Sistem Persamaan Linear Dan Matriks

Book of study for university 1

1. Sistem Persamaan Linear danMatriks

1.1 PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN CARAMENYELESAIKANNYA

Secara aljabar sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan oleh sebuah persamaan yang berbentuk(1.1)Persamaan ini dinamakan persamaan linear dalam variabel dan . Secara umum, Persamaan Linear dengan variabel didefinisikan dengan (1.2)dengan dan adalah konstanta – konstanta riil.Perlu dicatat bahwa sebuah persamaan linear tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau akar variabel. Semua variabel hanya terdapat sampai dengan derajat pertama dan tidak muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometri, fungsi logaritma, atau fungsi eksponensial.

Contoh 1.1Persamaan – persamaan berikut ini adalah linear :

sedangkan berikut ini bukanlah persamaan linear :

Menyelesaikan persamaan linear (1.2) adalah upaya mendapatkan bilangan katakan sehingga persamaan (1.2) bernilai benar. Artinya bila disubstitusikan nilai-nilai pada persamaan (1.2) ruas kiri sama dengan ruas kanan. Himpunan semua bilangan dinamakan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear.

Contoh 1.2

Carilah himpunan pemecahan setiap persamaan yang berikut :(i) (ii)

Untuk mencari solusi persamaan (i), dapat dilakukan dengan cara menetapkan sembarang nilai untuk . Kemudian dengan nilai tersebut nilai dapat diperoleh. Atau

By m.sukma rohim


dengan cara sebaliknya. Sebagai ilustrasi cara yang dimaksud, misalkan sebuah nilai yang sembarang untuk , maka diperoleh

(1.3)

Solusi secara khusus dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai – nilai tertentu untuk . Misalnya, jika maka persamaan (1.3) menghasilkan dan jika

maka akan diperoleh Untuk mendapatkan solusi dari persamaan (ii) dapat dilakukan dengan cara yang

sama yaitu menetapkan sembarang nilai untuk dua variabel tertentu dan mensubsitusikannya ke persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel ketiga. Sebagai ilustrasi cara yang dimasksud, misalkan ditetapkan nilai – nilai dan untuk masing-masing dan yaitu

untuk mendapatkan nilai variabel subsitusikan dan ke persamaan (ii) akan diperoleh

Definisi 1.1 (Sistem Persamaan Linear): Sebuah himpunan berhingga dari persamaan – persamaan linear dalam variabel- variabel

dinamakan sebuah sistem persamaan linear atau sebuah sistem linear dan ditulis dalam bentuk

(1.4)

dengan dan yang berindeks bawah menyatakan konstanta – konstanta. Persamaan (1.4) disebut sebuah sistem linear yang terdiri dari persamaan linear dengan

bilangan yang tak diketahui.Berdasarkan definisi di atas sistem linear berikut

(1.5)

mempunyai dua persamaan linear dengan tiga variabel.Persamaan (1.5) mempunyai solusi karena nilai – nilai ini memenuhi kedua – dua persamaan. Akan tetapi, bukanlah sebuah solusi karena nilai – nilai ini hanya memenuhi persamaan yang pertama dari kedua persamaan di dalam sistem tersebut. Perlu dicatat bahwa tidak semua sistem persamaan linear mempunyai solusi misalnya sistem linear berikut

Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai solusi dikatakan tak konsisten (inconsistent). Sebaliknya sistem yang mempunyai solusi dinamakan konsisten (consistent).

By m.sukma rohim


Tinjaulah sebuah sistem umum dari dua persamaan linear dalam bilangan – bilangan yang tak diketahui dan :

(1.6)

Kedua persamaan ini memberikan grafik berbentuk garis lurus. Namakan garis–garis tersebut dan . Dari posisi letak kedua garis, ada tiga kemungkinan yang dapat dibuat yaitu kedua garis sejajar atau kedua garis berhimpit/berpotongan di satu titik atau kedua garis berhimpit/berpotongan di banyak titik. Perhatikan Gambar 1.1.

a.

b.

c.

