BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Matriks 1. Pengertian Matriks ...repository.ump.ac.id/4748/3/Riyan Emmy...

5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

A. Matriks

1. Pengertian Matriks

Definisi 2.1

Matriks adalah kumpulan bilangan – bilangan yang disusun secara

khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi

panjang atau persegi yang ditulis di antara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau

[ ]. Matriks tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

[

]

Matriks juga dapat dinyatakan sebagai: [ ]

dimana: = elemen atau unsur matriks

= 1,2,3,…m, indeks baris

= 1,2,3,…n, indeks kolom

Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014

6

2. Jenis – Jenis Matriks

Terdapat beberapa jenis matriks, diantaranya yaitu:

a. Matriks kuadrat/persegi adalah matriks dimana jumlah baris sama

dengan jumlah kolom.

Contoh : 0

1, [

]

b. Matriks diagonal adalah matriks dimana semua elemen di luar diagonal

utamanya adalah nol (0) dan minimal ada satu elemen pada diagonal

utamanya bukan nol.

Contoh : 0

1, [

]

c. Matriks satuan/identitas adalah matriks dimana semua elemen pada

diagonal utamanya bernilai satu (1) dan elemen di luar diagonal utama

bernilai nol.

Contoh : 0

1 [

]

d. Matriks skalar adalah matriks diagonal dimana elemen pada diagonal

utamanya bernilai sama tetapi bukan satu atau nol.

Contoh : 0

1, [

]

e. Matriks segitiga bawah adalah matriks diagonal dimana elemen di

sebelah kiri diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.

Contoh : 0

1, [

]


7

f. Matriks segitiga atas adalah matriks diagonal dimana elemen di sebelah

kanan diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.

Contoh : 0

1, [

]

g. Matriks simetri adalah matriks persegi dimana elemen ke sama

dengan ke atau ( ) untuk semua i dan j.

Contoh : [

], berlaku sifat

h. Matriks singular adalah matriks yang determinannya bernilai nol.

Contoh : 0

1, [

]

i. Matriks non singular adalah matriks yang determinannya bernilai tidak

sama dengan nol.

Contoh : 0

1, [

]

j. Matriks Elementer adalah matriks persegi ukuran yang diperoleh

dari matriks identitas dengan melakukan sekali operasi baris

elementer.

Contoh:

0

1 0

1

[

] [

]


8

k. Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi sifat

1. Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah

baris yang memuat elemen taknol.

2. Pada setiap baris dari matriks yang mempunyai elemen taknol,

elemen taknol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan

elemen taknol dari baris sebelumnya.

Matriks eselon sering disebut juga matriks eselon baris. Elemen taknol

pertama dari suatu baris disebut elemen pivot.

Contoh:

[

]

l. Matriks nol adalah matriks dimana semua elemennya mempunyai nilai

nol (0).

Contoh : 0

1 [

]

3. Transpose Matriks

Jika A adalah matriks berukuran , maka transpose dari A,

dinyatakan oleh , , atau , didefinisikan menjadi matriks berukuran

yang merupakan hasil dari pertukaran baris dan kolom dari matriks

A.


9

Jika matriks A dinyatakan:

( )

maka transpose matriks A dinyatakan:

( )

dimana

[

] [

]

Contoh 2.1:

Tentukan transpose dari matriks berikut!

0

1 [

]

Jawab:

[

] [

]

4. Operasi Matriks

a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Definisi 2.2

Misalkan ( ) dan ( ) merupakan dua matriks

berukuran sama . Jumlah matriks A dan B ditulis adalah


10

matriks berukuran dengan elemennya merupakan jumlah elemen

yang seletak dari kedua matriks. Berlaku pula pada pengurangan

matriks. Dalam hal ini ditulis

( )

( )

Contoh 2.2:

Tentukan jumlah dan selisih dari matriks – matriks berikut ini!

