu : a. cara substitusi b. cara eliminasi c. cara determinan B.1. CARA SUBSTITUSI Untuk memahami cara ini perhatikan contoh berikut ini :


−=−+=++−

=+−

742

932

235

zyx

zyx

zyx

Penyelesaian : Misal kita beri nama 5x – 3y + z = 2 ……… persamaan (1) -2x + y + 3z = 9…….. persamaan (2) x + 2y – 4z = -7…….... persamaan (3) Langkah 1 : kita memilih salah satu persamaan disubstitusikan ke salah satu persamaan yang lain. Peubah yang disubstitusikan dipilih salah satu ( x,y atau z ) . Misal kita memilih persamaan (1) dimana yang dipilih peubah z substitusi ke persamaan (2), maka dikerjakan sebagai berikut : Persamaan (1) 5x – 3y + z = 2 diubah menjadi : z = 2 – 5x + 3y kedua ruas dikurangi 5x – 3y Selanjutnya z = 2 – 5x + 3y disubstitusikan ke persamaan (2) sebagai berikut : Persamaan (2) -2x + y + 3z = 9 -2x + y + 3( 2 – 5x + 3y ) = 9 substitusi harga z -2x + y + 6 – 15x + 9y = 9 distributif -2x – 15x + y + 9y + 6 = 9 penjumlahan -17x + 10y + 6 = 9 penjumlahan -17x + 10y = 9 – 6 kedua ruas dikurangi 6 -17x + 10y = 3 pengurangan untuk selanjutnya -17x + 10y = 3 diberi nama persamaan (4)



Langkah 2 : kita melakukan seperti langkah 1 namun untuk persamaan yang lain. Misal kita pilih persamaan (2) substitusi ke persamaan ( 3). Untuk langkah 2 ini peubah yang disubstitusikan ke persamaan (3) harus sama dengan peubah pada langkah (1) ( yaitu z ), maka dikerjakan sebagai berikut : Persamaan (2) –2x + y + 3z = 9 diubah menjadi : 3z = 9 + 2x – y kedua ruas ditambah 2x – y

z = 3

29 yx −+ kedua ruas dibagi 3

selanjutnya z = 3

29 yx −+ disubstitusikan ke persamaan (3) sebagai berikut :

persamaan (3) x + 2y – 4z = -7

x + 2y – 4(3

29 yx −+) = -7 substitusi harga z =

3

29 yx −+

3x + 6y –4( 9 + 2x – y ) = -21 kedua ruas dikalikan 3 3x + 6y – 36 – 8x + 4y = -21 distrbutif 3x – 8x + 6y + 4y – 36 = -21 dikelompokkan -5x + 10y – 36 = -21 penjumlahan -5x + 10y = 36 - 21 kedua ruas ditambah 36 -5x + 10y = 15 pengurangan untuk selanjutnya –5x + 10y = 15 diberi nama persamaan (5) Langkah 3 : langkah ini kita bisa memilih substitusi persamaan (4) ke (5) atau sebaliknya. Misal kita pilih substitusi persamaan (4) ke (5) dimana yang disubstitusikan peubah x maka dikerjakan sebagai berikut : Persamaan (4) -17x + 10y = 3 diubah menjadi : -17x = 3 – 10y kedua ruas dikurangi 10y

x = 17

103

−− y

kedua ruas dibagi –17

selanjutnya x = 17

103

−− y

disubstitusikan ke persamaan (5) sebagai berikut :

persamaan (5) -5x + 10y = 15

-5(17

103

−− y

) + 10y = 15 substitusi harga x = 17

103

−− y

-5( 3 – 10y ) – 170y = - 255 kedua ruas dikalikan –17 -15 + 50y – 170y = -255 distributif 50y – 170y = -255 + 15 kedua ruas ditambah 15 -120y = -240 penjumlahan y = 2 kedua ruas dibagi –120 untuk mencari harga peubah yang lain maka harga y = 2 disubstitusikan ke salah satu persamaan (4) atau (5) maka akan diperoleh harga peubah x. Misal kita substitusikan harga y=2 ke persamaan (4) sebagai berikut : persamaan (4) -17x + 10y = 3 -17x + 10.2 = 3 substitusi harga y =2 -17x + 20 = 3 perkalian -17x = 3 – 20 kedua ruas dikurangi 20 -17x = -17 pengurangan x = 1 kedua ruas dibagi –17 sudah diperoleh harga x = 1 dan y = 2, untuk menentuka peubah z kita dapat mensubstitusikan ke persamaan (1), (2) atau (3). Misal kita pilih substitusi ke persamaan (1) sebagai berikut : persamaan (1) 5x – 3y + z = 2 5.1 – 3.2 + z = 2 substitusi harga x=1 dan y=2 5 – 6 + z = 2 perkalian -1 + z = 2 pengurangan z = 2 + 1 kedua ruas ditambah 1


z = 3 penjumlahan jadi HP : { (1,2,3) }

Tentukan HP dari sistem persamaan berikut ini dengan cara substitusi :

1.