Gambar 1.1

Dari Gambar 1.1 (a) Tidak ada satu titikpun yang yang bersinggungan/berpotongan antara garis dan

. Sebagai konsekuensi kondisi ini tidak ada solusi untuk sistem tersebut. (b) Hanya ada satu titik singgung/potong. Konsekuensi kondisi ini adalah sistem tersebut

persis mempunyai satu solusi.(c) Ada banyak titik singgung/potong yang diberikan kedua garis dan . Di dalam

kasus ini maka ada banyak solusi untuk sistem tersebut.Dari kemungkinan (b) dan (c), titik dikatakan terletak pada garis dan jika dan hanya jika dan memenuhi persamaan-persaman garis pada persamaan (1.6).Hasil yang sama berlaku untuk sembarang sistem. Singkatnya, ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi di dalam mendapatkan solusi sistem persamaan linear yaitu sistem mempunyai satu solusi, atau banyak solusi, atau tidak ada solusi.

Kembali kepada sistem persamaan linear (1.4). Jika semua suku konstan

sama dengan nol yaitu sistem tersebut mempunyai bentuk

(1.7)

maka sistem persamaan linear (1.7) dikatakan sebagai Sistem Persamaan linear Homogen.Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya bahwa tiap–tiap sistem persamaan linear mempunyai satu solusi, atau banyak solusi, atau tidak ada solusi sama sekali.

Berkenaan dengan konsisten atau tidak konsisten, sistem persamaan (1.7) adalah sistem yang konsisten, karena selalu merupakan sebuah solusi. Solusi

By m.sukma rohim


tersebut dinamakan solusi trival (trival solution). Selanjutnya jika ada solusi lain, maka solusi tersebut dinamakan solusi non-trivial (non-trival solution).

Untuk sebuah sistem persamaan linear homogen salah satu diantara pernyataan berikut bernilai benar.1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.2. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan yang tak trivial

sebagai tambahan kepada pemecahan trivial tersebut.Pada kasus khusus dimana sebuah sistem homogen dipastikan mempunyai solusi non-trivial yaitu ketika sistem tersebut memiliki variabel lebih banyak daripada persamaan yang dilibatkan.

1.2 PENULISAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM BENTUK MATRIKS

Definisi 1.2 (Matriks}: Sebuah matriks adalah sebuah susunan segi empat siku–siku dari bilangan–bilangan yang disebut entri.

Contoh 1.3:Susunan berikut adalah matriks.

Dari contoh matriks di atas, ukuran sebuah matriks dinyatakan dengan menyatakan baris (arah horisontal) dan banyaknya kolom (arah vertikal) yang terdapat di dalam matriks tersebut. Matriks pertama di dalam Contoh 1.3 mempunyai 3 baris dan 2 kolom sehingga ukurannya dinyatakan dengan "3x2". Angka "3" menunjukan banyaknya baris dan angka "2" menunjukkan banyaknya kolom. Lebih lanjut, pada Contoh 3 matriks yang berikutnya berturut – turut berukuran "1x4", "3x3", "2x1", dan "1x1".

Pada konteks matriks umumnya digunakan huruf–huruf bold-uppercase (misalnya, A, B, C, dst) untuk menyatakan suatu matriks dan digunakan huruf–huruf lowercase (a, b, c, dst) untuk menyatakan skalar (kuantitas–kuantitas numerik). Sebagai contoh dari ketentuan ini penulisan matriks

adalah dibenarkan. Sebaliknya penulisan matriks sebagai berikut

adalah salah.

