SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MATRIKS DAN DETERMINANdiajukan untuk memenuhi salah satu tugas yang diberikan pada matakuliah aljabar linear yang di ampu oleh bapak Eka Fitrajaya Rahman, Drs., MT.

Disusun oleh :Anisha Yahdiani MulyadiMuhammad Aziz AshariRahmaniansyah Dwi Putri

C2 Ilmu Komputer 2013PROGRAM STUDI ILMU KOMPUTER DAN PENDIDIKAN ILMU KOMPUTERFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIABANDUNG2014

2

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr.WbPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wataala, karena berkat rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul Sistem Persamaan Linear dengan Matriks dan Determinan. Makalah ini merupakan rangkuman dari buku Aljabar Linear Elementer karya Howard Anton dan Chris Rorres. Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer. Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya. Makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini.Semoga makalah ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Bandung, 10 Desember 2014

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTARiDAFTAR ISIiiBAB I PENDAHULUAN11.1 Latar Belakang11.2 Rumusan Masalah11.3 Tujuan11.4 Metode Penulisan1BAB II ISI22.1. HASIL LEBIH LANJUT PADA SISTEM PERSAMAAN DAN KETERBALIKAN22.1.1 Penyelesaian Sistem Linear dengan Inversi Matriks22.1.2 Sifat-Sifat Matriks Yang Dapat Dibalik32.2. MATRIKS DIAGONAL, MATRIKS SEGITIGA, DAN MATRIKS SIMETRIK52.2.1 Matriks Diagonal52.2.2 Matriks Segitiga62.2.3 Matriks Simetrik82.3. DETERMINAN92.3.1 FUNGSI DETERMINAN92.3.2 Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris122.3.3 Sifat-Sifat Fungsi Detereminan142.3.4 Ekspansi Kofaktor; Aturan Cramer16BAB III PENUTUP203.1 Kesimpulan20DAFTAR PUSTAKAXXI

ii

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangPersamaan linearadalah sebuahpersamaanaljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta denganvariabeltunggal. Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2A =tentukan determinan Auntuk mencari determinan matrik A maka,detA = ad bc1.2 Rumusan Masalah1. Perhitungan Hasil Lebih lanjutan pada sistem persamaan dan keterbalikan?2. Perhitungan dengan Matriks Diagonal, segitiga dan Simetrik?3. Perhitungan Determinan?1.3 TujuanMakalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer, yang diberikan oleh dosen kami Bapak Eka Fitrajaya Rahman, Drs., MT. Dan1. Mengetahui perhitungan Hasil Lebih lanjutan pada sistem persamaan dan keterbalikan?2. Mengetahui perhitungan dengan Matriks Diagonal, segitiga dan Simetrik?3. Mengetahui perhitungan Determinan?1.4 Metode PenulisanPenulis menggunakan metode observasi dan kepusatakaan. Cara yang digunakan dalam penulisan adalah Studi pustaka1

BAB IIISI2.1. HASIL LEBIH LANJUT PADA SISTEM PERSAMAAN DAN KETERBALIKAN

Teorema Dasar : Bahwa setiap sistem linear mungkin tidak memiliki solusi, tepat satu solusi, atau takterhingga banyaknya solusi.Teorema 1.6.1 : Sistem persamaan linear memiliki sakah satu dari tiga kemungkinan, yaitu ; tidak memiliki solusi, tepat satu solusi, atau takterhingga banyak solusi.Takterhingga banyak nya solusiAx = bmisalkan = - dimana dan adalah dua solusi yang berbeda sehingga matriks adalah taknol; terlebih lagi.= Jika kita misalkan k adalah skalar sembarang, maka

Di mana adalah solusi dari Ax = b karena adalah taknol, maka persamaan Ax = b memiliki banyaknya takterhingga solusi.2.1.1 Penyelesaian Sistem Linear dengan Inversi Matriks

Teorema 1.6.2 : Jika A adalah suatu matriks n x n yang invertible (dapat dibalik/ memiliki invers), maka untuk setiap matriks b, n x 1, sistem persamaan Ax = b tepat mempunyai satu penyelesaian, yaitu x = b

A = A-1 = . . . ?Jawab :

Baris ke 2 dikurang 2 kali baris pertama dan baris ke 3 dikurang 4 kali baris pertama untuk mendapatkan nol.A I =

