PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN

ada bab ini akan dibahas metode-metode numerik yang digunakan untuk mencari akar-akar

dari suatu persamaan matematik atau yang lebih dikenal dengan istilah roots finding. Dalam

ilmu sains dan teknik, permasalahan terkait pencarian akar-akar suatu persamaan sangatlah sering

dijumpai, oleh karena itu metode numerik untuk mencari akar-akar suatu persamaan penting untuk

dipelajari.

Motivasi

Akar-akar dari suatu persamaan didefinisikan sebagai titik-titik perpotongan kurva persamaan

tersebut terhadap sumbu-sumbu variabel bebasnya. Sebagai contoh, apabila suatu nilai 𝑥

sembarang memberikan nilai suatu persamaan atau fungsi 𝑓(𝑥) = 0, maka 𝑥 tersebut merupakan

akar dari fungsi 𝑓(𝑥). Dalam beberapa kasus, persamaan biasanya memiliki lebih dari satu akar

persamaan seperti pada kasus persamaankuadrat yang secara umum dituliskan dalam bentuk,

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (2.1)

Akar-akar padapersamaan (2.1) dapat ditentukan secara analitik dengan rumusan berikut,

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎 (2.2)

rumusan (2.2) hanya dapat digunakan untuk persamaan kuadrat. Untuk persamaan dengan pangkat

yang lebih dari dua, rumusan tersebut tidak berlaku. Contoh dari persamaan-persamaan yang

dimaksud yaitu,

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3

𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 2𝑥4 + 3𝑥3 + 4𝑥2 − 3𝑥 − 1

selain itu, apabila terdapat persamaan atau fungsi dengan bentuk sebagai berikut,

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥2) + 𝑠𝑖𝑛 (√1

ln(cos (𝑥)) )

apakah anda mampu secara analitik menemukan akar-akar dari fungsi diatas? Jelas sekali bahwa

permasalahan seperti ini sangat sulit untuk diselesaikan secara analitik. Jikalaupun anda penasaran

ingin menyelesaikan permasalahan tersebut secara analitik, maka anda harus menggunakan

ekspansi deret Taylor. Apakah ada langkah lain yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan

permasalahan tersebut dengan mudah? Tentunya ada, dan pastinya hanya dengan metode numerik.

P

Berdasarkan definisinya, untuk mendapatkan akar-akar dari suatu persamaan pada dasarnya dapat

dilakukan dengan cara menggambarkan kurva persamaan tersebut, lalu menemukan setiap

titikyang memotong sumbu-sumbu variabel bebasnya. Titik-titik potong inilah yang merupakan

akar-akar dari persamaan tersebut seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.1.

Gambar 2.1. Akar Persamaan dari fungsi f(x)

Dalam metode numerik, terdapat beberapa pola pikir yang dapat digunakan untuk menentukan

akar-akar dari suatu persamaan. Tidak perduli seperti apa bentuk persamaan tersebut, pola pikir

ini selalu dapat diterapkan.Dua buah metode numerik yang cukup sering digunakan dalam hal

pencarian akar-akar suatu persamaan adalah metodeBisection dan Newton-Raphson.

1.1 Metode Bisection

Metode Bisection merupakan salah satu metode tertutup (bracketing) untuk menentukan

solusi akar dari suatu persamaan; baik persamaan linear (khususnya orde tinggi) maupun

persamaan non-linear. Metode ini dikatakan sebagai metode tertutup (bracketing) karena

dibutuhkan dua nilai estimasi awal yang mengapit (bracket) solusi akar persamaan. Setiap

metode tertutup memiliki cara yang berbeda untuk mendapatkan nilai akar persamaan

tersebut. Secara Kalkulus, jika 𝑓(𝑥) bernilai real dan kontinyu pada selang interval 𝑥1 sampai

𝑥2 dan 𝑓(𝑥1) dan 𝑓(𝑥2) berlainan tanda, akan berlaku hubungan

𝑓(𝑥1) 𝑓(𝑥2) < 0 (2.3)

maka, di antara selang interval 𝑥1 sampai 𝑥2terdapat sebuah akar persamaan yang real.

