Sistem Persamaan Linear & Matriks

Matriks Ruang & Vektor

~ rahasia menaklukkan rintangan adalah ketekunan ~

9/10/2014 10:39 AM e0108 Matriks Ruang & Vektor 1

Rule of Conduct

1. Kehadiran di kelas MINIMAL 80%

2. Sudah berada di kelas sebelum kuliah dimulai

3. Dilarang menggunakan sandal/selop, kaos oblong, dan handphone (no texting) selama kuliah

4. Having good attitude

memenuhi point 1-3

tidak mencontek (copy & paste) tugas,

tidak mencontek/ngrepek pada waktu UTS/UAS

dll


Kontrak Belajar

Deskripsi Mata Kuliah :

Matriks dan vektor merupakan alat untuk memudahkan atau menyederhanakan sistem persamaan linear yang kompleks. Materi yang terkandung dalam mata kuliah ini adalah dasar- dasar vektor, hubungan antar vektor-vektor, basis dan dimensi, dasar-dasar matriks, determinan, matriks invers, sistem persamaan linear dan aplikasi sistem persamaan linear dalam bisnis


Manfaat Mata Kuliah

Mahasiswa mampu memahami konsep dasar matriks ruang & vektor

Mahasiswa mampu melakukan berbagai penyelesaian masalah/soal-soal perhitungan SPL yang menyangkut matriks dan vektor maupun kaitan antara keduanya


Referensi / Sumber Bacaan


Evaluasi

Syarat lulus:

Kehadiran minimal 80%

Having Good Attitude

Bobot penilaian :

UAS = 35%

UTS = 30%

Quiz= 15%

Tugas= 20%



Aljabar Linear Elementer

E0108

3 SKS

Silabus :

Bab I Sistem Persamaan Linear & Matriks

Bab II Determinan Matriks

Bab III Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3

Bab IV Ruang Vektor Umum

Bab V Nilai & Vektor Eigen

Bab VI Transformasi Linear


Bab I Sistem Persamaan Linear & Matriks

Sub Pokok Bahasan

1. Pengantar Sistem Persamaan Linear

2. Eliminasi Gauss

3. Matriks & Operasi Matriks

4. Invers; Aturan Aritmatika Matriks


1. Sistem Persamaan Linear (SPL) Sub Pokok Bahasan

Pendahuluan

Solusi SPL dengan OBE

Solusi SPL dengan Invers matriks

Beberapa Aplikasi Sistem Persamaan Linear

Bisnis

Model Ekonomi

Fisika

Rangkaian listrik

Jaringan Komputer

Genetika

dan lain-lain.


Pendahuluan

Persamaan linear adalah persamaan yang setiap

peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri

(seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan

peubah lain atau dirinya sendiri.

Contoh :

Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (x) dan 2 PC (y)

maka ia harus membayar $ 5000, sedangkan jika

membeli 3 Laptop dan 1 PC maka ia harus membayar

$ 10000.

Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL

x + 2y = 5000

3x + y = 10000


Bentuk umum sistem persamaan linear

Dapat ditulis dalam bentuk :

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

11

21111

11111

11212111 ... bxaxaxa nn

22222121 ... bxaxaxa nn

mnmnmm bxaxaxa ...2211

mb

b

b

2

1

nx

x

x

2

1


Atau

AX = B

dimana

A dinamakan matriks koefisien

X dinamakan matriks peubah

B dinamakan matriks konstanta

Contoh :

Perhatikan bahwa SPL

x + 2y = 5000

3x + y = 10000

dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks

10000

5000

y

x

13

21


Solusi SPL

Himpunan bilangan Real yang memenuhi nilai kebenaran SPL jika himpunan tersebut disubstitusikan pada peubah suatu SPL.

Perhatikan SPL :

x + 2y = 5000

3x + y = 10000

Maka

{x = 3000, y =1000 } merupakan solusi SPL tersebut

{x = 1000, y =3000 } merupakan bukan solusi SPL itu

Suatu SPL, terkait dengan solusi, mempunyai tiga kemungkinan :

SPL mempunyai solusi tunggal

SPL mempunyai solusi tak hingga banyak

SPL tidak mempunyai solusi


Ilustrasi Solusi SPL dengan garis pada kartesius

Artinya : SPL 2x y = 2 x y = 0

Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2

y = x

y = 2x - 2 (2, 2) merupakan titik potong

dua garis tersebut

Tidak titik potong yang lain

selain titik tersebut (2, 2)

x

y

1 2

2


Perhatikan SPL x y = 0

2x 2y = 2

Jika digambar dalam kartesius

Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar

Tak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis itu

Artinya

SPL diatas TIDAK mempunyai solusi

x

y y = x y = x 1

1


Perhatikan SPL

x y = 0

2x 2y = 0

Jika kedua ruas pada persamaan kedua dikalikan

Diperoleh persamaan yang sama dengan pers. pertama Jika digambar dalam kartesius

Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit

Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebut

Artinya

SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak

y

x

x y = 0 2x 2y = 0


Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris

2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

3. Menambahkan kelipatan satu persamaan ke

persamaan lainnya

Contoh : OBE 1

4 2 0

3 2 1

1- 2- 3-

A

4 2 0

1- 2- 3-

3 2 1

~21 bb

Baris pertama (b1) ditukar

dengan baris ke-2 (b2)


