Pencarian akar akar persamaan
-
Upload
novia-angelita -
Category
Documents
-
view
320 -
download
11
description
Transcript of Pencarian akar akar persamaan
PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN
ada bab ini akan dibahas metode-metode numerik yang digunakan untuk mencari akar-akar
dari suatu persamaan matematik atau yang lebih dikenal dengan istilah roots finding. Dalam
ilmu sains dan teknik, permasalahan terkait pencarian akar-akar suatu persamaan sangatlah sering
dijumpai, oleh karena itu metode numerik untuk mencari akar-akar suatu persamaan penting untuk
dipelajari.
Motivasi
Akar-akar dari suatu persamaan didefinisikan sebagai titik-titik perpotongan kurva persamaan
tersebut terhadap sumbu-sumbu variabel bebasnya. Sebagai contoh, apabila suatu nilai π₯
sembarang memberikan nilai suatu persamaan atau fungsi π(π₯) = 0, maka π₯ tersebut merupakan
akar dari fungsi π(π₯). Dalam beberapa kasus, persamaan biasanya memiliki lebih dari satu akar
persamaan seperti pada kasus persamaankuadrat yang secara umum dituliskan dalam bentuk,
π(π₯) = ππ₯2 + ππ₯ + π (2.1)
Akar-akar padapersamaan (2.1) dapat ditentukan secara analitik dengan rumusan berikut,
π₯1,2 =βπ Β± βπ2 β 4ππ
2π (2.2)
rumusan (2.2) hanya dapat digunakan untuk persamaan kuadrat. Untuk persamaan dengan pangkat
yang lebih dari dua, rumusan tersebut tidak berlaku. Contoh dari persamaan-persamaan yang
dimaksud yaitu,
π(π₯) = π₯3 + π₯2 β 3π₯ β 3
π(π₯) = π₯5 + 2π₯4 + 3π₯3 + 4π₯2 β 3π₯ β 1
selain itu, apabila terdapat persamaan atau fungsi dengan bentuk sebagai berikut,
π(π₯) = ππ(π₯2) + π ππ (β1
ln(cos (π₯)) )
apakah anda mampu secara analitik menemukan akar-akar dari fungsi diatas? Jelas sekali bahwa
permasalahan seperti ini sangat sulit untuk diselesaikan secara analitik. Jikalaupun anda penasaran
ingin menyelesaikan permasalahan tersebut secara analitik, maka anda harus menggunakan
ekspansi deret Taylor. Apakah ada langkah lain yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan
permasalahan tersebut dengan mudah? Tentunya ada, dan pastinya hanya dengan metode numerik.
P
Berdasarkan definisinya, untuk mendapatkan akar-akar dari suatu persamaan pada dasarnya dapat
dilakukan dengan cara menggambarkan kurva persamaan tersebut, lalu menemukan setiap
titikyang memotong sumbu-sumbu variabel bebasnya. Titik-titik potong inilah yang merupakan
akar-akar dari persamaan tersebut seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1. Akar Persamaan dari fungsi f(x)
Dalam metode numerik, terdapat beberapa pola pikir yang dapat digunakan untuk menentukan
akar-akar dari suatu persamaan. Tidak perduli seperti apa bentuk persamaan tersebut, pola pikir
ini selalu dapat diterapkan.Dua buah metode numerik yang cukup sering digunakan dalam hal
pencarian akar-akar suatu persamaan adalah metodeBisection dan Newton-Raphson.
1.1 Metode Bisection
Metode Bisection merupakan salah satu metode tertutup (bracketing) untuk menentukan
solusi akar dari suatu persamaan; baik persamaan linear (khususnya orde tinggi) maupun
persamaan non-linear. Metode ini dikatakan sebagai metode tertutup (bracketing) karena
dibutuhkan dua nilai estimasi awal yang mengapit (bracket) solusi akar persamaan. Setiap
metode tertutup memiliki cara yang berbeda untuk mendapatkan nilai akar persamaan
tersebut. Secara Kalkulus, jika π(π₯) bernilai real dan kontinyu pada selang interval π₯1 sampai
π₯2 dan π(π₯1) dan π(π₯2) berlainan tanda, akan berlaku hubungan
π(π₯1) π(π₯2) < 0 (2.3)
maka, di antara selang interval π₯1 sampai π₯2terdapat sebuah akar persamaan yang real.