Prinsip dari metode Bisection adalah dengan membagi interval awal menjadi setengah

dari interval baru (subinterval). Jika nilai 𝑓(𝑥) berubah tanda pada selang interval yang baru,

maka nilai 𝑓(𝑥) pada titik tengah interval tersebut dievaluasi. Letak akar persamaan berada

pada setengah interval yang lainnya. Perhatikan gambar 2.1. 𝑓(𝑥1) < 0 dan 𝑓(𝑥2) > 0,

karena 𝑓(𝑥1) dan 𝑓(𝑥2) berlainan tanda, maka berlaku pertidaksamaan (2.3). Interval baru

(subinterval) berada pada 𝑥1 sampai 𝑥3 atau 𝑥3 sampai 𝑥2. Karena 𝑓(𝑥1) < 0 dan 𝑓(𝑥3) < 0

meyebabkan tidak berlakunya pertidaksamaan (2.3) yang berarti akar persamaan tidak terletak

pada selang interval 𝑥1 sampai 𝑥3, melainkan berada pada selang interval 𝑥3 sampai 𝑥2.

Pengulangan ini dilakukan terus menerus sampai interval semakin sempit dan ditemukannya

akar persamaan.

Namun, metode tertutup ini memiliki kelemahan untuk persamaan yang hanya memiliki

solusi tunggal akar persamaan. Ketika dua nilai estimasi awal tidak mengapit akar persamaan,

maka akar persamaan tidak akan ditemukan. Coba bayangkan jika estimasi awal dilakukan

pada 𝑥1 dan 𝑥3! Terdapat permasalahan lain ketika persamaan memiliki banyak akar

persamaan, perhatikan gambar 2.2. Ketika perbedaan dua nilai estimasi awal terlalu besar

(memiliki interval yang panjang), seolah-olah tidak terdapat akar persamaan dalam selang

interval 𝑥1 sampai 𝑥2 karena tidak memenuhi pertidaksamaan (2.3); 𝑓(𝑥1) 𝑓(𝑥2) > 0.

Seharusnya berdasarkan grafik 𝑓(𝑥), terlihat jelas terdapat dua akar persamaan dalam selang

interval 𝑥1 sampai 𝑥2. Kasus seperti di atas sama akan terjadi dalam selang interval 𝑥4 sampai

𝑥3.

1.1.1 Algoritma Metode Bisection

Prosedur yang dilakukan untuk menyelesaikan persamaan dengan metode bisection adalah:

1. Menghitung fungsi pada interval yang sarna dari 𝑥 sampai diperoleh perubahan tanda

untuk fungsi 𝑓(𝑥)dan𝑓(𝑥𝑛+1)yaitu 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥𝑛+1) < 0

2. Melakukan estimasi pertama terhadap akar x, yang dihitung dengan formula

𝑥𝑡 = 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1

2 2.4

3. Membuat evaluasi untuk menentukan sub interval (Gambar 2.2) tempat akar persamaan

berada dengan kriteria:

• Jika 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥𝑛+1) < 0. akar persamaan berada pada sub interval pertama. Jadi

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑡 hitungan dilanjutkan pada langkah ke-4.

• Jika 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥𝑛+1) > 0. akar persamaan berada pada sub interval kedua. Jadi 𝑥𝑛 =

𝑥𝑡 hitungan dilanjutkan pada langkah ke-4.

• Jika 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥𝑛+1) = 0. akar persamaan adalah 𝑥𝑡 hitungan selesai.

4. Menghitung perkiraan akar baru dengan formula

𝑥𝑡 = 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1

2 2.5

5. Jika perkiraan akar baru cukup kecil atau sesuai dengan target awal dalam batasan yang

dapat diterima. Hitungan dianggap selesai dengan x, adalah akar persamaan. Jika

perkiraan belum kecil. hitungan diulang dari langkah ke-3 sampai diperoleh hasil yang

sesuai dengan target awal.

