MAKALAH

METODE NUMERIK :

“SISTEM PERSAMAAN LINEAR”

Disusun oleh:

Karnal B. P. Pakinde

&Lusiana Talindu

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS KRISTEN TENTENA

TENTENA

2016

KATA PENGANTAR

i

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala kasih dan rahmat-Nya sehingga

makalah metode numerik tentang sistem persamaan linear dapat kami selesaikan dengan baik

sesuai batas waktu yang ditentukan. Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas pada mata

kuliah metode numerik dengan dosen pengampuh bapak Ruben Sonda, M.Pd.

Kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada pihak-pihak yang

telah ikut membantu dalam penulisan makalah ini. Terima kasih untuk bantuan materil

maupun moril yang telah diberikan semoga Tuhan yang akan membalas semuanya.

Penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan oleh karena itu kami sangat

membutuhkan kritik dan saran dari para pembaca sekalian. Harapan kami semoga makalah

ini dapat digunakan untuk membantu resensi tugas kuliah dan digunakan sebagai mana

mestinya.

Tentena, November 2016

Penulis

DAFTAR ISI

ii

KATA PENGANTAR...................................................................................................i

DAFTAR ISI..................................................................................................................ii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang..................................................................................................1

B. Rumusan Masalah............................................................................................2

C. Tujuan Penulisan.............................................................................................2

BAB II PEMBAHASAN

A. Sistem Persamaan Linear (SPL.......................................................................3

B. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier.............................................4

C. Contoh-Contoh Soal Sistem Persamaan Linier.............................................12

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan........................................................................................................16

B. Saran..................................................................................................................16

DAFTAR PUSTAKA....................................................................................................17

iii

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak

dijumpai dalam permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi, seperti penyelesaian

numeris persamaan diferensial biasa dan diferensial parsial, analisis struktur, analisis

jaringan, dan sebagainya.

Di dalam penyelesaian sistem persamaan akan dicari nilai

x1 , x1 , ………………, xn , yang memenuhi sistem persamaan berikut :

f 1(x¿¿1 , x2, ………………,xn ,)=0 ¿

f 2(x¿¿1 , x2, ………………, xn ,)=0 ¿

.

.

.

f 3(x¿¿1 , x2 , ………………, xn,)=0 ¿

Sistem persamaan linier di atas dapat linier atau tidak linier. Penyelesaian sistem

persamaan tak linier adalah sulit. Untungnya, sebagian besar permasalahan yang ada

merupakan persamaan linier. Di dalam makalah ini akan dibahas mengenai sistem

persamaan linier, yang mempunyai bentuk umum berikut ini.

a11 x1+a12 x2+….+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+….+a2 n xn=b2

.

.

.

a11 x1+an2 x2+….+ann xn=bn

Dengan a adalah koefisien konstan, b adalah konstan, n adalah jumlah persamaan

dan x1 , x1 , ………………,xn , adalah bilangan tak diketahui.

1

B. Rumusan Masalah

Dari latar belakang di atas maka diperoleh rumusan masalah sebagai berikut :

1. Apa yang dimaksud sistem persamaan linier ?

2. Bagaimana metode penyelesaian sistem persamaan linier ?

3. Bagaimana contoh-contoh soal sistem persamaan linier ?

C. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan dari pembuatan makalah ini, yaitu :

1. Untuk menjelaskan sistem persamaan linier.

2. Untuk mengetahui metode penyelesaian sistem persamaan linier.

3. Untuk memahami contoh-contoh soal sistem persamaan linier.

2

BAB II

PEMBAHASAN

A. Sistem Persamaan Linear (SPL)

1. Definisi SPL

Sistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika

yang banyak dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk matematika, statistika,

fisika, biologi, ilmu-ilmu sosial, teknik dan bisnis. Sistem-sistem persamaan linier

muncul secara langsung dari masalah-masalah nyata dan merupakan bagian dari

proses penyelesaian masalah-masalah lain misalnya penyelesaian sistem persamaan

nonlinier simultan.

