PERSAMAAN NON LINEAR

15
PERSAMAAN NON LINEAR METODE TERBUKA: Metode Newton Raphson Metode Secant

description

PERSAMAAN NON LINEAR. METODE TERBUKA: Metode Newton Raphson Metode Secant. Metode Newton Raphson. adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x)=0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f ’. Metode Newton Raphson. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of PERSAMAAN NON LINEAR

Page 1: PERSAMAAN NON LINEAR

PERSAMAAN NON LINEARMETODE TERBUKA:

• Metode Newton Raphson • Metode Secant

Page 2: PERSAMAAN NON LINEAR

Metode Newton Raphson • adalah metode iterasi lain untuk memecahkan

persamaan f(x)=0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’

Page 3: PERSAMAAN NON LINEAR

Metode Newton Raphson • menggunakan suatu nilai xi sebagai tebakan awal yang

diperoleh dengan melokalisasi akar-akar dari f(x) terlebih dahulu

• kemudian ditentukan xi+1 sebagai titik potong antara sumbu x dan garis singgung pada kurva f di titik (xi ,f(xi))

• Prosedur yang sama diulang, menggunakan nilai terbaru sebagai nilai coba untuk iterasi seterusnya

• Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan:

Xn+1 = xn - nn

xFxF

1

Page 4: PERSAMAAN NON LINEAR

Algoritma Metode Newton Raphson

1. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x)2. Tentukan toleransi error () dan iterasi maksimum (n)3. Tentukan nilai pendekatan awal x0

4. Hitung f(x0) dan f’(x0)5. Untuk iterasi i = 0 s/d n atau |f(xi)|>

– Hitung xi+1 , f(xi+1) dan f’(xi+1)

6. Iterasi berhenti jika panjang selang baru (| xi+1 - xi|) < 7. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh

ii

ii xfxfxx '1

Page 5: PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh

• Carilah akar positif dari fungsi f(x) = x2–5, dengan nilai tebakan awal x=1

• JAWAB– f(x) = x2–5– f’(x) = 2x– x0 = 1– f(1) = -4– f’(1) = 2

−n = 7− e = 0.0000001

− x1 = 1 – (-4/2) 3− f(x1) = f(3) = 32 – 5 4− f’(x1) = f’(3) = 2*3 6

ii

ii xfxfxx '1

Page 6: PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh

• JAWAB

– x2 = 3 – (4/6) 2,333333– f(x2) = f(2,333333) = 2*3333332 – 5

0,444444– f’(x2) = f’(2,333333) = 2*2,333333 4.666667 – dst

1

'1

12 xfxfxx

Page 7: PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh

• Pada i = 6, iterasi berhenti karena panjang selang baru (|xi+1 – xi|) <

• Diperoleh x = 2,236067977

i xi f(x) f'(x) |xi+1 - xi| Status Iterasi0 1 -4 21 3 4 6 2 LANJUT2 2.333333333 0.444444444 4.666667 0.666666667 LANJUT3 2.238095238 0.009070295 4.47619 0.095238095 LANJUT4 2.236068896 4.10606E-06 4.472138 0.002026342 LANJUT5 2.236067977 8.42881E-13 4.472136 9.18143E-07 LANJUT6 2.236067977 0 4.472136 1.88294E-13 BERHENTI

Page 8: PERSAMAAN NON LINEAR

Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson

• Masalah potensial dalam implementasi metode Newton Raphson adalah evaluasi pada turunan

• Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit.

Page 9: PERSAMAAN NON LINEAR

Metode Secant• Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara

menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen

• Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan Metode Secant

)()())((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Page 10: PERSAMAAN NON LINEAR

Algoritma Metode Secant :• Definisikan fungsi f(x)• Definisikan torelansi error () dan iterasi maksimum (n)• Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya

terdapat akar yaitu xi-1 (x0) dan xi (x1)– sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik

pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan

• Hitung f(xi-1) f(x0) dan f(xi) f (x1)• Untuk iterasi i = 1 s/d n

– Hitung xi+1 dan f(xi+1)

• Iterasi berhenti jika panjang selang baru (| xi+1 - xi|) < • Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh

)()())((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Page 11: PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh

• Carilah akar dari fungsi f(x) = 2x^3 - x -1, dengan nilai awal xi = 4, dan xi-1 = 2 dan = 0.0000001

Page 12: PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh - Penyelesaian

• f(x) = 2x3 - x -1, dengan nilai awal xi = 4, dan xi-1 = 2 dan = 0.0000001

• xi-1 = 2 x0 = 2 – f(xi-1) = f(x0) = 2*23-2-1 13

• xi = 4 x1 = 4– f(xi) = f(x1) = 2*43-4-1 123

Page 13: PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh - Penyelesaian

• xi-1 = 2 x0 = 2 – f(xi-1) = f(x0) = 2*23-2-1 13

• xi = 4 x1 = 4– f(xi) = f(x1) = 2*43-4-1 123

• x2 = x1 – (f(x1)(x1 – x0))/(f(x1) – f(x0)) = 4 – (123*(4-2))/(123-13) 1,7636363 – f(xi+1) = f(x2) = 2* 1,76363633-1,7636363-1 8,207639

• dst

)()())((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Page 14: PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh - Penyelesaian

• Pada i = 11, iterasi berhenti karena panjang selang baru (|xi+1 – xi|) < ; diperoleh x = 1

i xi-1 xi f(xi-1 ) f(xi ) |xi+1 - xi| Status Iterasi1 2 4 13 1232 4 1.763636364 123 8.207639369 2.236363636 LANJUT3 1.763636364 1.603736644 8.207639369 5.645792359 0.159899719 LANJUT4 1.603736644 1.251350023 5.645792359 1.667570116 0.352386622 LANJUT5 1.251350023 1.103638466 1.667570116 0.58486427 0.147711556 LANJUT6 1.103638466 1.023846516 0.58486427 0.122671637 0.079791951 LANJUT7 1.023846516 1.002668746 0.122671637 0.0133865 0.02117777 LANJUT8 1.002668746 1.000074649 0.0133865 0.000373279 0.002594097 LANJUT9 1.000074649 1.000000238 0.000373279 1.19248E-06 7.44105E-05 LANJUT

10 1.000000238 1 1.19248E-06 1.06815E-10 2.38475E-07 LANJUT11 1 1 1.06815E-10 0 2.13629E-11 BERHENTI12 1 1 0 0 0 BERHENTI

Page 15: PERSAMAAN NON LINEAR

TUGAS

• Carilah akar persamaan f(x) = x2 – 2x – 3 dengan = 0,000001 dengan metode Newton Raphson dan Secant!

• Jawaban ditulis dengan pengolah kata dengan format nama file UW-METNUM-T02.doc

• Kirim jawaban ke [email protected] dengan subject: [UW-METNUM-T02.doc]