OBE ke-2

b1 ~

OBE ke-3

3 1 1- 2

7 1 2 0

4- 0 4- 4

A

3 1 1- 2

7 1 2 0

1- 0 1- 1

Perkalian Baris pertama (b1)

dengan bilangan

3 1 1- 2

7 1 2 0

1- 0 1- 1

A

7 1 2 0

1- 0 1- 1

~2 31 bb

Perkalian (2) dengan b1 lalu

tambahkan pada baris ke-3 (b3)

0 1 1 5


Beberapa definisi yang perlu diketahui :

Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.

Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.

Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.

Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

0000

1300

3111

B


2. Eliminasi Gaus

Sifat matriks hasil OBE :

1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).

2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan.

3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.

4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jika

dipenuhi sifat 1, 2, dan 3

Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika

dipenuhi semua sifat

(Proses Eliminasi Gauss)

(Proses Eliminasi Gauss-Jordan)


Contoh :

Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari

Jawab :

3 1 1- 2

7 1 2 0

1- 0 1- 1

A

7 1 2 0

1- 0 1- 1

2~ 31 bbA

1- 0 1- 1

~ 32 bb

0 1 1 5

0 1 1 5

0 2 1 7


5 1 1 0

1- 0 1- 1

2~ 32 bbA

5 1 1 0

1- 0 1- 1

~3b

3 1 0 0

1- 0 1- 1

~23 bb

3 1 0 0

2 0 1 0

12 bb

0 0 -1 -3

0 0 1 3

0 2

0

1

1 0 1

0


Perhatikan hasil OBE tadi :

Setiap baris mempunyai satu utama.

Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah

baris lebih sedikit dari jumlah kolom

(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)

3 1 0 0

2 0 1 0

1 0 0 1


Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE

Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar

Lakukan OBE sampai menjadi esilon baris tereduksi

Contoh :

Tentukan solusi dari SPL

3x y = 5

x + 3y = 5

Jawab :

Martiks yang diperbesar dari SPL

~5

5

31

13

~

5

5

13

31

~

10

5

100

31

~

1

5

10

31

1

2

10

01


Tulis kembali matriks yang diperbesar hasil OBE

menjadi perkalian matriks

Solusi SPL tersebut adalah x = 2 dan y = 1

Contoh :

Tentukan solusi (jika ada) dari SPL berikut :

a. a + c = 4

a b = 1

2b + c = 7

1

2

1

0

0

1

y

x


b. a + c = 4 a b = 1

a + b = 1

c. a + c = 4

a b = 1

a + b = 2

Jawab :

a.

Terlihat bahwa solusi SPL adalah

a = 1, b = 2, dan c =3

7

1

4

120

011

101

3

2

1

100

010

001


b.

Jika dikembalikan kedalam bentuk perkalian matriks diperoleh :

Ini memberikan a + c = 4 dan b + c =5.

Dengan memilih c = t, dimana t adalah parameter.

Maka solusi SPL tersebut adalah :

, dimana t adalah parameter

1

1

4

011

011

101

0

5

4

000

110

101

0

5

4

000

110

101

c

b

a

0

5

4

1

1

1

t

c

b

a


c.

Terlihat bahwa ada baris nol pada matriks koefisien tetapi matriks konstanta pada baris ke-3 sama dengan

1 (tak nol)

Dari baris ke-3 diperoleh hubungan bahwa

0.a + 0.b = 1.

Tak ada nilai a dan b yang memenuhi kesamaan ini.

Jadi, SPL tersebut tidak memiliki solusi.

2

1

4

011

011

101

1

5

1

000

110

101

1

5

1

000

110

101

c

b

a


3. Matriks dan Operasinya

Sub Pokok Bahasan

Matriks dan Jenisnya

Operasi Matriks

Beberapa Aplikasi Matriks

Representasi image (citra)

Chanel/Frequency assignment

Operation Research

dan lain-lain.


1. Matriks dan Jenisnya

Notasi Matriks

Matriks A berukuran (Ordo) mxn

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211 Baris pertama

Kolom kedua

Unsur / entri /elemen ke-mn

(baris m kolom n)


Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama

A dan B dikatakan sama (notasi A = B)

jika

aij = bij untuk setiap i dan j

Jenis-jenis Matriks

Matriks bujur sangkar (persegi)

Matriks yang jumlah baris dan jumlah

kolomnya adalah sama (n x n)

Contoh :

210

121

012

B Unsur diagonal


Matriks segi tiga Ada dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan

bawah. Matriks segi tiga atas Matriks yang semua unsur dibawah unsur

diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol.