2. Bentuk Umum SPL

Bentuk umum suatu sistem persamaan linear yang sering kita jumpai pada

umumnya seperti :

a. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

ax+by=c atau a1 x+b1 y=c1

px+qy=r a2 x+b2 y=c2

b. Sistem Persamaan Linear Tiga Varibel (SPLTV)

ax+by+cz=d a1 x+b1 y+c1 z=d1

ex+ fy+gz=h atau a2 x+b2 y+c2 z=d2

ix+ jy+kz=l a3 x+b3 y+c3 z=d3

Akan tetapi bentuk umum yang akan dibahas dalam bab ini adalah bentuk suatu

sistem persamaan linier yang terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linier dalam

sejumlah berhingga variabel. Bentuk yang dimaksud adalah :

3

a11x1+a12 x2+….+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+….+a2 n xn=b2

. . .

a11 x1+an 2 x2+….+ann xn=bn

B. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL)

Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel-

variabel tersebut yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan..

Pada dasarnya terdapat dua kelompok metode yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan suatu sistem persamaan linier. Metode pertama dikenal sebagai metode

langsung, yakni metode yang mencari penyelesaian suatu sistem persamaan linier dalam

langkah berhingga. Metode-metode ini dijamin berhasil dan disarankan untuk pemakaian

secara umum. Kelompok kedua dikenal sebagai metode tak langsung atau metode

iteratif, yang bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha

memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namunlangkah konvergen. Metode-metode

iteratif digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier berukuran besar dan

proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak dijumpai dalam

sIstem persamaan diferensial. Berikut diuraikan beberapa cara yang dapat kita lakukan

untuk menyelesaikan sistem persamaan linier

a. Notasi Matriks

Sebuah sistem persamaan linear dapat kita selesaikan dengan mengubahnya

terlebih dahulu ke dalam bentuk matriks. Matriks adalah suatu larikan bilangan-

bilangan yang berbentuk empat persegi panjang.

Matriks tersebut mempunyai bentuk :

A=[ a11

a21

⋮am1

a12

a22

⋮am2

a13

a23

⋮am3

……1…

a1 n

a2 n

⋮amn

]4

Di dalam bentuk di atas, A adalah notasi matriks sedang a ij adalah elemen

matriks. Deretan horizontal elemen-elemen disebut baris dan deretan vertikal disebut

kolom. Subskrip pertama i menunjukan nomor baris dimana elemen berada. Subskrip

kedua j menunjukan kolom. Misalkan elemen a23 adalah elemen yang terletak pada

baris ke 2 dan kolom ke 3.

Matriks di atas mempunyai m baris dan n kolom, dan disebut mempunyai

dimensi m x n. Matriks dengan dimensi baris m = 1, seperti:

B=[b1 , b2 , … bn ]

disebut vektor baris. Untuk menyederhanakan penulisan, subskrip pertama dari tiap

elemen dihilangkan. Matriks dengan dimensi kolom n = 1, seperti :

C=[ c1

c2

⋮cm]

Disebut vektor kolom. Untuk menyederhanakan penulisan. Subskrip kedua

dihilangkan. Matriks dimana m = n disebut matriks bujur sangkar. Misalnya matriks 4

x 4 adalah :

A=[ a11

a21

a31

a41

a12

a22

a32

a42

a13

a23

a33

a43

a14

a24

a34

a44]

Diagonal yang terdiri dari elemen a11 , a22 , a33 dana44adalah diagonal utama matriks.

a. Beberapa tipe matriks bujur sangkar

Matriks bujur sangkar banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan

linier. Di dalam sistem tersebut, jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak

diketahui (kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.

Ada beberapa contoh matriks bujur sangkar, antara lain;

1. Matriks simetri

2. Matriks diagonal

3. Matriks identitas

4. Matriks segitiga atas

5

5. Matriks segitiga bawah

6. Matriks pita

b. Operasi matriks

Matriks dengan bentuk tertentu dapat dioperasikan dengan 3 cara yaitu

penjumlahan, pengurangan dan perkalian.

1. Kesamaan dua matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama apabila elemen-elemen matriks A

sama dengan elemen-elemen matriks B dan ukuran keduanya adalah sama, a ij=bij

untuk semua i dan j.

2. Penjumlahan dan pengurangan matriks

Apabila A=[aij ] dan B=[bIJ ] adalah dua matriks m x n, penjumlahan atau

pengurangan dari kedua matriks tersebut A ± B, adalah sama dengan matriks

C=[c IJ ] dengan dimensi m x n, dimana tiap elemen matriks C adalah jumlah atau

selisih dari elemen-elemen yang berkaitan dari A dan B.