[

] [

]

Jawab:

[ ( )

( ) ] [

]

[ ( )

( ) ] [

]

b. Perkalian Skalar dengan Matriks

Definisi 2.3

Diketahui matriks A dan c merupakan bilangan. Matriks cA adalah

matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari matriks A

dengan c. Dalam hal ini ditulis

( )


11

Contoh 2.3:

Diketahui matriks

0

1

maka matriks

0

1 0

1

c. Perkalian Matriks

Definisi 2.4

Jika ( ) adalah matriks dan ( ) adalah matriks

, maka hasil kali ( ) adalah matriks yang entri

– entrinya didefinisikan oleh:

∑

Contoh 2.4:

Diketahui dua matriks

0

1 dan 0

1

Dalam hal ini Oleh karena itu, ukuran dari matriks

adalah . Elemen dari matriks dapat dihitung sebagai berikut:

Baris ke- ; kolom ke- : ( ) ( )


Baris ke- ; kolom ke- : ( ) ( )( )



12

Oleh karena itu, matriks sama dengan

0

1

5. Determinan

Misalkan:

[

]

maka notasi determinan dari matriks A ditulis:

( ) atau |

| atau | |

Definisi 2.5

Misalkan ( ) adalah matriks dan misalkan

menyatakan matriks ( ) ( ) yang diperoleh dari dengan

menghapus baris dan kolom yang mengandung . Determinan dari

dsebut minor dari . Didefinisikan kofaktor dari dengan

( ) det ( )

Apabila terdapat matriks 0

1, maka

( ) ( )


13

Matriks terbentuk dari matriks dengan cara menghapus baris

pertama dan kolom pertama, sedangkan terbentuk dari dengan cara

menghapus baris pertama dan kolom kedua.

Definisi 2.6

Determinan dari suatu matriks berordo , dinyatakan sebagai

( ), adalah sebagai skalar yang diasosiasikan dengan matriks dan

didefinisikan sebagai:

( ) {

dimana

( ) ( )

adalah kofaktor – kofaktor yang diasosiasikan dengan entri – entri dalam

baris pertama dari

a. Menentukan Determinan suatu Matriks

1) Matriks ordo

Jika ( ) adalah matriks , maka ( )

2) Matriks ordo

.

/

( )

( ) ( ) ( ) ( )


14

Contoh 2.5:

.

/

( ) | |

( ) | | ( ) ( ) | |

( ) (( ) ( ) )

3) Matriks ordo

Untuk matriks ordo , determinan dapat ditentukan

dengan cara berikut:

(

+

| |

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

|

| |

| |

|

( ) ( )

( )


15

( ) (

)

Contoh 2.6:

(

+

| |

( ) |

| ( ) |

| ( ) |

|

. ( ( ))/ .( ) (

( ))/ . ( ( ))/

( ( )) (( ) ) ( )

( ) ( )

4) Matriks ordo

(

,

| |

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


16

Contoh 2.7:

Diketahui Matriks (

,. Tentukan ( )!

Jawab:

| |

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Akan dicari | | | | , | | dan | | terlebih dahulu.

| | |

|

( ) ( ) |

| ( ) ( ) |

|

( ) ( ) |

|

( ( ) ( )) (( ) ( ) ( ))

( ( ) )

( ) ( )

| | |

|

( ) ( ) |

| ( ) ( ) |

|

( ) ( ) |

|


17

( ( )) (( ) ( ) )

( ( ) ( ))

( )

| | |

|

( ) ( ) |

| ( ) ( ) |

|

( ) ( ) |

|

( ( )) (( ) ( ) )

( ( ) ( ))

( )

| | |

|

( ) ( ) |

| ( ) ( ) |

|

( ) ( ) |

|

( ( )) (( ) ( ) )

( ( ) )

( )


18

| | |

|

( ) ( ) |

| ( ) ( ) |

|

( ) ( ) |

|

( ) (( ) ( ) ( ))

