TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear - Share...

Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Trihastuti Agustinah

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear

O U T L I N E

OBJEKTIF 1

TEORI 2

CONTOH 3

SIMPULAN 4

LATIHAN 5

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu:

1. Mendekomposisi matriks menggunakan metode singular value decomposition (SVD)

2. Menghitung invers menggunakan SVD

OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan

Pendahuluan

Dekomposisi matriks singular dapat dilakukan dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition

(SVD).

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Singular Value Decomposition (SVD)

Dekomposisi matriks A∈ Rm×n dua matriks ortonormal U dan V

matriks quasidiagonal S

Objektif TEORI

dengan U ∈ Rm×m

V ∈ Rn×n

S = diag(σ1, …, σρ)

A = USVT

Contoh Simpulan Latihan

Bentuk matriks S

S adalah elemen diagonal berupa nilai singular A • tidak negatif dengan urutan menurun • σ1 ≥ σ2 ≥ … ≥ σρ dengan ρ = min(m, n)

Objektif TEORI

Matriks S memiliki bentuk

×− nnm

diag

)(

1

0),,( ρσσ

)],,([ 1 ρσσ diag

[ ])(1 0),,( mnmdiag −×ρσσ m < n

m = n

m > n


Prosedur dekomposisi (1)

Objektif TEORI

Diberikan matriks A (m×n)

Langkah 2. Dapatkan eigenvalue B melalui pers. karakteristik

|λI - B| = 0

Langkah 1. Definisikan matriks B

Jika m ≤ n B = AAT

Jika m > n B = ATA

B adalah matriks bujursangkar dimensi m atau n (ukuran yang lebih kecil antara baris dan kolom)



Objektif TEORI

Langkah 3. Dapatkan nilai singular A (akar kuadrat positif eigenvalue matriks B)

ii λσ =

Langkah 4. Bentuk matriks S dengan cara

Jika m < n

=

000

000000

2

1

m

S

σ

σσ



Objektif TEORI

=

m

S

σ

σσ

00

0000

2

1 Jika m = n

Langkah 4. (lanjutan)

Jika m > n

=

000

00

0000

2

1

nS

σ

σσ



Objektif TEORI

Langkah 5. Dapatkan matriks U dan V

Kolom matriks U dibentuk dari eigenvektor normalisasi dari C

C = AAT

Kolom matriks V dibentuk dari eigenvektor normalisasi dari matriks D

D = ATA


Invers matriks melalui SVD

Objektif TEORI

Review: sifat matriks ortonormal U dan V

U-1 = UT dan V-1 = VT

Invers matriks A (m = n)

A-1 =(VT) -1 S -1U -1

= V (diag(1/σ1, …, 1/σρ)) UT


Contoh 1 (1)

Objektif Teori CONTOH

Matriks A dan inversnya menggunakan SVD

−

=3344

A

Dapatkan:

a) SVD dari matriks A

b) Invers matriks A menggunakan SVD

Simpulan Latihan

Contoh 1 (2)

Langkah 1. Karena ukuran matriks A adalah 2×2 (m=n), maka

=

−

−

==180032

3434

3344TAAB

Langkah 2. Eigenvalue B

0)18)(32(180

032det =−−=

−

−=− λλ

λλ

λ BI

λ1 = 32 dan λ2 = 18

Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan

Contoh 1 (3)

Langkah 3. Nilai singular A:

18dan 32 21 == σσ

Langkah 4. Bentuk matriks S:

=

180032S

Langkah 5. Matriks U dan V

Matriks U: dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks C=B


Contoh 1 (4)

Langkah 5. Sistem homogen:

014000

2

1 =

xx

=

01

1u

000014

2

1 =

−xx

=

10

2u

=

1001

U

=

−

−=−

00

180032

)(2

1

xx

BIλ

λλ x

Eigenvektor normalisasi untuk matriks U

λ=32

λ=18


Contoh 1 (5)

Matriks V: dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks D

=

−

−==

257725

3344

3434

AAD T

0)18)(32(257725

det =−−=

−−−−

=− λλλ

λλ DI

Persamaan karakteristik matriks D

λ1 = 32 dan λ2 = 18

Eigenvalue matriks D


Contoh 1 (6)

07777

2

1 =

−

−xx

−=

11

2x07777

2

1 =

−−−−

xx

=

11

1x

−=

21212121V

−=

2121

2v

=

2121

1v

Matriks V:

Eigenvektor normalisasi untuk matriks V

λ=32

λ=18

Sistem homogen:

=

−−−−

=−00

257725

)(2

1

xx

BIλ

λλ x


Contoh 1 (7)

SVD dari matriks A:

TUSVA =

T

−

=

21212121

180032

1001

−

=3344


Contoh 1 (8)

Invers matriks A

TUdiagVA ))/1,,/1(( 11

ρσσ =−

−=

1001

18100321

21212121

−=

61816181


Contoh 2 (1)

Dapatkan SVD untuk matriks 2×3 berikut:

=

010101

A

dapatkan juga invers matriks A melalui SVD


Contoh 2 (2)

Langkah 2. Eigenvalue matriks B

Langkah 1. Matriks B = AAT ukuran matriks A adalah m < n

=

==

1002

011001

010101TAAB

0)1)(2(10

02det =−−=

−

−=− λλ

λλ

λ BI

Nilai eigen: λ=2 dan λ=1


Langkah 3. Nilai singular A: σ1 =√2 dan σ2 =1

=

010002S

=

−

−=−

00

1002

)(2

1

xx

BIλ

λλ x

λ=2 T]01[1 =u

λ=1 T]10[2 =u

=

1001

U

Langkah 4. Matriks S:

Langkah 5. Matriks U dan V dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks C (karena m<n, maka C=B) dan D

Contoh 2 (3)


Contoh 2 (4)

Pers. karakteristik matriks D

Matriks D= ATA

Eigenvalue matriks D: λ = 2, 1, 0

=

==

101010101

010101

011001

AAD T

0)1)(2(101

010101

det =−−=

−−−

−−=− λλλ

λλ

λλ DI


Contoh 2 (5)

λ=2

Sistem homogen:

=

−−−

−−=−

000

101010101

)(

3

2

1

xxx

DIλ

λλ

λ x

=21

021

1v

=

−

−

000

101010101

3

2

1

xxx

Hitung eigenvektor normalisasi untuk matriks V:


Contoh 2 (6)

λ= 1

Matriks V:

=

−

−

000

001000100

3

2

1

xxx

=

010

2v

λ=0

−=

210

21

3v

−=

21021010

21021V

=

−−−

−−

000

101010101

3

2

1

xxx


Contoh 2 (7)

SVD dari matriks A:

TUSVA =

=

010101

−

=

21021010

21021

010002

1001


Contoh 2 (8)

Invers matriks A:

TUdiagVA ))1,,1(( 11

ρσσ =−

=

02/11002/1

−=

1001

0010021

21021010

21021


Singular Value Decomposition

1) SVD mendekomposisi matriks ke dalam perkalian dua matriks ortonormal dan satu matriks quasidiagonal

2) Bentuk matriks quasidiagonal bergantung pada ukuran baris dan kolom dari matriks yang akan didekomposisi

3) Invers matriks dapat dihitung menggunakan metode SVD

Contoh SIMPULAN Objektif Teori Latihan

Soal Latihan

Simpulan LATIHAN

Dapatkan invers matriks A

=

011001

A

Contoh Objektif Teori

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear - Share...

Documents

Transcript of TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear - Share...