Prinsip dari metode Bisection adalah dengan membagi interval awal menjadi setengah
dari interval baru (subinterval). Jika nilai π(π₯) berubah tanda pada selang interval yang baru,
maka nilai π(π₯) pada titik tengah interval tersebut dievaluasi. Letak akar persamaan berada
pada setengah interval yang lainnya. Perhatikan gambar 2.1. π(π₯1) < 0 dan π(π₯2) > 0,
karena π(π₯1) dan π(π₯2) berlainan tanda, maka berlaku pertidaksamaan (2.3). Interval baru
(subinterval) berada pada π₯1 sampai π₯3 atau π₯3 sampai π₯2. Karena π(π₯1) < 0 dan π(π₯3) < 0
meyebabkan tidak berlakunya pertidaksamaan (2.3) yang berarti akar persamaan tidak terletak
pada selang interval π₯1 sampai π₯3, melainkan berada pada selang interval π₯3 sampai π₯2.
Pengulangan ini dilakukan terus menerus sampai interval semakin sempit dan ditemukannya
akar persamaan.
Namun, metode tertutup ini memiliki kelemahan untuk persamaan yang hanya memiliki
solusi tunggal akar persamaan. Ketika dua nilai estimasi awal tidak mengapit akar persamaan,
maka akar persamaan tidak akan ditemukan. Coba bayangkan jika estimasi awal dilakukan
pada π₯1 dan π₯3! Terdapat permasalahan lain ketika persamaan memiliki banyak akar
persamaan, perhatikan gambar 2.2. Ketika perbedaan dua nilai estimasi awal terlalu besar
(memiliki interval yang panjang), seolah-olah tidak terdapat akar persamaan dalam selang
interval π₯1 sampai π₯2 karena tidak memenuhi pertidaksamaan (2.3); π(π₯1) π(π₯2) > 0.
Seharusnya berdasarkan grafik π(π₯), terlihat jelas terdapat dua akar persamaan dalam selang
interval π₯1 sampai π₯2. Kasus seperti di atas sama akan terjadi dalam selang interval π₯4 sampai
π₯3.
1.1.1 Algoritma Metode Bisection
Prosedur yang dilakukan untuk menyelesaikan persamaan dengan metode bisection adalah:
1. Menghitung fungsi pada interval yang sarna dari π₯ sampai diperoleh perubahan tanda
untuk fungsi π(π₯)danπ(π₯π+1)yaitu π(π₯) β π(π₯π+1) < 0
2. Melakukan estimasi pertama terhadap akar x, yang dihitung dengan formula
π₯π‘ = π₯π + π₯π+1
2 2.4
3. Membuat evaluasi untuk menentukan sub interval (Gambar 2.2) tempat akar persamaan
berada dengan kriteria:
β’ Jika π(π₯) β π(π₯π+1) < 0. akar persamaan berada pada sub interval pertama. Jadi
π₯π+1 = π₯π‘ hitungan dilanjutkan pada langkah ke-4.
β’ Jika π(π₯) β π(π₯π+1) > 0. akar persamaan berada pada sub interval kedua. Jadi π₯π =
π₯π‘ hitungan dilanjutkan pada langkah ke-4.
β’ Jika π(π₯) β π(π₯π+1) = 0. akar persamaan adalah π₯π‘ hitungan selesai.
4. Menghitung perkiraan akar baru dengan formula
π₯π‘ = π₯π + π₯π+1
2 2.5
5. Jika perkiraan akar baru cukup kecil atau sesuai dengan target awal dalam batasan yang
dapat diterima. Hitungan dianggap selesai dengan x, adalah akar persamaan. Jika
perkiraan belum kecil. hitungan diulang dari langkah ke-3 sampai diperoleh hasil yang
sesuai dengan target awal.