( ( ) )

( )

Kemudian diperoleh

| |

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

b. Sifat – Sifat Determinan

1) Misalkan matriks B berukuran diperoleh dari matriks A

dengan cara mengalikan semua baris dengan bilangan k maka

( ) ( )


19

2) Misalkan matriks B berukuran diperoleh dari matriks A

dengan cara menukar dua baris atau kolom sebanyak satu kali,

maka

( ) ( )

3) Misalkan diketahui tiga matriks dan B yang mempunyai

elemen yang sama kecuali pada baris ke-i, yaitu elemen baris ke-i

dari matriks B merupakan jumlah dari elemen baris ke-i dari

matriks dan . Maka

( ) ( ) ( )

4) Determinan matriks identitas adalah 1 (satu)

5) Misalkan maka

( ) ( )

6) Jika dan adalah matriks yang ukurannya sama, maka

( ) ( ) ( )

7) Jika dapat dibalik, maka

( )

( )

8) Misalkan diketahui ( ) maka

( ) (

)


20

6. Invers Matriks Persegi

Ada beberapa macam cara untuk menentukan suatu invers matriks

yang berordo antara lain dengan aturan Cramer dan operasi baris

elementer.

Definisi 2.7

Matriks persegi A berukuran mempunyai invers jika ada

matriks B sehingga . Matriks B disebut matriks invers dari

A.

a. Aturan Cramer

Metode ini dapat digunakan untuk menghitung invers dari suatu

matriks yang non singular dengan menggunakan determinan.

Misalkan adalah matriks , definisikan sebuah matriks baru yang

disebut adjoint dari dengan:

(

,

Jadi untuk membentuk adjoint dari matriks, setiap elemen harus diganti

dengan kofaktornya dan kemudian mentransposkan matriks yang

terjadi.


21

Lemma 2.1

Misalkan adalah matriks . Jika menyatakan kofaktor dari

untuk , maka:

{ ( )

Berdasarkan Lemma 2.1, mengakibatkan

( ) ( )

Jika non singular, maka ( ) adalah skalar taknol dan dapat

dituliskan

(

( ) *

Jadi

( )

Contoh 2.8: Misalkan

(

+

Hitunglah dan !

Jawab:

(

|

| |

| |

|

|

| |

| |

|

|

| |

| |

| )


22

(

+

(

+

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

(

+ (

)

b. Operasi Baris Elementer

Untuk menentukan invers matriks dengan operasi baris elementer

adalah dengan membentuk matriks yang diperbesar dari matriks

dengan matriks identitas kemudian melakukan operasi baris elementer

dengan mereduksi matriks menjadi matriks identitas dan melakukan

operasi yang sama pada matriks untuk memperoleh matriks B.

Contoh 2.9:

[

]


23

Cara mencari invers matriks dengan operasi baris elementer adalah

dengan dikatakan operasi baris terlebih dahulu dengan cara:

[

] ( )

( )

[

]

(

)

[

]

[

]

Sehingga

[

]

Teorema 2.1 (Ketunggalan Matriks Invers)

Matriks invers dari suatu matriks adalah tunggal. Jika mempunyai

invers, matriks invers dari ditulis

Bukti

Misalkan dan dua matriks yang memenuhi dan

maka . Harus dibuktikan bahwa , untuk itu


24

persamaan yang digunakan yang dipenuhi oleh dan . Yaitu

(1)

( ) (2)

( ) (3)

(4)

(5)

Kesamaan (2) memakai kenyataan bahwa , kesamaan (3)

memakai sifat asosiatif dari perkalian matriks yaitu

( ) ( )

dan kesamaan (4) memakai .

Karena matriks invers adalah tunggal, maka matriks invers dari

ditulis .

Teorema 2.2 (Aljabar dari Matriks Invers)

Misalkan dan dua matriks berukuran sama yang masing – masing

mempunyai invers, maka:

1. ( ) ;

2. ( )

3. Jika merupakan bilangan bulat tak negatif maka mempunyai

invers dan ( ) ( ) .