−=−+−=−+−

=+−

1232

4325

6543

zyx

zyx

zyx

9.

−=+−=−+

=−

723

14642

135

zy

zyx

zx

2.

=−+−−=++

=−−

1233

723

11524

zyx

zyx

zyx

10.

−=+−=+=−

725

1456

2547

zx

zy

yx

3.

−=−+−=−−−

=+−

345

243

18247

zyx

zyx

zyx

11.

−=+−=+−=−

1624

632

1535

zx

zy

yx

4.

=−+−=−+−

=+−

1054

5324

135

zyx

zyx

zyx

12.

−=−+=−+−−=+−

15,225,16,05,1

12,03,04,05,0

9,02,03,04,0

zyx

zyx

zyx

5.

=+−=−+

−=−+−

22976

0325

1247

zyx

zyx

zyx

13.

−=+−=−

−=+

425

1743

232

yx

zy

yx

6.

−=+−=−+−

−=+−

6547

1432

1

zyx

zyx

zyx

14.

=++=++=++

235

323

124

zyx

zyx

zyx

7.

=+−

=+−

=++

2351

5123

12112

zyx

zyx

zyx

15.

=++−

=++

−=++

01241

1421

2

1241

zyx

zyx

zyx

8.

=−+=++−

−=+−

943

7325

1632

zyx

zyx

zyx

6 UJI KOMPETENSI

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

TIGA VARIABEL DENGAN SUBSTITUSI


B.2. CARA ELIMINASI

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut ini :

−=−+=++−

=+−

742

932

235

zyx

zyx

zyx

Penyelesaian : Kita beri nama 5x – 3y + z = 2 persamaan (1) -2x + y + 3z = 9 persamaan (2) x + 2y – 4z = -7 persamaan (3) Langkah 1 : memilih dua persamaan untuk dikerjakan dengan eliminasi, misal kita memilih persamaan (1) dan (2) yang dieliminasi/ dihilangkan boleh memilih peubah x,y atau z. Misal kita memilih peubah y yang dieliminasi maka dikerjakan sebagai berikut : Persamaan (1) 5x – 3y + z = 2 1 5x - 3y + z = 2 kedua ruas dikalikan 1 Persamaan (2) -2x + y + 3z = 9 3 -6x + 3y + 9z = 27 kedua ruas dikalikan 3 (+) -x + 10 z = 29 penjumlahan selanjutnya –x + 10z = 29 diberi nama persamaan (4) Langkah 2 : seperti langkah 1 namun untuk pasangan persamaan yang berbeda. Misal kita pilih persamaan (2) dan (3) dikerjakan sebagi berikut : Persamaan (2) -2x + y + 3z = 9 2 -4x + 2y + 6z = 18 kedua ruas dikalikan 2 Persamaan (3) x + 2y – 4z = -7 1 x + 2y – 4z = -7 kedua ruas dikalikan 1 (-) -5x + 10z = 25 selanjutnya –5x + 10z = 25 diberi nama persamaan (5) Langkah 3 : eliminasi persamaan (4) dan (5) sebagai berikut : Persamaan (4) -x + 10z = 29 Persamaan (5) -5x + 10z = 25 (-) 4x = 4 pengurangan x = 1 kedua ruas dibagi 4 jika persamaan (4) dan (5) dieliminasi maka akan diperoleh harga z sebagai berikut : Persamaan (4) -x + 10z = 29 5 -5x + 50z = 145 kedua ruas dikalikan 5 -5x + 10z = 25 1 -5x + 10z = 25 kedua ruas dikalikan 1 (-) 40 z = 120 pengurangan z = 3 kedua ruas dibagi 40 Harga x = 1 dan z = 3 selanjutnya disubstitusikan ke salah satu persamaan (1), (2) atau (3) maka akan didapatkan peubah y, misal subsitutisi ke persamaan (2) sebagai berikut : Persamaan (2) -2x + y + 3z = 9 -2.1 + y + 3.3 = 9 substitusi harga x dan z -2 + y + 9 = 9 perkalian y + 7 = 9 penjumlahan y = 9 – 7 kedua ruas dikurangi 7 y = 2 pengurangan jadi HP : { (1,2,3) }



Tentukan HP dari sistem persamaan berikut ini dengan cara eliminasi :

1.

−=−+−=−+−

=+−

1232

4325

6543

zyx

zyx

zyx

9.

−=+−=−+

=−

723

14642

135

zy

zyx

zx

2.