Bila digunakan notasi untuk menyatakan entri dengan posisi baris ke- dan kolom ke- dari matriks , maka sebuah matriks A berukuran 3x4 dapat ditulis sebagai

By m.sukma rohim


Dengan cara yang sama sebuah matriks B berukuran dengan entri

dapat dituliskan sebagai

Tinjau kembali sistem persamaan linear (1.4). Penulisan indeks bawah ganda pada skalar adalah menyatakan posisi di dalam sistem tersebut. Indeks bawah pertama (i)

pada skalar menunjukan letak persamaan dimana bilangan tersebut muncul dalam hal

ini berada pada persamaan ke-i. Selanjutnya indeks bawah kedua (j) menunjukan

koefisien untuk variabel ke-j. Sebagai contoh, skalar terdapat dalam persamaan pertama dan merupakan koefisien dari variabel .

Dengan beranggapan bahwa pada sistem persamaan (1.4) tanda " ", dan tanda "" sebagai pemisah antar kolom, maka sistem tersebut dapat disingkat dengan hanya

menuliskan susunan empat persegi panjang dari skalar-skalarnya:(1.8)

Susunan ini dinamakan matriks yang diperbesar (augmented matrix) untuk sistem tersebut. Perlu diingat bahwa anggapan di atas bukanlah alasan matematis untuk menulis matriks augmented tersebut. Alasan yang sebenarnya akan dibicarakan pada bab berikutnya. Untuk sistem persamaan linear berikut

(1.9)

matriks yang diperbesar adalah

Ide dasar untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear adalah mengganti sistem tersebut dengan sebuah sistem yang baru yang mempunyai himpunan pemecahan yang sama, tetapi lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem baru yang dimaksud umumnya diperoleh dengan operasi-operasi: 1. Mengalikan sebuah persamaan dengan sebuah konstanta yang tak sama dengan nol.2. Mempertukarkan dua persamaan.3. Menambahkan kelipatan dari satu persamaan kepada yang lainnya.

Operasi – operasi ini dinamakan operasi baris elementer. Contoh berikut melukiskan

By m.sukma rohim


bagaimana operasi – operasi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (disadur dari buku Elementary Linear Algebra by Howard Anton alih bahasa Pantur Silaban, 1981).

Contoh 1.4

Pada kolom sebelah kiri sebuah sistem persamaan linear (persamaan (1.8)) diselesaikan dengan melakukan operasi – operasi pada persamaan tersebut. Sedangkan pada kolom sebelah kanan sistem yang sama terlebih dahulu diterjemahkan dalam bentuk matriks yang diperbesar lalu dilakukan operasi–operasi pada baris-baris dari matriks tersebut.

Tambahkan –2 kali persamaan per- Tambahkanlah –2 kali baris tama kepada persamaan kedua untuk pertama kepada baris keduamendapatkan untuk mendapatkan

Tambahkanlah –3 kali persamaan per- Tambahkanlah –3 kali baris tama kepada persamaan ketiga untuk pertama kepada baris ketigamendapatkan untuk mendapatkan

Kalikanlah persamaan kedua dengan Kalikanlah baris kedua deng-½ untuk mendapatkan an ½ untuk mendapatkan

Tambahkanlah –3 kali persamaan ke- Tambahkanlah –3 kali baris -dua kepada persamaan ketiga untuk kedua kepada barais ketiga mendapatkan untuk mendapatkan

By m.sukma rohim


Kalikanlah persamaan ketiga dengan Kalikanlah baris ketiga den--2 untuk mendapatkan gan –2 untuk mendapatkan

Tambahkanlah –1 kali persamaan ke- Tambahkanlah –1 kali baris dua kepada persamaan pertama untuk kedua kepada baris pertama mendapatkan untuk mendapatkan

Tambahkanlah kali persamaan Tambahkanlah kali baris

Ketiga kepada persamaan pertama ketiga kepada baris pertama

dan kali persamaan ketiga persa- dan kali baris ketiga kepada

maan kedua untuk mendapatkan baris kedua untuk mendapat-kan

Jadi, solusi sistem persamaan linear (1.9) adalah

Contoh berikut ditujukan kepada sistem persamaan linear homogen. Pada contoh ini akan diperlihatkan bahwa mengapa sistem dengan variabel lebih banyak daripada persamaan memiliki solusi non-trivial.

