Aljabar Linear

Evangs Mailoa

& Matriks

Pert. 6

Minor dan Kofaktor

Matriks A berukuran 3x3,

Maka, Pernyataan (1) merupakan masing-masing determinan dari:

(1)

Definisi

Jika A adalah suatu matriks bujursangkar, maka minor dari entri aij dinyatakan sebagai Mij dan difenisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.

Bilangan (−1)i+j Mij dinyatakan sebagai Cij dan disebut kofaktor dari entri aij.

Misalkan

Contoh 1 Menghitung minor dan kofaktor

Minor dari entri a11 adalah: Minor dari entri a32 adalah:

Kofaktor dari entri a11 adalah: Kofaktor dari entri a32 adalah:

Perhatikan kofaktor dan minor dari suatu elemen aij hanya berbeda dalam tandanya, dimana Cij = ∓Mij.

Cara untuk menentukan apakah tanda − atau + yang digunakan adalah dengan menentukan fakta bahwa tanda yang berkaitan dengan Cij dan Mij berada dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari susunan “papan catur” berikut:

Contoh:

Ekspansi Kofaktor

Menurut pernyataan (1),

Dapat dapat ditulis dalam bentuk minor dan kofaktor sebagai

Metode perhitungan determinan dalam pernyataan (2) disebut ekspansi kofaktor (cofactor expansion) sepanjang baris pertama dari A.

(2)

Hitunglah det(A), dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama!

Penyelesaian

Contoh 2 Ekspansi Kofaktor Baris Pertama

Ekspansi Kofaktor

Determinan dari matriks A, n x n, dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada sembarang baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menjumlahkan hasilkali-hasilkali yang diperoleh; dimana setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n

dan

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

Hitunglah det(A), dengan menggunakan ekspansi kofaktor kolom pertama!

Penyelesaian

Contoh 3 Ekspansi Kofaktor Kolom Pertama

Hitunglah determinan dari matriks:

Contoh 4 Menghitung Determinan Matriks 2000 x 2000

Penyelesaian:

Penyelesaian:

Penyelesaian:

diekspansikan sepanjang kolom pertama

Adjoin dari matriks

Jika A adalah matriks n x n sembarang dan Cij adalah kofaktor dari aij, maka matriks disebut matriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut sebagai adjoin dari A dan dinyatakan sebagai adj(A).

Misalkan

Kofaktor-kofaktor dari S adalah

Jadi matriks kofaktor adalah

dan Adjoin dari s adalah

Contoh 5 Adjoin dari Matriks 3x3

Invers Matriks menggunakan Adjoinnya

Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik, maka

Contoh 6 Menentukan invers dengan adjoin

Carilah invers dari matriks berikut:

Penyelesaian:

Dapat dihitung bahwa det(S) = 64

Adjoin dari S =

Maka invers dari S adalah

Aturan Cramer

Jika Ax = b adalah suatu sistem dengan n persmaan linier dengan faktor yang tidak diketahui sedemikian rupa sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem ini memiliki solusi yang unik.

Solusinya adalah

di mana Aj adalah matriks yang

diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom ke-j dari A dengan entri-entri pada matriks.

Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan:

Penyelesaian:

Contoh 7 Aturan Cramer

Mau bertanya..?