=−+−−=++

=−−

1233

723

11524

zyx

zyx

zyx

10.

−=+−=+=−

725

1456

2547

zx

zy

yx

3.

−=−+−=−−−

=+−

345

243

18247

zyx

zyx

zyx

11.

−=+−=−+−

−=+−

6547

1432

1

zyx

zyx

zyx

4.

=−+−=−+−

=+−

1054

5324

135

zyx

zyx

zyx

12.

−=−+=−+−−=+−

15,225,16,05,1

12,03,04,05,0

9,02,03,04,0

zyx

zyx

zyx

5.

=+−=−+

−=−+−

22976

0325

1247

zyx

zyx

zyx

13.

−=+−=−

−=+

425

1743

232

yx

zy

yx

6.

=+−

=+−

=++

2351

5123

12112

zyx

zyx

zyx

14.

=++−

=++

−=++

01241

1421

2

1241

zyx

zyx

zyx

7.

=−+=++−

−=+−

943

7325

1632

zyx

zyx

zyx

15.

=++=++=++

235

323

124

zyx

zyx

zyx

8.

−=+−=+−=−

1624

632

1535

zx

zy

yx

7 UJI KOMPETENSI


TIGA VARIABEL DENGAN ELIMINASI


B.3. CARA DETERMINAN E.3.1. PENGERTIAN DETERMINAN ORDO 3 Susunan bilangan yang terdiri dari 3 baris dan 3 kolom yang ditulis dalam bentuk : a b c baris ke 1 p q r baris ke 2

k l m baris ke 3

kolom ke 1 kolom ke 3 kolom ke 2 dinamakan determinan ( D ) ordo 3. Untuk menentukan nilai determinan dapat digunakan cara sebagai berikut :

D =

mlk

rqp

cba

=

mlk

rqp

cba

lk

qp

ba

_ _ _ + + + = a.q.m + b.r.k + c.p.l – c.q.k – a.r.l – b.p.m

Contoh : tentukan nilai determinan dari :

232

143

012

−−

−

Penyelesaian :

D =

232

143

012

−−

−

=

232

143

012

−−

−

32

43

12

−

−

= 2.4.(-2) + (-1).1.(-2) + 0.3.3 – 0.4.(-2) – 2.1.3 – (-1).3.(-2) nilai determinan = -16 + 2 + 0 + 0 – 6 – 6 perkalian

= - 26 penjumlahan


kolom ke 1 dan ke 2 ditulis kembali disebelah kanan determinan dengan urutan yang tetap


Tentukan nilai dari determinan berikut :

1.

121

334

251

−−

−− 6.

134

172

480

−− 11.

130

174

455

−

2.

214

438

243

−−− 7.

340

650

111

−−−

12.

341

551

119

−−−

3.

347

113

354

−−−− 8.

121

320

755

− 13.

212

406

121

−−−

−

4.

447

416

327

−

− 9.

424

333

261

−−

− 14.

731

178

581

−−

5.

254

435

226

−−−−

− 10.

340

650

114

−−−

15.

371

113

053

−−−

−

B.4. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA PEUBAH DENGAN CARA DETERMINAN Jika dilambangkan dengan notasi determinan maka dapat ditulis :

x =

mlk

rqp

cba

mln

rqs

cbd

y =

mlk

rqp

cba

mnk

rsp

cda

z =

mlk

rqp

cba

nlk

sqp

dba

Jika D =

mlk

rqp

cba

yang mana merupakan determinan dari koefisien-koefisien peubah x,y dan z

8 UJI KOMPETENSI

PENGERTIAN DETERMINAN ORDO

TIGA


Dx =

mln

rqs

cbd

yang mana merupakan determinan D dengan mengganti kolom pertama dengan

konstanta d, s, dan n

Dy =

mnk

rsp

cda

yang mana merupakan determinan D dengan mengganti kolom kedua dengan


Dz =

nlk

sqp

dba

yang mana merupakan determinan D dengan mengganti kolom ketiga dengan


Jadi sistem persamaan linier tiga peubah :

=++=++=++

nmzlykx

srzqypx

dczbyax

dapat diselesaiakan dengan rumus :

Contoh : tentukan penyelesaian dari sistem persamaan :

−=−+=++−

=+−

742

932

235

zyx

zyx

zyx

Penyelesaian :

D =

421

312

135

−−

− =

421

312

135

−−

−

21

12

35

−−

= 5.1.(-4) + (-3).3.1 + 1(-2).2 – 1.1.1 – 5.3.2 – (-3)(-2)(-4) nilai deteriminan = -20 – 9 –4 – 1 – 30 + 24 perkalian = -40 penjumlahan