25

Bukti

1. Karena merupakan matriks invers dari maka

.

Dengan demikian merupakan matriks invers dari .

2. Terdapat kesamaan berikut

( )( ) ( )

dan

( )( ) ( )

`

Dengan demikian matriks merupakan matriks invers dari

matriks .

3. Dengan menggunakan induksi matematika, akan dibuktikan bahwa

( ) ( ) untuk bilangan bulat tak negatif.

a. Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( ) untuk . Jelas

bahwa ( ) ( ) ( )

b. Asumsikan bahwa ( ) ( ) untuk , yaitu

( ) ( ) . Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( )

untuk , yaitu ( ) ( ) .


26

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Berdasarkan asumsi ( ) ( ) dan benar bahwa

( ) ( ) . Maka terbukti( ) ( ) .

Dengan ini dapat disimpulkan bahwa ( ) ( ) untuk

setiap bilangan bulat tak negatif.

B. Sistem Persamaan Linear

Suatu persamaan linear dalam peubah (variable) adalah persamaan

dengan bentuk

dimana dan adalah bilangan – bilangan real dan

adalah peubah. Dengan demikian maka suatu sistem linear dari persamaan

dalam peubah adalah satu sistem berbentuk:

(1)

dimana dan semuanya adalah bilangan – bilangan real. Sistem

bentuk (1) disebut sebagai sistem persamaan linear .


27

Berikut adalah contoh – contoh sistem persamaan linear:

(a)

(b)

Sistem (a) adalah sistem persamaan , (b) adalah sistem persamaan

.

Dalam penulisan matriks, sistem persamaan (1) dapat dinyatakan sebagai

[

] [

] [

]

atau

dimana , - adalah matriks koefisien,

, - adalah matriks peubah,

, - adalah matriks konstanta,

Sedangkan matriks lengkapnya adalah

[

] , -


28

C. Vektor

1. Ruang Vektor

Misalkan ( ) dan ( ) merupakan

dua vektor di jumlah dari kedua vektor tersebut ditulis adalah

vektor

( ).

Jadi penjumlahan dua vektor di dilakukan per komponen seperti pada

dan . Perkalian skalar vektor dari ( ) dengan

bilangan real ditulis adalah vektor

( ).

Operasi jumlah vektor dan perkalian skalar dari vektor di

ataupun vektor di memenuhi definisi ruang vektor. Hal yang sama

berlaku pula untuk operasi vektor di secara umum ruang vektor

didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.8

Misalkan V himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi

jumlah dan perkalian skalar dengan bilangan real. Artinya, diberikan dua

elemen dan di V dan bilangan real , kemudian jumlah dan

perkalian skalar didefinisikan dan terletak di V juga. Kemudian V

dengan kedua operasi ini disebut ruang vektor jika kedua operasi tersebut

memenuhi sifat:


29

Untuk setiap dan

a. (Sifat Komutatif)

b. ( ) ( ) (Sifat Assosiatif)

c. Ada elemen di V sehingga (Unsur Identitas)

d. Ada elemen sehingga (Elemen Invers)

e. ( ) (Distributif)

f. ( )

g. ( ) ( )

h. ( )

2. Kombinasi Linear

Jika ( ), maka dapat ditulis

dengan ( ) ( ) ( ). Dalam hal ini disebut

bahwa vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga vektor

dan . Secara umum, jika diketahui vektor , dan vektor maka

kombinasi linear dapat didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.9

Vektor disebut kombinasi linear dari vektor – vektor

jika ada bilangan – bilangan yang tidak semuanya nol sehingga

.


30

Contoh 2.10:

Tuliskan vektor ( ) sebagai kombinasi linear dari vektor

( ) ( ) dan ( )!

