Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Aljabar Linear dan Matriks

(Persamaan Linear dan Vektor)

Definisi• Persamaan dalam variabel x dan y dapat ditulis dalam bentuk ax+by=c,

dimana a, b, dan c adalah konstan real (a dan b tidak nol), disebut

persamaan linear .

• Grafik persamaan ini adalah garis lurus dalam plan x-y .

• Sepasang nilai x dan y yang menyajikan hasil dari persamaan disebut

solusi.

1.1 Matriks dan Sistem Persamaan

Linear

Gambar 1.2

Tidak ada solusi–2x + y = 3

–4x + 2y = 2

Garis berupa paralel.

Tidak ada irisan, tidak

ada solusi.

Solusi untuk sistem persamaan linear

Gambar 1.1

Solusi unikx + y = 5

2x - y = 4

Beririsan pada (3, 2)

Solusi unik:

x = 3, y = 2.

Gambar 1.3

Banyak solusi4x – 2y = 6

6x – 3y = 9

Kedua persamaan

mempunyai grafik yang

sama. Titik pada grafik

merupakan solusi.

Banyak solusi.

DefinisiPersamaan linear dalam n variabel x1, x2, x3, …, xn berbentuk

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + … + an xn = b

dimana koefisien a1, a2, a3, …, an dan b merupakan konstanta.

Macam-macam bilangan：bilangan natural , integer , bilangan rasional , bilangan real , bilangan kompleks

positif, negatif

Persamaan linear dalam tiga variabel terkait dengan bidang

dalam ruang tiga dimensi.

Solusi unik

※ Sistem mempunyai tiga persamaan linear dalam tiga variabel:

Tidak ada solusi

Banyak solusi

Bagaimana menyelesaikan persamaan linear?

Eliminasi Gauss-Jordan

Definisi• Matrix merupakan larik persegi dari sebuah bilangan.

• Bilangan dalam larik disebut unsur dari matriks.

Matriks

-

-

-

-

1298

520

653

C

38

50

17

B 157

432A

Submatriks

A matriks

215

032

471

-

A

Baris dan Kolom

3 kolom 2 kolom 1 kolom 2 baris 1 row

1

4

5

3

7

2 157 432

-

-

--

157

432

-

-A

A dari submatriks

25

41

1

3

7

15

32

71

-

RQP

Matriks Identitas

ukuran diagonal 1，0，I

100010001

1001

32 II

Lokasi

7 ,4 157

4322113 -

-

- aaA

Aij baris i, kolom jlokasi (1,3) = -4

Ukuran dan Tipe

kolom Matriks baris Matrikssangkar bujur Matriks

13 Matriks 41 Matriks 33 Matriks 32 :Ukuran

2

3

8

5834

853

109

752

542

301

-

-

-

-

Koefisien dan penambahan matriks x

62

3 32

2

321

321

321

---

xxx

xxx

xxx

Hubungan antara sistem persamaan linear dan matriks

matriksKoefisien

211

132

111

--

nditambahka yang Matriks

6211

3132

2111

---

Transformasi Dasar

1. Menukar dua persamaan.

2. Mengalikan dua sisi dari

persamaan dengan konstanta

bukan nol.

3. Menjumlah perkalian dari satu

persamaan dengan persamaan

yang lain.

Operasi Baris Matriks

1. Menukar dua baris matriks.

2. Mengalikan unsur-unsur baris

dengan konstanta bukan nol.

3. Menjumlah perkalian matriks

dari unsur-unsur satu baris

dengan unsur baris yang lain.

Operasi Baris Dasar Matriks

Contoh 1Selesaikan sistem persamaan linear berikut !

