DETERMINAN

DEFINISI

• Untuk setiap matriks persegi (bujur sangkar), ada satu bilangan tertentu yang disebut determinan

• Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari suatu matriks bujur sangkar.

Disimbolkan dengan:

AA det

• Metode untuk menghitung determinan matriks:

1. Metode Sarrus

2. Ekspansi Kofaktor (Teorema Laplace)

3. Eliminasi Gauss

Jika |A| 0 disebut matriks non singular

METODE SARRUS

Determinan Orde Tiga

Determinan Orde Dua

Contoh:

MINOR & KOFAKTOR

Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

Dinotasikan dengan Mij

Contoh Minor dari elemen a₁₁

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A3332

2322

11aa

aaM

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

444342

343332

242322

11

aaa

aaa

aaa

M

Minor

Minor

Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)

Kofaktor Matriks

Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan

Contoh : Kofaktor dari elemen a11

Kofaktor dari elemen a23

1111

11

11 )1( MMc

2323

32

23 )1( MMc

Kofaktor Matrik

• Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan

tanda + atau tanda – merupakan penggunaan tanda

yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris

ke – i dan kolom ke – j dari susunan :

............

...

..

..

..

..

Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23

Determinan Matrik dengan Ekspansi

Kofaktor

• Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung

dari jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang

baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya


Kofaktor pada Baris

Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

|A|

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

)()()( 312232211331233321123223332211

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

131312121111

131312121111

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca


Kofaktor pada Baris

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua

|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga

|A|

)()()( 311232111331133311223213331221

3231

1211

23

3331

1311

22

3332

1312

21

232322222121

232322222121

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca

)()()( 211222113321132311322213231231

2221

1211

33

2321

1311

32

2322

1312

31

333332323131

333332323131

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca


Kofaktor pada Kolom

Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi

kofaktor kolom pertama |A|

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

)()()( 221223123132133312213223332211

2322

1312

31

3332

1312

21

3332

2322

11

313121211111

313121211111

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca


Kofaktor pada Kolom

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua

|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga

|A|

)()()( 211313113231133311223123332112

2321

1311

32

3331

1311

22

3331

2321

12

323222221212

323222221212

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca

)()()( 211222113331123211233122322113

2221

1211

33

3231

1211

23

3231

2221

13

333323231313

333323231313

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca

Contoh 1

• Misalkan kita punya matriks A =

– Tentukan minor entri a11, a12, dan a13

– Tentukan juga kofaktor entri M11, M12 dan M13 !

• Penyelesaian :

– minor entri a11 adalah M11

– kofaktor a11 adalah C11

841

652

413

166*48*584

65

1616*184

65)1( 11

Contoh 1

• A =





841

652

413

101*68*281

62

1010*)1(81

62)1( 21

31*54*241

52

33*141

52)1( 31

245

342

013

24

34

25

32

45

42

Hitung Det(A) bila A =

= 3 + 0

= (3)(-4) – (1)(-11)

= -12 + 11

= -1

Contoh:

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama

- 1

Contoh 2

Eliminasi Gauss

Matriks dijadikan segitiga atas atau segitiga bawah

Solusi

Det A= -1/5

SOAL LATIHAN

Hitung determinan matriks diatas dengan metoda Sarrus

Minor & Kofactor dan eliminasi gauss

1154

932

1021

A

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

• Apabila semua unsur dalam 1 baris atau 1 kolom = 0, maka harga determinan matriks = 0

• Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris.

TAA

Contoh:

953

732

321

B 1

953

732

321

det B

• Nilai determinan tidak berubah jika dilakukan operasi elementer matriks

D2=A2-( 2x A1)

Jadi, determinan D = determinan A


• Jika B diperoleh dari A dengan mempertukarkan setiap dua barisnya atau kolomnya, maka:

AC Contoh:

Baris 1 ditukar dengan baris 3


• Jika dua baris atau kolomya dari A adalah identik, maka :

• Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor (yang bukan nol), maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut.

0A

Contoh: B2=3 x A2


1A 3B

Jadi, determinan B = 3 x determinan A

• Jika matriks persegi A adalah matriks segitiga atas atau bawah, maka determinan dari matriks A adalah hasil kali dari elemen–elemen diagonalnya.

Contoh:

Contoh:

• Jika matriks persegi A mempunyai invers, maka:

8

• Jika A dan B adalah dua matriks bujur sangkar, maka:

BAAB

• Misal A, B dan C adalah matriks persegi berukuran n x n yang berbeda di salah satu baris atau kolomnya, misal di baris ke-r yang berbeda. Pada baris ke-r matriks C merupakan penjumlahan dari matriks A dan B maka:

Contoh:

Adjoint

• Definisi:

– Jika A sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor

aij, maka matriks

dinamakan matriks kofaktor A

– Transpose dari matriks kofaktor adalah adjoint

(sering ditulis adj(nama_matriks)

– Transpose matriks kofaktor A adalah Adjoint A

(adj(A))

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

...

............

...

...

21

22221

11211

Adjoint

• Contoh:

– Cari nilai kofaktor • C11 = (-1)1+1 (6*0 – 3*(-4)) = 12

• C12 = (-1)1+2 (1*0 – 3*2) = 6

• C13 = (-1)1+3 (1*(-4) – 6*2) = -16

• C21 = (-1)2+1 (2*0 – (-1)*(-4)) = 4

• C22 = (-1)2+2 (3*0 – (-1)*2) = 2

• C23 = (-1)2+3 (3*(-4)– 2*2) = 16

• C31 = (-1)3+1 (2*3 – (-1)*6) = 12

• C32 = (-1)3+2 (3*3 – (-1)*1) = -10

• C33 = (-1)3+3 (3*6 – 2*1) = 16

• Matriks Kofaktor A

• Transpose matriks

kofaktor A adalah Adjoint

A (adj(A))

042

361

123

A

161012

1624

16612

161616

1026

12412

)(AAdj

DETERMINAN -...

Documents

Transcript of DETERMINAN -...