Jawab :

Mencari bilangan dan sehingga

Dalam bentuk matriks

[

] [

] [

] [

]

atau

{

Matriks lengkap dari sistem persamaan ini adalah

[

]

Dan matriks eselonnya

[

]

Dengan demikian jawab dari sistem persamaan linear ini adalah

dan .


31

Jadi, dalam hal ini vektor dapat ditulis sebagai kombinasi linear, yaitu

.

3. Membangun / Merentang

Jika untuk setiap vektor ( )di dapat dinyatakan sebagai

kombinasi linear dari vektor ( ) ( ) ( )

karena dapat ditulis seperti berikut atau

( ) .

Ini dikatakan bahwa vektor ( ) ( ) ( )

merentang di .

Definisi 2.10

Vektor disebut membangun atau merentang dari ruang

vektor V jika setiap vektor dalam V dapat dituliskan sebagai kombinasi

linear dari

4. Kebebasan Linear

Definisi 2.11

Himpunan vektor * + di ruang vektor V disebut bebas linear

jika persamaan

hanya dipenuhi oleh bilangan .


32

Contoh 2.11:

Selidiki sifat bebas linear dari vektor ( ) ( )

dan ( )

Jawab:

Untuk menyelidiki sifat bebas linear dari ketiga vektor tersebut,

harus dicari nilai dan yang memenuhi

.

Sistem persamaan yang muncul adalah

{

Matriks lengkap dari sistem persamaan tersebut dapat diubah menjadi

matriks eselon berikut

[

]

Ini berarti bahwa dan . Oleh karena itu, ketiga

vektor bebas linear.

5. Basis

Semua vektor di ruang vektor dapat dituliskan sebagai kombinasi

linear dari kumpulan vektor tertentu dan secara tunggal pula. Dengan

demikian sifat dari ruang vektor tersebut cukup dilihat pada kumpulan


33

tertentu. Kumpulan vektor tersebut disebut basis dari ruang vektor yang

dapat didefinisikan sebagai

Definisi 2.12

Himpunan vektor S yang terdiri dari berhingga banyaknya vektor

di ruang vektor V disebut basis jika setiap vektor di V dapat ditulis sebagai

kombinasi linear dari vektor di S secara tunggal.

Ini berarti jika * + merupakan basis di ruang vektor V,

maka setiap vektor di V dapat ditulis sebagai kombinasi linear

Secara tunggal. Artinya, untuk vektor di atas tak ada koefisien lain selain

tersebut. dinamakan basis untuk jika (i) bebas linear;

(ii) merentang .

6. Rank

Misalkan

(

+

Dengan mereduksi menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks

(

+


34

Jelas bahwa ( ) dan ( ) membentuk basis untuk ruang baris dari

. Karena dan ekuivalen baris, maka matriks memiliki ruang baris

yang sama sehingga dapat dikatakan bahwa rank dari adalah 2. Rank

dapat didefinisikan sebagai berikut

Definisi 2.13

Rank adalah jumlah maksimum dari vektor baris (kolom) yang

bebas linear. Rank dari suatu matriks merupakan dimensi dari vektor baris

(kolom) pada matriks tersebut.

D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

1. Pengertian Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.14

Misalkan adalah suatu matriks . Skalar λ disebut sebagai

suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari matriks . Jika terdapat suatu

vektor taknol sehingga . Vektor disebut vektor eigen atau

vektor karakteristik dari λ.

Contoh 2.12: Misalkan

.

/ dan . /

Maka .

/ . / .

/ .

/


35

Dari persamaan ini terlihat bahwa adalah nilai eigen dari dan

( ) merupakan vektor eigen dari . Sesungguhnya kelipatan

taknol dari akan menjadi vektor eigen, karena

( ) ( )

Jadi, sebagai contoh, ( ) juga vektor eigen dari .

.

/ . / .