Baris ke 2 ditukar baris ke3. =

Baris ke 3 dikalikan baris ke 3, untuk mendapatkan 1 utama. =

Baris ke 3 dikurangi baris ke 2 untuk mendapatkan nol. =

= I A-12.1.2 Sifat-Sifat Matriks Yang Dapat Dibalik

Teorema 1.6.3 : Misalkan A adalah matriks bujursangkar(a) jika B adalah matriks bujursangkar yang memenuhi BA = I, maka B = A-1(b) jika B adalah matriks bujursangkar yang memenuhi AB = I, maka B = A-1Teorema 1.6.4 : Pernyataan-pernyataan yang EkuivalenJika A adalah matriks n x n,(a) A dapat di balik.(b) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial.(c) Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah (d) A dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari matriks-matriks ementer(e) = b adalah konsisten untuk setiap matriks b, n x l(f) memiliki tepat satu solusi unutk setiap matriks b, nx l.Contoh SoalSyarat-syarat apakah yang harus dipenuhi agar sistem persamaan

konsisten?PenyelesaianMatriks yang diperbesar adalah yang dapat direduks menjadi bentuk eselon sebagai berikut

-1 kali bariss pertama ditambahkan ke baris kedua dan-2 kali baris pertama ditambahkan ke baris ke tiga

Baris kedua dikalikan denga -1

Baris kedua ditambahkan ke baris ketigaDari baris ketiga pada matriks, tampak bahwa sistem memiliki solusi jika dan hanya jika ,memenuhi syarat

Untuk menyatakan syarat ini dengan cara lain, adalah konsisten jika dan hanya jika b adalah matriks dengan bentuk dimana dan adalah sembarang.

2.2. MATRIKS DIAGONAL, MATRIKS SEGITIGA, DAN MATRIKS SIMETRIK2.2.1 Matriks DiagonalSuatu matriks bujursangkar yang semua entrinya yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol disebut matriks diagonal. Berikut ini beberapa contohnya:\

. .

Suatu matriks diagonal umum Dn n x n, dapat ditulis sebagai D= (1)Matriks diagonal (1) dapat diinverskan menjadiD-1= Dibuktikan bahwa DD-1 = D-1 D = I, membuktikan bahwa jika D adalah matriks diagonal pada (1) dan k adalah integer positif, makaDk= Contoh matriks diagonal :JikaMaka =

= Didefinisikan untuk mengalikan matriks A di sisi kiri dengan matriks diagonal D, dapat mengalikan baris-baris yang berurutan dari A dengan entri-entri diagonal yang berurutan dari D dan untuk mengalikan A pada sisi kanan dengan D dapat dilakukan dengan mengalikan kolom-kolom yang berurutan dari A dengan entri-entri diagonal yang berurutan dari D.2.2.2 Matriks Segitiga

Matriks bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga bawah dan matriks bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga atas. Suatu matriks, baik segitiga bawah atau segitiga atas disebut matriks segitiga.

Matriks segitiga atas umum 4 x 4

Empat karakteristik matriks segitiga yang berguna :1. Suatu matriks bujursangkar A= [Aij] adalah matriks segitiga atas, jika dan hanya jika baris ke-I dimulai dengan paling tidak i 1 nol.2. Suatu matriks bujursangkar A= [Aij] adalah matriks segitiga bawah, jika dan hanya jika kolom ke-j dimulai dengan paling tidak j l nol.3. Suatu matriks bujursangkar A= [Aij] adalah matriks segitiga atas, jika dan hanya jika aij = 0 untuk i > j.4. Suatu matriks bujursangkar A= [Aij] adalah matriks segitiga atas, jika dan hanya jika aij = 0 untuk i < j.Teorema :1. Transpos dari matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah.2. Hasilkali dari matriks-matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan hasilkali dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.3. Suatu matriks segitiga dapat dibalik jika dan hanya jika entri-entri pada diagonalnya semuanya bilangan tak nol.4. Invers dari matriks segitiga bawah yang dapat dibalik adalah matriks segitiga bawah, dan invers dari matriks segitiga atas yang dapat dibalik adalah matriks segitiga atas.Contoh :A = B = Keterangan :Matriks A dapat dibalik karena entri-entri diagonalnya tak nol, sedangkan matriks B tidak dapat dibalik.Diinverskan :A-1 = (Invers matriks segitiga atas)

2.2.3 Matriks Simetrik adalah matriks bujursangkar A, jika Contoh :

Teorema 1.7.2 : Jika A dan B adalah matriks-matriks simetrik dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar sembarang, maka :(a) adalah simetrik(b) A + B dan A B adalah Simetrik(c) KA adalah simetrikContoh Hasil Kali Matriks Simetriks

Teoreman 1.7.3 : Jika A adalah matriks simetrik yang dapat dibalik, maka adalah simetrik.Contoh Hasilkali Matriks dan Transposenya adalah SimetrikMisalkan A adalah matriks 2 x 3

Maka1

Perhatikanlah bahwa dan adalah simetrik Teorema 1.7.4 : Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka juga dapat di balik

2.3. DETERMINAN2.3.1 FUNGSI DETERMINANDalam bagian ini kita memulai pengkajian fungsi bernilai rill dari sebuah peubah matriks, yakni fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan riil dengan sebuah matriks . Sebelum kita mampu mendefinisikan fungsi determinan, maka kita perlu menetapkan beberapa hasil yang menyangkut permutasi.