62

332

2

321

321

321

---

xxx

xxx

xxx

--- 621131322111

62

332

2

321

321

321

---

xxx

xxx

xxx

Solusi

Metode persamaan

Sistem awal:

Metode matriks analog

Penambahan matriks:

1

2

32

321

--

xx

xxx

Pers2+(–2)Pers1

Pers3+(–1)Pers1

-----

832011102111

R2+(–2)R1R3+(–1)R1

Ekuivalen baris

832 32 --- xx

105

1

32

3

32

31

--

--

x

xx

xx

----

0150011103201

2

1

32

3

32

31

--

x

xx

xx

--

210011103201

2

1

1

3

2

1

-

x

x

x

-

2100

1010

1001

Pers1+(–1)Pers2

Pers3+(2)Pers2

(–1/5)Pers3

Pers1+(–2)Pers3

Pers2+Pers3

Solusi :

.2 ,1 ,1 321 - xxx Solusi :

.2 ,1 ,1 321 - xxx

832

1

2

32

32

321

---

--

xx

xx

xxx

-----

832011102111

R1+(–1)R2

R3+(2)R2

(–1/5)R3

R1+(–2)R3

R2+R3

Kesimpulan metode eliminasi：Suatu persamaan dengan penyelesaian matriks

2R1+R2

2R1

R1+R2

Intinya :

…

0

0

1…

00

10

01

100

010

001

…

Contoh 2Selesaikan sistem persamaan linear berikut :

833

1852

1242

321

321

321

---

-

-

xxx

xxx

xxx

Solusi :

-----

83311851212421

--

-

41106330

12421

R23

1

--

-

41102110

12421

--

620021108201

--

3100

2110

8201

R1R3

2)R1(R2

-

R2)1(R3

(2)R2R1

-

R32

1

3100

1010

2001

R3R2

2)R3(R1

-

.

3

1

2

solusi

3

2

1

x

x

x

Contoh 3Selesaikan sistem berikut :

7 2

328 63

441284

21

321

321

---

-

-

xx

xxx

xxx

---

-

-

7012

32863

441284

---

-

-

7012

32863

11321

-

-

-

15630

1100

11321

-

-

-

1100

5210

11321

-

-

1100

5210

1101

.

1100

3010

2001

-.1 ,3 ,2adalah Solusinya 321 - xxx

R23

1

R12R3

3)R1(R2

-

R3R2

-

-

-

1100

15630

11321

R14

1

2)R2(R1 -

2R3R2

1)R3(R1

-

Solusi :

Ch1_18

Kesimpulan

---

-

-

7012

32863

441284

]:[ BA

A BGunakan operasi baris ke bentuk [A: B] :

.

1100

3010

2001

-

---

-

-

7012

32863

441284

]:[]:[ XIBA nyaitu

Definisi [In : X] disebut bentuk baris terkurangi dari [A : B].

Catatan. 1. Jika A adalah koefisien matriks dari sistem

persamaan n dalam variabel n yang mempunyai

solusi unik , maka A adalah ekuivalen baris

dengan In (A In).

2. Jika A In, maka sistem mempunyai solusi unik.

7 2

328 63

441284

21

321

321

---

-

-

xx

xxx

xxx

Contoh 4 banyak sistem

Selesaikan 3 sistem persamaan linear dari persamaan linear berikut :

3321

2321

1321

42

untuk 42

3

bxxx

bxxx

bxxx

--

-

-

menjadi sehingga

4

3

3

,

2

1

0

,

11

11

8

3

2

1

-

-

b

b

b

Solusi :

------

42114213111412308311

.

2

1

2

,

1

3

0

,

2

1

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

-

-

x

x

x

x

x

x

x

x

x

------

-

123110315210308311

---

212100

315210

013101

-

-

212100

131010

201001

R2+(–2)R1

R3+R1

1)R2(R3

R2R1

-

R32R2

R3)1(R1

-

Solusi 3 sistem

1.2 Eliminasi Gauss-Jordan

DefinisiMatriks dalam bentuk baris terkurangi jika

1. Suatu baris terdiri dari nol dikelompokkan di bawah matriks.

2. Unsur pertama bukan nol dari setiap baris yang lain adalah 1. Unsur

ini disebut leading 1.

