SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pertemuan : 5&6 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :

1. Menjelaskan pengertian sistem persamaan linear serta solusi dari SPL 2. Menjelaskan cara merepesentasikan sistem persamaan linear ke dalam bentuk perkalian

matriks 3. Menggunakan metode Eliminasi Gauss Naive, Gauss yang diperbaiki untuk mencari solusi

dari SPL 4. Mengenali kondisi munculnya masalah pembagian dengan nol, galat pembulatan dan kondisi

buruk 5. Menggunakan metode iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel sebagai metode numerik untuk

menghitung solusi SPL Materi : 3.1 Solusi Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah gabungan dari beberapa persamaan linear yang akan diselesaikan secara simultan. Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang sering dimodelkan dengan menggunakan sistem persamaan linear diantaranya adalah penentuan besarnya kuat arus dari setiap aliran listrik dalam suatu jaringan listrik, menentukan banyaknya arus lalu lintas pada setiap perempatan jalan yang sedang diamati, menyelesaikan model ekonomi pertukaran barang dan lain-lain. Secara umum sistem persamaan linear didefinisikan dalam Definisi 1. Definisi 1

Sebuah himpunan terhingga m buah persamaan linear dengan variabel 1 2, ,..., nx x x disebut sistem

persamaan linear dengan n variabel dituliskan sebagai

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

1

Suatu urutan bilangan-bilangan 1 2, , , ns s s disebut himpunan penyelesaian sistem jika

1 1 2 2, ,..., n nx s x s x s memenuhi setiap persamaan dalam sistem tersebut.

Persamaan

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

1 dapat dituliskan

ke dalam bentuk perkalian matriks dan vektor. Persamaan ini dituliskan dalam bentuk persamaan

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

atau Ax b 2

2

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

atau Ax b 2

dengan

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

,

1

2

n

x

xx

x

dan

1

2

m

b

bb

b

.

Di dalam menyelesaikan sistem persamaan linear ada tiga jenis solusi yang mungin ditemukan yaitu: SPL

memiliki tepat satu solusi, SPL memiliki jumlah solusi tak terhingga atau tidak memiliki solusi. Representasi

dari tiga jenis solusi SPL dalam geometri untuk dua persamaan dan dua variable ditunjukkan pada

(c) Gambar 1.

(c) Gambar 1 (a) solusi dari sister persamaan linear tersebut adalah titik potong dari kedua garis dari kedua

persamaan linear,

(c) Gambar 1 (b) adalah saat jumlah solusi tak terhingga, hal ini terjadi ketika grafik dari kedua persamaan

linear berimpit. Untuk

(c) Gambar 1 (c) garis dari kedua persamaan linear sejajar sehingga tidak akan berpotongan atau dengan

kata lain keadaan seperti ini sistem persamaan linear tidak memiliki solusi.

(a) (b)

(c) Gambar 1 Kemungkinan Solusi dari Sistem Persamaan Linear

Tepat Satu

Solusi

1 2 3x x

1 2 1x x Banyak

Solusi

1 22 2 6x x 1 2 3x x

Tidak Punya

Solusi

1 2 3x x

1 2 1x x

3

Khusus untuk pembahasan dalam metode numerik ini hanya dikhususkan untuk menentukan solusi dari SPL yang tepat satu solusi. Salah satu kondisi awal yang memungkinkan sebuah SPL memiliki tepat satu solusi adalah matriks A adalah matriks bujur sangkar. Untuk selanjutnya maka akan digunakan matriks A

berukuran n x n. Apabila matriks A membentuk matriks segitiga atas dan nilai b diketahui maka dapat ditentukan nilai x yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut. Contoh 1 Perhatikan SPL berikut ini

11 12 13 1 1 11 1 12 2 13 3 1

22 23 2 2 22 2 23 3 2

33 3 3 33 3 3

0

0 0

a a a x b a x a x a x b

a a x b a x a x b

a x b a x b

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan mencari terlebih dahulu nilai 3x lalu

2x dan terakhir 1x . Proses ini

disebut dengan substitusi balik. Adapun nilai 3x ,

2x dan 1x adalah :

3 2 23 3 1 12 2 13 33 2 3

33 22 11

( ), ,

b b a x b a x a xx x x

a a a

Berdasarkan Contoh 1 ini maka solusi dari sebuah sistem persamaan linear untuk persamaan 𝐴�̅� = �̅� untuk

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

,

1

2

n

x

xx

x

dan

1

2

n

b

bb

b

.

adalah 1, 1, 2,...,1dan 0

n

k kj j

j knn k kk

nn kk

b a xb

x x k n n aa a

3

Latihan 1 1. Dengan menggunakan persamaan 3, tuliskan rumus substitusi balik untuk , 1,2,3,4ix i untuk A

berukuran 4 x 4.