By m.sukma rohim


Contoh 1.5Selesaikanlah sistem persamaan linear homogen berikut dengan menggunakan operasi baris elementer.

(1.10)

Perhatikan bahwa sistem (1.11) memiliki lima variabel dan empat persamaan. Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah

Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris yang direduksi, maka kita mendapatkan

Sistem persamaan yang bersangkutan adalah

(1.11)

Dengan memecahkannya untuk variabel – variabel utama maka akan menghasilkan

(1.12)

Dengan demikian himpunan penyelesaian sistem (1.10) adalah(1.13) Dengan memilih nilai , pemecahan trival dapat diperoleh.

Contoh 1.5 memberikan gambaran bahwa sistem homogen dengan persamaan dan peubah (bilangan yang tidak diketahui) dan . Dalam hal ini jika ada baris yang tidak nol di dalam bentuk eselon baris yang direduksi dari matriks yang diperbesar maka yang berarti akan ada banyak solusi yang diperoleh. Dari kondisi ini lahirlah teorema berikut:

By m.sukma rohim


Teorema 1.1. Sebuah sistem persamaan linear homogen dengan bila banyak bilangan yang tak diketahui melebihi banyaknya persamaan selalu mempunyai tak terhingga banyaknya solusi.

1.3 METODE MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR:ELIMINASI GAUSS

Metode Eliminasi Gauss didasarkan pada pemikiran untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi sebuah bentuk yang cukup sederhana sehingga suatu sistem persamaan dapat diselesaikan dengan memeriksa sistem tersebut. Di dalam langkah terakhir dari Contoh 1.4 diperoleh bentuk matriks berikut ini

Bentuk matriks seperti ini adalah sebuah contoh dari suatu matriks yang dikatakan dalam bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row-echelon form). Perhatikan bentuk-bentuk matriks dalam contoh berikut

Contoh 1.6

Diberikan sejumlah matriks dalam bentuk sebagai berikut

Matriks–matriks tersebut dikatakan berada di dalam bentuk eselon baris yang direduksi.Kemudian sejumlah contoh matriks dalam bentuk berikut

dikatakan berada dalam bentuk eselon baris.Dari dua bentuk matriks yang berbeda di atas, suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi bila entri tersusun sebagai berikut1. Entri pada baris ke-i tidak seluruhnya bernilai nol tetapi bilangan tak nol pertama di

dalam baris tersebut untuk urutan kolom ke-j terkecil adalah 1 (baca: 1 utama). Bila kondisi ini terpenuhi maka baris tersebut ditempatkan di baris ke-i terkecil. Hal yang sama dilakukan pada kolom ke-j terkecil berikutnya untuk diletak pada baris ke-i terkecil berikutnya lagi. Demikian untuk seterusnya.

2. Jika ada satu atau lebih baris yang seluruh entri-entrinya bernilai nol, maka baris tersebut ditempatkan di baris-baris akhir matriks.

3. Matriks pada sembarang dua baris yang berturutan yang tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan dari pada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai nol ditempat lain.

By m.sukma rohim


Sebuah matriks yang mempunyai sifat–sifat 1, 2, dan 3, dikatakan berada di dalam bentuk eselon baris (row-echelon form).

Contoh 1.7

Matriks–matriks berikut berada di dalam bentuk eselon baris yang direduksi.

Matriks – matriks yang berikut berada di dalam bentuk eselon baris.

Melalui pemeriksaan setiap matriks di atas memenuhi semua persyaratan yang perlu.

Perlu diingat bahwa sebuah matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris ia harus mempunyai nilai nol di bawah setiap 1 utama. Sebaliknya suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris yang direduksi ketika ia mempunyai nilai nol di atas dan di bawah setiap 1 utama.