C=A ± B=[aij ±b ij ]=[c ij ]3. Perkalian matriks

Perkalian matriks A dengan skalar g diperoleh dengan mengalikan semua

elemen dari A dengan skalar g. Jika gA = C, maka c ij=gaij

4. Matriks transpose ( AT)

Matriks transpose adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris

menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

5. Matriks inversi

Di dalam matriks operasi pembagian matriks tidak didefinisikan. Akan

tetapi operasi matriks yang mrip dengan pembagian adalah matriks inversi.

Apabila A adalah matriks, maka matriks inversinya adalah A−1, sedemikian

sehingga :

A A−1=A−1 A=I

6. Peningkatan matriks

Matriks dapat ditingkatkan dengan menambahkan kolom atau kolom-kolom pada

matriks asli.

6

c. Sistem persamaan dalam bentuk matriks

Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks. Misalnya sistem

persamaan berbentuk :

a11x1+a12 x2+….+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+….+a2 n xn=b2

. . (1.1) . a11 x1+an 2 x2+….+ann xn=bn

Dapat ditulis dalam bentuk

[ a11

a21

⋮an 1

a12

a22

⋮an2

…………

a1 n

a2 n

⋮ann

][ x1

x2

⋮xn]=[b1

b2

⋮bn] atau A X = B

Dengan :

A : matriks koefisien n x n

X : kolom vektor n x 1 dari bilangan tak diketahui

B : kolom vektor n x 1dari konstanta

Di dalam penyelesaian sistem persamaan , di cari vektor kolom x berdasarkan

Persamaan (1.1). Salah satu cara untuk menyelesaiakannya adalah mengalikan

kedua ruas persamaan dengan matriks inversi.

A−1 AX=A−1 B

Karena : A−1 A=I , maka X=A−1 B

Dengan demikian nilai X dapat dihitung.

Di dalam penyelesaian sistem persamaan linier juga sering digunakan matriks

yang di tingkatkan . misalkan matriks (3 x 3) akan ditingkatkan dengan matriks C

(3 x 1) sehingga berbentuk matriks (3 x 4) menjadi :

7

[a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13 ⋮a23

a33

⋮⋮

c1

c2

c3]

Sebagian besar permasalahan yang dijumpai dapat digolongkan dalam dua

kategori yaitu suatu sistem persamaan dengan n kecil tetapi sedikit elemen nol,

dan suatu sistem dengan matriks order tinggi (n besar) tetapi banyak mengandung

elemen nol.

b. Metode Eliminasi Gauss

Metode eliminasi Gauss digunakan untuk menyelesaikan sebuah system persamaan linier dengan mengubah SPL tesebut ke dalam bentuk system persamaan linier berbentuk segitiga atas, yakni yang semua koefisien di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Bentuk segitiga atas ini dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi (penyulihan) balik. Untuk mendapatkan bentuk SPL segitiga dari SPL yang diketahui, metode eliminasi Gauss menggunakan sejumlah roperasi Baris Elementer (OBE) :

1. Menukar posisi dua buah persamaan (dua baris matriks augmented).

2. Menambah sebuah persamaan (baris matriks augmented) dengan suatu kelipatan

persamaan lain (baris lain).

3. Mengalikan sebuah persamaan (baris matriks augmented) dengan sebarang

konstanta taknol.

Pemakaian operasi-operasi baris elementer di atas pada sebuah SPL tidak akan

mengubah penyelesaikan SPL yang bersangkutan. Jelas bahwa penyelesaian sebuah

SPL tidak tergantung pada susunan penulisan persamaan, sehingga operasi baris

nomor 1 dapat dipakai. Dalam setiap persamaan, kedua ruas menyatakan nilai yang

sama, sehingga operasi baris nomor 2 dapat digunakan. Demikian pula, operasi baris

nomor 3 menghasilkan persamaan yang ekivalen.

