Determinan dengan ekspansi kofaktor
Misalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan
menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.
Contoh :
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
: : :
...
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
=
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
=
13
1 2
maka 1
0 1
M = =
• Kofaktor dari entri 𝒂𝒊𝒋 dinyatakan sebagai cij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 .2
= – 2
( )2 1
12
1 0 1
1 2c
+= −
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
=
Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i
det (A) = ai1 ci1 + ai2 ci2 + . . . + ain cin
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j
det (A) = aij c1j + a2j c2j + . . . + anj cjn
Contoh 6 :
Hitunglah det(A) dengan ekspansi kofaktor :
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
=
Jawab :
Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktorsepanjang baris ke-3
= a31 c31 + a32 c32 + . . . + a3n c3n
= 0 – 2 + 6
= 4
3
3 3
1
det( ) j j
j
A a c=
=
3 20 1 ( 1) += + − 2 0
1 1
3 32 ( 1) ++ − 2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A =
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-3
= a13 c13 + a23 c23 + . . . + an3 cn3
= 0 – 2 + 6
= 4
3
3 3
1
det( ) i i
i
A a c=
=
2 30 1 ( 1) += + − 2 1
0 1
3 32 ( 1) ++ − 2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A =
Misalkan An x n dan cij adalah kofaktor 𝑎𝑖𝑗,
maka
dinamakan matriks kofaktor A.
Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,
Notasi: adj(A).
11 12 1
21 22 1
2 2
n
n
n n nn
c c c
c c cC
c c c
=
( ) Tadj A C= =
11 21 1
12 22 1
1 2
n
n
n n nn
c c c
c c c
c c c
Misalkan A punya invers
maka
A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) 0.
Beberapa sifat determinan matriks adalah :
1. Jika A adalah sembarang matriks bujur sangkar, maka
det (A) = det (At)
2. Jika A dan B merupakan matriks bujursangkar berukuran sama, maka
det (A) det (B) = det (AB)
3. Jika A mempunyai invers maka :
)()det(
11 AadjA
A =−
1 1det( )
det( )A
A
− =
Contoh :
Diketahui
Tentukan matriks adjoin A
Jawab :
Perhatikan bahwa
1 0 1
1 -1 0
0 2 1
A
=
1 1
11
1 0( 1) 1
2 1c +
−= − = −
1 2
12
1 0( 1) 1
0 1c += − = −
1 3
13
1 1( 1) 2
0 2c +
−= − =
21 22 23 31 32 332, 1, 2, 1, 1, dan 1.c c c c c c= = = − = = = −
Sehingga matriks kofaktor dari A :
Maka matriks Adjoin dari A adalah :
-1 -1 2
2 1 -2
1 1 -1
C
=
-1 2 1
( ) -1 1 1
2 -2 -1
Tadj A C
= =
1 0 1
1 -1 0
0 2 1
A
=
Terimakasih
Top Related