Persamaan linear dan matriks

Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 1

CATATAN KULIAH MATEMATIKA TERAPAN 1

Disusun oleh: YULI KUSUMAWATI, S.T., M.T.


2. PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear adalah persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Persamaan linear jika digambarkan pada koordinat Cartesius maka akan berbentuk garis lurus (linear). Persamaan linear dapat mempunyai satu variabel, dua variabel, maupun banyak variabel. Apabila terdapat beberapa persamaan linier, maka disebut sistem persamaan linear. Setiap sistem persamaan linier mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai tepat satu penyelesaian, atau mempunyai tak-hingga penyelesaian.

2.1. Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk umum dari persamaan linear satu variabel adalah ax + b = 0, dimana a adalah koefisien dari variabel x, sedangkan b adalah konstanta. Contoh 2.1: Selesaikan persamaan 4x – 20 = 0 Jawab: 4x – 20 = 0 4x = 20 x = 5 Contoh 2.2: Selesaikan sistem persamaan 6x + 1 = 2x + 9 Jawab: 6x – 2x = 9 - 1 4x = 8 x = 2

2.2. Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear yang memiliki dua variabel, dengan pangkat masing-masing variabel adalah satu. Persamaan linear dua variabel memiliki bentuk umum:

ax + by = c dengan a dan b adalah koefisien, sedangkan c adalah konstanta, x dan y adalah variabel. Contoh 2.3: Carilah penyelesaian dari 2x + y = 4 Jawab: Jika x = 0, maka 2(0) + y = 4, sehingga y = 4. Jadi penyelesaiannya adalah (0,4) Jika x = 1, maka 2(1) + y = 4, sehingga y = 2. Jadi penyelesaiannya adalah (1,4) Jika x = 2, maka 2(2) + y = 4, sehingga y = 0. Jadi penyelesaiannya adalah (2,0), dst. Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua buah persamaan linear dua variabel yang mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

a1x + b1y = c1


a2x + b2y = c2 Dengan a1 dan a2 adalah koefisien dari variabel x, sedangkan b1 dan b2 adalah koefisien dari variabel y, sedangkan c adalah konstanta. Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan antara lain dengan cara: a. Substitusi b. Eliminasi c. Grafik 2.2.1. Metode Substitusi Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi dilakukan dengan cara menggantikan suatu variabel dari salah satu persamaan dengan variabel dari persamaan lain. Contoh 2.4: Carilah nilai variabel x dan y jika x + y = 2 dan 2x + y = 4. Jawab: x + y = 2 (1) 2x + y = 4 (2) Misal yang akan disubstitusikan adalah persamaan (1), maka bentuk persamaan tersebut diubah menjadi:

x + y = 2 y = 2 – x (1) Substitusikan variabel y dari persamaan (1) ke persamaan (2): 2x + (2 – x) = 4 2x - x = 4 - 2 x = 2 Selanjutnya masukkan nilai variabel x tersebut ke persamaan (1) atau (2): x + y = 2 (2) + y = 2 y = 2 – 2 y = 0 Jadi nilai variabel x = 2 dan y = 0. 2.2.2. Metode Eliminasi Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi dilakukan dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabel untuk mendapatkan nilai variabel yang lain. Contoh 2.5: Carilah nilai variabel x dan y jika x + y = 2 dan 2x + y = 4. Jawab: x + y = 2 (1) 2x + y = 4 (2) Pada dua persamaan tersebut, variabel y bisa langsung dieliminasi: x + y = 2 (1) 2x + y = 4 (2) -x + 0 = -2


x = 2 Selanjutnya masukkan nilai variabel x tersebut ke persamaan (1) atau (2): x + y = 2 (2) + y = 2 y = 2 – 2 y = 0 Jadi nilai variabel x = 2 dan y = 0. 2.2.3. Metode Grafik Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambarkan grafik kedua persamaan linear pada koordinat Cartesius. Titik potong dari kedua grafik tersebut merupakan penyelesaiannya. Contoh 2.6: Carilah nilai variabel x dan y jika x + y = 2 dan 2x + y = 4. Jawab: x + y = 2 (1) 2x + y = 4 (2) Untuk persamaan (1): Titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0: x + (0) = 2 x = 2 Titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0: (0) + y = 2 y = 2 Untuk persamaan (2): Titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0: 2x + (0) = 4 2x = 4 x = 2 Titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0: 2(0) + y = 4 y = 4 Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah koordinat titik potong dari kedua grafik tersebut, yaitu x = 2 dan y = 0.