1.1.2 Studi Kasus Penerjun Payung
Kecepatan seorang penerjun payung diberikan dengan fungsi
π£ =ππ
π(1 β π
β(π
π)π‘
)
dimana π = 9,8 π/π 2. Untuk penerjun payung dengan koefisien hambatan udara π =
15 ππ/π , hitung massa π saat kecepatan π£ = 35 π/π dan waktu π‘ = 9 π . Gunakan
estimasi ππ = 0.1%
Penyelesaian:
Langkah awal yang akan dilakukan berdasarkan kasus diatas adalah sebagai berikut:
1. Menginisialisasi variabel berdasarkan kasus:
π = 9.8; π = 15; π£ = 35; π‘ = 9;
2. Membuat persamaan dengan memasukkan masing-masing variabel:
π£ =ππ
π(1 β πβ(
π
π)π‘)35 =
9.8 π
15(1 β πβ(
15
π)Γ 9)
Gunakan ruas kanan menjadi sama dengan nol:
π(π₯) = 9.8
15π (1 β πβ135 πβ ) β 35 = 0
Dengan menggunakan metode bisection dapat dilakukan dengan prosedur perhitungan
berikut:
1. Menghitung fungsi pada interval awal, misal π₯1 = 1dan π₯2 = 100 sehingga diperoleh:
π(π₯1) = 9.8
15(1)(1 β πβ135 (1)β ) β 35 = β34.3467
π(π₯2) =9.8
15(100) (1 β πβ135 (100)β ) β 35 = 13.3963
Karena fungsi π(π₯) kontinu, berarti perubahan tanda antara π₯1 dan π₯2 pada fungsi
tersebut akan memotong sumbu π₯ paling tidak 1 kali.
2. Menghitung estimasi sub interval pertama, yaitu:
π₯3 =π₯1+π₯2
2=
1+100
2= 50.5
π(π₯3) =9.8
15(50.5) (1 β πβ135 (50.5)β ) β 35 = β4.2841
3. Menentukan sub interval berikutnya dengan memilih salah satu titik awal yang berbeda
tanda dengan π(π₯3). Jadi, π(π₯4)adalah sub interval antaraπ(π₯2)dan π(π₯3)(Gambar
4.2).
4. Menghitung fungsi pada interval π₯3dan π₯2, yaitu:
π₯4 =π₯2+π₯3
2=
100+50.5
2= 75.25
π(π₯4) =9.8
15(75.25) (1 β πβ135 (75.25)β ) β 35 = 5.9879
5. Perhitungan diulangi dari point 3 dengan sub interval yang semakin rapat.
Langkah 1 sampai 5 disebut 1 iterasi atau pengulangan. Prosedur perhitungan yang telah
dilakukan dengan hasil π(π₯4) = 5.9879 disebut iterasi pertama. Dari prosedur ini terlihat
bahwa nilai π(π₯4)belum kecil atau belum mendekati nol. Nilai seperti ini dalam
perhitungan dengan metode setengah interval dianggap belum merepresentasikan akar
persamaan, sehingga perlu dilakukan perhitungan lebih lanjut. Hasil perhitungan yang
diperoleh pada prosedur tersebut diperlihatkan pada Tabel 2.1.
Apabila kita gunakan script MATLAB berikut,
Setelah script diatas kalian running, maka akan didapatkan hasil:
>> akar-akar persamaan non linier adalah = 59.8417
Tabel 2.1 Hasil Perhitungan dengan Metode Bisection
F = inline('(9.8*m)/15 *(1-exp(-((15*9)/m)))-35','m');
x1 = 1 x2 = 100 s = 0.1/100;
while F(x1)*F(x2)<0 xt=(x1+x2)/2; if abs(F(xt))<=s fprintf('akar-akar persamaan non linier adalah = %g\n', xt) break else if F(xt)*F(x2) < 0 x1 = xt; else x2 = xt; end end end
1.2 Metode Newton-Raphson
Pada pembahasan metode sebelumnya, metode bisection harus memiliki dua nilai estimasi
awal. Namun, pada metode Newton-Raphson hanya diperlukan satu nilai estimasi awal,
karena metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode terbuka. Pada metode terbuka,
akar persamaan tidak harus diapit oleh dua nilai estimasi awal seperti pada metode tertutup.