1.1.2 Studi Kasus Penerjun Payung

Kecepatan seorang penerjun payung diberikan dengan fungsi

𝑣 =𝑔𝑚

𝑐(1 − 𝑒

−(𝑐

𝑚)𝑡

)

dimana 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2. Untuk penerjun payung dengan koefisien hambatan udara 𝑐 =

15 𝑘𝑔/𝑠, hitung massa 𝑚 saat kecepatan 𝑣 = 35 𝑚/𝑠 dan waktu 𝑡 = 9 𝑠. Gunakan

estimasi 𝜀𝑠 = 0.1%

Penyelesaian:

Langkah awal yang akan dilakukan berdasarkan kasus diatas adalah sebagai berikut:

1. Menginisialisasi variabel berdasarkan kasus:

𝑔 = 9.8; 𝑐 = 15; 𝑣 = 35; 𝑡 = 9;

2. Membuat persamaan dengan memasukkan masing-masing variabel:

𝑣 =𝑔𝑚

𝑐(1 − 𝑒−(

𝑐

𝑚)𝑡)35 =

9.8 𝑚

15(1 − 𝑒−(

15

𝑚)× 9)

Gunakan ruas kanan menjadi sama dengan nol:

𝑓(𝑥) = 9.8

15𝑚 (1 − 𝑒−135 𝑚⁄ ) − 35 = 0

Dengan menggunakan metode bisection dapat dilakukan dengan prosedur perhitungan

berikut:

1. Menghitung fungsi pada interval awal, misal 𝑥1 = 1dan 𝑥2 = 100 sehingga diperoleh:

𝑓(𝑥1) = 9.8

15(1)(1 − 𝑒−135 (1)⁄ ) − 35 = −34.3467

𝑓(𝑥2) =9.8

15(100) (1 − 𝑒−135 (100)⁄ ) − 35 = 13.3963

Karena fungsi 𝑓(𝑥) kontinu, berarti perubahan tanda antara 𝑥1 dan 𝑥2 pada fungsi

tersebut akan memotong sumbu 𝑥 paling tidak 1 kali.

2. Menghitung estimasi sub interval pertama, yaitu:

𝑥3 =𝑥1+𝑥2

2=

1+100

2= 50.5

𝑓(𝑥3) =9.8

15(50.5) (1 − 𝑒−135 (50.5)⁄ ) − 35 = −4.2841

3. Menentukan sub interval berikutnya dengan memilih salah satu titik awal yang berbeda

tanda dengan 𝑓(𝑥3). Jadi, 𝑓(𝑥4)adalah sub interval antara𝑓(𝑥2)dan 𝑓(𝑥3)(Gambar

4.2).

4. Menghitung fungsi pada interval 𝑥3dan 𝑥2, yaitu:

𝑥4 =𝑥2+𝑥3

2=

100+50.5

2= 75.25

𝑓(𝑥4) =9.8

15(75.25) (1 − 𝑒−135 (75.25)⁄ ) − 35 = 5.9879

5. Perhitungan diulangi dari point 3 dengan sub interval yang semakin rapat.

Langkah 1 sampai 5 disebut 1 iterasi atau pengulangan. Prosedur perhitungan yang telah

dilakukan dengan hasil 𝑓(𝑥4) = 5.9879 disebut iterasi pertama. Dari prosedur ini terlihat

bahwa nilai 𝑓(𝑥4)belum kecil atau belum mendekati nol. Nilai seperti ini dalam

perhitungan dengan metode setengah interval dianggap belum merepresentasikan akar

persamaan, sehingga perlu dilakukan perhitungan lebih lanjut. Hasil perhitungan yang

diperoleh pada prosedur tersebut diperlihatkan pada Tabel 2.1.

Apabila kita gunakan script MATLAB berikut,

Setelah script diatas kalian running, maka akan didapatkan hasil:

>> akar-akar persamaan non linier adalah = 59.8417

Tabel 2.1 Hasil Perhitungan dengan Metode Bisection

F = inline('(9.8*m)/15 *(1-exp(-((15*9)/m)))-35','m');

x1 = 1 x2 = 100 s = 0.1/100;

while F(x1)*F(x2)<0 xt=(x1+x2)/2; if abs(F(xt))<=s fprintf('akar-akar persamaan non linier adalah = %g\n', xt) break else if F(xt)*F(x2) < 0 x1 = xt; else x2 = xt; end end end

1.2 Metode Newton-Raphson

Pada pembahasan metode sebelumnya, metode bisection harus memiliki dua nilai estimasi

awal. Namun, pada metode Newton-Raphson hanya diperlukan satu nilai estimasi awal,

karena metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode terbuka. Pada metode terbuka,

akar persamaan tidak harus diapit oleh dua nilai estimasi awal seperti pada metode tertutup.