3. Leading 1 dari setiap baris setelah baris yang pertama diposisikan di

kanan 1 dari baris sebelumnya.

4. Semua unsur yang lain dalam kolom terdiri dari nol.

Ch1_21

Contoh untuk bentuk baris terkurangi

10000

04300

03021

9100

3010

7001

3100

0000

4021

000

210

801

() ()() ()

Operasi baris dasar, bentuk baris terkurangi

Bentuk baris terkurangi dari matriks adalah

unik.

Eliminasi Gauss-Jordan

System persamaan linear

matriks yang ditambahkan

bentuk baris terkurangi

solusi

--

-

-

-

41200

22200

43111

4)R1(R3

--

-

610001110052011

R2)2(R3R2R1

Contoh 1Gunakan metode eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari bentuk baris

terkurangi dari matriks berikut :

--

-

121124412933322200

Solusi :

-

-

-

1211244

22200

129333

R2R1

pivot (leading 1)

--

-

12112442220043111

R13

1

pivot

--

-

6100050100

170011

R3R2

2)R3(R1

Matriks hasil merupakan bentuk baris terkurangi dari matriks yang diberikan.

--

-

-

41200

11100

43111

R22

1

Contoh 2Selesaikan, jika mungkin, sistem persamaan :

753

742

9333

321

321

321

--

-

-

xxx

xxx

xxx

Solusi :

----

----

715374123111

715374129333

R13

1

---

-

-

-

242012103111

3)R1(R3

2)R1(R2

000012104301

R2R3

R2R112

43

12

43

32

31

32

31

-

-

xx

xx

xx

xx

Solusi umum ke sistem adalah

.parameter)(disebut realbilangan adalah dimana ,

12

43

3

2

1

rrx

rx

rx

-

-

Contoh 3Contoh ini menggambarkan bahwa solusi umum dapat melibatkan bilangan

parameter. Selesaikan sistem persamaan berikut :

642

107242

432

4321

4321

4321

----

-

-

xxxx

xxxx

xxxx

Solusi :

-

--

-

----

-

-

21000

21000

43121

64121

107242

43121

R1R3 2)R1(R1

-

--

00000

21000

20121

R2R3

3)R2(R1

.,untuk ,

2

22

2

22

4

3

2

1

4

321Rsr

x

sx

rx

srx

x

xxx

--

--

banyak penyelesaian

Contoh 4Contoh ilustrasi sistem yang tidak ada solusi. Selesaikan sistem berikut :

382

13

35

321

32

321

-

xxx

xx

xxx

Solusi :

-

-

-

1000

1310

4201

2R)1(3R

2R)1(1R

Sistem yang tidak mempunyai solusi

-

--

0310

1310

3511

3821

1310

3511

1R)1(3R

0x1+0x2+0x3=1

Sistem Persamaan Linear Homogen

DefinisiSistem persamaan linear dikatakan homogen jika semua konstanta adalah nol.

Contoh:

--

-

0632

052

321

321

xxx

xxx

Amati bahwa merupakan solusi0 ,0 ,0 321 xxx

Teorema 1.1

Sistem persamaan linear homogen dalam n variabel selalu mempunyai solusi

x1 = 0, x2 = 0. …, xn = 0. Solusi ini disebut solusi trivial (sepele).

Sistem Persamaan Linear Homogen

Teorema 1.2

Sistem persamaan linear yang mempunyai banyak variabel daripada

persamaan yang mempunyai banyak solusi.

