Determinan dengan ekspansi kofaktor

Misalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :

• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan

menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.

Contoh :

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

: : :

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

=

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

=

13

1 2

maka 1

0 1

M = =

• Kofaktor dari entri 𝒂𝒊𝒋 dinyatakan sebagai cij yaitu (-1)i+j Mij

Contoh :

maka

= (– 1)3 .2

= – 2

( )2 1

12

1 0 1

1 2c

+= −

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

=

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i

det (A) = ai1 ci1 + ai2 ci2 + . . . + ain cin

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j

det (A) = aij c1j + a2j c2j + . . . + anj cjn

Contoh 6 :

Hitunglah det(A) dengan ekspansi kofaktor :

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

=

Jawab :

Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktorsepanjang baris ke-3

= a31 c31 + a32 c32 + . . . + a3n c3n

= 0 – 2 + 6

= 4

3

3 3

1

det( ) j j

j

A a c=

=

3 20 1 ( 1) += + − 2 0

1 1

3 32 ( 1) ++ − 2 1

1 2

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A =

Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-3

= a13 c13 + a23 c23 + . . . + an3 cn3

= 0 – 2 + 6

= 4

3

3 3

1

det( ) i i

i

A a c=

=

2 30 1 ( 1) += + − 2 1

0 1

3 32 ( 1) ++ − 2 1

1 2

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A =

Misalkan An x n dan cij adalah kofaktor 𝑎𝑖𝑗,

maka

dinamakan matriks kofaktor A.

Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,

Notasi: adj(A).

11 12 1

21 22 1

2 2

n

n

n n nn

c c c

c c cC

c c c

=

( ) Tadj A C= =

11 21 1

12 22 1

1 2

n

n

n n nn

c c c

c c c

c c c

Misalkan A punya invers

maka

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) 0.

Beberapa sifat determinan matriks adalah :

1. Jika A adalah sembarang matriks bujur sangkar, maka

det (A) = det (At)

2. Jika A dan B merupakan matriks bujursangkar berukuran sama, maka

det (A) det (B) = det (AB)

3. Jika A mempunyai invers maka :

)()det(

11 AadjA

A =−

1 1det( )

det( )A

A

− =

Contoh :

Diketahui

Tentukan matriks adjoin A

Jawab :

Perhatikan bahwa

1 0 1

1 -1 0

0 2 1

A

=

1 1

11

1 0( 1) 1

2 1c +

−= − = −

1 2

12

1 0( 1) 1

0 1c += − = −

1 3

13

1 1( 1) 2

0 2c +

−= − =

21 22 23 31 32 332, 1, 2, 1, 1, dan 1.c c c c c c= = = − = = = −

Sehingga matriks kofaktor dari A :

Maka matriks Adjoin dari A adalah :

-1 -1 2

2 1 -2

1 1 -1

C

=

-1 2 1

( ) -1 1 1

2 -2 -1

Tadj A C

= =

1 0 1

1 -1 0

0 2 1

A

=

Terimakasih