JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh :...
Transcript of JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh :...
• JIka maka:
• det(A)= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a23 –
a a a – a a a - a a a
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
a13a22 a13 – a11 a23 a32 - a12 a21 a33
atau
2331
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A =
−−
−
=
122
011
123
B
Tentukan determinan matriks
Jawab :
123 − 23
( )122
011
123
det
−−
−
=B
)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3( −−−−−−−−+−+=
202203 −−−++=
1=
22
11
23
−−
Misalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
:::
...
...
21
22221
11211
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j
matriks A.
Contoh :
=
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A13
1 2
maka 1
0 1
M = =
Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
2 1 0
1 2 1
0 1 2
=A
maka
= (– 1)3 (2 – 0)
= – 2
( )1 2
12
1 1 1
0 2C
+= −
2 1 0
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ainCin=1
n
ij ij
j
a c=∑
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang kolom ke-j
det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj =
1j=
1
n
ij ij
i
a c=∑
Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
=
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Jawab :
Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang bariske-3
2 1 0
1 2 1
0 1 2
=
A
3
3 3 31 31 32 32 33 33
1
det( ) j j
j
A a c a c a c a c=
= = + +∑
( )3 1 4
31 31
1 0( 1) ( 1) 1 (1)(1) (0)(2) 1 0 1
2 1c M+= − = − = − = − =
( )3 2 5
32 32
2 0( 1) ( 1) 1 (2)(1) (0)(1) 1(2 0) 2
1 1c M+= − = − =− − =− − =−
1 1
( )3 3 6
33 33
2 1( 1) ( 1) 1 (2)(2) (1)(1) 4 1 3
1 2c M+= − = − = − = − =
det( ) 0(1) 1( 2) 2(3) 0 2 6 4A = + − + = − + =
Tentukan determinan matriks dengan ekspansi
kofaktor
2 1 1
1 2 1C
=
3 2 0
0 1 0D
− =
= 043
012
A
−
= 217
311
B 1 2 1
1 1 2
C =
0 1 0
4 4 1
D= −
=
200
043A
=
105
217B
1 0 2
2 1 3
4 1 8
E
= −
4 1 8
2 1 3
1 0 2
F
= −
1 0 2
3 1 3
4 1 8
G
= −
1 0 2
6 1 3
4 1 8
H
= −
A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) ≠ 0.
Beberapa sifat determinan matriks adalah :
• Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka
det (A) = det (At)
• Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran• Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuransama, maka :
det (A) det (B) = det (AB)
• Jika A mempunyai invers maka :
)det(
1)det( 1
AA =−
Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij,
maka11 12 1
21 22 2
...
...
: : :
n
n
a a a
a a a
=
A
11 12 1
21 22 1
n
n
C C C
C C C
=
C
L
L
M M O M
Matriks C dinamakan matriks kofaktor A.
Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,
notasi adj(A)
1 2...
n n nna a a
1 2n n nnC C C
M M O M
L
== TCAadj )(
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
L
MOMM
L
L
21
12212
12111
• Misalkan A memiliki invers maka :
• Langkah-langkah mencari invers dengan matriks
1 1( )
det( )A adj A
A
− =
• Langkah-langkah mencari invers dengan matriksadjoin :• Tentukan det(A) dengan ekspansi kofaktor
• Tentukan kofaktor dari A
• Tentukan Matriks Kofaktor A
• Tentukan Matriks Adj(A)
Tentukan Matriks Kofaktor, Matriks Adjoin, dan
Invers matriks dari matriks berikut.1 0 2
2 1 3A
= −
Solusi:
2 1 3
4 1 8
A = −
11 12 13
21 22 23
31 32 33
c c c
C c c c
c c c
=
11
1 3
1 8
(( 1)(8) (3)(1))
8 3 11
c−
=
= − −
=− − =−
12
2 3
4 8
((2)(8) (3)(4))
(16 12) 4
c =−
=− −
=− − =−
13
2 1
4 1
((2)(1) ( 1)(4))
(2 4) 6
c−
=
= − −
= + =
21
0 2
1 8
((0)(8) (2)(1))
c =−
=− −
22
1 2
4 8c =
= −
23
1 0
4 1