Dx =

427

319

132

−−

− =

427

319

132

−−

−

27

19

32

−

−

= 2.1.(-4) + (-3).3.1 + 1.9.2 – 1.1.(-7) – 2.3.2 – (-3).9.(-4) nilai deteriminan = -8 – 9 + 18 + 7 – 12 - 108 perkalian = -40 penjumlahan

Dy =

471

392

125

−−− =

471

392

125

−−−

71

92

25

−−

= 5.9.(-4) + 2.3.1 + 1(-2).(-7) – 1.9.1 – 5.3.(-7) – 2.(-2)(-4) nilai deteriminan = -180 + 6 + 14 – 9 + 105 - 16 perkalian

x = D

D x , y = D

D y dan z = D

D z



= -80 penjumlahan

Dz =

721

912

235

−−

− =

721

912

235

−−

−

21

12

35

−−

= 5.1.(-7) + (-3).9.1 + 2.(-2).2 – 2.1.1 – 5.9.2 – (-3)(-2)(-7) nilai deteriminan = -35 – 27 – 8 – 2 – 90 + 42 perkalian = - 120 penjumlahan

maka x = D

Dx = 40

40

−−

= 1

y = D

Dy = 40

80

−−

= 2

z = D

Dz = 40

120

−−

= 3

jadi HP : { (1,2,3) }

Tentukan HP dari sistem persamaan berikut ini dengan cara determinan :

1.

−=−+−=−+−

=+−

1232

4325

6543

zyx

zyx

zyx

6.

−=+−=−+

=−

723

14642

135

zy

zyx

zx

11.

−=+−=+=−

725

1456

2547

zx

zy

yx

2.

=−+−−=++

=−−

1233

723

11524

zyx

zyx

zyx

7.

−=−+−=−−−

=+−

345

243

18247

zyx

zyx

zyx

12.

=−+−=−+−

=+−

1054

5324

135

zyx

zyx

zyx

3.

−=−+=−+−−=+−

15,225,16,05,1

12,03,04,05,0

9,02,03,04,0

zyx

zyx

zyx

8.

−=+−=−

−=+

425

1743

232

yx

zy

yx

13.

=+−=−+

−=−+−

22976

0325

1247

zyx

zyx

zyx

4.

−=+−=−+−

−=+−

6547

1432

1

zyx

zyx

zyx

9.

=++=++=++

235

323

124

zyx

zyx

zyx

14.

=−+=++−

−=+−

943

7325

1632

zyx

zyx

zyx

9 UJI KOMPETENSI


TIGA VARIABEL DENGAN DETERMINAN


5.

=+−

=+−

=++

2351

5123

12112

zyx

zyx

zyx

10.

=++−

=++

−=++

01241

1421

2

1241

zyx

zyx

zyx

15.

−=+−=+−=−

1624

632

1535

zx

zy

yx

B.5. MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN SISTEM PERSAMAAN

LINIER TIGA VARIABEL

Pada pembahasan sebelumnya persoalan sehari-hari dapat diselesaikan dengan sistem persamaan linier dua peubah. Pada pembahasan kali ini akan dipelajari penerapan persoalan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan sistem persamaan linier tiga peubah. Untuk itu simaklah contoh berikut ini : Contoh 1 : Farid , Fila dan Fiqih berbelanja di sebuah toko yang sama . Farid membeli 4 buku tulis , 3 buku gambar dan 2 pensil. Fila membeli 3 buku tulis , 5 buku gambar dan 3 pensil. Sedangkan Fiqih membeli 2 buku tulis , 4 buku gambar dan 2 pensil. Farid, Fila dan Fiqih masing-masing harus membayar Rp. 14.000,-, Rp. 17.500,- dan Rp. 13.000,-. Berapakah harga untuk sebuah buku tulis, sebuah buku gambar dan sebuah pensil ? Penyelesaian : Untuk mempermudah persoalan tersebut kita buat tabel sebagai berikut :

Buku tulis Buku gambar Pensil Jumlah uang yang dibayarkan

Farid 4 3 2 14.000

Fila 3 5 3 17.500

Fiqih 2 4 2 13.000

Harga per buah x y z

Dari tabel tersebut dapat dibuat sistem persamaan liniernya sebagai berikut :

=++=++=++

13000242

17500353

14000234

zyx

zyx

zyx

Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan cara substitusi, eliminasi atau determinan , yang mana setelah dihitung menghasilkan x = 1500 , y = 2000 dan z = 1000. Jadi : harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp. 1.500,- harga untuk sebuah buku gambar adalah Rp. 2.000,- harga untuk sebuah pensil adalah Rp. 1.000,- Contoh 2 : sebuah grafik parabola y = ax2 + bx + c melalui titik ( 3,10 ), ( 1,0 ) dan ( 2,4 ) . Tentukan persamaan grafik parabola tersebut. Penyelesaian : • parabola melalui titik ( 3,10 ) berlaku hubungan :