[a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13 ⋮a23

a33

⋮⋮

b1

b2

b3]⟹ [a11

00

a12

a22

0

a13 ⋮a23

a33

⋮⋮

b1

b '2

b' '3]

x3=b ' '

3

a' '33

¿

8

Gambar 2.1 Gambaran prosedur hitungan metode eliminasi Gauss.

c. Metode Gauss-Jordan

Metode gauss jordan mirip dengan metode eliminasi Gauss. Dalam metode Gauss-

Jordan Bilangan tak diketahui di eliminasi dari semua persamaan, yang dalam metode

Gauss bilangan tersebut di eliminasi dari persamaan berikutnya. Dengan demikian

langkah-langkah eliminasi menghasilkan matriks identitas, seperti ditunjukan dalam

gambar 3.2.

[a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13 ⋮a23

a33

⋮⋮

b1

b2

b3]⟹ [100 0

10

0 ⋮0 ⋮1 ⋮

b1¿

b2¿

b3¿ ]⟹[ x1

00

ox2

0

001

¿¿¿

b1¿

b2¿

b3¿ ]

Gambar 3.2 prosedur hitungan metode Gauss-Jordan.

d. Matriks Tridiagonal (Metode Sapuan Ganda)

Dalam penyelesaian sistem persamaan yang berbentuk matriks tridiagonal,

metode penyelesaian langsung sering disebut metode sapuan ganda atau metode

Choleski. Metode ini pemakaiannya mudah dan matriks tridiagonal banyak dijumpai

dalam banyak permasalahan, terutama dalam penyelesaian persamaan diferensial orde

dua.

Jika A matriks nyata, simetris dan definit positif, maka kita dapat menemukan

suatu matriks segitiga bawah L sedemikian hingga A=L LT . Cara ini dikenal sebagai

faktorisasi Choleski.matriks L dihitung dengan menyelesaikan persamaan-persamaan

∑j=1

r−1

lrj2 +lrr

2 =arr=∑j=1

i−1

lrj2 lij

2+lri lii=ari

Untuk r = 1, 2, 3, ... , n dan untuk setiap r, i = 1, 2, ..., r – 1.

e. Matriks Inversi

Apabila matriks A adalah bujur sangkar, maka terdapat matriks lain yaitu A−1,

yang disebut matriks inversi dari A, sedemikian hingga :

A A−1=A−1 A=I

Dengan I adalah matriks identitas.

9

Matriks inversi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem yang berbentuk :

AX = C (5.1)

atau

X =A−1 C (5.2)

Persamaan di atas menunjukan bahwa x dapat di hitung dengan mengalikan

matriks inversi dari koefisien matriks A dengan ruas kanan dari sistem persamaan (5.1),

yaitu C.

Metode Gauss-Jordan dapat di gunakan untuk mencari matriks inversi. Untuk itu

koefisien matriks ditingkatkan dengan matriks identitas. Metode gauss-jordan

digunakan untuk mereduksi koefisien matriks menjadi matriks identitas. Setelah selesai,

sisi kanan dari matriks yang ditingkatkan merupakan matriks inversi. Gambar (5.1)

adalah gambaran prosedur hitungan matriks inversi.

[a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13 ⋮a23

a33

⋮⋮

1 0 00 1 00 0 1]⟹[1 0 0

0 1 00 0 1

⋮ a11−1 a12

−1 a13−1

⋮ a21−1 a22

−1 a23−1

⋮ a31−1 a32

−1 a33−1]

A I I A−1

Gambar 5.1 prosedur hitungan matriks inversi

f. Metode Iterasi

Metode iterasi lebih baik di banding dengan metode langsung, misalnya untuk matriks

yang tersebar yaitu matriks dengan banyak elemen nol. Metode ini juga dapat

digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan tidak linier. Metode iterasi terbagi

menjadi dua, yaitu metode Jacobi dan Gauss-Seidel.

1. Metode Jacobi

Misalkan terdapat sistem 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui :

a11x1+a12 x2+a13 x3=b1

a21 x1+a22 x2+a23 x3=b2 (6.1)

a31 x1+a32 x2+a33 x3=b3

10

Persamaan pertama dari sistem di atas dapat digunakan untuk menghitung x1 dan x3

. Demikian juga persamaan kedua dan ketiga untuk menghitung x2 dan x3, sehingga

didapat :

x1=(b1−a12 x−a13 x3)

a11

x2=(b2−a21 x1−a23 x3)

a22

x3=(b3−a31 x1−a32 x3)

a33

(6.2)

Hitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal sebarang untuk variabel yang

dicari nilai perkiraan awal tersebut di subtitusikan kedalam ruas kanan dari sistem

persamaan (6.2). Selanjutnya nilai variabel yang didapat tersebut disubtitusikan ke

ruas kanan dari sistem (6.2) lagi untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua. Prosedur

tersebut diulangi lagi sampai nilai setiap variabel pada iterasi ke n mendekati nilai

pada iterasi ke n-1. Apabila superskrip n menunjukan jumlah iterasi, maka

persamaan (6.2) dapat ditulis menjadi :

x1n=

(b1−a12 x2n−1−a13 x3

n−1)a11

x2n=

(b2−a21 x1n−1−a23 x3

n−1)a22

x3n=

(b3−a31 x1n−1−a32 x2

n−1)a33

Iterasi hitungan berakhir setelah :

x1n−1≈ x1

n , x2n−1 ≈ x2 ,

n dan x3n−1≈ x3

n

atau telah dipenuhi kriteria berikut :

ε a=|x in−x i

n−1

x in |100 %<εs

dengan ε s adalah batasan ketelitian yang dikehendaki.

2. Metode Gauss-Seidel

11

Di dalam metode Jacobi nilai x1 yang dihitung dari persamaan pertama tidak

digunakan untuk menghitung nilai x2dengan persamaan kedua. Demikian juga nilai

x2 tidak digunakan untuk mencari x3, sehingga nilai-nilai tersebut tidak

dimanfaatkan. Sebenarnya nilai-nilai baru tersebut labih baik dari nilai-nilai yang

lama. Di dalam metode Gauss Seidel nilai-nilai tersebut dimanfaatkan untuk

menghitung variabel berikutnya.

C. Contoh - Contoh Soal Sistem Persamaan Linear

Contoh 1

Perhatikan SPL

x1+3 x2=5

3x1+9 x2=7

Penyelesaian

Jika persamaan kedua dikurangi tiga kali persamaan pertama maka kita dapatkan 0 = 7

15. Ini artinya SPL tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Apabila kita plot kedua garis

yang menyajikan kedua persamaan linier di atas kita dapatkan dua buah kurva linier yang

tidak berpotongan.

Contoh 2

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss Jordan :

3x + y – z = 5 (1.a)

4x + 7y – 3z = 20 (1.b)

2x 2y + 5z = 10 (1.c)

Penyelesaian

Sistem persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut :

[3 1 −14 7 32 −2 5 ][ x1

x2

x3]=[ 5

2010 ]

Baris pertama dalam persamaan (2) dibagi dengan elemen pertama dari

persamaan pertama, yaitu 3, sehingga persamaan menjadi

12

[1 0,3333 −0,33334 7 −32 −2 5 ] [ xyz ]=[

1,66662010 ]

Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan kedua, yaitu 4, dan

kemudian dikurangkan terhadap persamaan kedua. Dengan cara yang sama untuk

persamaan ketiga, sehingga didapat :

[1 0,3333 −0,33330 5,6668 −1,66680 −2,6666 5,6666 ][ xyz ]=[ 1,6666

13,33366,6668 ]

Baris kedua dari persamaan di atas dibagi dengan elemen pertama tidak nol dari

baris kedua, yaitu 5,6668, sehingga sistem persamaan menjadi :

[1 0,3333 −0,33330 1 −0,29410 −2,6666 5,6666 ][ xyz ]=[1,6666

2,35296,6668]

Persamaan kedua dikalikan dengan elemen kedua dari persamaan pertama

(0,3333) dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama. Kemudian dengan

cara yang sama untuk persamaan ketiga, sehingga didapat :

[1 0 −0,23530 1 −0,29410 0 4,8824 ][ xyz ]=[ 0,8824

2,352912,9410]

Persamaan ketiga dibagi dengan elemen pertama tidak nol dari baris ketiga yaitu

4,8824 sehingga persamaan menjadi :

[1 0 −0,23530 1 −0,29410 0 1 ][ xyz ]=[0,8824

2,35292,6505]

Persamaan ketiga dikalikan elemen ketiga dari persamaan pertama dan kemudian

dikurangkan terhadap persamaan pertama. Kemudian dengan cara yang sama untuk

persamaan kedua, sehingga didapat :

[1 0 00 1 00 0 1 ][

xyz ]=[1,5061

3,13242,6505]

Dari sistem persamaan di atas, didapat nilai x, y dan z berikut ini :

x = 1,5061

y = 3,1324

z = 2,6505

Contoh 3

13

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel.