Pada metode terbuka terdapat rumusan yang akan membawa setiap langkah semakin dekat

menemukan akar persamaan.

Metode Newton-Raphson dibangun dari informasi harga 𝑓(𝑥𝑛) pada titik perkiraan awal 𝑥𝑛.

Dari titik {𝑥𝑛 , 𝑓(𝑥𝑛)} dibuat garis lurus yang menyinggung kurva 𝑓(𝑥). Secara skematik

perhitungan kurva 𝑓(𝑥) dengan metode Newton-Raphson diperlihatkan pada gambar 2.3.

Algoritma metode ini diperoleh dari perhitungan gradien garis singgung pada kurva dengan

menggunakan uraian deret Taylor fungsi 𝑓(𝑥𝑛 + 1) disekitar 𝑥𝑛. Pendekatan beda hingga

turunan pertama pada fungsi 𝑓(𝑥𝑛 + 1) adalah

𝑓(𝑥𝑛 + 1) = 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑓′(𝑥𝑛)(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) (2.6)

Soal Pemahaman:

Secara matematis persamaan penerjun payung: 𝑣(𝑡) = 𝑔𝑚

𝑐(1 − 𝑒−

𝑐

𝑚𝑡)

Saat 𝑡 = ∞, maka berdasarkan persamaan diatas: 𝑣(𝑡) =𝑔𝑚

𝑐

Berapakah tepatnya nilai 𝑡 yang menyebabkan nilai𝑣(𝑡) =𝑔𝑚

𝑐 ??

Apakah dapat diselesaikan dengan metode bisection ??

Perpotongan fungsi pada persamaan (2.4) dengan sumbu x, yaitu ketika 𝑓(𝑥𝑛) = 0

memberikan nilai

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛) (2.7)

Pendekatan lain yang lebih mudah untuk mendapatkan persamaan 2.7 adalah dengan meninjau

∆𝑦

∆𝑥≈

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓′(𝑥)

Informasi dari gambar 2.3 memberikan nilai

∆𝑦

∆𝑥=

𝑓(𝑥0) − 0

𝑥0 − 𝑥1

Kemiringan pada titik 𝑥0 sebesar

𝑑𝑦

𝑑𝑥|

𝑥0

= 𝑓′(𝑥0) =𝑓(𝑥0)

𝑥0 − 𝑥1

Sehingga diperoleh

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0)

Secara general, persamaan 2.7 dapat ditulis sebagai

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −𝑓(𝑥𝑖)

𝑓′(𝑥𝑖)

Hal ini terus dilakukan secara berulang sampai didapatkan akar persamaan, yaitu ketika 𝑓(𝑥𝑖)

bernilai kurang dari treshold; 𝑓(𝑥𝑖) < 0.0001.

1.2.1 Algoritma Metode Newton-Raphson

Perhitungan akar-akar persamaan dengan Metode Newton-Raphson ditentukan melalui

prosedur berikut

1. Menentukan 𝑓′ (𝑥) dan 𝑓(𝑥).

2. Menentukan nilai 𝑥𝑛pada sebarang titik.

3. Menghitung nilai𝑥𝑛+1menggunakan persamaan (2.7).

4. Membuat estimasi pada nilai 𝑥𝑛+1 dengan kriteria:

• Jika nilai kecil atau mendekati nol maka 𝑥𝑛+1adalah akar persamaan sehingga

perhitungan dinyatakan selesai.

• Jika nilainya belum kecil, perhitungan dilanjutkan pada penentuan nilai 𝑥𝑛 ̇ dengan

mensubstitusikan 𝑛 ̇ ke 𝑓′(𝑥)̇ ,kemudian kembali ke langkah ke-3.

