DETERMINAN MATRIKS

1

Nurdinintya Athari(NDT)

Determinan Matriks

Sub Pokok Bahasan• Pendahuluan determinan matriks• Determinan dengan OBE• Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Beberapa Aplikasi Determinan Solusi SPL Optimasi Model Ekonomi dan lain-lain.

pendahuluanMisalkan A adalah matriks persegi n x n,Determinan A dapat diperoleh melalui:• OBE• Perluasan kofaktor

Notasi determinan dari matriks A :Det(A) or |A|

Det(A) ≠ 0 jika dan hanya jika matriks A memiliki invers.

Contoh : Tentukan Determinan matriks

Jawab :Det(A3x3) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31

– a11 a23 a32 – a12 a21 a33

atau

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

2331

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

A

Contoh :Tentukan determinan matriks

Jawab :

122011123

B

122011123

det

B

)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(

202203

1

221123

Menghitung Determinan dengan OBEPerhatikan :a.

b.

c.

33021

det

45987054001

det

24600540321

Dengan mudah…Karena hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol

Det(A) =Hasil kali unsur diagonal?

Hitung Det.Matriks Bukan

Segitiga???

Perlu OBE untuk menentukan determinansuatu matriks yang bukan segitiga.

Caranya : Matriks persegi ~ matriks segitiga

Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatumatriks, yaitu :1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali

pertukaran baris, maka Det (B) = – Det (A)Contoh :

sehinggaA3

1112

A 3A

1211

B

1211

B

2. Jika matriks B berasal dari matriks A denganperkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k, maka Det (B) = k Det (A)Contoh :

dan

maka

621112

2

A

1112

A 3A

2212

B

22

12B

OBE yang dilakukan pada matrikstersebut adalah 2b2

3. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkaliansebuah baris dengan konstanta tak nol k laludijumlahkan pada baris lain, maka Det (B) = Det (A)Contoh 3 :

Perhatikan

62

31A 12A

62

3112031

12- OBE yang dilakukan pada matrikstersebut adalah –2b1 + b2

Contoh 3 :Tentukan determinan matriks

Jawab :

2 1 0 1 2 1 0 1 2

A

2 1 0 1 2 1 0 1 2

A

1 2 1 2 1 0 0 1 2

b1 ↔ b2

= 4 (hasil perkalian semua unsur diagonalnya)

1 2 1 0 -3 -2 0 1 2

A

1 2 1 0 1 2 0 -3 -2

1 2 1 0 1 2 0 0 4

-2b1 + b2

b2 ↔ b3

3b2 + b3

Determinan dengan ekspansi kofaktorMisalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A

dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A.Contoh :

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...:::

......

21

22221

11211

2 1 0 1 2 1 0 1 2

A 131 2

maka 10 1

M

Matriks Cij dinamakan kofaktor - ij, yaitu (-1)i+j Mij

Contoh :

maka

= (– 1)3 .2 = – 2

2 1 0 1

1 1221

C

2 1 0 1 2 1 0 1 2

A

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjangbaris ke-i

det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjangkolom ke-j

det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj

Contoh 6 :Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor

2 1 0 1 2 1

0 1 2 A

Jawab :Misalkan, kita akan menghitung det (A) denganekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

= 0 – 2 + 6= 4

3

133)det(

jjjcaA

23)1(10 1 1 0 2 33)1(2

2 1 1 2

2 1 0 1 2 1

0 1 2 A

Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjangkolom ke-3

= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33

= 0 – 2 + 6= 4

3

133)det(

iii caA

32)1(10 1 0 1 2 33)1(2

2 1 1 2

2 1 0 1 2 1

0 1 2 A

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka

dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,notasi adj(A).

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

C

22

12221

11211

TCAadj )(

T

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

21

12212

12111

Misalkan A adalah matriks persegi, beberapa sifatdeterminan matriks adalah :1. Jika A memiliki invers, maka

2. A memiliki invers jika dan hanya jika det (A) 0. 3. det (A) = det (At)4. det (A) det (B) = det (AB)5. Jika A memiliki invers, maka

)()det(

11 AadjA

A

)det(1)det( 1

AA

Contoh :Diketahui

Tentukan matriks adjoin A dan A-1

Jawab :Perhatikan bahwa

1 2 0 0 1- 1 1 0 1

A

11201

)1( 1111

c 1

1001

)1( 2112 c 2

2011

)1( 3113

c

.1dan,1,1,2,1,2 333231232221 cccccc

Matriks kofaktor dari A :

Matriks Adjoin dari A :

1- 1 1 2- 1 2 2 1- 1-

C

1- 2- 2 1 1 1- 1 2 1-

)( TCAadj

1-1 2 1 -1 2 1

1 1( ) -1 1 1 -1 1 1det( ) 1

2 -2 -1 2 -2 -1A Adj A

A

det( ) (1 1) (0 1) (1 2) 1 ( )A first row

Latihan Bab 21. Tentukan determinan matriks dengan OBE dan

ekspansi kofaktor

2. Diketahui :

dan

Tunjukkan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)

211121112

P

144010023

Q

200043012

A

105217311

B

3 3 0 52 2 0 2

4 1 3 02 10 3 2

R

3. Diketahui :

Tentukan k jika det (D) = 29

4. Diketahui matriks

Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai

43101

51

k

kD

543012001

A

BA

BAx tdet

5det2det 2