Catatan: Solusi trivial

-

--

-

0410

0301

0632

0521

--

-

0632

052

321

321

xxx

xxx

Sistem mempunyai solusi nontrivial yang lain.

rxrxrx - 321 ,4 ,3

Contoh:

1.3 Ruang Vektor Rn

Gambar 1.5

Sistem koordinat persegi

• Asal：(0, 0)

• Vektor posisi ：

• Titik awal dari : O

• Titik akhir dari : A(5, 3)

• Pasangan terurut : (a, b)

OA

Ada dua cara menginterpretasikan (5,3)

- mendefinisikan lokasi titik dalam bidang

- mendefinisikan vektor posisi OA

OA

OA

Contoh 1

Gambar vektor posisi .)4 ,3( dan )2 ,5( 1), (4,

---

OCOBOA

Gambar 1.6

Gambar1.7

R2 → R3

Definisi Untuk merupakan urutan n bilangan real. Himpunan semua

urutan disebut n-ruang dan didenotasikan Rn.

u1 merupakan komponen awal dari , u2 merupakan

komponen kedua dan seterusnya.

) ..., , ,( 21 nuuu

) ..., , ,( 21 nuuu

Contoh :

R4 merupakan himpunan urutan 4 bilangan real.

Contoh, (1, 2, 3, 4) dan (-1, 3, 5.2, 0) merupakan R4.

R5 merupakan himpunan urutan dari 5 bilangan real.

Contoh, (-1, 2, 0, 3, 9) ada dalam himpunan ini.

Definisi Untuk ada dua unsur dari Rn.

Dapat dikatakan bahwa u dan v adalah sama jika u1 = v1, …, un = vn.

Lalu dua unsur dari Rn adalah sama jika komponen terkait adalah

sama.

) ..., , ,( and ) ..., , ,( 2121 nn vvvuuu vu

Definisi Untuk ada unsur-unsur dari Rn

dan untuk c menjadi skalar. Perkalian dan penjumlahan skalar

dihasilkan dari :

Penjumlahan

Perkalian skalar

) ..., , ,( and ) ..., , ,( 2121 nn vvvuuu vu

) ..., ,(

) ..., ,(

1

11

n

nn

cucuc

vuvu

u

vu

Penjumlahan dan Perkalian Skalar

Catatan.

(1) u, v Rn u+v Rn (Rn adalah tertutup dalam penjumlahan)

(2) u Rn, c R cu Rn (Rn adalah tertutup dalam perkalian

skalar)

Contoh 2Untuk u = ( –1, 4, 3, 7) dan v = ( –2, –3, 1, 0) berupa vektor di R4.

Cari u + v dan 3u.

Solusi :

21) 9, 12, ,3(7) 3, 4, ,1(33

7) 4, 1, ,3(0) 1, ,3 ,2(7) 3, 4, ,1(

--

----

u

vu

Contoh3

Gambar 1.8

Menurut vector (4, 1) dan (2, 3), didapatkan

(4, 1) + (2, 3) = (6, 4).

Gambar1.9

Umumnya, jika u dan v merupakan vektor dalam ruang vektor yang sama,

maka u + v merupakan diagonal dari parallelogram yang didefinisikan oleh

u dan v.

Contoh 4

Gambar 1.10

Menurut perkalian skalar dari vektor (3, 2) oleh 2, didapatkan 2(3, 2) = (6, 4)

Amati pada gambar 4.6 dimana (6, 4) merupakan vektor pada arah yang

sama sebagai (3, 2), dan 2 kali panjangnya.

Gambar 1.11

c > 1 0 < c < 1 –1 < c < 0 c < –1

Umumnya, arah cu akan sama dengan arah u jika c > 0,

dan arah berlawanan u jika c < 0.

Panjang cu adalah |c| kali panjang dari u.

Vektor khusus

Vektor (0, 0, …, 0), mempunyai komponen n nol, disebut vektor nol dari Rn

dan didenotasikan 0.

Vektor Negatif

Vektor (–1)u ditulis –u dan disebut negatif dari u. Vektor mempunyai

magnitudo yang sama sebagai u, tetapi berada pada arah yang berlawanan

dengan u.

Pengurangan

Pengurangan dihasilkan pada unsur-unsur dari Rn oleh pengurangan

komponen terkait. Misal, dalam R3,

(5, 3, -6) – (2, 1, 3) = (3, 2, -9)

u

-u

Teorema 1.3

Untuk u, v, dan w berupa vektor dalam Rn dan untuk c dan d berupa skalar.