2.3. Persamaan Linear Tiga Variabel Bentuk sistem persamaan linear tiga variabel biasanya terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel. Penyelesaiannya menggunakan metode eliminasi, substitusi, maupun gabungan keduanya. Contoh 2.7: Carilah penyelesaian sistem persamaan linear berikut: 2x + y – z = 1 (1) x + y + z = 6 (2) x – 2y + z = 0 (3)


Jawab: Eliminasi variabel y: 2x + y – z = 1 (1) x + y + z = 6 (2) x – 2z = -5 x = -5 + 2z (4) Substitusi persamaan (4) ke persamaan (1) dan (3): 2(-5 + 2z) + y – z = 1 (1) -10 + 4z + y –z =1 3z + y = 11 (5) x – 2y + z = 0 (3) (-5 + 2z) – 2y + z = 0 3z – 2y = 5 (6) Eliminasi variabel z: 3z + y = 11 (5) 3z – 2y = 5 (6) 3y = 6 y = 2 Substitusi nilai y ke persamaan (5): 3z + (2) = 11 (5) 3z = 9 z = 3 Substitusi nilai y dan z ke persamaan (2) atau sembarang: x + y + z = 6 (2) x + (2) + (3) = 6 x = 1 Jadi nilai variabel dari sistem persamaan tersebut adalah x = 1, y = 2, dan c = 3

2.4. Aplikasi Persamaan Linear Contoh 2.8: Sebuah perusahaan rental alat berat menawarkan paket sewa sebagai berikut: Total biaya sewa untuk 1 unit excavator dan 2 unit dump truk adalah Rp 350.000/jam. Total biaya sewa untuk 2 unit excavator dan 5 unit dump truck adalah Rp 800.000/jam. Berapakah total biaya sewa untuk 3 unit excavator dan 6 unit dump truck per jam? Jawab: Misalkan, biaya sewa 1 unit excavator dilambangkan x dan biaya sewa 1 unit dump truck dilambangkan y, sehingga dapat disusun persamaan sebagai berikut: x + 2y = 350.000 (1) 2x + 5y = 800.000 (2) Nilai variabel y dicari dengan menggunakan metode eliminasi.


2x + 4y = 700.000 (3) 2x + 5y = 800.000 (2)

y = 100.000 Selanjutnya substitusikan nilai y ke persamaan (1) untuk mencari nilai variabel x. x + 2(100.000) = 350.000 x = 350.000 – 200.000 x = 150.000 Jadi biaya sewa 1 unit excavator adalah Rp 150.000/jam dan biaya sewa 1 unit dump truck adalah Rp 100.000/jam Selanjutnya dihitung total biaya sewa untuk 3 unit excavator dan 6 unit dump truck sebagai berikut: 3(150.000) + 6(100.000) = 1.050.000 Jadi total biaya sewa untuk 3 unit excavator dan 6 unit dump truck adalah Rp 1.050.000/jam Contoh 2.9: Suatu pabrik menghasilkan 12 ton produk/hari dengan grade A dan grade B. Total nilai pendapatan dari produksi tersebut adalah $4.035/hari. Jika harga produk grade A = $275 dan harga produk grade B = $380, berapa banyak masing-masing produk yang dihasilkan setiap hari? Jawab: Misal, jumlah produk grade A yang dihasilkan per hari adalah c ton, maka jumlah produk grade B yang dihasilkan per hari adalah (12-c) ton. Persamaan total pendapatan per hari adalah: 380(12-c) + 275(c) = 4.035 4.560-380c + 275c = 4.035 -105c = 4.035 – 4.560 c = -525/-105 c = 5 Jadi jumlah produk grade A yang dihasilkan adalah 5 ton/hari, dan jumlah produk grade B yang dihasilkan adalah 12-(5)= 7 ton/hari.


