SISTEM PERSAMAAN LINEARBagian-1

Oleh:

Fitria Khasanah, M.Pd

Prodi Pendidikan Matematika

FKIP-Universitas PGRI Yogyakarta

2010

Fungsi Linear :f(x) = ax + b

Persamaan Linear• ax = b

• a1x1 + a2x2 + … + anxn = b (1)

ai dan b : konstanta

xi : variabel tak diketahuiPersamaan (1) terdiri dari 1 persamaan dan

n variabel tak diketahui

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Secara umum, sistem yang terdiri dari m persamaan linear dan n variabel tak diketahui, disebut dengan SISTEM PERSAMAAN LINEAR, mempunyai bentuk

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Contoh 1

x + 2y + 3z = 6

2x – 3y + 2z = 14

3x + y – z = -2

mempunyai solusi :

x = 1, y = -2, z = 3

Solusi sistem persamaan linear

Contoh 2x + 2y – 3z = -4

2x + y – 3z = 4

mempunyai solusi: x = r + 4

y = r – 4

z = r

dengan r sebarang bil. Real.

Sistem mempunyai banyak solusi

Solusi persamaan linear

Contoh 3Sistem linier

x + 2y = 10

2x – 2y = -4

3x + 5y = 26

Þ mempunyai solusi : x = 2, y = 4Bandingkan dengan sistem linier

x + 2y = 102x – 2y = -43x + 5y = 56

mempunyai solusi : x = 2, y = 4, y = 10 solusi y = 4 dan y = 10 sistem tidak mempunyai solusi

Solusi persamaan linear

Skema Sistem persamaan linear

Sistem Persamaan

Linier

Homogen Non Homogen

Mempunyai Pemecahan

Tidak Mempunyai Pemecahan

Pemecahan Tak-Hingga

Pemecahan Tunggal

PemecahanNon - Trivial

Pemecahan Trivial

Selalu Ada Pemecahan

SPL berbentuk :

dapat dibawa ke persamaan :

atau A X = B

Sistem diatas disebut dengan sistem Persamaan Linier non homogen

SOLUSI SPL MENGGUNAKAN MATRIKS

Ax = b bAMatriks diperbesar (Augmented

Matrices)SPL

dibentuk

bA Matriks eselon baris tereduksi

diubah

Matriks Diperbesar

Ax = b bAMatriks diperbesar (Augmented

Matrices)SPL non homogen

dibentuk

bA Matriks eselon baris tereduksi

diubah

METODE REDUKSI GAUSS-JORDAN

Operasi tersebut yaitu:- Mengalikan suatu baris dengan konstanta tidak nol- Menukar letak dari dua baris matriks- Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan atau pengurangan baris dengan k kali atau kelipatan baris yang lain.

Operasi baris elementer

Operasi baris elementer adalah suatu operasi yang digunakan untuk menyelesaikan soal sistem persamaan linier.

Operasi baris elementer

Diketahui sistem persamaan:2x + 3y + 4z = 54x + 5y + z = 10 x + 2y + 7z = 12

Carilah solusinya! Penyelesaian

Operasi baris elementer

=

==> z =

=

Carilah solusi dari SPL berikut :

1. x + 2y + 3z = 9

2x – y + z = 8

3x – z = 3

2. x + y + 2z – 5w = 3

2x + 5y – z – 9w = -3

2x + y – z + 3w = -11

x – 3y + 2z + 7w = -5

3. x + 2y + 3z + 4w = 5

x + 3y + 5z + 7w = 11

x – z – 2w = -6

Latihan Soal

Ax = 0

Solusi dari sistem homogen yg berbentuk :

x1 = x2 = … = xn = 0

disebut dengan solusi trivial,

jika tidak demikian disebut solusi non trivial

Bentuk umum :

Sistem Homogen

Soal LatihanSoal Latihan

1. x + 2y + 3z = 0 2. x + y + z + w = 0

-x + 3y + 2z = 0 x + w = 0

2x + y – 2z = 0 x + 2y + z = 0 Jika sistem homogen terdiri dari m

persamaan dan n variabel tak diketahui, dengan m < n, maka solusinya selalu nontrivial.

Jika sistem homogen mempuyai solusi trivial, maka pastilah m > n.

Carilah solusi dari SPL berikut :