Suatu sistem persamaan linear yang diterjemahkan ke dalam matriks yang diperbesar yang oleh sebuah urutan operasi baris elementer matriks tersebut berbentuk eselon baris yang direduksi maka solusi untuk sistem tersebut dapat dengan mudah diperoleh. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.8

Matriks yang diperbesar berikut merupakan hasil reduksi oleh operasi baris elementer dari suatu sistem persamaan linear menjadi bentuk eselon baris yang direduksi seperti apa yang diberikan. Tentukan solusi sistem tersebut.

a) b)

c)

d)

Penyelesaian: (a). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah

Dengan pemeriksaan maka,

By m.sukma rohim


(b). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah

Karena dan bersesuaian dengan 1 utama di dalam matriks augmented, maka ia dinamakan variabel–variabel utama (leading variabels). Dengan memecahkan variabel – variabel utama tersebut dalam diperoleh

(1.14)

Karena dapat diberikan sebarang nilai, katanlah , maka kita mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan. Himpunan pemecahan ini diberikan oleh rumus – rumus(1.15)(c). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah

(1.16)

Di sini variabel–variabel utama adalah dan . Dengan memecahkan variabel-variabel dalam variabel lainnya maka akan memberikan

(1.17)

Karena dapat diberikan sebarang nilai , dan dapat diberika sebarang nilai , maka akan ada tak terhingga banyaknya pemecahan. Himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus – rumus(1.18)(d). Persamaan terakhir di dalam sistem persamaan – persamaan yang bersangkutan adalah

Karena persamaan ini tidak pernah dapat dipenuhi, maka tidak ada pemecahan untuk sistem tersebut.

Dari uraian di atas, sebuah sistem persamaan linear akan mudah diselesaikan ketika matriks augmented berada dalam bentuk eselon baris yang direduksi. Untuk sampai kepada matriks eselon baris tereduksi ada prosedur yang biasanya dipakai yang dikenal dengan nama eliminasi Gauss-Jordan Prosedur ini dapat digunakan untuk mereduksi sebarang matriks menjadi bentuk eselon baris yang direduksi. Contoh berikut mendemonstrasikan prosedur yang dimaksud.

By m.sukma rohim


Langkah 1. Letakkanlah kolom yang paling kiri (garis vertikal) yang tidak terdiri seluruhnya dari nol.

Perhatikan bahwa baris pertama tidak bernilai nol pada kolom pertama (paling kiri).

Langkah 2. Pertukarkanlah baris atas dengan sebuah baris lain, jika perlu, membawa sebuah entri tak nol ke atas kolom yang didapatkan di dalam

langkah 1.

Langkah 3. Jika entri yang sekarang ada diatas kolom yang didapatka di dalam langkah 1 adalah , kalikanlah baris pertama dengan untuk memperoleh sebuah 1 utama.

Langkah 4. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris atas kepada baris – baris yang dibawah sehingga entri di bawah 1 utama menjadi nol.

Langkah 5. Sekarang tutuplah baris atas di dalam matriks tersebut dan mulailah sekali lagi dengan langkah 1 yang dipakaikan kepada submatriks yang masih sisa. Teruskanlah dengan cara ini sampai keseluruhan matriks tersebut berada di dalam bentuk eselon baris.

Perhatikan baris kedua kolom paling kiri ia harus menjadi 1 utama

By m.sukma rohim


Perhatikan bahwa baris terakhir kolom paling kiri tidak bernilai 1 utama

Keseluruhan matriks tersebut sekarang berada dalam bentuk eselon baris. Untuk mencari bentuk eselon baris yang direduksi maka kita memerlukan langkah tambahan yang berikut.

Langkah 6. Dengan memulai dari baris tak nol terakhir dan bekerja kearah atas, tambahkanlah angka pengali yang sesuai dari setiap baris kepada baris – baris yang diatas untuk mendapatkan nol diatas 1 utama.

By m.sukma rohim


Matriks yang terakhir berada dalam bentuk eselon baris yang direduksi.