3. MATRIKS

3.1. Operasi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan bilangan yang disusun menurut baris dan kolom dan dituliskan di dalam tanda kurung siku [ ] atau kurung biasa ( ). Bilangan-bilangan dalam matriks disebut dengan entri/unsur/anggota matriks. Ukuran (orde) dari suatu matriks adalah banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam matriks. Matriks A adalah matriks berukuran m x n, dengan m adalah banyaknya baris dan n adalah banyaknya kolom. Matriks A dapat juga dinotasikan dengan [aij]mxn atau [aij]. Entri yang terletak pada baris i dan kolom j pada matriks A dinyatakan sebagai aij. Matriks bujursangkar orde n adalah suatu matriks A dengan jumlah baris n dan jumlah kolom n. Entri a11, a22, …, ann dari matriks tersebut disebut diagonal utama. Matriks identitas (I) adalah matriks bujursangkar yang entrinya pada diagonal utama adalah 1 dan entri lainnya adalah 0. Contoh, matriks identitas orde 3x3 adalah:

[

]

Trace dari matriks bujursangkar A, dinyatakan sebagai tr(A), adalah jumlah entri-entri pada diagonal utama matriks bujursangkar A. Operasi matriks meliputi: a. Penjumlahan

Jumlah dari matriks A dan matriks B (A + B) yang mempunyai orde sama diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri pada matriks A dengan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B. Contoh:

[

] [

]

A + B = [

]

b. Pengurangan (selisih)

Selisih matriks A terhadap matriks B (A - B) yang mempunyai orde sama diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada matriks A dengan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B. Contoh:

[

] [

]


A - B = [

]

c. Perkalian

Perkalian matriks A dengan suatu skalar c adalah mengalikan entri-entri pada matriks A dengan skalar c.

Contoh:

[

] c = 2

c.A = [

]

Perkalian matriks A berorde mxr dengan matriks B berorde rxn dilakukan dengan cara mengalikan entri-entri yang berpadanan dari baris matriks A dengan entri-entri yang berpadanan dari kolom matriks B, kemudian jumlahkan hasil kalinya.

Contoh:

[

] [ ]

A.B = [

]

3.2. Transpose matriks Transpose dari matriks A (disimbolkan dengan AT) adalah matriks n x m yang diperoleh dengan cara mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari matriks A, sehingga kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya. Contoh:

[

], maka transpose matriks A adalah: AT [

]

Sifat transpose matriks adalah: 1. (AT)T = A 2. (A±B)T = AT ± BT 3. (AB)T = BT AT 4. (kA)T = kAT

3.3. Minor Dan Kofaktor 3.3.1. Minor Minor atau sub matriks (disimbolkan dengan Mij) adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j. Contoh:

[

]


Minor untuk entri a11 adalah:

M11 = [

] = |

| = (5x9) – (6x8) = 45 – 48 = -3


M12 = [

] = |

| = (4x9) – (6x7) = 36 – 42 = -6


M13 = [

] = |

| = (4x8) – (5x7) = 32 – 35 = -3


M21 = [

] = |

| = (2x9) – (3x8) = 18 – 24 = -6


M22 = [

] = |

| = (1x9) – (3x7) = 9 – 21 = -12


M23 = [

] = |

| = (1x8) – (2x7) = 8 – 14 = -6


M31 = [

] = |

| = (2x6) – (3x5) = 12 – 15 = -3


M32 = [

] = |

| = (1x6) – (3x4) = 6 – 12 = -6


M33 = [

] = |

| = (1x5) – (2x4) = 5 – 8 = -3

3.3.2. Kofaktor Nilai kofaktor (Cij) adalah nilai minor dikalikan dengan tanda tempat masing-masing entri. Jika i menandakan baris dan j menandakan kolom nilai kofaktor masing-masing entry sebagai berikut:


Kofaktor untuk entri a11 adalah:

C11 = [

] = +1 |

| = 1(45 – 48) = -3


C12 = [

] = |

| = -1(36 – 42) = 6


C13 = [

] = +1 |

| = +1(32 – 35) = -3


C21 = [

] = |

| = -1(18 – 24) = 6


C22 = [

] = |

| = +1(9 – 21) = -12


C23 = [

] = |

| = -1(8 – 14) = 6


C31 = [

] = |

| = +1(12 – 15) = -3


C32 = [

] = |

| = -1(6 – 12) = 6


C33 = [

] = |

| = +1(5 – 8) = -3

Sehingga matrik kofaktor (C) adalah:

[

]


3.4. Adjoin Matrik Adjoin matrik A (adj A) adalah transpose dari matrik kofaktor (CT). Berdasarkan contoh di atas maka adjoin matrik A adalah:

Adj A = CT = [

]

3.5. Determinan Matriks Determinan matriks A adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A

dan dinyatakan dengan det (A) atau A. Determinan digunakan untuk menentukan invers suatu matriks, prinsip determinan juga dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan Aturan Cramer. 3.5.1. Determinan Matriks Orde 2x2 Nilai determinan matriks orde 2x2 adalah selisih dari hasil kali komponen diagonal utama dengan diagonal sekunder.

