SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear...

12
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh ANITA NUR MUSLIMAH M01009009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2013 i

Transcript of SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear...

Page 1: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS

oleh

ANITA NUR MUSLIMAH

M01009009

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2013

i

Page 2: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

Page 3: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ABSTRAK

Anita Nur Muslimah. 2013. SISTEM LINEARDALAMALJABARMAKS-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas SebelasMaret.

Aljabar maks-plus adalah aljabar linear atas semiring R dengan R = R ∪{−∞} yang dilengkapi dengan operasi “⊕” yang menyatakan maksimum dan“⊗” yang menyatakan plus. Sistem linear dalam aljabar maks-plus terdiri atassistem persamaan linear dan sistem pertidaksamaan linear. Penelitian ini ber-tujuan mengkaji ulang penyelesaian dari sistem linear dalam aljabar maks-plusdan kaitannya dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat. Metodeyang digunakan dalam skripsi ini adalah studi literatur. Jika matriks A ada-lah matriks reguler kuat maka banyaknya penyelesaian sistem A⊗ x = b adalah0, 1, atau ∞. Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggalmaka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan bayangan sederhana.

Kata kunci: sistem linear aljabar maks-plus, himpunan bayangan, matriksreguler kuat

iii

Page 4: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ABSTRACT

Anita Nur Muslimah. 2013. LINEAR SYSTEM INMAX-PLUS ALGEBRA.Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

Max-plus algebra is the linear algebra over the semiring R where R =R ∪ {−∞}, with the operations “⊕” which is maximum and “⊗” which is plus.There are two linear systems in the max-plus algebra. These are system of linearequations and system of linear inequalities. The purpose of this research is toreview the solution of linear system in max-plus algebra and its relation withthe image set and the strongly regular matrices. This essay method is study ofliterature. If A is a strongly regular matrix then the solution of system A⊗x = bis 0, 1 or ∞. If a system of linear equations has a unique solution then the imageof matrix A is a simple image set.

Key words: linear system of max-plus algebra, image set, strongly regularmatrices

iv

Page 5: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat selesai. Penulis

menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, penulis mendapat bimbingan, du-

kungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan

terima kasih kepada

1. Bapak Drs. Siswanto, M.Si. selaku Pembimbing I yang telah membimbing

dalam penelitian ini dan Ibu Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. se-

laku Pembimbing II yang telah membimbing dalam penulisan skripsi ini,

dan

2. semua pihak yang telah membantu.

Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Surakarta, Desember 2013

Penulis

v

Page 6: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

MOTO

Lakukan yang terbaik.

(Penulis)

vi

Page 7: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan kepada Bapak, Ibu dan kakakku.

vii

Page 8: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Aljabar Min-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Kerangka Berpikir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

IIIMETODE PENELITIAN 11

IVPEMBAHASAN 13

viii

Page 9: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

4.1 Sistem Persamaan Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Sistem Pertidaksamaan Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Himpunan Bayangan dan Matriks Reguler Kuat . . . . . . . . . . 25

V PENUTUP 38

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

DAFTAR PUSTAKA 39

LAMPIRAN 41

ix

Page 10: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

Bab I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Tam [13] menyebutkan bahwa banyak teknologi pada bidang produksi yang

dikembangkan dalam periode 1970-an dan 1980-an. Di bidang produksi terdapat

penjadwalan mesin, antrian dan proses jaringan. Tiga hal tersebut adalah contoh

discrete event system (DES ). Menurut Schutter dan Boom [11], DES adalah

nonlinear dalam (R,+,×). Namun, DES dapat diubah menjadi sistem linear

dalam aljabar maks-plus. Tam [13] menyebutkan bahwa aljabar maks-plus adalah

aljabar linear atas semiring R dengan R = R ∪ {−∞} yang dilengkapi dengan

operasi “⊕” yang menyatakan maksimum dan “⊗” yang menyatakan plus.