2. Tentukan solusi dari sistem persamaan linear berikut ini

1 2 3 1 2 4

2 3 2 3 4

3 3 4

a) 2 3 9 b) 3 4

3 7 5 7

2 2 3 13 13

x x x x x x

x x x x x

x x x

4 13 13x

3. Berikan sebuah contoh kapan substitusi balik tidak dapat dilakukan.

4. Berikut ini adalah script yang dapat digunakan untuk menghitung substitusi balik. Lengkapilah script

tersebut, kemudian jalankan untuk soal yang diberikan pada no 2.

4

3.2 Eliminasi Gauss Dalam menggunakan eliminasi Gauss maka setiap sistem persamaan linear akan diubah terlebih dahulu

dengan menggunakan matriks yang diperluas atau matriks augmented. Cara membuat matriks yang diperluas adalah dengan menggabungkan matriks A berukuran n x n dengan vektor b berukuran 1 x n menjadi sebuah matriks baru berukuran n x (n+1). Contoh 2 Diberikan sistem persamaan linear berikut ini

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4 2 4

4 9 3 13

2 3 7 13

x x x

x x x

x x x

Maka matriks yang diperluasnya adalah

2 4 2 4

4 9 3 13

2 3 7 13

Metode eliminasi Gauss bekerja dengan menggunakan tiga aturan yang disebut dengan operasi baris elementer. Tiga aturan tersebut adalah:

1. Pertukaran baris Dalam eliminasi Gauss dimungkinkan untuk mempertukarkan dua baris dan hasilnya tidak akan mempengaruhi nilai yang diperoleh. Contoh menukarkan baris ketiga dengan baris kedua

1 2 1 2 1 2 1 2

2 8 4 6 3 6 0 9

3 6 0 9 2 8 4 6

2. Penskalaan baris Sebuah baris dapat dikalikan dengan sebuah bilangan real bukan nol dan hasilnya pun tidak akan mempengaruhi solusi yang akan dicari. Berikut adalah contoh perkalian baris kedua dengan ½.

function nilai=subbalik(A, b)

/* menentukan nilai dari Ax=b

jika A adalah matriks segitiga atas

A=matriks nxn ;b=ruas kanan */

//menghitung ukuran matriks A

[m,n]=size________;

//menghitung x yang terakhir

x(n)=______________;

//loop untuk menghitung x(k)

for k = n-1:-1:1

jum=0;

for j = _________

jum=jum+A(k,j)*x(j);

end

x(k)=_________________;

end

//hasil disimpan ke parameter nilai

nilai = x;

endfunction

5

122

1 2 1 2 1 2 1 2

2 8 4 6 1 4 2 3

3 6 0 9 3 6 0 9

b

3. Penggantian baris Sebuah baris dapat diganti dengan penjumlahan baris tersebut dengan kelipatan baris yang lain.

Baris kedua dapat diganti dengan hasil penghitungan 1 22b b tanpa mempengaruhi solusi akhir

dari SPL yang dicari.

2 1 221 2 1 2 1 2 1 2

2 8 4 6 0 4 2 2

3 6 0 9 3 6 0 9

b b b

Secara umum persamaan yang digunakan untuk menghitung penggantian baris agar menghasilkan

matriks segitiga atas disebut persamaan pivot. Elemen pivot adalah nilai-nilai pada diagonal utama. Baris yang ada dibawah elemen pivot harus diubah menjadi baris baru dimana semua elemen yang ada di bawah elemen pivot pada kolom pivoting harus bernilai 0. Caranya adalah dengan menggunakan persamaan

,

,

1,2,...,( 1), 1,...,i j

i j i

j j

abaris baris baris j n i j n

a

4.