Contoh 1.9

Pecahkanlah dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.

(1.19)

Matriks yang diperbesar untuk sitem tersebut adalah.

Dengan menambahkan –2 kali baris pertama kepada baris pertama dan keempat maka akan memberikan

Dengan mengalikan baris kedua dengan –1 dan kemudian menambahkan –5 kali baris kedua kepada baris – baris ketiga dan –4 kali baris kedua kepada baris keempat maka akan memberikan

Dengan mempertukarkan baris ketiga dan baris keempat dan kemudian mengalikan baris ketiga dari matriks yang dihasilkan dengan 1/6 maka akan memberikan bentuk eselon baris

By m.sukma rohim


Dengan menambahkan – 3 kali baris ketiga kepada baris kedua dan kemudian menambahkan 2 kali baris kedua dari matriks yang dihasilkan kepada baris pertama maka akan menghasilkan bentuk eselon baris yang direduksi

Sistem persamaan – persamaan yang bersangkutan adalah

(Persamaan terakhir, diabaikan karena persamaan tersebut akan secara otomatis dipenuhi oleh pemecahan persamaan lainnya). Dengan memecahkannya untuk variabel – variabel utama, maka diperoleh

(1.20)

Jika kita menetapkan nilai – nilai sebarang dan berturut – turut untuk dan maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus – rumus

(1.21)

Selain metode yang telah dikemukan di Contoh 1.9, metode lain yang dapat digunakan adalah metode substitusi balik ( back substitution ). Metode ini bekerja dengan mengubah matriks yang diperbesar ke dalam bentuk eselon baris. Untuk jelasnya berikut diperagakan metode subsitusi balik untuk sistem yang ada pada Contoh 1.9. Dari perhitungan di dalam Contoh 1.9, sebuah bentuk eselon baris dari matriks yang diperbesar adalah

Sistem persamaan yang diberikan oleh matriks di atas adalah

Metode subsitusi balik dapat dijelaskan sebagai berikut:

By m.sukma rohim


Langkah 1. Selesaikanlah persamaan – persamaan tersebut untuk variabel – variabel utama yaitu

Langkah 2. Dimulai dengan persamaan terakhir kemudian secara bertahap menuju ke persamaan paling atas, substitusikan berturut–turut nilai masing-masing peubah terkait ke setiap persamaan di atasnya.

Dengan mensubstitusikan kedalam persaman kedua maka akan menghasilkan

Dengan mensubstitusikan kedalam persamaan pertama maka akan menghasilkan

Langkah 3. Tetapkanlah nilai – nilai sebarang kepada setiap variabel yang tak utama.Jika nilai – nilai sembarang katakanlah dan berturut – turut untuk dan , himpunan penyelesaian tersebut diberikan oleh rumus – rumus berikut

(1.22)

Bandingkan hasil ini dengan hasil sebelumnya pada Contoh 8.Pada kedua metode yang telah dibicarakan di atas, upaya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris dinamakan Eliminasi Gauss.

Contoh 1.10

Gunakan Eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut

(1.23)

Penyelesaian. Ini adalah sistem di dalam Contoh 1.3. Di dalam contoh tersebut kita mengubah matriks yang diperbesar

By m.sukma rohim


menjadi bentuk eselon baris

Sistem yang bersesuaian dengan matriks ini adalah

Dengan menyelesaikan sistem di atas untuk peubah-peubah utama diperoleh

Mensubstitusikan persamaan terakhir ke persamaan kedua diperoleh bentuk

Mensubstitusikan persamaan terakhir dan kedua ke persamaan pertama diperoleh

(1.24)

Bandingkan hasil ini dengan hasil yang diperoleh dalam Contoh 3.

1.4 OPERASI MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai sama ukuran dan sama nilai entri – entrinya di baris-kolom yang bersesuaian dikedua matriks.