(a) u + v = v + u

(b) u + (v + w) = (u + v) + w

(c) u + 0 = 0 + u = u

(d) u + (–u) = 0

(e) c(u + v) = cu + cv

(f) (c + d)u = cu + du

(g) c(du) = (cd)u

(h) 1u = u

Gambar 1.12 Komutatif dari

penjumlahan vektor u + v = v + u

Vektor kombinasi linear

Solusi

)31 7, 20,(

)2276 ,0310 4,12(4

2) 0, (4,27) 3, ,12()6 10, ,4(

2) 0, (4,9) 1, ,4(3)3 5, ,2(2

-

---

---

---- w3v2u

Untuk u = (2, 5, –3), v = ( –4, 1, 9), w = (4, 0, 2). Tentukan kombinasi linear

2u – 3v + w.

Contoh 5

au +bv + cw merupakan kombinasi linear dari vektor u, v, dan w.

Vektor Kolom

nnnn vu

vu

v

v

u

u

1111

Penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor kolom dalam Rn dalam sifat

komponen:

and

nn cu

cu

u

u

c 11

Vektor baris:

Vektor kolom:

) ..., , ,( 21 nuuuu

nu

u

1

Sub-ruang Rn

Definisi Sub-himpunanS dari Rn adalah sub-ruang jika penjumlahan tertutup dan

perkalian skalar.

Sub-himpunan dari ruang vektor Rn yang mempunyai semua sifat aljabar dari Rn.

Sub-himpunan tersebut disebut sub-ruang.

Perlu diingat :

(1) u, v S u+v S (S merupakan penjumlahan ter tutup)

(2) u S, c R cu S (S merupakan perkalian skalar

tertutup)

Contoh 6Menurut sub-himpunan W dari R2 dari bentuk vektor (a, 2a).

Tunjukkan bahwa W adalah sub-ruang dari R2.

Bukti

Untuk u = (a, 2a), v = (b, 2b) W, dan k R.

u + v = (a, 2a) + (b, 2b) = (a+ b, 2a + 2b)

= (a + b, 2(a + b)) Wdan

ku = k(a, 2a) = (ka, 2ka) WLalu u + v W dan ku W.

W merupakan penjumlahan tertutup dan

perkalian skalar.

W merupakan sub-ruang dari R2.

Amati: W merupakan himpunan vektor yang dapat

ditulis a(1,2).Gambar 1.13

Contoh 7Menurut sistem persamaan linear homogen dapat

ditunjukkan bahwa ada banyak solusi x1=2r, x2=5r, x3=r.Dan dapat dituliskan solusi ini sebagai vektor dalam R3

sebagai (2r, 5r, r).Tunjukkan bahwa himpunan dari solusi W merupakan

Sub-ruang dari R3.

Bukti

Untuk u = (2r, 5r, r), v = (2s, 5s, s) W, dan k R.

u + v = (2(r+s), 5(r+s), r+s) Wdan ku = (2kr, 5kr, kr) WLalu u + v W dan ku W.

W merupakan sub-ruang dari R3.

Amati: W merupakan himpunan vektor yang dapat

ditulis r(2,5,1).Gambar 1.14

02

05

03

321

32

321

-

-

-

xxx

xx

xxx

1.4 Basis and Dimension

Menurut vektor (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) dalam R3.

Vektor-vektor ini mempunyai dua sifat yang sangat penting:

(i)Dikatakan span R3, merupakan pengaturan vektor (x, y, z) sebagai

kombinasi linear dari tiga vektor:

Untuk suatu (x,y,z) R3 (x,y,z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

(ii)Dikatakan linear bebas.

Jika p(1, 0, 0) + q(0, 1, 0) +r(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

p = 0, q = 0, r = 0 merupakan solusi unik.

Basis: himpunan vektor yang biasanya digunakan untuk

mendeskripsikan ruang vektor.