,

,

1,2,...,( 1), 1,...,i j

i j i

j j

abaris baris baris j n i j n

a

4

Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks segitiga atas dengan menggunakan aturan operasi baris elementer. Ada dua jenis metode eliminiasi Gauss yaitu:

a. Eliminasi Gauss Naif b. Eliminasi Gauss yang diperbaiki

Eliminasi Gauss Naif hanya menggunakan aturan penggantian baris saja, sedangkan eliminasi Gauss yang diperbaiki menggunakan semua aturan dari operasi baris elementer. Contoh 3 Berikut ini adalah proses yang dilakukan untuk mengubah matriks menjadi matriks A menjadi segitiga atas dari Contoh 2. menggunakan Eliminasi Gauss Naif.

2 1 2 3 2 3

3 1 3

4 1

2 1

2

2

2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4

4 9 3 13 0 1 1 5 0 1 1 5

2 3 7 13 0 1 5 17 0 0 4 12

b b b b b b

b b b

Setelah diperoleh matriks berbentuk bujur sangkar maka selanjutnya dapat dihitung solusi dari SPL. Hitunglah solusi SPL ini dengan menggunakan substitusi balik. Latihan 2

1. Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan Eliminasi Gauss Naif

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 11

2 16

3 2 11

x x x

x x x

x x x

1 2 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 4

2 1

3 2 3

2 3 4

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

2. Lengkapi script berikut ini untuk menghitung Eliminasi Gauss Naif

6

3. Modifikasi script diatas sehingga dari M diperoleh matriks A dan b lalu gunakan fungsi substitusi balik untuk mendapatkan solusi dari SPL dan simpan hasilnya ke parameter sol.

Proses pada Eliminasi Gauss Naif akan berhasil selama elemen pivot ≠ 0. Apabila ada nilai elemen pivot

= 0 dapat diatasi dengan menggunakan strategi pivoting. Ada dua jenis strategi pivoting yaitu: a. Pivoting sebagian

Sebelum penghitungan baris baru, terlebih dahulu setiap kolom dari elemen pivot dicek terlebih dahulu dengan menggunakan aturan berikut ini:

, , 1, 1, ,max , ,... ,i p p p p p n p n pa a a a a 5

,i pa adalah nilai maksimum dari kolom p lalu pertukarkan baris ke-i dengan baris ke-p. Untuk

operasi pada kolom kedua dan kolom ketiga adalah sebagai berikut:

0 0

0 0 0

0 0 0

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

Cari |x| terbesar

lalu pertukarkan

dengan baris pivot Dengan teknik ini akan menghindari munculnya elemen 0 pada proses operasi baris dalam eleminasi gauss naif. Apabila setelah dilakukan proses pivoting ternyata masih ada elemen pivot yang sama dengan 0 maka SPL tidak dapat diselesaikan atau singular.

b. Pivoting lengkap Jika proses pivoting juga melibatkan pengecekan kolom dalam pencarian elemen terbesar lalu dipertukarkan maka cara ini disebut dengan pivoting lengkap. Detail dari proses pivoting lengkap tidak dibahas di mata kuliah ini dikarenakan proses pertukaran kolom akan mengubah urutan x sehingga akan menambah kerumitan dari program.

Latihan 3 1. Gunakan aturan pivoting sebagian untuk menyelesaikan masalah berikut ini

1 2 3

1 2

1 2 3

2 2

3 6 9

2 8 4 6

x x x

x x

x x x

2. Lengkapi script berikut ini dan cek prosesnya dengan memasukkan soal no 1, lalu modifikasi hingga dapat memunculkan hasil akhir dari SPL.

function sol=naivegauss(A, b)

// Menggabungkan nilai A dan b

// A matriks nxn dan b vektor kolom nx1

M=[A b];

//Hitung ukuran baris matriks M

//n = jumlah baris

[n,m]=size(M);

//Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain

for j = ________

for i = _______

M(i,:)=-M(i,j)/_____*M(j,:)+______;

end

end

//Simpan keluaran akhir matriks M ke parameter sol

sol=M;

endfunction

7

3.3 Metode Eliminasi Gauss Jordan

Metode Eliminasi Gauss Jordan adalah perbaikan dari metode eliminasi Gauss. Berdasarkan Contoh 2 maka dengan strategi pivoting sebagian dan eliminasi Gauss Jordan akan menjadi sebagai berikut :