Definisi : Permutasi bilangan-bilangan bulat adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghasilkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut.

Contoh : Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat . Permutasi-permutasi ini adalah(1, 2, 3)(2, 1, 3)(3, 1, 2)(1, 3, 2)(2, 3, 1)(3, 2, 1)Salah satu metode yang mudah secara sistematis mendaftarkan permutasi-permutasi adalah dengan menggunakan pohon permutasi (permutation tree). Contoh :312212133112332

Untuk menyatakan permutasi umum dari himpunan , maka kita akan menuliskan . Disini, adalah bilangan bulat pertama dalam permutasian, adalah bilangan bulat kedua, dan seterusnya. Sebuah invers (inversion) dikatakan terjadi dalam permutasi jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil. Jumlah invers seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai berikut:1) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari dan yang membawa dalam mutasi tersebut.2) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari dan yang membawa dalam mutasi tersebut.Teruskanlah proses penghitungan ini untuk . Jumlah bilangan-bilangan ini akan sama dengan jumlah invers seluruhnya dalam permutasi tersebut.Contoh :Tentukanlah banyaknya invers dalam permutasi-permutasi berikuta) (3, 4, 1, 5, 2)b) (4, 2, 5, 3, 1)Jawab:a) Banyaknya invers adalah 2 + 2 + 0 + 1 = 5b) Banyaknya invers adalah 3 + 1 + 2 + 1 = 7

Definisi : sebuah permutasi dinamakan genap (even) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil.

Contoh :Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi dari sebagai genap atau ganjil.PermutasiBanyaknya InversKlasifikasi

(1, 2, 3)0Genap

(1, 3, 2)1Ganjil

(2, 1, 3)1Ganjil

(2, 3, 1)2Genap

(3, 1, 2)2Genap

(3, 2, 1)3Ganjil

Fungsi Determinan Definisi : misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definiskan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A jumlah det(A) kita namakan determinan A. Contoh 5 det =

det =

Caranya sebagai berikut :

Dengan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri.

Contoh 6 Hitunglah determinan-determinan dari :A. = B. = Dengan menggunakan cara dari contoh 5 maka :det(A) = (3)(-2) (1)(4) = -10dengan mnggunakan cara dari contoh 5 maka :det(A) = (45) + (84) + (96) (105) (-48) (-72) = 240*Perhatian bahwa metode/cara yang digunakan pada contoh 5 dan 6 tidak berlaku determinan matriks 4 x 4 atau untuk matriks yang lebih tinggi.

2.Teorema 1 : jika A adalah sembarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det (A) = 03.2 Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris

Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua entri di bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita namakan segitiga bawah (lower triangular), jika semua entri di atas diagonal utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga atas maupun segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).Contoh:Sebuah matriks segitiga atas 4 4 yang umum mempunyai bentuk Sebuah matriks segitiga bawah 4 4 yang umum mempunyai bentuk

Teorema 2 : jika A adalah matriks segitiga , maka det (A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama; yakni det (A) = .

Contoh:

Teorema 3: Misalkan A adalah sembarang matriks .Jika adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det = k det(A).Jika adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det = - det(A).Jika adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det = det(A). = 1 . 1 . 7 = 7

Contoh :

Karena operasi perkalian maka kebalikannya dikali A = = - 2 = = 4 = 4 . (-2)= -8

ditukar Karena pertukaran antar baris maka dikali . = = = - (-2)= 2

Karena pertambahan antar baris maka tidak berpengaruh. = = = -2 Contoh :A = Det (A) = Kita tidak memerlukan reduksi selanjutnya karena dari Teorema 1 kita peroleh bahwa det (A) = 0. Dari contoh ini seharusnya sudah jelas bahwa bila matriks kuadrat mempunyai dua baris yang terdiri dari bilangan nol dengan menambahkan kelipatan yang sesuai dari salah satu baris ini pada baris yang satu lagi. Jadi, jika matriks kuadrat mempunyai dua baris yang sebanding, maka determinannya sama dengan nol.

Contoh : Karena baris pertama dan kedua sebanding yaitu 1 : 2 maka det (A) = 0.

2.3.3 Sifat-Sifat Fungsi Detereminan

Teorema 4. Juka A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) =det (At).

