Solusi Sistem Persamaan Linear

1

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan Menggunakan Metode Gaussian Elimination with Partial Pivoting, LU Dekomposisi, dan Gauss-Seidel

Misalkan terdapat SPL sebagai berikut:

+ + + = , + + + =

, + + + = Maka SPL tersebut dapat dinyatakan dalam perkalian matirks = , dimana

adalah matriks , kemudian, B, adalah matriks 1.

=

Terdapat tiga metode dalam menyelesaikan SPL tersebut yaitu :

1. Gaussian Elimination with Partial Pivoting

2. LU Dekomposisi

3. Gauss-Seidel

Misalkan diberikan SPL sebagai berikut: 4 + 7 + 9 + 10 = 6 3 + 5 + 6 + 8 = 9 12 + 5 + 7 + 8 = 9 6 + 4 + 7 + 8 = 9

2

Jika dinyatakan dalam perkalian matriks maka SPL tersebut dapat dinyatakan sebagai

berikut:

4 7 9 103 5 6 8126 54 7 87 8

= 6999 Kemudian dengan menggunakan ketiga metode tersebut, maka SPL tersebut dapat

diselesaikan sebagai berikut:

a. Gaussian Elimination with Partial Pivoting Dalam metode ini terdapat dua step yang akan dilakukan yaitu:

1. Forward Elimination.

2. Backward Substitution

Untuk Forward Elimination, akan dilakukan sebanyak 1 kali iterasi untuk = ukuranmatriks, yang mana untuk tiap iterasi akan menggunakan partial pivot dimana element yang akan menjadi pivot adalah ||, ,, . | | . Setelah element yang akan menjadi pivot ditemukan, maka akan dilakukan pertukaran baris jika

element pivot tersebut tidak berada pada diagonal utama ; = 1,2, . . . Step 1 : Forward Elimination

Iterasi 1

= 1, = 1 Mencari element maksimum untuk kolom 1 : {|4|, |3|, |12|, |6|} = 12. Karena = 12, maka dilakukan pertukaran baris antara baris 3 dengan baris 1 sehingga diperoleh:

12 5 7 83 5 6 846 74 9 107 8

= 9969

3

Untuk Mereduksi Baris 2

Pivot =

=

= 0.25. Kemudian untuk mereduksi Baris 2 maka dilakukan dengan : Baris 2 = Baris 2 0.25*Baris 1

sehingga diperoleh :

12 5 7 80 3.75 4.25 646 74 9 107 8

= 96.7569 Untuk Mereduksi Baris 3

Pivot =

=

= 0.3333. Kemudian untuk mereduksi Baris 3 maka dilakukan dengan :

Baris 3 = Baris 3 0.3333*Baris 1


12 5 5 70 3.75 4.25 606 5.33334 6.6667 7.3337 8

= 96.7539


Pivot =

=

= 0.5. Kemudian untuk mereduksi Baris 4 maka dilakukan dengan : Baris 4 = Baris 4 0.3333*Baris 1


12 5 7 80 3.75 4.25 600 5.33331.5 6.6667 7.3333.5 4

= 96.7534.5

4

Iterasi II

= 2, = 2 Mencari element maksimum untuk kolom 2 : {|3.75|, |5.3333|, |1.5|} = 5.3333. Karena = 5.3333 maka dilakukan pertukaran baris antara baris 3 dengan baris 2 sehingga diperoleh:

12 5 7 80 5.3333 6.6667 7.33300 3.751.5 4.25 63.5 4

= 936.754.5 Untuk Mereduksi Baris 3

Pivot =

= .. =0.7035. Kemudian untuk mereduksi Baris 3 maka dilakukan

dengan :



12 5 7 80 5.3333 6.6667 7.33300 01.5 0. 4.3984 0.5653.5 4

= 934.64064.5


Pivot =

= .. = 0.28125. Kemudian untuk mereduksi Baris 4 maka dilakukan

dengan :