Penjadwalan mesin di pabrik adalah contoh DES yang linear dalam aljabar

maks-plus. Misalkan aij adalah lamanya mesin Mj memproduksi komponen Pi

yang dibutuhkan mesin Mi untuk tahap selanjutnya, xj(k) adalah waktu mu-

lai mesin Mj untuk tahap ke-k, dengan i = 1, . . . ,m dan j = 1, . . . , n. Jadi,

waktu selesai setiap mesin memproduksi komponen Pi untuk tahap ke-k ada-

lah aij + xj(k − 1). Oleh karena itu, waktu mulai mesin Mi untuk tahap ke-k

adalah maksimum dari waktu selesai setiap mesin Mj memproduksi komponen

Pi (maks{ai1 + x1(k − 1), . . . , ain + xn(k − 1)}, dengan k = 2, 3, . . .). Dengan

demikian, waktu mulai setiap mesin Mi untuk tahap ke-k + 1 adalah

xi(k + 1) = maks{ai1 + x1(k), . . . , ain + xn(k)}. (1.1)

Di dalam (R,+,×), persamaan (1.1) adalah nonlinear. Namun, di dalam maks-

plus persamaan (1.1) dapat disajikan sebagai

xi(k + 1) = ai1 ⊗ x1(k)⊕ . . .⊕ ain ⊗ xn(k)

1

Page 11: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

yang linear. Jadi, sistem yang memuat waktu mulai setiap mesin Mi untuk tahap

ke-k + 1 dapat ditulis sebagaix1(k + 1)

x2(k + 1)...

xm(k + 1)

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

...

am1 am2 . . . amn

x1(k)

x2(k)...

xn(k)

atau x(k + 1) = A ⊗ x(k), dengan x(k) =

(x1(k) x2(k) . . . xn(k)

)T

adalah

vektor yang memuat waktu mulai setiap mesin Mj untuk tahap ke-k.

Menurut Tam [13], ide aljabar maks-plus ditemukan pertama kali pada ta-

hun 1950-an. Pada tahun 1960, Cuninghame-Green mempublikasikan metode

kolom maksimum untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Setelah

itu, Cuninghame-Green [8] mempublikasikan buku yang salah satu bahasannya

adalah metode residu untuk menyelesaikan suatu sistem linear pada tahun 1979.

Kemudian, publikasi tentang sistem linear dilakukan lagi pada tahun 2000 dan

2003 oleh Butkovic [4, 5]. Pada artikelnya tersebut dibahas himpunan bayangan

sederhana pada pemetaan linear (maks,+) dan hubungan antara aljabar maks-

plus dengan kombinatorik. Lalu pada tahun 2010, Tam [13] mempublikasikan

tesisnya yang memuat sistem linear pada aljabar maks-plus, himpunan bayangan

serta matriks reguler kuat.

Sebagaimana yang ditulis oleh Tam [13], himpunan bayangan dinotasikan

dengan Im(A), yaitu Im(A) = {A ⊗ x|x ∈ Rn}. Kemudian, untuk vektor-

vektor A1, A2, . . . , An ∈ Rm yang bebas linear kuat, jika m = n maka matriks

A = (A1, A2, . . . , An) disebut matriks reguler kuat. Tam [13] dan Butkovic [4]

menyebutkan bahwa penyelesaian sistem persamaan linear dalam aljabar maks-

plus memiliki kaitan dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat. Oleh

karena itu, dalam skripsi ini dikaji ulang sistem linear dalam aljabar maks-plus,

termasuk himpunan bayangan dan matriks reguler kuat dari sistem persamaan

linear aljabar maks-plus yang telah dibahas dalam Tam [13] dan Butkovic [4]. Se-

lain itu, penulis juga memberikan pembuktian yang belum dijelaskan dan contoh-

contoh dari teorema.

2

Page 12: SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS - digilib.uns.ac.id · Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriks A adalah himpunan

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut dapat dirumuskan tiga masalah yaitu

1. bagaimana menentukan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus

dan penyelesaiannya?

2. bagaimana menentukan sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-

plus dan penyelesaiannya?

3. bagaimana kaitan antara penyelesaian dari sistem persamaan linear aljabar

maks-plus dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat?

1.3 Tujuan

Penelitian ini bertujuan untuk

1. menentukan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus dan penye-

lesaiannya,

2. menentukan sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus dan pe-

nyelesaiannya, dan

3. menjelaskan kaitan antara penyelesaian dari sistem persamaan linear alja-

bar maks-plus dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat.

1.4 Manfaat

Skripsi ini diharapkan dapat memberikan penjelasan yang rinci mengenai

sistem linear dalam aljabar maks-plus dan penyelesaiannya berdasarkan hasil

penelitian yang telah dilakukan oleh peneliti sebelumnya.

3