1.2.2 Studi Kasus Penerjun Payung

Hitung akar-akar persamaan seperti pada contoh kasus sebelumnya, yaitu:

𝑓(𝑥) = 9.8

15𝑚 (1 − 𝑒−135 𝑚⁄ ) − 35 = 0

Penyelesaian:

Menyelesaikan akar-akar persamaan pada kasus ini menggunakan Metode Newton-

Raphson akan dilakukan dengan prosedur perhitungan seperti berikut:

1. Menentukan turunan pertama dan fungsi 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥) = (9.8

15𝑚 −

9.8

15𝑚 . 𝑒−135 𝑚⁄ ) − 35

𝑓′(𝑥) =9.8

15 −

9.8

15 𝑒−135 𝑚⁄ −

135×9.8

15𝑚𝑒−135 𝑚⁄

2. Menentukan nilai 𝑥𝑛pada sebarang titik, misal:

𝑥1 = 1

𝑓(𝑥1) = (9.8

15(1) −

9.8

15(1) . 𝑒−135 (1)⁄ ) − 35 = −34.3467

𝑓′(𝑥1) =9.8

15 −

9.8

15 𝑒−135 (1)⁄ −

135×9.8

15(1)𝑒−135 (1)⁄ = 0.6533

3. Menghitung nilai 𝑥𝑛+1 menggunakan Persamaan 2.7:

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛) (2.8)

𝑥2 = 𝑥1 −𝑓(𝑥1)

𝑓′(𝑥1)= 1 −

−34.3467

0.6533= 53.5714

4. Nilai 𝑥2 = 53.5714sangat besar, sehingga perhitungan diulangi dari langkah ke-3

dengan mensubtitusikan 𝑥2 = 53.5714 pada fungsi yang ada pada langkah tersebut.

Langkah 1 sampai 4 disebut iterasi pertama. Jika perhitungan dilanjutkan, pada iterasi

berikutnya akan diperoleh hasil perhitungan seperti pada Tabel 2.5

Apabila kita gunakan script MATLAB

Setelah script diatas kalian running, maka akan didapatkan hasil:

>> Akar persamaan non linier adalah = 59.84104475

Tabel 2.2 Hasil Perhitungan dengan Metode Newton-Raphson

Soal Pemahaman:

Secara matematis persamaan penerjun payung: 𝑣(𝑡) = 𝑔𝑚

𝑐(1 − 𝑒−

𝑐

𝑚𝑡)

Saat 𝑡 = ∞, maka berdasarkan persamaan diatas: 𝑣(𝑡) =𝑔𝑚

𝑐

m=1; F_m= (9.8*m/15) * (1-exp(-135/m)) - 35; e = 0.1/100;

while e< abs(F_m) F_m = (9.8*m/15) * (1-exp(-135/m)) - 35; g_m = (9.8/15)* (1-exp(-135/m)-(135/m)*exp(-135/m)); m1 = m -(F_m/g_m); m=m1; i=i+1; end fprintf('Akar persamaan non linier adalah = %10.8f\n',m1);

Berapakah tepatnya nilai 𝑡 yang menyebabkan nilai (𝑡) =𝑔𝑚

𝑐 ??

Apakah dapat diselesaikan dengan metode Newton Raphson ??

Ingatlah, sekarang kalian tidak hanya mampu menggunakan operasi sederhana pada MATLAB,

namun kalian sudah bisa menganalisis sebuah kasus menggunakan program, membuat simulasi

grafik, dan sekarang kalian mampu menyelesaikan persamaan rumit dalam waktu yang lebih

singkat. Manusia adalah makhluk pembelajar, belajar sepanjang hayat adalah tugas kita. Ilmu yang

bermanfaat tidak akan luntur sampai akhir hidup apalagi jika diamalkan pada orang lain. Tetaplah

semangat para calon computer scientists!

LABORATORY EXERCISE 2

1. Sistem pegas teredam terdiri atas massa m, pegas dbengan konstanta k dan peredam dengan

konstanta peredam c. persamaan gerak Newton untuk sistem pegas adalah

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝑐

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 0 . . . (i)

Jika pada 𝑡 = 0 detik pegas disimpangkan sejauh 𝑥 = 𝑥0dengan kecepatan awal = 0 m/s, maka

solusi persamaan (i) adalah

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑛𝑡[𝑥0 cos(𝑝𝑡) + 𝑥0sin (𝑝𝑡)] . . (ii)

dengan 𝑛 = √𝑘

𝑚−

𝑐2

4𝑚2dan 𝑝 =

𝑐

2𝑚. Jika diketahui𝑚 = 4,5 × 106𝑔, 𝑘 = 6,745 ×

109 𝑔 𝑠2⁄ , 𝑐 = 1,45 × 107𝑔/𝑠 dan 𝑥0 = 0,4 𝑚, tentukan pada detik ke berapakah nilai

𝑥(𝑡) = 0.