12 5 7 80 5.3333 6.6667 7.33300 00 0. 43984 0.5651.6250 1.9375

= 934.64063.6563

5

Iterasi III

= 3, = 3 Mencari element maksimum untuk kolom 3 : {|0.43894|, |1.6250|} = 1.6250. Karena = 1.6250, maka dilakukan pertukaran baris antara baris 4 dengan baris 3 sehingga diperoleh:

12 5 7 80 5.3333 6.6667 7.33300 00 1.6250 1.93750.43984 0.565

= 933.65634.6406 Untuk Mereduksi Baris 4

Pivot =

= .. = 0.2726. Kemudian untuk mereduksi Baris 4 maka dilakukan

dengan :



12 5 7 80 5.3333 6.6667 7.33300 00 1.6250 1.93750 1.3654

= 933.65635.625 Step 2 : Backward Substitution

Dengan melakukan Back Substitution diperoleh:

= ..4.1197 = 3.6563 1.9375 1.6250

= 3.6563 1.9375 4.11971.6250 = 2.662

6

= 3 (6.6667 + 7.3333 )5.3333 = 3 (6.6667 (2.662) + 7.3333 4.1197)5.3333 = 1.7746

= 9 (5 + 7 + 8 )12 = 9 (5 (1.7746) + 7 (2.662) + 8 (4.1197))12 = 0.2958

Dengan menggunakan bahasa pemrograman Pascal diperoleh solusi sebagai berikut:

7

Kemudian dengan menggunakan Matlab diperoleh solusi dengan hasil yang sama yaitu :

Terlihat bahwa dengan menyelesaikan secara numeric dengan menggunakan bahasa

Pemrograman Pascal dan Matlab keduanya memberikan jawaban yang sama

b. LU Dekomposisi with Partial Pivoting Dalam metode ini misalkan SPL dapat dinyatakan dalam perkalian matriks

= dimana adalah matriks , dan , masing-masing adalah matriks 1, dan dimisalkan = , dengan adalah lower triangular matriks dan adalah upper triangular matriks, maka dapat dituliskan

=

=

8

= = ; =

= Misalkan = , maka

= dan

= Jadi dalam menentukan solusi dari SPL tersebut, maka setelah diperoleh matriks dan

, pertama menentukan dengan melakukan forward substitution terhadap matriks ,

kemudian melakukan backward substitution terhadap matriks .

Dalam metode ini menggunakan partial pivoting, hal ini karena dalam menentukan

matriks upper triangular dari , dilakukan dengan menerapkan metode Gaussian Elimination, sehingga dengan partial pivoting, pembagian dengan 0 dalam melakukan back

substitution dapat dihindari. Kemudian ketika terjadi pertukaran baris pada penetuan matriks

upper triangular, pada penentuan matriks lower triangular dan matriks juga dilakukan

penukaran baris agar ketiga matriks tersebut tetap konsisten. Khusus dalam penentuan

matriks lower triangular, penukaran baris dilakukan untuk elemen yang berada dibawah

diagonal utama dari matriks lower triangular.

Algoritma untuk memilih elemen maksimum dari matriks, penukaran baris pada matirks

lower triangular, upper triangular dan untuk masing-masing kolom yaitu:

for k1 to (m-1) do maks a[k,k] {Inisialisasi Element Maksimum } w k for i k+1 to m do { Cek Keberadaan Element Maksimum } { Dari a[i,j]; i= 1,2..m } if abs(a[i,j])>abs(maks) then maks a[i,j] w i endif endfor

9

i w { Memilih Indeks Baris Yang Memiliki Element maksimum} if ik then {Penukaran Baris Dilakukan Jika Elemen Maksimum

Tidak Berada Pada Elemen Diagonal Dari Matriks} {Proses Penukaran Baris Dengan Baris} {Yang Memiliki Elemen Maksimum Pada Matriks Upper Triangular } {Untuk Tiap Kolom Pada Tiap Iterasi} {Sekaligus Penukaran Baris Dengan Baris Pada }

for j k to n do temp a[k,j] a[k,j] a[i,j] a[i,j] temp endfor {Proses Penukaran Baris Dengan Baris}