Contoh 1.11

Perhatikan tiga matriks berikut

Di sini karena dan tidak mempunyai ukuran yang sama. Karena alasan yang sama maka . Juga, karena tidak semua entri yang bersangkutan sama.

By m.sukma rohim


Definisi 1.3 (Pejumlahan Dua Matriks): Jika dan adalah matriks yang berukuran sama, maka jumlah kedua matriks ( ) adalah matriks baru yang diperoleh dari menambahkan nilai-nilai entri pada baris-kolom yang bersesuaian. Matriks – matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan.

Contoh 1.12

Tinjaulah matriks – matriks

Maka

sedanngkan dan tidak didefinisikan.

Definisi 1.4 (Perkalian Matriks dengan sebuah Skalar/Konstanta): Jika adalah suatu matriks dan adalah suatu skalar/konstanta, maka hasil kali matriks dengan kalar/konstanta tersebut ( ) adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri dari dengan sklar .

Contoh 1.13

Jika adalah matriks

maka

By m.sukma rohim


Catatlah bahwa jika adalah sembarang matriks, maka akan menyatakan

dan jika dan adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka didefinisikan

sebagai jumlah

Contoh 1.14

Diberikan matriks-matriks dan sebagai berikut

Dari catatan di atas maka

dan

atau

Definisi 1.5 (Perkalian Dua Matriks): Pertimbangkan dan adalah dua buah matriks yang berukuran masing-masing

dan yaitu

dan

Perhatikan . Hasil kali dengan (katakanlah ) yaitu adalah matriks baru yang didefinisikan sebagai

By m.sukma rohim


Untuk pemahaman sederhana, misalkan ingin diketahui entri dari matriks yaitu

21 2 1 21 11 22 21 2 11

r

l l r rl

c a b a b a b a b

sebagai ilustrasi dengan bentuk matriks adalah sebagai berikut

11 12 1 11 12 1111 12

21 22 221 22 2 221 22

1 1 1 2 211 2

r nn

nr n

rnr r m mm m mr

a a a c c cbb b

c c ca a a bb b

bb b c c ca a a

AB C

Contoh 1.15

Tinjaulah matriks – matriks

Di sini berukuran 2x3 dan berukuran 3x4, maka hasil kali berukuran 2x4. Pada , misalnya entir di dalam baris 1 dan kolom 3 dengan cara sebagai berikut

Dengan cara yang sama akan diperoleh hasil sebagai mana ditunjukkan berikut ini

Secara keseluruhan hasil dalam bentuk matriks ditulis sebagai

(yang diberi tanda bujur sangkar) merupakan hasil kali untuk entri .

By m.sukma rohim


Definisi perkalian matriks mengharuskan banyaknya kolom dari sama dengan banyaknya baris dari supaya membentuk hasil perkalian . Jika kondisi ini tidak dipenuhi, maka hasil perkalian tersebut tidak didefinisikan. Contoh 1.16Misalkan adalah matriks berukuran 3x4, adalah matriks berukuran 4x7, dan adalah sebuah matriks 7x3. Maka didefinisikan sebagai matriks 3x7; didefinisikan sebagai matriks 7x4; didefinisikan sebagai matriks 4x3. Hasil – hasil perkalian , , dan semuanya tidak didefinisikan.

Perkalian matriks mempunyai sebuah pemakaian penting kepada sistem – sistem persamaan linear. Tinjaulah suatu sistem yang terdiri dari persamaan linear di dalam bilangan yang tak diketahui.

(1.25)

Karena dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika entri – entri yang bersangkutan sama, maka kita dapat menggantikan persamaan di dalam sistem ini dengan sebuah persamaan matriks tunggal

(1.26)

Matriks pada ruas kiri persamaan ini dapat dituliskan sebagai sebuah hasil perkalian yang memberikan

By m.sukma rohim

Sistem Persamaan Linear Dan Matriks

Documents

Transcript of Sistem Persamaan Linear Dan Matriks