3x + y – z = 5

4x + 7y 3z = 20 (1)

2x 2y + 5z = 10

Penyelesaian

a. Iterasi Jacobi

x=5− y+z3

y=20−4 x+3 z7

z=10−2 x+2 z7

Langkah pertama dicoba nilai x = y = z = 0 dan dihitung nilai x’, y’, dan z’.

x '=5−0+03

=1,66667

y '=20−0+0

7 =2,85714

z '=10−0+0

5 =2

Nilai x’, y’, dan z’ yang diperoleh tidak sama dengan nilai pemisalan. Iterasi dilanjutkan

dengan memasukan nilai x’, y’ dan z’ ke dalam persamaan (2) untuk menghitung x’’, y’’

dan z’’ dan kesalahan yang terjadi.

x ' '=5−2,857714+23

=1,38095

ε x=1,38095−1,66667

1,38095100 %=20,69 %

y ' '=20−4 (1,66667 )+3(2)

7 =2,76190

ε y=2,76190−2,85714

2,76190100 %=3,45 %

14

z ' '=10−2 (1,66667 )+2(2)

5 =2,13333

ε z=2,13333−2

2,13333100 %=6,25 %

b. Iterasi Gauss-Seidel

Langkah pertama dicoba nilai y = z = 0 dan dan dihitung x’ dengan menggunakan

persamaan

x11=

(b1−a12 x20−a13 x3

0)a11

Menjadi :

x '=5−0+03

=1,6667

Persamaan x21=

(b2−a21 x11−a23 x3

0)a22

digunakan untuk menghitung nilai y’ :

y '=20−4(1,66667)+3 (0)

7=1,90476

Nilai z’ dihitung dari persamaan x31=

(b3−a31 x11−a32 x2

0)a33

:

z '=10−2(1,66667)+2(1,90467)

5=2,09524

Nilai x’, y’, dan z’ yang diperoleh tidak sama dengan nilai pemisalan. Iterasi

dilanjutkan dengan prosedur di atas untuk menghitung x’’, y’’, dan z’’ dan kesalahan

yang terjadi.

x ' '=5−1,90476+2,095243

=1,73016

ε x=1,73016−1,66667

1,73016100 %=3,67 %

y ' '=20−4 (1,73016 )+3(2,09524)

7 =2,76644

15

ε y=2,76644−1 , 90476

2,76644100 %=31,15%

z ' '=10−2 (1,73016 )+2(2,76644)

5 =2,41451

ε z=2,41451−2,09524

2,41451100 %=13,22 %

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Sistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika

yang banyak dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk matematika, statistika,

fisika, biologi, ilmu-ilmu sosial, teknik dan bisnis sistem-sistem persamaan linier muncul

secara langsung dari masalah-masalah nyata. Masalah –masalah tersebut dapat di ubah

dalam bentuk persamaan :

a11 x1+a12 x2+….+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+….+a2n xn=b2

. . .

a11 x1+an 2 x2+….+ann xn=bn

Persamaan di atas dapat dicari penyelesaiannya dengan menggunakan matriks,

metode eliminasi Gauss, metode Gauss-Jordan, matriks tridiagonal, matriks inversi

maupun metode iterasi. Masing-masing metode memiliki keunikan tersendiri. Dari

beberapa metode yang ada metode penyelesaian yang paling mudah dan sederhana

digunakan adalah metode iterasi.

16

B. Saran

Sistem persamaan linier merupakan model matematika yang berkaitan erat dalam

kehidupan kita setiap hari. Oleh dan sebab itu sangat penting bagi kita untuk mempelajari

secara mendalam cara memecahkan suatu model persamaan linier. Sangat disarankan

kepada para pembaca untuk menambah resensi materi tentang sistem persamaan linear

dari sumber-sumber lain seperti buku diktat atau modul SPL atau internet.

DAFTAR PUSTAKA

http://aning.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/27626/numerik.doc

http://yuliana.lecturer.pens.ac.id/Metode%20Numerik/Teori/MetNum4-SPL.ppt

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf

17