AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Click here to load reader

  • date post

    21-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    86
  • download

    5

Embed Size (px)

description

AKAR PERSAMAAN NON LINEAR. Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh :. Solusi :. Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :. Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode sebagai berikut :. GRAFIS BISECTION - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

  • AKAR PERSAMAAN NON LINEARPersamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh :Solusi :Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :

  • Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode sebagai berikut :GRAFISBISECTIONREGULA FALSISECANTNEWTON RHAPSONITERASI FIXED POINT

  • 1. GRAFISMerupakan metode mencari akar dengan cara menggambar fungsi yang bersangkutan

    Contoh :Y = 2x2 3x -2

  • Jawab:Dengan memasukkan harga x didapat nilai fungsi f(x)

    Sheet1

    xf(x)

    -1.406.12

    -1.204.48

    -1.003.00

    -0.801.68

    -0.600.52

    -0.40-0.48

    -0.20-1.32

    0.00-2.00

    0.20-2.52

    0.60-3.08

    0.90-3.08

    1.20-2.72

    1.50-2.00

    1.80-0.92

    2.100.52

    2.402.32

    2.704.48

    Sheet2

    Sheet3

  • 2. BISECTIONMetode ini melakukan pengamatan terhadap nilai f(x) dengan berbagai nilai x, yang mempunyai perbedaan tanda.Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi 2 pada interval x yang mempunyai beda tanda tersebut.

  • F(x)xx1x2x3x4x5

  • Pilih x1 bawah dan x2 puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan :

    Taksiran akar x, ditentukan oleh :

    Algoritma :

  • Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian interval mana akar berbeda : * jika f(x1).f(x2) < 0 akan berada pada bagian interval bawah, maka x2 = xr , dan kembali kelangkah 2 * Jika f(x1).f(x2) > 0 akan berada pada bagian interval atas , maka x1 = xr , dan kembali kelangkah 2 * Jika f(x1).f(x2) = 0, akar setara xr, perhitungan dihentikan, atau bisa juga :

    Dimana adalah harga toleransi yang dibuat.

  • Contoh :Carilah akar persamaan dari :Penyelesaian:Hitung nilai pada interval antara 2 titikuntuk x=1, untuk x=2

  • Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. titik perpotongan antar sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan.hitung nilai , kemudian hitung fungsi Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang semakin kecil, dimana akar persamaan berada. Hasil perhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.

  • Tabel hasil perhitungan:

    Sheet1

    No.xf(x)

    11.5-1.875

    21.750.171875

    31.625-0.943359375

    41.6875-0.4094238281

    51.71875-0.124786377

    61.7343750.0220298767

    71.7265625-0.0517554283

    81.73046875-0.0149572492

    91.7324218750.0035126731

    101.7314453125-0.0057281954

    111.7319335938-0.0011092384

    121.73217773440.001201348

    131.73205566410.0000459625

    Sheet2

    Sheet3

  • 3. Metode Regula Falsi.Kekurangan metode bisection adalah membagi dua selang diantara x1 dengan x2 menjadi dua bagian yang sama, besaran f(x1) dan f(x2) diabaikan. Misalnya, jika f(x1) lebih dekat ke nol daripada f(x2), kemungkinan besar akar akan lebih dekat ke x1 daripada ke x2.

  • Algoritma :Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan: f(x1) . f(x2) < 0Taksir akar xr, ditentukan oleh:

    Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar : Jika , maka akar berada pada bagian interval bawah, maka , kembali ke langkah 2.Jika maka akar berada pada bagian interval atas, maka , kembali ke langkah 2.Jika , akar setara xr maka hentikan perhitungan.

  • Contoh:ditentukan ; subtitusikan pada persamaan ; maka nilai

  • Tabel hasil perhitungan:

    Sheet1

    No.xf(x)No.xf(x)

    11.5-1.87511-1

    21.750.17187521.20.785984

    31.625-0.94335937531.1119830861-0.221429078

    41.6875-0.409423828141.1313291761-0.0346406223

    51.71875-0.12478637751.1342279437-0.0050985475

    61.7343750.022029876761.1346518463-0.0007435842

    71.7265625-0.051755428371.1347136108-0.0001083009

    81.73046875-0.014957249281.1347226054-0.0000157706

    91.7324218750.0035126731

    101.7314453125-0.0057281954

    111.7319335938-0.0011092384

    121.73217773440.001201348

    131.73205566410.0000459625

    Sheet2

    Sheet3

  • 4. Metode Secant Metode ini memerlukan dua taksiran awal akan tetapi karena f(x) tidak disyaratkan untuk berganti tanda diantara taksiran-taksiran, maka metode ini tidak digolongkan sebagai metode pengurung.Persamaan yang dipakai metode secant adalah