((1)(1) (0)(4))
c =−
=− − ((0)(8) (2)(1))
(0 2) 2
=− −
=− − = ((1)(8) (2)(4))
0
= −
=
((1)(1) (0)(4))
(1 0) 1
=− −
=− − =−
31
0 2
1 3
((0)(3) (2)( 1))
(0 2) 2
c =−
= − −
= + =
32
1 2
2 3
((1)(3) (2)(2))
1(3 4) 1
c =−
=− −
=− − =
33
1 0
2 1
((1)( 1) (0)(2))
( 1 0) 1
c =−
= − −
= − − =−
• Matriks Kofaktor Matriks Adjoin (adj(A))
• Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1)
11 2 2
( ) 4 0 1
6 1 1
adj A
− = − − −
11 4 6
2 0 1
2 1 1
C
− − = − −
• Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1)
( ) ( )
1 0 21 3 2 3 2 1
det( ) 2 1 3 1 0 21 8 4 8 4 1
4 1 8
1 ( 1)(8) (3)(1) 0 2 (2)(1) ( 1)(4)
( 8 3) 2(2 4) 11 12 1
− −= − = − +
= − − − + − −
= − − + + = − + =
A
• Invers Matriks A
1
11 2 2 11 2 21 1
( ) 4 0 1 4 0 1det( ) 1
A adj AA
−
− − = = − = − det( ) 1
6 1 1 6 1 1A
− − − −
1
11 2 2
4 0 1
6 1 1
A−
− = − − −
• Tentukan invers dari matriks berikut denganmenggunakan matriks adjoin:
2 2 1
1 3 0A
=
1 2 2
2 3 2B
− = −
1 0 2
2 1 3C
= − 1 3 0
5 4 3
A =
2 3 2
1 5 3
B = − −
2 1 3
4 1 8
C = −
2 1 3
4 1 8
1 0 2
D
− =
1 1 6
0 1 4
2 2 11
E
− − = −
1 2 2
3 2 1
5 1 2
F
− = −
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan
konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris
yang lain.
Contoh : OBE 1 Pertukaran Baris
=
4 2 0
3 2 1
1- 2- 3-
A
↔
4 2 0
1- 2- 3-
3 2 1
~21 bb
Baris pertama (b1)
ditukar dengan
baris ke-2 (b2)
• Contoh : OBE 2
Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
• Contoh : OBE 3
Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta
=
3 1 1- 2
7 1 2 0
4- 0 4- 4
A 1
1 -1 0 -1 1
~ 0 2 1 74
2 -1 1 3
b
Perkalian Baris
pertama (b1)
dengan
bilangan ¼
Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta
tak nol dengan baris yang lain.
=
3 1 1- 2
7 1 2 0
1- 0 1- 1
A 1 3
1 -1 0 -1
2 ~ 0 2 1 7
0 1 -1 5
− +
b b
Perkalian (–2)
dengan b1 lalu
tambahkan
pada baris ke-
3 (b3)
1 1 1 3
0 0 2 1
0 0 0 0
− =
B
� Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
� Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 2 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
� Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.
� Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama
adalah 1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah
memuat 1 utama yang lebih ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), 3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),
maka ia diletakkan pada baris paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka
unsur yang lainnya adalah nol.
� Matriks dinamakan esilon baris jika
dipenuhi sifat 1, 2, dan 3
� Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika
dipenuhi semua sifat 1, 2, 3, dan 4
• Tentukan matriks esilon baris tereduksi
dari:
• Solusi
1 -1 0 -1
0 -2 2 8
3 1 -1 2
=
A
• Solusi
1 3
1 -1 0 -1
~ 3 0 -2 2 8
0 4 -1 5
− +
b b
1 -1 0 -1
0 -2 2 8
3 1 -1 2
2
1 -1 0 -1 1
~ 0 1 -1 -42
0 4 -1 5
−
b 2 3
1 -1 0 -1
~ 4 0 1 -1 -4
0 0 3 21
− +
b b
3
1 -1 0 -1 1
~ 0 1 -1 -43
0 0 1 7
b3 2
1 -1 0 -1
~ 0 1 0 3
0 0 1 7
+
b b
2 1
1 0 0 2
~ 0 1 0 3
0 0 1 7
+
b b
Perhatikan hasil OBE tadi :
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 7
�Setiap baris mempunyai satu utama.
�Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena
Jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom
(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)
0 0 1 7
Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks
berikut:
1. 2.
2 5 1 1
1 3 0 1
−
3 5 2 2
2 3 4 3
− −
3. 4.
2 3 4 2 − − −
3 4 13 2
1 2 3 1
2 1 11 3
− − − − − − −
2 3 4 3
1 2 1 1
− −
4 6 3 1
1 2 1 2
3 7 2 3
− − − −