Basis standar dari Rn

Himpunan vektor yang terdiri dari dua sifat disebut basis.

Himpunan {(1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, …, 1)} dari n vektor adalah basis

standar untuk Rn. Dimensi dari Rn adalah n.

Ada banyak basis untuk R3 – himpunan span R3 dan linear bebas.

Contoh, himpunan {(1, 2, 0), (0, 1, -1), (1, 1, 2)} merupakan basis

untuk R3.

Himpunan {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} merupakan basis yang paling

penting untuk R3, disebut basis standar dari R3.

R2 : ruang dua dimensi

R3 : ruang tiga dimensi

Span, Linear bebas, dan Basis

Vektor v1, v2, dan v3 dikatakan span sebuah ruang jika setiap vektor v berada

dalam ruang yang dapat diungkapkan sebagai kombinasi linear darinya,

v = av1 + bv2 + cv3.

Vektor v1, v2, dan v3 dikatakan linear bebas jika identitas pv1 + qv2 + rvm = 0 is

hanya benar untuk p = 0, q = 0, r = 0.

Basis untuk ruang merupakan himpunan yang span ruang dan linear bebas.

Bilangan vektor dalam basis disebut dimensi dari ruang.

Menurut sub-himpunan W dari R3 terdiri dari vektor berbentuk (a, b, a+b).

Vektor (2, 5, 7)W, dimana (2, 5, 9)W.

Tunjukkan bahwa W merupakan sub-ruang dari R3.

Contoh1

Bukti

Untuk u=(a, b, a+b) dan v=(c, d, c+d) berupa vektor dalam W dan k berupa skalar.

(1) u+v = (a, b, a+b) + (c, d, c+d) = (a+c, b+d, (a+c)+(b+d))

u+v W

(2) ku = k(a, b, a+b) = (ka, kb, ka+kb)

ku W

W merupakan penjumlahan tertutup dan perkalian skalar.

W merupakan sub-ruang dari R3.

Pisahkan variabel sesuai dengan vektor u.

u = (a, b, a+b) = (a, 0, a) + (0, b, b) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1)

Vektor (1, 0, 1) dan (0, 1, 1) lalu span W.

Sehingga, p(1, 0, 1) + q(0, 1, 1) = (0, 0, 0) dengan p=0 dan q=0.

Dua vektor (1, 0, 1) dan (0, 1, 1) merupakan linear bebas.

Himpunan {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} merupakan basis untuk W.

Dimensi dari W, dim(W)= 2.

Contoh 1 (lanjutan)

Menurut sub-himpunan V dari R3, vektornya berbentuk (a, 2a, 3a).

Tunjukkan bahwa V merupakan sub-ruang dari R3 dan cari basis.

Contoh 2

Solusi

Untuk u=(a, 2a, 3a) dan v=(b, 2b, 3b) berupa vektor dalam V dan k berupa skalar.

(1) u+v = (a+b, 2(a+b), 3(a+b)) u+v V

(2) ku = k(a, 2a, 3a) = (ka, 2ka, 3ka) ku V

V merupakan penjumlahan tertutup dan perkalian skalar.

V merupakan sub-ruang dari R3.

(sub-ruang)

(basis)

u = (a, 2a, 3a) = a(1, 2, 3)

{(1, 2, 3)} merupakan basis untuk V.

dim(V) = 1.

Menurut sistem persamaan linear homogen berikut :

Contoh 3

Dapat ditunjukkan ada banyak solusi

x1 = 3r - 2s, x2 = 4r, x3 = r, x4 = s.

Tuliskan solusi tersebut sebagai vektor dalam R4, (3r - 2s, 4r, r, s).

Dapat ditunjukkan bahwa himpunan tersebut merupakan sub-ruang W dari R4.

Cari basis untuk W dan berikan dimensinya.

(1) (3r - 2s, 4r, r, s) = r(3, 4, 1, 0) + s( -2, 0, 0, 1)

{(3, 4, 1, 0), ( -2, 0, 0, 1) } merupakan basis untuk W.

dim(W) = 2.