/ . /

2. Persamaan Karakteristik

Persamaan dapat dituliskan dalam bentuk

( λ ) (1)

Jadi adalah nilai eigen dari matriks jika dan hanya jika (1) memiliki

suatu penyelesaian taktrivial. Persamaan (1) akan mempunyai

penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika λ singular, atau secara

ekivalen,

( λ ) (2)

Persamaan (2) disebut persamaan karakteristik.

Contoh 2.13:

Persamaan karakteristik dari

0

1

adalah

det( λ ) 0 λ λ

1 (λ )


36

E. Diagonalisasi Matriks

Definisi 2.15

Suatu matriks berordo , disebut dapat didiagonalisasi jika

terdapat matriks non singular dan suatu matriks diagonal sedemikian

rupa sehingga

Teorema 2.3

Suatu matriks berordo , dapat didiagonalisasi jika dan hanya

jika mempunyai vektor eigen yang bebas linear.

Bukti

Misalkan matriks mempunyai vektor eigen bebas linear

. Misalkan λ adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan

untuk setiap . Misalkan adalah matriks dimana vektor kolom ke-

adalah untuk . Selanjutnya terlihat bahwa λ adalah

vektor kolom ke- dari . Maka

( )

(λ λ λ )

( )

(

λ

λ

λ )


37

Karena mempunyai vektor kolom yang bebas linear, maka adalah

non singular dan karena itu

Sebaliknya, misalkan dapat didiagonalisasi. Selanjutnya terdapat

suatu matriks non singular sehingga . Jika adalah

vektor – vektor kolom dari maka

λ (λ )

untuk setiap . Jadi untuk setiap λ adalah nilai eigen dari dan adalah

vektor eigen yang dimiliki λ . Karena vektor – vektor kolom adalah bebas

linear, maka mempunyai buah vektor eigen yang bebas linear.

Dari bukti ini didapatkan prosedur berikut untuk mendiagonalisasi

matriks yang berukuran dapat didiagonalisasi.

Langkah 1. Tentukan nilai eigen dari matriks .

Langkah 2. Carilah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen

dari matriks yang bebas linear, .

Langkah 3. Bentuklah matriks dengan sebagai vektor –

vektor kolomnya.

Langkah 4. Matriks akan diagonal dengan λ λ λ sebagai

entri – entri diagonalnya yang berurutan, dimana λ adalah

nilai eigen yang bersesuaian dengan


38

Contoh 2.14:

Carilah matriks yang mendiagonalisasi

[

]

Jawab:

Persamaan karakteristik dari adalah ( λ)( λ) sehingga

nilai – nilai eigen adalah λ dan λ . Jadi diperoleh dua nilai eigen

dari .

[

]

adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika adalah

pemecahan non trivial dari ( λ ) , yakni, dari

[ λ

λ λ

] [

] [ ]

Jika λ , maka

[

] [

] [ ]

Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan ,

Jadi vektor – vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah vektor –

vektor taknol yang berbentuk

[

] [

] [ ] [

] [ ]


39

Karena

[

] dan [ ]

adalah vektor – vektor bebas linear, maka vektor – vektor tersebut akan

membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ .

Jika λ , maka

[

] [

] [ ]

Dengan memecahkan sistem ini akan menghasilkan .

Jadi vektor – vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah vektor –

vektor taknol yang berbentuk

[ ] [

]

Dengan ini vektor – vektor eigen yang didapat adalah

[

] [ ] [

]

sehingga

[

] dan [

]

akan mendiagonalisasi .

