Vektor Ruang 2D dan 3D -...
Transcript of Vektor Ruang 2D dan 3D -...
Vektor Ruang 2D dan 3D
Besaran
Skalar (Tidak mempunyai arah)
Vektor (Mempunyai Arah)
Vektor Geometris
• Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak tertentu.
• Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu.
• Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3.
• Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya vektor.
• Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor • Ujung panah disebut titik ujung vektor • Vektor ditulis dalam huruf kecil (a, k, v, w, x), sedangkan
Skalar ditulis dengan huruf kecil miring (a, k, v, w, dan x)
• Jika menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis
dengan lambang = , panjang vektor u dinyatakan
dengan |u| dan panjang vektor AB dinyatakan dengan AB
AB
Vektor Secara Geometri
vAB
• Vektor - vektor yang panjang dan arahnya sama disebut ekuivalen, vektor-vektor yang ekuivalen dipandang sama walaupun mungkin terletak pada posisi yang berbeda.
• Jika v dan w ekuivalen, kita tuliskan : v = w
A
B
Vektor AB Vektor-vektor yang ekuivalen
Vektor Secara Geometri
Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka jumlah v dan w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut :
• Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v.
• Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal v ke titik ujung w.
v
w
v + w
v + w = w + v
Vektor Secara Geometri
• Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0.
• Jika v adalah sembarang vektor tak nol, maka –v, negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik.
-v
v
Vektor ini mempunyai sifat : v + (-v) = 0
Vektor Secara Geometri
Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai :
v – w = v + (-w)
Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0
v-w v
w
Vektor Secara Geometri
Vektor pada Sistem Koordinat (aljabar)
Vektor Posisi (pada koordinat Cartesius)
Operasi Vektor Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
u
v vu
u v
vu
Misalkan dan adalah vektor – vektor
didefinisikan
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka
Penjumlahan Vektor
u
Perkalian Vektor dengan Skalar
u
u2
u2
u uk
u
uu
Perkalian vektor dengan skalar k,
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang vektor dengan arah
Jika k > 0 searah dengan
Jika k < 0 berlawanan arah dengan
321 ,aaaa 321 ,, bbbb
332211 ,,.1 babababa
332211 ,,.2 babababa
321 ,,.3 kakakaak
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas
dapat dijelaskan sebagai berikut :
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
dan
maka
Misalkan
Penjumlahan Vektor & Perkalian Skalar
Hasilnya
merupakan
Vektor
Perkalian 2 Vektor
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang yang sama
yang menghasilkan skalar
Hasil kali titik (dot product)
Hasil kali silang merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
Hasil kali silang (Cross product)
Perkalian Titik (dot product)
Misalkan adalah vektor pada ruang/dimensi
yang sama maka hasil kali titik antara dua vektor :
dimana
: panjang
: panjang
: sudut keduanya
,v w
,v
w
v
w
Hasilnya
merupakan Skalar
Perkalian Titik (dot product)
Contoh:
Tentukan hasil kali titik dari dua vektor
dan
Jawab :
Karena tan = 1 , artinya = 450
= 4 (skalar) = 4 (skalar)
ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2
cosbaba
22
1.8.2
2211 .. bababa
2.02.2
Perkalian Titik (dot product)
abba
cabacba
Rkbkabakbak dimana,
Beberapa sifat perkalian titik adalah:
Proyeksi Ortogonal
Vektor ortogonal : vektor-vektor yang tegak lurus, 0wv
u
Proyeksi Ortogonal u
Proyeksi Ortogonal u
Contoh:
Tentukan proyeksi ortogonal
vektor u terhadap vektor v
3
4
2
u
4
3
1
v
4
3
1
4
3
1
26
26
4
3
1
26
)12()12(2
4
3
1
)4(31
4
3
1
3
4
2
222
2v
v
vuuPv
Perkalian Silang (Cross product)
Merupakan hasil kali antara 2 vektor di Ruang (R3) yang
menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor
yang dikalikan tersebut.
Perkalian Silang (Cross product)
Contoh :
Tentukan dimana ;
Jawab :
vuw
321
321
ˆˆˆ
vvv
uuu
kji
w
2,2,1 u )1,0,3(v
103
221
ˆˆˆ
kji
j)2(31.1 k2.30.1
kji ˆ6ˆ7ˆ2
i)2(01.2
Matriks & Ruang Vektor
ATA 2014/2015
Pengantar Vektor Latihan
Matriks & Ruang Vektor
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: a, b, c, d, e, f
Matriks & Ruang Vektor
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: 2
Matriks & Ruang Vektor
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: 5
Matriks & Ruang Vektor
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: d Trace out the vector u starting at the tail and moving along the vectors a, b and c until you reach the head of u.
Matriks & Ruang Vektor
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: b
Matriks & Ruang Vektor
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: c
Matriks & Ruang Vektor
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: a
Matriks & Ruang Vektor
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: d