0422

023

02

4321

431

4321

--

-

-

xxxx

xxx

xxxx

(2) Jika p(3, 4, 1, 0) + q( -2, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0), maka p=0, q=0.

Solusi

1.5 Produc dot, Norm, Sudut, dan

Jarak

Definisi Untuk berupa dua vektor

dalam Rn. Produk dot dari u dan v didenotasikan u‧v dan didefinisikan

oleh .

Produk dot menempatkan bilangan real pada setiap pasangan vektor.

) ..., , ,(dan ) ..., , ,( 2121 nn vvvuuu vu

nnvuvu 11vu

Contoh

Cari produk dot dari u = (1, –2, 4) dan v = (3, 0, 2)

Solusi

11803)24()02()31( -vuCh1_52

Pokok bahasan ini membangun geometri untuk ruang vektor Rn.

Produk dot merupakan tool yang digunakan untuk membuat geometri Rn.

Sifat-sifat Produk Dot

Untuk u, v, dan w berupa vektor dalam Rn dan untuk c berupa skalar, maka

1. u‧v = v‧u

2. (u + v)‧w = u‧w + v‧w

3. cu‧v = c(u‧v) = u‧cv

4. u‧u 0, and u‧u = 0 jika dan hanya jika u = 0

Bukti

1.

uv

vu

vu

realbilangan komutatifsifat dengan

Didapatkan ). ..., , ,(dan ) ..., , ,(Untuk

11

11

2121

nn

nn

nn

uvuv

vuvu

vvvuuu

2.

. jika hanyadan jika 0Lalu

.0 , ,0 jika hanyadan jika ,0

.0lalu ,0

1

22

1

22

1

22

111

0uuu

uu

uu

nn

n

nnn

uuuu

uu

uuuuuu

Norm (panjang) dari Vektor dalam Rn

Definisi Norm (panjang atau magnitudo) dari vektor u = (u1, …, un) dalam Rn

didenotasikan ||u|| dan didefinisikan oleh

Catatan:Norm dari vektor dapat ditulis dalam produk dot

22

1 nuu u

uuu

Gambar 1.17

Definisi Vektor satuan merupakan vektor yang mempunyai norm = 1. Jika v

merupakan vektor bukan nol, maka vektor merupakan vektor satuan dalam

arah v.

Prosedur dari pembuatan vektor satuan pada arah yang sama sebagaimana

vektor yang diberikan disebut normalisasi vektor.

vv

u1

Cari norm dari vektor u = (1, 3, 5) dari R3 dan v = (3, 0, 1, 4) dari R4.

Solusi

352591)5()3()1( 222 u

2616109)4()1()0()3( 2222 v

Contoh

Contoh 1

Solusi

Cari norm dari vektor (2, –1, 3). Normalisasi vektor tersebut.

Norm dari (2, –1, 3) adalah

Vektor ternormalisasi adalah

Vektor dapat ditulis sebagai

Vektor tersebut merupakan vektor satuan pada arah (2, –1, 3).

.143)1(23) ,1 ,2( 222 --

.14

)3 ,1 ,2(14

1-

.14

3 ,

14

1 ,

14

2

-

Sudut antar Vektor (R2)

Gambar 1.18

Hukum cosinus memberikan

Didapatkan,

Untuk u=(a, b) dan v=(c, d). Cari sudut q antara u dan v.

0 q

Definisi Untuk u dan v berupa dua vektor bukan nol dalam Rn. Cosinus dari sudut q

antara vektor tersebut adalah qq

0 cosvu

vu

Contoh 2

Tentukan sudut antara vektor u = (1, 0, 0) dan v = (1, 0, 1) dalam R3.

Solusi 11) 0, (1,0) 0, 1,( vu

2101 1001 222222 vu

Lalu sudut antara u dan v merupakan /4 (atau 45).,2

1cos

vu

vuq

Sudut antara Vektor (Rn)

Definisi Dua vektor bukan nol merupakan orthogonal jika sudut antara mereka merupakan

sudut yang sesuai dengan nilai cos-nya sama dengan 0.