10 = a.3 2 + b.3 + c substitusi harga x=3 dan y=10 10 = 9a + 3b + c pangkat dan perkalian 9a + 3b + c = 10 komutatif



selanjutnya 9a + 3b + c = 10 diberi nama persamaan ( 1 ) • parabola melalui titik ( 1,0 ) berlaku hubungan :

0 = a.1 2 + b.1 + c substitusi harga x=1 dan y=0 0 = a + b + c pangkat dan perkalian a + b + c = 0 komutatif selanjutnya a + b + c = 0 diberi nama persamaan ( 2 )

• parabola melalui titik ( 2,4 ) berlaku hubungan : 4 = a.2 2 + b.2 + c substitusi harga x=2 dan y=4 4 = 4a + 2b + c pangkat dan perkalian 4a + 2b + c = 4 komutatif selanjutnya 4a + 2b + c = 4 diberi nama persamaan ( 3 )

dengan demikian diperoleh sistem persamaan linier 3 peubah sebagai berikut :

−=−+−=−+−

=+−

1232

4325

6543

zyx

zyx

zyx

untuk menyelesaikannya dapat menggunakan salah satu cara yaitu substitusi, eliminasi atau determinan, yang mana akan mengahasilkan harga a = 1, b = 1 dan c = -2. Jadi persamaan grafik parabola adalah : y = ax2 + bx + c y = 1.x2 + 1.x + (-2) substitusi harga a,b dan c y = x2 + x – 2 perkalian dan penjumlahan Jadi persamaan grafik parabola adalah : y = x2 + x – 2

1. A, B dan C berbelanja di sebuah toko yang sama . A membeli 3 buah barang x , 4 buah barang y dan 1

buah barang z, untuk itu ia harus membayar sebesar Rp. 14.000,-. Bmembeli 2buah barang x , 6buah barang y dan 3buah barang z, untuk itu ia harus membayar sebesar Rp.23.000,-. Cmembeli 5buah barang x , 2buah barang y dan 4buah barang z, untuk itu ia harus membayar sebesar Rp. 21.000,-.. Tentukan harga per unit barang x, y dan z.

2. Grafik suatu parabola y = ax2 + bx + c melalui titik A(2,15), B(-1,-6) dan C(-3,0). Tentukan persamaan grafik parabola tersebut.

3. Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 melalui titik P(1,1) ,Q(-1,3) dan R(-1,0). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

4. A , B dan C mengikuti ujian matematika . Jumlah nilai ketiga orang tersebut adalah 78. Nilai A 10 lebih besar dari nilai B, sedangkan nilai C 4 kurangnya dari nilai A. Tentukan nilai masing-masing nilai A, B dan C

5. Tiga bilangan x, y dan z jika dijumlahkan menghasilkan 6. Jika bilangan x ditambah bilangan y menghasilkan bilangan z. Bilangan y dua kali bilangan x. Tentukan masing-masing bilangan x , y dan z

6. Tiga buah bilangan rata-ratanya adalah 4. Bilangan kedua ditambah empat meghasilkan jumlah bilangan yang lain. Bilangan ke tiga sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurangi dua. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.

7. Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c melalui titik A( 1,4 ) , B( -1,-5 ) dan C( 3,30 ). Tentukan nilai a,b dan c, kemudia tuliskan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut.

8. Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c melalui titik A( 1,15), B( 2,14) dan C(-2,-6 ). Tentukan nilai a,b dan c, kemudia tuliskan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut.

10 UJI KOMPETENSI

MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN PERSAMAAN

LINIER TIGA VARIABEL


9. Bentuk kuadrat ax2 + bx + c mempunyai nilai –2 untuk x = 1 , mempunyai nilai 3 untuk x = 2 dan mempunyai nilai 58 untuk x = -3. Carilah nilai a,b dan c. Kemudian tuliskan bentuk kuadratnya

10. Bentuk kuadrat px2 + qx + r mempunyai nilai 42 untuk x = -1, mempunyai nilai 9 untuk x = 2 dan mempunyai nilai 44 untuk x = -3. Carilah nilai a,b dan c. Kemudian tuliskan bentuk kuadratnya

11. Grafik suatu parabola y = ax2 + bx + c melalui titik A(2,15), B(-1,-6) dan C(-3,0). Tentukan persamaan grafik parabola tersebut.

12. Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 melalui titik P(1,1) ,Q(-1,3) dan R(-1,0). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

13. A , B dan C mengikuti ujian matematika . Jumlah nilai ketiga orang tersebut adalah 78. Nilai A 10 lebih besar dari nilai B, sedangkan nilai C 4 kurangnya dari nilai A. Tentukan nilai masing-masing nilai A, B dan C

14. Tiga bilangan x, y dan z jika dijumlahkan menghasilkan 6. Jika bilangan x ditambah bilangan y menghasilkan bilangan z. Bilangan y dua kali bilangan x. Tentukan masing-masing bilangan x , y dan z

15. Suatu pabrik tekstil memproduksi barang jenis A, B dan C. Banyaknya barang yang diproduksi untuk masing-masing jenis barang dan biaya produksi per minggu selama tiga hari ditampilkan seperti tabel berikut : Jenis A Jenis B Jenis C Biaya produksi

Minggu ke 1 Minggu ke 2 Minggu ke 3

30 unit 40 unit 5 unit



Rp. 8.500.000 Rp. 10.000.000,- Rp. 7.000.000,-

Tentukan biaya per unit barang jenis A, B dan C

C. SISTEM PERSAMAAN DUA PEUBAH LINIER DAN KUADRAT

Bentuk umum sistem persamaan linier tersebut dapat ditulis :

→=+++++→=++

kuadratbentuktysxrxyqypx

linierbentukcbyax

...............04

..............022

Sistem persamaan itu dapat diselesaikan dengan cara substitusi persamaan bentuk linier ke bentuk kuadrat. Untuk memahami cara ini menyelesaian sistem persamaan ini , perhatikan contoh berikut ini :


=−=+−0

062 yx

yx

Penyelesaian : Kita berinama x – y + 6 = 0 ………persamaan (1) x2 – y = 0 .…….. persamaan (2) Selanjutnya kita substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) . Peubah yang disubstitusikan dapat dipilih x atau y. Misal kita pilih peubah y yang disubstitusikan maka dikerjakan sebagai berikut : Persamaan (1) x – y + 6 = 0 diubah menjadi : -y = -x – 6 kedua ruas dikurangi x+6 y = x + 6 kedua ruas dibagi –1 selanjutnya y = x + 6 disubstitusikan ke persamaan (2) sebagai berikut : persamaan (2) x2 – y = 0 x2 – ( x + 6 ) = 0 substitusi harga y = x+6 x2 – x – 6 = 0 distributif ( x – 3 )( x + 2 ) = 0 difaktorkan



x = 3 atau x = -2 arti perkalian untuk mencari nilai y maka harga x = 3 dan x = -2 disubstitusikan ke salah satu persamaan (1) atau (2). Misal kita pilih ke persamaan (1) maka dikerjakan sebagai berikut : persamaan (1) x – y + 6 = 0 untuk x = 3 → 3 – y + 6 = 0 substitusi harga x=3 -y + 9 = 0 penjumlahan -y = -9 kedua ruas dikurangi 9 y = 9 kedua ruas dibagi –1 untuk x = -2 → -2 – y + 6 = 0 substitusi harga x=-2 -y + 4 = 0 penjumlahan -y = -4 kedua ruas dikurangi 4 y = 4 kedua ruas dibagi –1 jadi himpunan penyelesaiannya ada dua pasang titik yaitu ditulis HP : { (3,9), (-2,4) }

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut ini :

1.

=−−+=−−

02544

0322 xyyx

yx 5.

=−=+−0

022 yx

yx 8.

=+−−=−−

045

012 yxx

yx

2.

=−−+=−−

0652

012 yxyy

yx 6.

=−+−+=−−

01246

016322 yxyx

yx 9.

=+−−=+−

0742

0322 yxx

yx

3.

=+−−=−+

034

032 xyx

yx 7.

=+−=−+

03

043222 yx

yx 10.

=−=

22

23

xy

xy

4.

+=+=−−

652

012 yyxy

yx

C.1 MODEL MATEMATIKA YANG BERHUUNGAN DENGAN SISTEM PERSAMAAN

LINIER DAN KUADRAT DUA PEUBAH Contoh 1 : Sebuah bus pariwisata bergerak dengan kecepatan konstan 100 m/det melewati terminal bus. Pada saat bus pariwisata tepat melewati terminal bus , sebuah bus reguler bergerak dari keadaan berhenti dengan arah yang sama dengan bus pariwisata dengan percepatan konstan a = 10 m/det2. Hitunglah : a. waktu yang ditempuh bus reguler agar tepat bersama-sama dengan bus pariwisata b. pada jarak berapakah kedua bus tersebut dapat tepat Penyelesaian : a. Kita misalkan S adalah jarak yang ditempuh ( dalam meter ) diukur ketika bus reguler mulai

bergerak meninggalkan terminal dan t adalah waktu yang diperlukan ( dalam detik ) untuk menempuh jarak sejauh S meter.