1 1 214

1 21 3

2

1

2

1

2 4 2 4 4 9 3 13 1 9 / 4 3 / 4 13 / 4 1 9 / 4 3 / 4 13 / 4

4 9 3 13 2 4 2 4 2 4 2 4 0 1/ 2 1/ 2 5 / 2

2 3 7 13 2 3 7 13 2 3 7 13 0 3 / 2 11/ 2 39 / 2

b bb

b ke bb b

1 12 32 31/2 4

3/2

11 9 / 4 3 / 4 13 / 4 1 9 / 4 3 / 4 13 / 4 1 9 / 4 3 / 4 13 / 4

0 1 1 5 0 1 1 5 0 1 1 5

0 3 / 2 11/ 2 39 / 2 0 0 4 12 0 0 1 3

b bb b

Dalam metode Gauss Jordan setelah eliminasi maju selanjutnya dilakukan eliminasi mundur. Elemen pivot dimulai dari angka 1 pada baris terakhir yaitu baris ke-3.

3 2 2 1

3 1

1 9/4

1 1

3/4

1

1 9 / 4 3 / 4 13 / 4 1 9 / 4 0 22 / 4 1 0 0 1

0 1 1 5 0 1 0 2 0 1 0 2

0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3

b b b b

b b

function sol=egauss(A, b)

// Menggabungkan nilai A dan b

// A matriks nxn dan b vektor kolom nx1

M=________;

//Hitung ukuran baris matriks M

//n = jumlah baris

[n,m]=__________;

//Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain

for j =_______

//absolutkan kolom untuk mencari elemen pivoting

kolom=abs(M(:,j));

//hitung nilai maksimum dari kolom ke j

[nilai,ind]=max(kolom(j:____));

//update nilai ind agar sesuai dengan ukuran matriks m

indeks=ind+j-1;

//Cek kondisi untuk menukar baris

if ___________ then

M=tukar(M,indeks,j);

end

//lanjutkan dengan melakukan operasi baris

for i = ________

M(i,:)=-M(i,j)/M(j,j)*M(j,:)+M(i,:);

end

end

//Hasil akhir dari proses operasi baris

sol=M;

endfunction

function hasil=tukar(M, indeks, j)

//fungsi untuk melakukan pertukaran baris

sementara=M(j,:);

M(j,:)=___________;

M(indeks,:)=__________;

hasil=M;

endfunction

8

Hasil dari Eliminasi Gauss Jordan sama dengan hasil Eliminasi Gauss setelah dilakukan proses substitusi balik. Latihan 4 Menggunakan script pada Latihan 3 no 2 modifikasi fungsi tersebut agar dapat digunakan untuk menghitung SPL menggunakan Eliminasi Gauss Jordan. Pada Eliminasi Gauss Jordan tidak digunakan fungsi substitusi balik.

Beberapa bentuk matriks berdasarkan hasil Eliminasi Gauss adalah: 1. Memiliki tepat satu solusi, contohnya :

2 4 2 4 2 4 2 4

4 9 3 13 0 1 1 5

2 3 7 13 0 0 4 12

dari contoh ini dapat dilihat bahwa SPL punya tepat satu solusi ketika persamaan diakhir Eliminasi Gauss memiliki jumlah variabel dan jumlah persamaan sama banyak. Dalam contoh ini jumlah variabel dan jumlah persamaan adalah 3.

2. Memiliki banyak solusi, contohnya:

1 0 1 4 4 1 5 17

1 1 2 5 0 3 / 4 3 / 4 3 / 4

4 1 5 17 0 0 0 0

Untuk SPL yang punya banyak solusi terjadi ketika diakhir Eliminasi Gauss, jumlah variabel > jumlah persamaan. Hal ini mengakibatkan akan ada variable yang nilainya bebas. Contoh diatas memiliki satu variable bebas karena jumlah variabel = 3 > jumlah persamaan = 2.

3. Tidak memiliki solusi, contohnya:

1 0 1 4 4 1 5 17

1 1 2 5 0 3 / 4 3 / 4 3 / 4

4 1 5 7 0 0 0 10 / 3

Pada SPL yang tidak memiliki solusi dapat dikenali ketika ada kondisi baris yang semua ruas kanannya bernilai 0 tetapi memiliki ruas kanan yang tidak 0 seperti yang ditunjukkan oleh contoh.