Pernyataan. Karena hasil ini, maka hampir tiap-tiap teorema mengenai determinan yang mengandung perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila perkataan kolom disubstitusikan untuk baris. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita hanya perlu mentranspos (memindahkan) matriks yang di tinjau untuk mengubah pernyataan kolom tersebut pada pernyataan baris, dan kemudian menerapkan hasil yang bersesuaian yang sudah kita ketahui untuk baris.Contoh Hitunglah determinan dariA = Determinan ini dapat di hitung seperti sebelumunya dengan menggunakan operasi baris elementer untuk mereduksi A pada bentuk eelon baris. Sebaliknya, kita dapat menaruh A pada bentuk segitiga bawah dalam satu langkah dengan menambahkan -3 kali kolom pertama pada kolom keempat untuk mendapatkanDet (A) = det =(1)(7)(3)(-26)= -546Contoh ini menunjukkan bahwa selalu merupakan hal yang bijaksana untuk memperhatikan operasi kolom yang tepat yang akan meringkaskan perhitungan tersebut.Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n x n dan k adalah sebarang skalar. Kita karang meninjau hubungan yang mungkin di antara det(A), det(B), dan det(kA), det(A + B), dan det(AB)karena sebuah faktor bersama dari sebarang baris matriks dapat dipindahkan melalui tanda det, dan karena setiap baris n baris dalam kA mempunyai factor bersama sebesr k, maka kita dapatkan det(kA) = kn det(A)

Teorema 5. Misalkan A, A, dan A adalah matiks n x n yang hanya berbeda dalam garis tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A. Maka det(A) = det (A) + det (A)Hasil yang serupa berlaku untuk kolom-kolom itu.

Contoh Dengan menghitung determinan, anda dapat memeriksa bahwa

det = +

Teorema 6. Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) = det(A)det(B)

Contoh Tinjaulah matriks-matriks

Kita peroleh det(A) det(B) = (1) (-23) = -23. Sebaliknya dengan perhitungan langsung maka det(AB) = -23, sehingga det(AB) = det(A) det(B).

Teorema 7. Sebuah matriks A kuadrat dapat di balik jika dan hanya jika det(A) 0

Contoh Karena baris pertama dan baris ketiga dari

Sebanding, maka det(A) = 0, jadi A tidak dapat dibalik

2.3.4 Ekspansi Kofaktor; Aturan CramerPada bagian ini kita meninjau sebuah metode untuk mengitung determinan yang berguna untuk perhitungan yang menggunakan tangan dan secara teoritis penting penggunaannya. Sebagai konsekuensi dari kerja kita di sini, kita akan mendapatkan rumus untuk invers dari matriks yang dapat dibalik dan juga akan mendapatkan rumus untuk pemecahan sistem-sistem persamaan linear tertentu yang dinyatakan dalam determinan.

Definisi : Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke j dicoret dari A. Bilangan (-1)i + jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij.

Contoh :Misalkan

Minor entri a11 adalah

Kofaktor a11 adalahC11 = (-1)1 + 1 M11 = M11 = 16Demikian juga, minor entri a32 adalah

Kofaktor a32 adalahC32 = (-1)3 + 2 M32 = M32 = 26Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen aij hanya berbeda dalam tandanya, yakni, Cij = Mij. Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda merupakan kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke i dan kolom ke j dari susunan

Misalnya, C11 = M11, C21 = M21, C12 = M12, C22 = M22, dan seterusnya.Tinjaulah matriks 3 x 3 umum

dapat kita tuliskan kembali menjadi

Karena pernyataan-pernyataan dalam kurung tidak lain adalah kofaktor-kofaktor C11, C21 dan C31, maka kita peroleh

Persamaan di atas memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kalinya. Metode menghitung det(A) ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.Contoh :Misalkan

Hitunglah det(A) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.

Pemecahan.

Perhatikan bahwa dalam setiap persamaan semua entri dan kofaktor berasal dari baris atau kolom yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-ekspansi kofaktor det(A).Hasil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks 3 x 3 membentuk kasus khusus dari teorema umum berikut, yang kita nyatakan tanpa memberikan buktinya.

Teorema 8.Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1 i n dan 1 j n

Maka, ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j

dan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i

Jika matriks A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks

Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A).

Teorema 9.Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka

Teorema 10 (Aturan Cramer)Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan takdiketahui sehingga det(A) 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yan unik. Pemecahan ini adalahdimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan mengganti entri-entri dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri dalam matriks

BAB IIIPENUTUP3.1 KesimpulanPada pemaparan di atas dapat ditarik kesimpulan, bahwa setiap sistem linear mungkin tidak memiliki solusi, tepat satu solusi, atau takterhingga banyaknya solusi. Terdapat hal unik untuk membedakan setiap jenis matriks karena setiap matriks tertentu memiliki sifat. Sebuah permutasi dinamakan genap (even) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil.DAFTAR PUSTAKAXXI