  • x1x2f(x1)f(x2)xyx3

  • Algoritma :Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran akar.Taksir akar xn+1, ditentukan oleh:

    Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) 0 atau = yang ditentukan

  • Contoh:Ditentukan taksiran awalnya adalah :X1 = 1X2 = 2

  • Tabel hasil perhitungan:

    Sheet1

    No.xf(x)No.xf(x)No.xf(x)

    11.5-1.87511-111-1

    21.750.17187521.20.7859842261

    31.625-0.94335937531.1119830861-0.22142907831.0161290323-0.9153677138

    41.6875-0.409423828141.1313291761-0.034640622341.0306747541-0.8319214145

    51.71875-0.12478637751.1342279437-0.005098547551.17568894430.4652271649

    61.7343750.022029876761.1346518463-0.000743584261.1236790654-0.1106328798

    71.7265625-0.051755428371.1347136108-0.000108300971.1336710812-0.010805918

    81.73046875-0.014957249281.1347226054-0.000015770681.13475268180.0002936644

    91.7324218750.003512673191.1347240656-0.0000007485

    101.7314453125-0.0057281954

    111.7319335938-0.0011092384

    121.73217773440.001201348

    131.73205566410.0000459625

    Sheet2

    Sheet3

    MBD0000ABA9.unknown

  • 5. Metode Newton RhapsonMetode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f(xi). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

  • xyx1x2

  • Algoritma :Tentukan nilai x1 sebagai terkaan awalBuat taksiran untuk x1+n dengan persamaan :

    Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) 0 atau = yang ditentukan

  • Contoh :Ditentukan taksiran awal x1 = 2

  • Tabel hasil perhitungan:

    Sheet1

    No.xf(x)No.xf(x)No.xf(x)

    11.5-1.87511-111-1

    21.750.17187521.20.7859842261

    31.625-0.94335937531.1119830861-0.22142907831.0161290323-0.9153677138

    41.6875-0.409423828141.1313291761-0.034640622341.0306747541-0.8319214145

    51.71875-0.12478637751.1342279437-0.005098547551.17568894430.4652271649

    61.7343750.022029876761.1346518463-0.000743584261.1236790654-0.1106328798

    71.7265625-0.051755428371.1347136108-0.000108300971.1336710812-0.010805918

    81.73046875-0.014957249281.1347226054-0.000015770681.13475268180.0002936644

    91.7324218750.003512673191.1347240656-0.0000007485

    101.7314453125-0.0057281954

    111.7319335938-0.0011092384

    121.73217773440.001201348

    131.73205566410.0000459625

    No.xf(x)f'(x)

    1261191

    21.680628272319.852941124279.4469486864

    31.43073898826.146795484334.9710661821

    41.25497095611.65165696917.6775378636

    51.16153843280.294309691111.6858383051

    61.13635327420.01682607410.3688906282

    71.13473052830.000065738410.287946592

    Sheet2

    Sheet3

  • 6. Metode Iterasi Fixed Point Teknik iterasi fixed point dijalankan dengan cara membuat fungsi f(x) menjadi bentuk fungsi implisit f(x)=0 kemudian x=g(x), iterasi yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan; xn+1 = g(xn)

  • Algoritma :Tentukan nilai taksiran awal xnLakukan perhitungan taksiran akar dengan mempergunakan persamaan; Xn+1=g(xn)Perhitungan dihentikan jika;

  • Contoh:X2 - 3x + 1 = 03x = x2 + 1X = 1/3 (x2 +1) = 0,001Ditentukan x0 = 2X= 1/3(22+1) = 1,667x1 x0= 1,667 2 = 0,333Tabel Hasil Perhitungan

    Sheet1

    No.Xnxn - x n+1

    12-

    21.66670.3333

    31.25930.4074

    40.86190.3973

    50.58100.2809

    60.44580.1351

    70.39960.0462

    80.38660.0130

    90.38310.0034

    100.38230.0009

    Sheet2

    Sheet3