{Pada Matriks Lower Triangular} {Untuk Tiap Kolom Pada Tiap Iterasi} {Agar Konsisten Terhadap SPL Awal}

for j1 to (k-1) do begin temp b[k,j] b[k,j] b[i,j] b[i,j] temp endfor endif j k l k {Prosedur Untuk Memperoleh Matriks Lower dan Upper Triangular} Lower_And_Upper_Triangular(m,j,n,k,l,piv,kn,t,count1,count2,a,b); j j+1 endfor

Berdasarkan algoritma tersebut terlihat bahwa untuk tiap iterasi, sebelum proses

penentuan matriks dan , terlebih dahulu dilakukan pengecekan elemen maksimum antar

baris untuk masing-masing kolom. Setelah itu proses penukaran elemen matriks dilakukan

apabila elemen maksimum tersebut tidak berada pada elemen diagonal dari matriks.

Untuk algoritma berikut :

for j k to n do

10

temp a[k,j] a[k,j] a[i,j] a[i,j] temp

endfor merupakan algoritma penukaran baris dari matriks yang dibentuk oleh SPL sebelum

dilakukan proses eliminasi Gauss untuk memperoleh matriks . Pada algoritma ini pula

sekaligus dilakukan penukaran baris untuk matiks yang tandai oleh pernyataan berikut:

for j k to n do dimana untuk j = n, a[k,n] menyatakan elemen baris ke - k dari matriks

Kemudian untuk algoritma berikut :

for j1 to (k-1) do begin temp b[k,j] b[k,j] b[i,j] b[i,j] temp

endfor merupakan algoritma penukaran baris dari tiap iterasi untuk masing-masing kolom dari

matriks . Indeks k merupakan indeks dari elemen diagonal dari matriks sehingga pernyataan berikut :

for j1 to (k-1) do menyatakan bahwa untuk masing-masing baris yang dipertukarkan dimana k : indeks dari elemen diagonal dari matriks , maka penukaran elemen antar baris dilakukan mulai dari

elemen baris kolom ke 1 sampai elemen baris kolom sebelum elemen diagonal (k-1) dari matriks untuk tiap iterasi.

Kemudian algoritma dalam menentukan matriks dan adalah sebagai berikut: if abs(a[k,k]) 0 then {Jika abs(a[k,k]) 0} kn 1/a[k,k] for i k to (m-1) do piv a[i+1,l]*kn b[i,i] 1 b[i+1,l] piv for j k to (n-1) do a[i+1,j] a[i+1,j] - (piv*a[k,j]) if (abs(a[i+1,j])= 0) then {Menghitung Jumlah Elemen a[i,j] = 0 }

count1 count1+1 endif

11

if j > k then b[i,j] 0 endif endfor endfor b[m,m] 1 endif else { Jika abs(a[k,k]) = 0 } {Menghitung Jumlah Elemen Diagonal a[k,k]= 0 } count2 count2+1 t k {Indeks Untuk a[k,k]= 0} endif

Algoritma tersebut menyatakan bahwa penentuan matriks dan sedemikian sehingga

SPL tersebut memiliki solusi yang tunggal, dilakukan jika elemen diagonal a[k,k] 0 dari matriks yang dibentuk oleh SPL. Pengecekan bahwa SPL tidak memiliki solusi yang tunggal,

salah satunya jika kondisi abs(a[k,k]) 0 tidak dipenuhi sehingga algoritma berikut dilaksanakan :

count2 count2+1 {Jumlah a[k,k] = 0} t k

Pengecekan terhadap eksistensi dan ketuggalan solusi dari SPL akan dijelaskan pada

algoritma yang lain. Penentuan matriks dan dapat dilakukan secara sekaligus yaitu dengan melakukan eliminasi Gauss terlebih dahulu yang mana b[i,j] 0 ; i = 2,3..m; j =1,2..k-1; k : indeks elemen diagonal, dari matriks merupakan factor pengali sedemikian sehingga a[i,j] = 0 dari matriks untuk tiap iterasi . Algoritma penentuan matriks dilakukan dengan menerapkan eliminasi Gauss pada matriks dimana = . Berikut algoritma dalam menentukan matriks

kn 1/a[k,k] {Pivot adalah a[k,k]} for i k to (m-1) do piv a[i+1,l]*kn {Faktor Pengali Pembuat 0} for j k to (n-1) do a[i+1,j] a[i+1,j]-(piv*a[k,j]) {Proses reduksi baris}