Pada metode terbuka terdapat rumusan yang akan membawa setiap langkah semakin dekat
menemukan akar persamaan.
Metode Newton-Raphson dibangun dari informasi harga π(π₯π) pada titik perkiraan awal π₯π.
Dari titik {π₯π , π(π₯π)} dibuat garis lurus yang menyinggung kurva π(π₯). Secara skematik
perhitungan kurva π(π₯) dengan metode Newton-Raphson diperlihatkan pada gambar 2.3.
Algoritma metode ini diperoleh dari perhitungan gradien garis singgung pada kurva dengan
menggunakan uraian deret Taylor fungsi π(π₯π + 1) disekitar π₯π. Pendekatan beda hingga
turunan pertama pada fungsi π(π₯π + 1) adalah
π(π₯π + 1) = π(π₯π) + πβ²(π₯π)(π₯π+1 β π₯π) (2.6)
Soal Pemahaman:
Secara matematis persamaan penerjun payung: π£(π‘) = ππ
π(1 β πβ
π
ππ‘)
Saat π‘ = β, maka berdasarkan persamaan diatas: π£(π‘) =ππ
π
Berapakah tepatnya nilai π‘ yang menyebabkan nilaiπ£(π‘) =ππ
π ??
Apakah dapat diselesaikan dengan metode bisection ??
Perpotongan fungsi pada persamaan (2.4) dengan sumbu x, yaitu ketika π(π₯π) = 0
memberikan nilai
π₯π+1 = π₯π βπ(π₯π)
πβ²(π₯π) (2.7)
Pendekatan lain yang lebih mudah untuk mendapatkan persamaan 2.7 adalah dengan meninjau
βπ¦
βπ₯β
ππ¦
ππ₯= πβ²(π₯)
Informasi dari gambar 2.3 memberikan nilai
βπ¦
βπ₯=
π(π₯0) β 0
π₯0 β π₯1
Kemiringan pada titik π₯0 sebesar
ππ¦
ππ₯|
π₯0
= πβ²(π₯0) =π(π₯0)
π₯0 β π₯1
Sehingga diperoleh
π₯1 = π₯0 βπ(π₯0)
πβ²(π₯0)
Secara general, persamaan 2.7 dapat ditulis sebagai
π₯π+1 = π₯π βπ(π₯π)
πβ²(π₯π)
Hal ini terus dilakukan secara berulang sampai didapatkan akar persamaan, yaitu ketika π(π₯π)
bernilai kurang dari treshold; π(π₯π) < 0.0001.
1.2.1 Algoritma Metode Newton-Raphson
Perhitungan akar-akar persamaan dengan Metode Newton-Raphson ditentukan melalui
prosedur berikut
1. Menentukan πβ² (π₯) dan π(π₯).
2. Menentukan nilai π₯πpada sebarang titik.
3. Menghitung nilaiπ₯π+1menggunakan persamaan (2.7).
4. Membuat estimasi pada nilai π₯π+1 dengan kriteria:
β’ Jika nilai kecil atau mendekati nol maka π₯π+1adalah akar persamaan sehingga
perhitungan dinyatakan selesai.
β’ Jika nilainya belum kecil, perhitungan dilanjutkan pada penentuan nilai π₯π Μ dengan
mensubstitusikan π Μ ke πβ²(π₯)Μ ,kemudian kembali ke langkah ke-3.