3.4 Metode Iteratif untuk Menyelesaikan SPL

Ada dua jenis metode yang digunakan untuk menyelesaikan SPL, yaitu : metode langsung dan metode iteratif. Metode Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan termasuk kedalam kelompok metode langsung sedangkan metode iteratif adalah metode Iterasi Jacobi dan metode Iterasi Gauss Seidel. a. Metode Iterasi Jacobi Misalkan diberikan n persamaan yang harus diselesaikan dengan n variabel, maka secara umum dapat dituliskan menjadi

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Metode Jacobi dapat dilakukan dengan syarat 0iia , 1,2,...,i n . Persamaan iterasi Jacobi pada iterasi ke-

1 dapat dituliskan dengan:

9

0 0 01 1 12 2 13 3 1

1

11

0 0 01 2 21 1 23 3 2

2

22

0 0 01 1 1 2 2 1 1

( ... )

( ... )

( ... )

n n

n n

n n n nn nn

nn

b a x a x a xx

a

b a x a x a xx

a

b a x a x a xx

a

dan pada iterasi ke- 2 dituliskan menjadi

1 1 12 1 12 2 13 3 1

1

11

1 1 12 2 21 1 23 3 2

2

22

1 1 12 1 1 2 2 1 1

( ... )

( ... )

( ... )

n n

n n

n n n nn nn

nn

b a x a x a xx

a

b a x a x a xx

a

b a x a x a xx

a

dengan rumus umumnya adalah 1,

, 0,1,2,..., 1,2,...,

nk

i ij j

j j ik

i

ii

b a x

x k i na

dan tebakan awalnya

adalah

0

1

0

0 2

0

n

x

xx

x

. Hentikan kondisi iterasi ketika semua nilai galat relatif hampiran memenuhi nilai

toleransi galat. Secara umum persamaan untuk menghitung galatnya adalah : 1

1untuk semua 1,2,3,...,

k k

i i

k

i

x xi n

x

b. Metode Iterasi Gauss Seidel

Metode ini adalah metode lain selain metode Iterasi Jacobi yang bekerja secara iteratif. Metode Iterasi Gauss Seidel memiliki kecepatan yang lebih cepat jika dibandingkan dengan metode iterasi Jacobi. Prinsip

kerja metode ini adalah hasil taksiran nilai ix dijadikan masukan untuk menghitung nilai 1ix pada iterasi

yang sama. Untuk lebih jelasnya diberikan persamaan pada iterasi pertama dari iterasi Gauss Seidel dengan

tebakan awal

0

1

0

0 2

0

n

x

xx

x

maka

10

0 0 01 1 12 2 13 3 1

1

11

1 0 01 2 21 1 23 3 2

2

22

1 1 01 3 31 1 32 2 3

3

33

1 1 11 1 1 2 2 1 1

( ... )

( ... )

( ... )

( ... )

n n

n n

n n

n n n nn nn

nn

b a x a x a xx

a

b a x a x a xx

a

b a x a x a xx

a

b a x a x a xx

a

dan pada iterasi kedua diperoleh persamaan berikut 1 1 1

2 1 12 2 13 3 11

11

2 1 12 2 21 1 23 3 2

2

22

2 2 12 3 31 1 32 2 3

3

33

2 2 22 1 1 2 2 1 1

( ... )

( ... )

( ... )

( ... )

n n

n n

n n

n n n nn nn

nn

b a x a x a xx

a

b a x a x a xx

a

b a x a x a xx

a

b a x a x a xx

a

dengan rumus umumnya adalah

11

1 1, 0,1,2,..., 1,...,

i nk k

i ij j ij j

j j ik

i

ii

b a x a x

x k i na

dan kondisi

henti menggunakan perhitungan galat relatif hampiran yang digunakan pada iterasi Jacobi.

Ada syarat cukup yang dapat menjamin bahwa iterasi yang dilakukan akan konvergen yaitu sistem persamaan linear yang akan dihitung disebut dominan secara diagonal.

1,

1,2,3,...,n

ii ij

j j i

a a i n

Apabila syarat ini tidak dipenuhi bukan berarti SPL yang dicari tidak konvergen. Latihan 5

1. Selesaikan SPL berikut dengan menggunakan Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss Seidel dengan toleransi galat 0,001

Penyelesaian dari masing-masing metode dapat dikerjakan dengan melengkapi tabel berikut ini

Iterasi Nilai Hampiran Galat

1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 0.1 0.2 7.85

0.1 7 0.3 19.3

0.3 0.2 10 71.4

x x x

x x x

x x x

11

2

dst

2. Buatlah script untuk menghitung solusi dari SPL menggunakan Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss Seidel

sebagai inputan adalah A, b, toleransi galat, tebakan awal dan sebagai output adalah nilai x dan galat setiap iterasi