12

endfor endfor

Maka diperoleh matriks dengan elemen a[i,j]; i = 1,2..m; j = 1,2..m; m = jumlah baris. Kemudian algoritma dalam menentukan matriks adalah sebagai

berikut :

kn 1/a[k,k] for i k to (m-1) do piv a[i+1,l]*kn b[i,i] 1 {Elemen diagonal untuk matriks } b[i+1,l] piv {Elemen tak nol dari matriks } for j k to (n-1) do

if j > k then b[i,j] 0 endif endfor endfor b[m,m] 1

Maka diperoleh matriks dengan elemen b[i,j]; i = 1,2..m; j = 1,2..m; m = jumlah baris. Diketahui bahwa = dan misalkan = , maka

= dan

= Hal tersebut menunjukkan bahwa dalam menentukan solusi dari SPL yaitu matriks ,

maka terlebih dahulu dilakukan forward substitution terhadap matriks untuk memperoleh

matriks , kemudian menentukan solusi SPL dengan melakukan back substitution terhadap

matriks . Berikut algoritma dalam melakukan forward substitution dan backward

substitution :

13

Algoritma Forward Substitution :

i 1 v[i] a[i,n] for (i+1) to m do z 0 for j 1 to (i-1) do z z + b[i,j]*v[j] endfor v[i] a[i,n] - z endfor

Dengan melakukan forward substitution, maka diperoleh matriks berukuran 1 dengan elemen v[i]; i= 1,2..m ; : jumlah baris. Kemudian dengan matriks dilakukan back substitution tehadap matriks untuk memperoleh matriks yang merupakan

solusi dari SPL.

Algoritma Back Substitution

i m v[i] v[i]/a[i,i] for i (m-1) downto 1 do z 0 for j i+1 to m do z z + a[i,j]*v[j] endfor v[i] (v[i]-z)/a[i,i] endfor

Dengan melakukan back substitution, maka diperoleh matriks berukuran 1 dengan elemen v[i]; i= 1,2..m ; : jumlah baris, yang merupakan solusi dari SPL tersebut.

Kemudian dalam mengimplementasikan algoritma tersebut misalkan diberikan SPL sebagai

berikut : 4 + 7 + 9 + 10 = 6 3 + 5 + 6 + 8 = 9 12 + 5 + 7 + 8 = 9 6 + 4 + 7 + 8 = 9

14

Dengan menggunakan metode LU dekomposis dengan pivot parsial, maka SPL tersebut

dapat diselesaikan sebagai berikut :

Menentukan Matriks dan

Diketahui bahwa SPL tersebut dapat dinyatakan dalam perkalian matriks sebagai berikut

4 7 9 103 5 6 8126 54 7 87 8

= 6999 Misalkan = maka

4 7 9 103 5 6 8126 54 7 87 8 = 1 0 0 0 1 0 0

1 0 1

0 00 00 0 Untuk matriks menentukan matriks , , , . . ditentukan dengan mencari factor pengali yang menyebabkan ,,,, menjadi 0 dari setiap iterasi dari Gaussian Elimination. Untuk menentukan matriks , dilakukan dengan menerapkan Gaussian

Elimination with Partial Pivoting. Kedua matriks ini dapat ditentukan secara bersamaan.