1.2.2 Studi Kasus Penerjun Payung
Hitung akar-akar persamaan seperti pada contoh kasus sebelumnya, yaitu:
π(π₯) = 9.8
15π (1 β πβ135 πβ ) β 35 = 0
Penyelesaian:
Menyelesaikan akar-akar persamaan pada kasus ini menggunakan Metode Newton-
Raphson akan dilakukan dengan prosedur perhitungan seperti berikut:
1. Menentukan turunan pertama dan fungsi π(π₯)
π(π₯) = (9.8
15π β
9.8
15π . πβ135 πβ ) β 35
πβ²(π₯) =9.8
15 β
9.8
15 πβ135 πβ β
135Γ9.8
15ππβ135 πβ
2. Menentukan nilai π₯πpada sebarang titik, misal:
π₯1 = 1
π(π₯1) = (9.8
15(1) β
9.8
15(1) . πβ135 (1)β ) β 35 = β34.3467
πβ²(π₯1) =9.8
15 β
9.8
15 πβ135 (1)β β
135Γ9.8
15(1)πβ135 (1)β = 0.6533
3. Menghitung nilai π₯π+1 menggunakan Persamaan 2.7:
π₯π+1 = π₯π βπ(π₯π)
πβ²(π₯π) (2.8)
π₯2 = π₯1 βπ(π₯1)
πβ²(π₯1)= 1 β
β34.3467
0.6533= 53.5714
4. Nilai π₯2 = 53.5714sangat besar, sehingga perhitungan diulangi dari langkah ke-3
dengan mensubtitusikan π₯2 = 53.5714 pada fungsi yang ada pada langkah tersebut.
Langkah 1 sampai 4 disebut iterasi pertama. Jika perhitungan dilanjutkan, pada iterasi
berikutnya akan diperoleh hasil perhitungan seperti pada Tabel 2.5
Apabila kita gunakan script MATLAB
Setelah script diatas kalian running, maka akan didapatkan hasil:
>> Akar persamaan non linier adalah = 59.84104475
Tabel 2.2 Hasil Perhitungan dengan Metode Newton-Raphson
Soal Pemahaman:
Secara matematis persamaan penerjun payung: π£(π‘) = ππ
π(1 β πβ
π
ππ‘)
Saat π‘ = β, maka berdasarkan persamaan diatas: π£(π‘) =ππ
π
m=1; F_m= (9.8*m/15) * (1-exp(-135/m)) - 35; e = 0.1/100;
while e< abs(F_m) F_m = (9.8*m/15) * (1-exp(-135/m)) - 35; g_m = (9.8/15)* (1-exp(-135/m)-(135/m)*exp(-135/m)); m1 = m -(F_m/g_m); m=m1; i=i+1; end fprintf('Akar persamaan non linier adalah = %10.8f\n',m1);
Berapakah tepatnya nilai π‘ yang menyebabkan nilai (π‘) =ππ
π ??
Apakah dapat diselesaikan dengan metode Newton Raphson ??
Ingatlah, sekarang kalian tidak hanya mampu menggunakan operasi sederhana pada MATLAB,
namun kalian sudah bisa menganalisis sebuah kasus menggunakan program, membuat simulasi
grafik, dan sekarang kalian mampu menyelesaikan persamaan rumit dalam waktu yang lebih
singkat. Manusia adalah makhluk pembelajar, belajar sepanjang hayat adalah tugas kita. Ilmu yang
bermanfaat tidak akan luntur sampai akhir hidup apalagi jika diamalkan pada orang lain. Tetaplah
semangat para calon computer scientists!
LABORATORY EXERCISE 2
1. Sistem pegas teredam terdiri atas massa m, pegas dbengan konstanta k dan peredam dengan
konstanta peredam c. persamaan gerak Newton untuk sistem pegas adalah
ππ2π₯
ππ‘2+ π
ππ₯
ππ‘+ ππ₯ = 0 . . . (i)
Jika pada π‘ = 0 detik pegas disimpangkan sejauh π₯ = π₯0dengan kecepatan awal = 0 m/s, maka
solusi persamaan (i) adalah
π₯(π‘) = πβππ‘[π₯0 cos(ππ‘) + π₯0sin (ππ‘)] . . (ii)
dengan π = βπ
πβ
π2
4π2dan π =
π
2π. Jika diketahuiπ = 4,5 Γ 106π, π = 6,745 Γ
109 π π 2β , π = 1,45 Γ 107π/π dan π₯0 = 0,4 π, tentukan pada detik ke berapakah nilai
π₯(π‘) = 0.