Dua vektor bukan nol u dan v merupakan orthogonal jika dan hanya jika u‧v = 0.

Teorema 1.4

Bukti

0 0cos orthogonalmerupakan , vuvu q

Contoh

Vektor (2, –3, 1) dan (1, 2, 4) merupakan orthogonal karena

(2, –3, 1)‧(1, 2, 4) = (2 1) + (–3 0) + (1 4) = 2 – 6 + 4 = 0.

Sifat-sifat basis standar dari Rn

(1, 0), (0,1) merupakan vektor satuan orthogonal dalam R2.

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) merupakan vektor satuan

orthogonal dalam R3.

Himpunan dari vektor satuan pasangan orthogonal adalah himpunan orthonormal.

Basis standar dari Rn, {(1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1)}

merupakan himpunan orthonormal.

Contoh 3(a) Untuk w berupa vektor dalam Rn. Untuk W berupa himpunan vektor yang

orthogonal pada w. Tunjukkan bahwa W merupakan sub-ruang dari Rn.

(b) Cari basis dari sub-himpunan W dari vektor dalam R3 bahwa orthogonal pada

w=(1, 3, 1). Berikan dimensi dan deskripsi geometris dari W.

Solusi

(a) Untuk u, vW. Karena uw dan vw, sehingga uw=0 dan vw=0.

(u+v)w = uw + vw = 0 u+v w u+v W

Jika c adalah skalar, c(uw) = cuw = 0 cu w cu W

W merupakan sub-ruang dari Rn.

(b) Untuk (a, b, c)W dan (a, b, c)w, maka (a, b, c)(1, 3, 1)=0

a+3b+c=0 W merupakan himpunan {(a, b, -a - 3b) | a, b R}

Karena (a, b, -a - 3b) = a(1, 0, -1) + b(0, 1, -3). Jelas bahwa

{(1, 0, -1), (0, 1, -3)} merupakan basis untuk W dim(W)=2

Gambar 1.19

Contoh 3 (lanjutan)

W merupakan bidang dalam R3 didefinisikan oleh (1, 0, -1) dan (0, 1, -3).

Jarak antar titik

Definisi. Untuk x=(x1, x2, …, xn) dan y=(y1, y2, …, yn) berupa dua titik di Rn.

Jarak antara x dan y didenotasikan d(x, y) dan didefinisikan oleh

Catatan: Dapat dituliskan jarak sebagaimana berikut.

22

11 )()() ,( nn yxyxd -- yx

yxyx -) ,(d

Contoh 4

Tentukan jarak antar titik x = (1,–2 , 3, 0) dan y = (4, 0, –3, 5) dalam R4.

Solusi

74)50()33()02()41(),( 2222 ----yxd

x

yx-y

Jarak antara x=(x1, x2) dan y =(y1, y2) adalah2

22

2

11 )()( yxyx --

Turunan ungkapan Rn.

Contoh 5

Buktikan jarak di Rn yang mempunyai sifat simetris : d(x, y)=d(y, x) untuk suatu

x, y Rn.

Solusi

) ..., , ,(dan ) ..., , ,( 2121 nn yyyxxx yxUntuk

22

11 )()() ,( nn yxyxd -- yx

) ,()()( 22

11 xydxyxy nn --

Teorema 1.5

Ketidaksamaan Cauchy-Schwartz. Jika u dan v merupakan vektor di Rn maka

dimana didenotasikan nilai absolut dari bilangan uv.

vuvu

vu

Teorema 1.6

Untuk u dan v berupa vektor dalam Rn.

(a) Ketidaksamaan segitiga:

||u + v|| ||u|| + ||v||.

(a) Teorema Pythagorean:

Jika u‧v = 0 maka ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2.

Gambar 1.21

Terima Kasih