11 UJI KOMPETENSI

SISTEM PERSAMAAN DUA VARIABEL LINER-

KUADRAT



b. Dari keterangan soal yang ada dapat diperoleh : - untuk bus pariwisata yang bergerak dengan kecepatan konstan, menurut pelajaran Fisika dapat

ditulis : Vo = 100 m / det S = Vo .t rumus jarak = 100 t substitusi harga Vo selanjutnya S = 100 t diberi nama persamaan (1)

- untuk bus reguler yang bergerak dengan percepatan konstan, menurut pelajaran Fisika dapat ditulis : a = 10 m / det2 dan Vo = 0 m / det

S = Vo + 2

1 a.t2 rumus jarak

= 0 + 2

1 .10.t2 substitusi Vo dan a

= 5.t2 penjumlahan & perkalian selanjutnya S = 5.t2 diberi nama persamaan (2)

c. untuk menyelesaikan persamaan (1) dan (2) dapat dikerjakan dengan cara substitusi sebagai berikut : persamaan (1) disubstitusi ke (2) diperoleh persamaan : persamaan (2) S = 5.t2 100 t = 5.t2 substitusi harga S pers (1) 5.t2 – 100 t = 0 kedua ruas dikurangi 100 t 5t (t – 20 ) = 0 difaktorkan 5t = 0 atau t – 20 = 0 arti perkalian t = 0 atau t = 20 arti persamaan untuk menentukan jarak yang ditempuh dapat disubstitusikan ke salah satu persamaan (1) atau (2) , misal ke persamaan (1) diperoleh : - untuk t = 0

persamaan (1) S = 100 t = 100 . 0 = 0 ini artinya bus pariwisata tepat melewati terminal, karena itu untuk t = 0 bukan suatu penyelesaian

- untuk t = 20 persamaan (1) S = 100 t = 100 . 20 = 2000 ini artinya bus reguler dapat bersamaan dengan bus pariwisata ketika t = 20 detik pada jarak S = 2000 meter

Contoh 2 : Sebuah garis dengan persamaan x – y – 3 = 0 memotong parabola y = x2 – 4x + 1 . Tentukan titik potong tersebut Penyelesaian : Persamaan garis x – y – 3 = 0 diubah menjadi : -y = -x + 3 y = x – 3 selanjutnya y = x – 3 disubstitusikan ke persamaan parabola y = x2 – 4x + 1, diperoleh persamaan :x2 – 4x + 1 = x – 3 x2 – 4x + 1 – x + 3 = 0 kedua ruas dikurangi x - 3 x2 – 4x – x + 1+ 3 = 0 pengelompokan x2 – 5x + 4 = 0 penjumlahan a = 1 , b = -5 dan c = 4 koefisien persamaan kuadrat

a

acbbx

2

42 −±−= rumus abc


1.2

)1(1.4)5()5( 2 −−−±−−=x substitusi harga a,b dan c

2

4255 +±=x perpangkatan & perkalian

2

295±=x penjumlahan

2

2951

+=x dan 2

2952

−=x selanjutnya disubstitusikan ke persamaan parabola y=x-3

- untuk 2

2951

+=x diperoleh 32

295 −+=y

= 2

6295 −+ menyamakan penyebut

= 2

291+− pengurangan

- untuk 2

2952

−=x diperoleh 32

295 −−=y

= 2

6295 −− menyamakan penyebut

= 2

291−− pengurangan

Jadi titik potongnya adalah ( ,2

295+2

291+−) dan (

2

295−,

2

291−− )

1. Grafik parabola y = x2 – 6x + p menyinggung garis 2x – y – 8 = 0, tentukan :

a. nilai p b. titik singgungnya

2. Grafik parabola y = x2 +px + 8 memotong garis x + y – 2 = 0, tentukan : a. nilai p b. titik potongnya

3. Sebuah garis dengan persamaan y = x + 2 memotong lingkaran x2 + y 2 + px – 4y + 1 = 0, tentukan : a. nilai p b. titik potongnya

4. Sebuah garis y = mx – 1 menyinggung lingkaran x2 + y 2 + 6x +2y + 1 = 0, tentukan : a. nilai m b. titik singgungnya

5. Dalam sebuah lomba lari, A berlari dengan kecepatan konstan 10 m / det mengejar B yang berjarak 40 m yang hendak berlari dari keadaan diam dimana B mempunyai percepatan konstan 2 m / dt2. Jika A terus berlari berusaha mengejar B, tentukan :

12 UJI KOMPETENSI

MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN SISTEM PERSAMAAN DUA

VARIABEL LINIER-KUADRAT


SISTEM PERSAMAAN KUADRAT DUA PEUBAH

a. waktu yang dibutuhkan A agar dapat bertepatan dengan B b. jarak yang ditempuh A agar bertepatan dengan B

D.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini dapat dikerjakan dengan cara substitusi, perhatikan contoh berikut ini :