2. Anggap anda meminjam uang sebesar Rp. 2.500.000 pada suatu bank dan anda sepakat
untuk mengembalikanya dalam 6 kali cicilan, dimana tiap satu kali cicilan anda harus
membayar sebesar Rp. 550.000. Rumusan ekonomi yang digunakan bank tersebut untuk
menghitung berapa besar biaya yang harus anda bayarkan tiap satu kali cicilan adalah,
π΄ = ππ (π + 1)π
(π + 1)π β 1
dimana A adalah jumlah uang yang harus dibayarkan untuk tiap satu kali cicilan, P adalah
jumlah uang yang dipinjam, n adalah jumlah cicilan, dan i adalah persentase bungga pinjaman
(dalam desimal). Tentukan berapa nilai i (dalam persen) pada kasus tersebut.
3.Sebuah tangki penampungan air berbetuk bola memiliki persamaan sebagai berikut
π = πβ2[3π β β]
3
dengan
π = volume (π3), β = ketinggian air(π), dan π = jari β jari tangki (π).
Gambar P.2.1
Jika π = 3 π dan tangki diisikan dengan air sebanyak 30 m3, tentukan berapa ketinggian air
tersebut.
4.Sebuah rangkaian listrik yang terdiri atas resistor R, induktor L, dan kapasitor C memenuhi
Hukum ke-II Kirchhoff yaitu sebagai berikut,
πΏπ2π
ππ‘2 + π ππ
ππ‘+
π
πΆ= 0
Gambar P.2.2
Pada saat π‘ = 0, muatan π = π0 = π0πΆ, diperoleh solusi dari persamaan tersebut yaitu,
π(π‘) = π0πβ π π‘2πΏ cos (β
1
πΏπΆβ (
π
2πΏ)
2
π‘)
Jika πΏ = 5 H, πΆ = 10β4 F, dan π/π0 = 0,01 pada saat π‘ = 0,05 detik, tentukan nilai R yang
memenuhi persamaan tersebut..
5. Sebuah muatan π terdistribusi seragam di sekitar konduktor yang berbentuk cincin dengan
jari-jari π. Muatan π terletak dengan jarak sejauh π₯ dari titik tengah cincin (Gambar P 2.4) .
Besarnya gaya elektrostatik yang bekerja pada muatan terhadapcincin dinyatakan oleh
persamaan berikut,
πΉ =1
4ππ0
πππ₯
(π₯2 + π2)3/2
dimana π0 = 8,85 Γ 10β12πΆ2/(ππ2). Tentukan besar jarak π₯ ketika F bernilai 1 N, π =π=
2 Γ 10β5 πΆ dan jari-jari cincin0,9 m.
Gambar P.2.3
Petunjuk Pengerjaan:
untuk setiap soal (No. 1 - No. 5) urutan langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut:
1. Selesaikan menggunakan metode Bisection(gunakan toleransi 0.0001)
2. Selesaikan menggunakan metode Newton-Rhapson(gunakan toleransi 0.0001)
3. Tampilkan setiap hasil iterasi yang anda dapat pada langkah 1 dan 2 dengan format seperti tabel
2.1 dan tabel 2.2
4. Buat dan tampilkan hasil plot grafik persamaan dengan rician sebagai berikut:
a. Nomor 1: Plot x (m) terhadap t, untuk t = 0 - 1s
b. Nomor 2 : Plot A (rupiah) terhadap i,untuk i = 0 - 100 %
c. Nomor 3: Plot V (m3) terhadap h, untuk h = 0 - 3R m
d. Nomor 4: Plot q (C) terhadap t, untuk t = 0 - 1s
e. Nomor 5: Plot F (N) terhadap x, untuk x= 0 - 5a m
5. Analisis setajam mungkin kedua hasil yang anda dapat pada langkah 1 dan 2