[

] maka det (A) = A = |

| = ad - bc

Contoh:

[

]

Maka nilai determinan matriks A adalah:

A = (5x8) – (6x7) = 40 – 42 = -2 3.5.2. Determinan Matriks Orde 3x3 Nilai determinan matriks orde 3x3 dapat dihitung dengan dua metode, yaitu: a. Aturan Sarrus.

Prinsipnya adalah mencari selisih dari hasil kali komponen diagonal utama dengan diagonal sekunder. Metode ini tidak berlaku untuk matriks dengan orde 4x4 atau yang lebih tinggi. Contoh:

[

]


|

|

A = ((1x5x9) + (2x6x7) + (3x4x8)) – (( 3x5x7) + (1x6x8) + (2x4x9)) = (45 + 84 + 96) – (105 + 48 + 72) = 0

b. Minor-kofaktor.

Untuk mencari nilai determinan dengan metode minor-kofaktor, cukup menggunakan satu ekspansi saja (misal ekspansi baris ke-1).


Contoh:

[

]


A = |

| = 1(45-48) - 2(36-42) + 3(32–35) = -3 + 12 - 9 = 0

Suatu matriks yang harga determinannya sama dengan nol disebut dengan matrik singular. Determinan matriks bujur sangkar adalah determinan yang mempunyai entri-entri yang sama dengan matriks tersebut. Nilai determinan matrik bujur sangkar sama dengan nilai determinan matrik transposenya. Contoh:

[

]

Nilai determinan matriks A adalah:

A = |

| = 5 (42-12) -2 (0-24) + 1 (0 – 48) = 150 + 48 -48 = 150

Transpose matriks A adalah:

AT [

]

Nilai determinan matriks AT adalah:

AT = |

| = 5 (42-12) -0 (14-4) + 8 (6 – 6) = 150 + 0 - 0 = 150

3.6. Invers Matriks Matriks-matriks bujursangkar A dan B sedemikian hingga AB = BA = I, maka A disebut invers B (ditulis B-1) dan B adalah invers A (ditulis A-1) sehingga berlaku A A-1 = A-1A = I degan I adalah matriks identitas. 3.6.1. Invers Matriks Orde 2x2

Jika [

], maka invers matriks A adalah: A-1 =

[

]

Contoh:

[

]


A = |

| = (5x8) – (6x7) = 40 – 42 = -2

Maka nilai invers matriks A adalah:

A-1 =

[

] = [

]


3.6.2. Invers Matriks Orde 3x3

Jika [

], maka invers matriks A adalah: A-1 =

Contoh:

[

]


A = |

| = 2(0-24) - 3(0-6) + 5(16–1) = -48 + 18 + 75 = 45

Matrik kofaktornya adalah:

[

]

Matrik adjoinnya adalah:

CT [

]

Maka invers dari matrik A adalah:

A-1 =

[

] = [

]

3.7. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dengan Matriks Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks. Untuk itu, terlebih dulu sistem persamaan tersebut harus disusun dalam bentuk matriks dan selanjutnya dicari penyelesaiannya. Contoh: Carilah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan matriks. x + y = 2 (1) 2x + y = 4 (2) Jawab: Bentuk matriks dari sistem persamaan linear tersebut adalah:

[

] [ ] [

] maka B = A-1 C

A B C

[ ]

[

] [ ]


[ ]

[

] [ ]

[ ]

[

]

[ ] [

]

[ ] [

]

dari sistem persamaan tersebut adalah x = 2 dan y = 0. Contoh: Carilah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan matriks. 2x + y – z = 1 (1) x + y + z = 6 (2) x – 2y + z = 0 (3)

Jawab: Bentuk matriks dari sistem persamaan linear tersebut adalah:

[

] [ ] [

] maka B = A-1 C

A B C Nilai determinan matriks A:

|

| 2(1-(-2)) – 1(1-1) + (-1)(-2-1) = 6 – 0 + 3 = 9

Matriks kofaktor A adalah:

C = [

]

Adjoin A adalah:

CT = [

]

Invers matriks A adalah:

A-1 =

[

] = [

]

[ ] [

] [

] [

]

Jadi nilai variabel dari sistem persamaan tersebut adalah x = 1, y = 2, dan c = 3

Persamaan linear dan matriks

Engineering

Transcript of Persamaan linear dan matriks