Iterasi I :

= 1, = 1 Mencari element maksimum untuk kolom 1 dari matriks , {|4|, |3|, |12|, |6|} =12. Karena = 12, maka dilakukan pertukaran baris antara baris 3 dengan baris 1 sehingga diperoleh:

= 12 5 7 83 5 6 846 74 9 107 8 Untuk menjaga kekonsistenan, penukaran yang sama juga dilakukan pada matriks ,


= 9969

15

Dengan melakukan algoritma yang sama seperti pada metode Gaussian Elimination

with Partial Pivoting diperoleh untuk matriks :

= 12 5 7 80 3.75 4.25 600 5.33331.5 6.6667 7.3333.5 4

Menentukan Elemen untuk

= 312 = 0.25; = 412 = 0.33333; = 612 = 0.5 = 1 0 0 00.25 1 0 00.333330.5 1 0 1

Iterasi II = 2, = 2

Mencari element maksimum untuk kolom 2 dari matriks ,

{|3.75|, |5.3333|, |1.5|} = 5.3333. Karena = 5.3333 maka dilakukan pertukaran baris antara baris 3 dengan baris 2 dari matriks sehingga diperoleh:

= 12 5 7 80 5.3333 6.6667 7.33300 3.751.5 4.25 63.5 4 Untuk menjaga kekonsistenan, maka pada matriks dan juga dilakukan penukaran

baris antara baris 3 dengan baris 2 sesuai dengan algoritma yang telah ditentukan, maka

diperoleh:

= 1 0 0 00.33333 1 0 00.250.5 1 0 1

= 9699

16

Dengan melakukan algoritma yang sama seperti pada metode Gaussian Elimination

with Partial Pivoting diperoleh matriks :

= 12 5 7 80 5.3333 6.6667 7.33300 00 0. 43984 0.5651.6250 1.9375

Menentukan Elemen Untuk

= 3.755.3333 = 0.703125; = 1.55.3333 = 0.28125

= 1 0 0 00.33333 1 0 00.250.5 0.7031250.28125 1 0 1 Iterasi III :

= 3, = 3 Mencari element maksimum untuk kolom 3 dari matriks

{|0.43894|, |1.6250|} = 1.6250. Karena = 1.6250, maka dilakukan pertukaran baris antara baris 4 dengan baris 3 sehingga diperoleh:

12 5 7 80 5.3333 6.6667 7.33300 00 1.6250 1.93750.43984 0.565

Untuk menjaga kekonsistenan, maka pada matriks dan juga dilakukan penukaran

baris antara baris 4 dengan baris 3 sesuai dengan algoritma yang telah ditentukan, maka

diperoleh:

= 1 0 0 00.33333 1 0 00.50.25 0.28130.7031 1 0 1

17

= 9699 Dengan melakukan algoritma yang sama seperti pada metode Gaussian Elimination

with Partial Pivoting diperoleh matriks :

= 12 5 7 80 5.3333 6.6667 7.33300 00 1.6250 1.93750 1.3654

Menentukan Elemen Untuk

= 0.439841.6250 = 0.2692 = 1 0 0 00.33333 1 0 00.50.25 0.28130.7031 1 00.2692 1

Dengan demikian diperoleh matriks sebagai berikut:

= 1 0 0 00.33333 1 0 00.50.25 0.28130.7031 1 00.2692 1 dan

= 12 5 7 80 5.3333 6.6667 7.33300 00 1.6250 1.93750 1.3654

serta

= 9699

18

Forward Substitution

Diketahui bahwa = , dengan melakukan forward substitution terhadap maka diperoleh sebagai berikut:

1 0 0 00.33333 1 0 00.50.25 0.28130.7031 1 00.2692 1

= 9699 = 9 = 6 0.33333 = 6 0.33333 9 = 3 = 9 (0.5 + 0.2813 ) = 9 (0.5 9 + 0.2813 3) = 3.6563 = 9 (0.25 + 0.7031 0.2692 ) = 9 (0.25 9 + 0.7031 3 0.2692 3.6563) = 5.625 Backward Substitution

Diketahui bahwa = , maka solusi SPL tersebut yaitu diperoleh dengan melakukan backward substitution sebagai berikut:

12 5 7 80 5.3333 6.6667 7.33300 00 1.6250 1.93750 1.3654

= 933.65635.625

= ..4.1197 = 3.6563 1.9375 1.6250

= 3.6563 1.9375 4.11971.6250 = 2.662

19

= 3 (6.6667 + 7.3333 )5.3333 = 3 (6.6667 (2.662) + 7.3333 4.1197)5.3333 = 1.7746

= 9 (5 + 7 + 8 )12 = 9 (5 (1.7746) + 7 (2.662) + 8 (4.1197))12 = 0.2958

Diperoleh solusi SPL tersebut dengan menggunakan metode LU Dekomposis yaitu

= 0.2958; = 1.7746; = 2.662; = 4.1197, dimana hasil ini sama dengan hasil yang diberikan oleh Metode Gaussian Elimination with Partial Pivoting. Dengan

menghitung secara numerik menggunakan Bahasa Pemrograman Pascal diperoleh solusi SPL

tersebut dengan menggunakan metode LU Dekompisisi with Partial Pivoting yaitu:

20

Dengan menggunakan metode Gaussian Elimination with Partial Pivoting juga diperoleh

hasil yang sama dengan hasil tersebut yaitu :

c. Gauss-Seidel

Misalkanterdapat SPL sebagai berikut: + + + = , + + + =

, + + + =

Untuk 0; = 1,2 , maka dengan menggunakan metode Gauss-Seidel, maka solusi SPL tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :

21

= ; = 1,2 Kemudian dalam metode Gauss-Seidel terdapat dua kondisi dari element diagonal

suatu matriks yang perlu diperhatikan yaitu;

1. , < ,; = ,. .

2. a. , ,; = ,. .

b. , ,;

Hal tersebut perlu diperhatikan untuk menunjang agar metode Gauss-Seidel dapat

bekerja dengan optimal. Dalam metode ini pula inisialisasi solusi diberikan. Kemudian

setiap kali solusi baru diperoleh maka ditentukan galat realtif dari solusi sebelumnya

dengan rumus:

= 100 untuk tiap iterasi.

1. Matriks Dengan , < ,; = ,. .

Misalkan diberikan SPL sebagai berikut: 4 + 7 + 9 + 10 = 6 3 + 5 + 6 + 8 = 9 12 + 5 + 7 + 8 = 9 6 + 4 + 7 + 8 = 9 Diperoleh:

= 6 (7 + 9 + 10)4

22

= 9 (3 + 6 + 8)5 = 9 (12 + 5 + 8)7 = 9 (6 + 4 + 7)8

Dengan menginisialisasi solusi sebagai berikut

= 1; = 2; = 3; = 5 Diperoleh tiap iterasi:

Iterasi 1

= 6 (7 + 9 + 10)4 = 6 (7(2) + 9(3) + 10(5))4 = 0.750 = 9 (3 + 6 + 8)5 = 9 (3(0.750) + 6(3) + 8(5))5 = 2.150 = 9 (12 + 5 + 8)7 = 9 (12(0.750) + 5(2.150) + 8(5))7 = 1.6071

= 9 (6 + 4 + 7)8 = 9 (6(0.750) + 4(2.150) + 7(1.6071))8 = 4.1687 Kemudian galat relatif dari solusi SPL untuk iterasi 1 yaitu:

= 100 = 0.750 10.750 100 = 233.33%

= 100

23

= 2.150 (2)2.150 100 = 6.977%

= 100 = 1.6071 (3)1.6071 100 = 86.667%

= 100 = 4.1687 54.1687 100 = 19.940% Apabila iterasi ini dilakukan sebanyak < , misalkan = 10 dan

; = 0.000001, dengan menggunakan bahasa pemrograman Pascal diperoleh solusi SPL sebagai berikut

24

Solusi yang diberikan tentunya jauh berbeda dengan solusi yang diberikan oleh

metode Gaussian Elimination with Partial Pivoting sebagai berikut:

dimana

= 0.2958; = 1.7746; = 2.662; = 4.1197 Hal yang menyebakan solusi tidak konvergen terhadap solusi yang sebenarnya yaitu

karena element diagonal dari matriks yang diberikan memenuhi kondisi:

, < ,; = ,. .