[

]

[

] [

] [

]


40

Tidak ada orde yang diistimewakan untuk kolom – kolom . Karena

entri diagonal ke- dari adalah nilai eigen untuk vektor kolom ke-

dari , maka dengan mengubah orde kolom – kolom hanyalah mengubah

orde nilai – nilai eigen pada diagonal . Jadi, seandainya dituliskan

[

]

maka akan diperoleh

[

]

Contoh 2.15:

Persamaan karakteristik dari

0

1

adalah

( λ ) 0 λ

λ1 (λ )

Jadi λ adalah satu – satunya nilai eigen ; vektor – vektor eigen yang

bersesuaian dengan λ adalah pemecahan – pemecahan dari

( λ ) yakni, dari

Pemecahan sistem ini adalah ; maka ruang eigen tersebut

terdiri dari semua vektor berbentuk

0 1 0

1


41

Karena ruang berdimensi 1, maka tidak mempunyai dua vektor eigen bebas

linear, sehingga tidak dapat didiagonalisasi.

F. Bentuk Normal Jordan

Matriks persegi ada yang dapat didiagonalisasi, ada pula yang tidak

dapat didiagonalisasi. Tetapi, untuk matriks yang tidak dapat didiagonalisasi

selalu dapat dibuat similar dengan matriks yang hampir diagonal yang disebut

dengan Bentuk Normal Jordan.

Misalkan diketahui matriks dengan dua nilai eigen yang sama.

Jika matriks tersebut mempunyai dua vektor eigen yang bebas linear, maka

matriks tersebut similar dengan matriks diagonal. Tetapi dalam hal matriks

yang hanya mempunyai sebuah vektor eigen, maka matriks tersebut similar

dengan bentuk normal Jordan 0λ λ

1. Matriks tersebut hanya mempunyai

satu vektor eigen sebab jika mempunyai dua vektor eigen maka matriks

tersebut dapat didiagonalisasi.

Ada dua kasus bentuk normal Jordan untuk matriks berordo ,

yaitu matriks yang mempunyai dua nilai eigen (berbeda) atau hanya satu nilai

eigen. Untuk satu nilai, ada dua kasus yaitu tergantung dari banyaknya vektor

eigen yang bebas linear. Matriks berikut merupakan contoh matriks dengan

satu nilai eigen yang masing – masing mempunyai satu dan dua vektor eigen

yang bebas linear.


42

[λ λ λ

] [λ λ λ

]

Sedangkan untuk dua nilai eigen, mempunyai bentuk normal Jordan sebagai

berikut

[λ λ λ

]

Matriks di atas mempunyai dua vektor eigen yang bebas linear, atau

satu vektor eigen bebas linear yang berkaitan dengan nilai eigen ganda. Jadi

jika matriks mempunyai tiga vektor eigen yang bebas linear, maka

matriks tersebut dapat didiagonalisasi.

Definisi 2.16

Suatu blok Jordan ( ) adalah matriks segitiga atas dengan

bentuk

( )

[

]

Terdapat angka “1” pada superdiagonal dan muncul kali pada

diagonal utama. Elemen yang lainnya nol, dan ( ) , -. Matriks Jordan

adalah jumlahan langsung dari blok Jordan sehingga dapat

dituliskan sebagai berikut


43

[

( )

( )

( )]

dengan .

G. Invers Moore Penrose

Definisi 2.17

Invers Moore Penrose adalah invers dari matriks berukuran

yang dinotasikan dengan , jika memenuhi kondisi

( )

( )

dengan adalah transpose konjugat dari matriks A.

Sifat – Sifat Dasar dari Invers Moore Penrose

Teorema 2.4

Jika terdapat matriks yang berukuran , maka:

1. ( ) jika dan skalar,

2. ( ) ( ) ,

3. ( ) ,

4. , jika adalah matriks persegi dan non singular,

5. ( ) dan ( )

,


44

6. ( ) dan ( ) ,

7. ( ) ( ) ,

8. ( ) dan jika rank ( ) ,

9. ( ) dan jika rank ( )

10. , jika kolom – kolom dari matriks orthogonal, yaitu


BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Matriks 1. Pengertian Matriks ...repository.ump.ac.id/4748/3/Riyan Emmy...

Documents

Transcript of BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Matriks 1. Pengertian Matriks ...repository.ump.ac.id/4748/3/Riyan Emmy...