2. Anggap anda meminjam uang sebesar Rp. 2.500.000 pada suatu bank dan anda sepakat

untuk mengembalikanya dalam 6 kali cicilan, dimana tiap satu kali cicilan anda harus

membayar sebesar Rp. 550.000. Rumusan ekonomi yang digunakan bank tersebut untuk

menghitung berapa besar biaya yang harus anda bayarkan tiap satu kali cicilan adalah,

𝐴 = 𝑃𝑖 (𝑖 + 1)𝑛

(𝑖 + 1)𝑛 − 1

dimana A adalah jumlah uang yang harus dibayarkan untuk tiap satu kali cicilan, P adalah

jumlah uang yang dipinjam, n adalah jumlah cicilan, dan i adalah persentase bungga pinjaman

(dalam desimal). Tentukan berapa nilai i (dalam persen) pada kasus tersebut.

3.Sebuah tangki penampungan air berbetuk bola memiliki persamaan sebagai berikut

𝑉 = 𝜋ℎ2[3𝑅 − ℎ]

3

dengan

𝑉 = volume (𝑚3), ℎ = ketinggian air(𝑚), dan 𝑅 = jari − jari tangki (𝑚).

Gambar P.2.1

Jika 𝑅 = 3 𝑚 dan tangki diisikan dengan air sebanyak 30 m3, tentukan berapa ketinggian air

tersebut.

4.Sebuah rangkaian listrik yang terdiri atas resistor R, induktor L, dan kapasitor C memenuhi

Hukum ke-II Kirchhoff yaitu sebagai berikut,

𝐿𝑑2𝑞

𝑑𝑡2 + 𝑅𝑑𝑞

𝑑𝑡+

𝑞

𝐶= 0

Gambar P.2.2

Pada saat 𝑡 = 0, muatan 𝑞 = 𝑞0 = 𝑉0𝐶, diperoleh solusi dari persamaan tersebut yaitu,

𝑞(𝑡) = 𝑞0𝑒− 𝑅𝑡2𝐿 cos (√

1

𝐿𝐶− (

𝑅

2𝐿)

2

𝑡)

Jika 𝐿 = 5 H, 𝐶 = 10−4 F, dan 𝑞/𝑞0 = 0,01 pada saat 𝑡 = 0,05 detik, tentukan nilai R yang

memenuhi persamaan tersebut..

5. Sebuah muatan 𝑄 terdistribusi seragam di sekitar konduktor yang berbentuk cincin dengan

jari-jari 𝑎. Muatan 𝑞 terletak dengan jarak sejauh 𝑥 dari titik tengah cincin (Gambar P 2.4) .

Besarnya gaya elektrostatik yang bekerja pada muatan terhadapcincin dinyatakan oleh

persamaan berikut,

𝐹 =1

4𝜋𝑒0

𝑞𝑄𝑥

(𝑥2 + 𝑎2)3/2

dimana 𝑒0 = 8,85 × 10−12𝐶2/(𝑁𝑚2). Tentukan besar jarak 𝑥 ketika F bernilai 1 N, 𝑞 =𝑄=

2 × 10−5 𝐶 dan jari-jari cincin0,9 m.

Gambar P.2.3

Petunjuk Pengerjaan:

untuk setiap soal (No. 1 - No. 5) urutan langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut:

1. Selesaikan menggunakan metode Bisection(gunakan toleransi 0.0001)

2. Selesaikan menggunakan metode Newton-Rhapson(gunakan toleransi 0.0001)

3. Tampilkan setiap hasil iterasi yang anda dapat pada langkah 1 dan 2 dengan format seperti tabel

2.1 dan tabel 2.2

4. Buat dan tampilkan hasil plot grafik persamaan dengan rician sebagai berikut:

a. Nomor 1: Plot x (m) terhadap t, untuk t = 0 - 1s

b. Nomor 2 : Plot A (rupiah) terhadap i,untuk i = 0 - 100 %

c. Nomor 3: Plot V (m3) terhadap h, untuk h = 0 - 3R m

d. Nomor 4: Plot q (C) terhadap t, untuk t = 0 - 1s

e. Nomor 5: Plot F (N) terhadap x, untuk x= 0 - 5a m

5. Analisis setajam mungkin kedua hasil yang anda dapat pada langkah 1 dan 2