Sehingga solusi yang diperoleh tidak akan pernah konvergen pada solusi yang

sebenarnya.

2. Matriks Dengan , ,; = ,. .

Misalkan terdapat SPL sebagai berikut: 12 + 3 4 + = 10 2 + 10 + 3 2 = 5 3 4 + 21 + 3 = 12

25

4 + 5 + + 18 = 4 Diperoleh:

= 10 (3 4 + )12 = 5 (2 + 3 2)10 = 12 (3 4 + 3)21 = 4 (4 + 5 + )18

Dengan menginisialisasi solusi sebagai berikut

= 1; = 1 = 1; = 1 Diperoleh tiap iterasi:

Iterasi 1

= 10 (3 4 + )12 = 10 (3(1) 4(1) + (1))12 = 0.8333 = 5 (2 + 3 2)10 = 5 (2(0.8333) + 3(1) 2(1))10 = 0.2333 = 12 (3 4 + 3)21 = 12 (3(0.8333) 4(0.2333) + 3(1))21 = 0.3540

= 4 (4 + 5 + )18 = 4 (4(0.8333) + 5(0.2333) + 0.3540)18 = 0.0474 Kemudian galat relatif dari solusi SPL untuk iterasi 1 yaitu:

= 100

26

= 0.8333 10.8333 100 = 20%

= 100 = 0.2333 10.2333 100 = 328.571%

= 100 = 0.3540 10.3540 100 = 182.511% = 100 = 0.0474 1

0.0474 100 = 2207.807% Apabila iterasi ini dilakukan sebanyak < , misalkan = 10 dan

; = 0.000001, dengan menggunakan bahasa pemrograman Pascal diperoleh solusi SPL sebagai berikut

27

Hasil demikian juga diperoleh jika SPL tersebut diselesaikan dengan menggunakan

metode Gaussian Elimination with Partial Pivoting sebagai berikut

Dengan menggunakan metode LU Dekomposisi with Partial Pivoting juga

diperoleh hasil yang sama yaitu:

28

Jika diselesaikan dengan menggunakan Matlab juga diperoleh hasil demikian sebagai berikut:

Ternyata diperoleh hasil yang sama antara ketiga metode tersebut. Sehingga

dinyatakan bahwa solusi yang dicari konvergen terhadap solusi sebenarnya. Hal tersebut

dipengaruhi karena element diagonal dari matriks yang diberikan memenuhi

, ,; = ,. .

sehingga solusi yang dicari akan konvergen pada solusi sebenarnya.

Kesimpulan

Dari ketiga metode yang digunakan, dapat disimpulkan bahwa untuk metode Gaussian

Elimination with Partial Pivoting dan LU Dekomposisi akan selalu memperoleh hasil

yang sebenarnya untuk setiap matriks yang diberikan dimana matriks tersebut adalah

matriks dengan jaminan memiliki solusi tunggal, tetapi untuk metode Gauss-Seidel,

meskipun matriks yang diberikan adalah matriks dan ada jaminan bahwa memiliki

29

solusi tunggal, ternyata diagonal utama dari matriks yang diberikan harus memenuhi

syarat

, ,; = 1,2. .

atau

, ,;

agar solusi yang dicari selalu konvergen pada solusi sebenarnya (exact).

30

Lampiran

A. Source Code Program Pascal Untuk Metode Gaussian Elimination with Partial Pivoting

33

B. Source Code Program Pascal Untuk Metode Gauss-Seidel

35

C. Source Code Program Pascal Untuk Metode LU Dekomposisi with Partial Pivoting

39

Output Metode LU Dekomposisi with Partial Pivoting

40

Output Metode Gaussian Elimination with Partial Pivoting

42

Kasus , ,; = ,. .

Solusi Sistem Persamaan Linear

Documents

Transcript of Solusi Sistem Persamaan Linear