Matriks segi tiga bawah Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonal

pada kolom yang bersesuaian adalah nol.

8 0 0

7 1 0

3 9 5

E

2 0 3

0 1 5

0 0 2

F


Matriks Diagonal

Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur

yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.

Matriks satuan (Identitas)

Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya

adalah satu.

1 0 0

0 2 0

0 0 3

D

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I


Transpos Matriks

Matriks transpos diperoleh dengan menukar

baris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya.

Notasi At (hasil transpos matriks A)

Contoh :

maka

Jika matriks A = At maka matriks A dinamakan

matriks Simetri.

Contoh :

0 1-

2- 3

1 2

A

0 2- 1

1- 3 2 tA

31

12A


2. Operasi Matriks

Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :

1. Penjumlahan Matriks

2. Perkalian Matriks

Perkalian skalar dengan matriks

Perkalian matriks dengan matriks

3. Operasi Baris Elementer (OBE)


Penjumlahan Matriks

Syarat : Dua matriks berordo sama dapat

dijumlahkan

Contoh

a.

+

b.

+

dc

ba

hg

fe

hdgc

fbea

4 3

2 1

8 7

6 5

10

6 8

12


Perkalian Matriks Perkalian Skalar dengan Matriks Contoh : = Perkalian Matriks dengan Matriks Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn Syarat : A X B haruslah q = m hasil perkalian AB berordo pxn B X A haruslah n = p hasil perkalian BA berordo mxq Contoh : Diketahui dan

sr

qpk

skrk

qkpk

32

xfed

cbaA

23

xur

tq

sp

B


Maka hasil kali A dan B adalah :

Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran sama

dan , merupakan unsur bilangan Riil,

Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :

1. A + B = B + A

2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

3. ( A + B ) = A + B

4. ( + ) ( A ) = A + A

23

32

x

x ur

tq

sp

fed

cbaAB

ap+bq+cr

dp+eq+fr

as+bt+cu

ds+et+fu 2x2


0 1-

2- 3

1 2

A

Contoh :

Diketahui matriks :

Tentukan

a. A At

b. At A


Jawab :

0 2- 1

1- 3 2 tA

maka

0 1-

2- 3

1 2 tAA

0 2- 1

1- 3 2

sedangkan

0 1-

2- 3

1 2

0 2- 1

1- 3 2 AAt

5

-2

-2

13

-2

-3

1 -3

4

-4

-4 5

14


4. Invers Matriks

Misalkan A adalah matriks bujur sangkar.

B dinamakan invers dari A jika dipenuhi

A B = I dan B A = I

Sebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.

Notasi A = B-1

Cara menentukan invers suatu matriks A adalah

1| AI IA |

OBE

~

Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriks

identitas maka A dikatakan tidak punya invers


Contoh :

Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :

Jawab :

b1b2

~

122

011

123

A

100

010

001

122

011

123

100

001

010

122

123

011

010011-3b1+b2

2b1+b3

0 -1 1

0 0 2 1 1

0

0

-1 -3


-b2

-b3+ b2

-b2+ b1

Jadi Invers Matriks A adalah

120

010

100

011

120

010

100

011

120

111

100

010

120

031

010

100

110

011

120

111

1011A

1 1 -1 3 0 0

1 0 0 1 -1 -1

1 1 1 0 0 0


Perhatikan bahwa :

dan

maka

120

111

1011A

122

011

123

A

120

111

101

210

121

0121AA

100

010

001


11 Ak

Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers :

i. (A-1)-1 = A

ii. Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers

maka (A . B)-1 = B-1 . A-1

iii. Misal k Riil maka (kA)-1 =

iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1 = (A-1)n


Latihan

Diketahui

, dan

Tentukan (untuk no 1 5) matriks hasil operasi berikut ini :

1. AB

2. 3CA

3. (AB)C

4. (4B)C + 2C

11

21

03

A

20

14B

513

241C


Untuk Soal no. 5 7, Diketahui :

dan

5. Tentukan : D + E2 (dimana E2 = EE)

6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A, B, C, D, dan E

7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada)

2 1 0

1 2 1

0 1 2

D

144

010

023

E

Aplikasi Matriks pada Jaringan Listrik Dalam suatu rangkaian listrik kita mungkin menentukan

besaar arus di setiap cabang yang dinyatakan dalam resistansi dan tegangan. Satu contoh rangkaian khusus diberikan dalam gambar berikut.


Tugas

Lat. 1.2: 8b, 25

Lat. 1.3 : 3

Lat. 1.4: 7a,d


Sistem Persamaan Linear & Matriks

Documents

Transcript of Sistem Persamaan Linear & Matriks