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan

−=

=2

2

2 xy

xy

Penyelesaian : Misal kita beri nama y = x2 ……………… persamaan (1) y = 2 - x2 ……………… persamaan (2) Jika kita substitusikan persamaan (1) ke (2) maka diperoleh persamaan : x2 = 2 - x2 x2 + x2 = 2 kedua ruas ditambah x2 2 x2 = 2 penjumlahan x2 = 1 kedua ruas dibagi 2 x2 – 1 = 0 kedua ruas dikurangi 1 ( x – 1 ) ( x + 1 ) = 0 difaktorkan x = 1 atau x = -1 arti perkalian Untuk mencari harga y maka harga x = 1 dan x = -1 disubstitusikan ke salah satu persamaan (1) atau (2) . Misal kita memilih ke persamaan (1) maka : Persamaan (1) y = x2 Untuk x = -1 y = (-1) 2 substitusi harga x = -1 y = 1 perpangkatan maka diperoleh titik ( -1, 1 ) Untuk x = 1 y = (1) 2 substitusi harga x = 1 y = 1 perpangkatan Jadi HP : { ( - 1, 1 ) , ( 1 , 1 ) }

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini :

1.

−=

+=2

2

4

2

xy

xy 6.

−+−=

+−=2

2

43

34

xxy

xxy 10.

+−=

=+

442

42

22

xxy

yx

2.

=−+

=+

010

922

22

xyx

yx 7.

=++

=+−

996

16912422

22

yxyx

yxyx 11.

=+−−

=−−

01

012

2

yx

yx

13 UJI KOMPETENSI

SISTEM PERSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL



3.

=+−+

=+

012

02

2

yxx

yx 8.

=+−−

=+−

023

02

2

yxx

yxx 12.

=−−−

=−−

032

012

2

yxx

yx

4.

=−−

=+−

04

0422

2

yxx

yx 9.

=+−−

=−++

032

022

2

yxx

yxx 13.

=+−−

=+−

032

012

2

yxx

yx

5.

=−+−

=+−−

032

0342

2

yxx

yxx

Tentukan nilai p supaya sistem persamaan berikut mempunyai penyelesaian tunggal :

14.

=−−−

=+−

065

022

2

yxx

pyx 15.

=+−+

=+−−

052

0432

2

ypxx

yxx

C.1 MODEL MATEMATIKA YANG BERHUUNGAN DENGAN SISTEM PERSAMAAN

KUADRAT DUA PEUBAH Contoh : Sebuah bola A dijatuhkan dari ketinggian 22 meter dengan kecepatan awal 10 m / det. Pada saat yang sama bola B dilempar keatas dengan kecepatan awal 12 m / det dari permukaan tanah tepat dibawah bola A sehinnga terjadi tumbukan. Jika tinggi pelempar bola B diabaikan , tentukan : a. waktu saat kedua bola bertumbukan b. jarak dari tanah pada saat terjadi kedua bola bertumbukan Penyelesaian : Lintasan bola B

22 m Lintasan bola A S

Bola A :

S = Vo . t + 2

1g.t2 rumus fisika

22 – S = 10 . t + 2

110.t2 g = 10 ( g=grafitasi)

- S = - 22 + 10 t + 5.t2 kedua ruas dikuarngi 22 S = 22 – 10 t - 5.t2 kedua ruas dikalikan –1 Selanjutnya S = 22 – 10 t - 5.t2 diberi nama persamaan (1) Bola B :

S = Vo . t - 2

1g.t2 rumus fisika

= 12. t - 2

110.t2 g = 10 ( g=grafitasi)

= 12. t - 5.t2 perkalian



selanjutnya S = 12. t - 5.t2 diberi nama persamaan (2) a. Substitusi persamaan (1) ke (2) diperoleh :

22 – 10 t - 5.t2 = 12. t - 5.t2 22 – 10 t – 12 t = 0 kedua ruas ditambah 5.t2 22 – 22 t = 0 penjumlahan - 22 t = - 22 kedua ruas dikurangi 22 t = 1 kedua ruas dibagi – 22 jadi waktu saat kedua bola bertumbukan adalah 1 menit

b. untuk menentukan jarak yang ditempuh dapat dicari dengan mensubstitusikan harga t = 1 ke salah satu persamaan (1) atau (2), misal ke (2) maka diperoleh persamaan : persamaan (2) S = 12 t – 5 t2 = 12. 1 – 5 . 12 substitusi harga t = 1 = 12 – 5 perpangkatan & perkalian = 7 pengurangan jadi jarak yang ditempuh saat kedua bola bertumbukan adalah 7 meter

14 UJI KOMPETENSI

MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN

SISTEM PERSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL

Lks-03 Persmaan Linear Dan Kuadrat

Documents

Transcript of Lks-03 Persmaan Linear Dan Kuadrat