Himpunan Pers. Linear, matriks Dan Vektor

Mat-Kim/Matrik & Vektor/

3 . HIMPUNAN PERS. LINEAR, MATRIK DAN VEKTOR

1 Himpunan Persamaan LinearBanyak sekali soal-soal baik dalam matematika, Fisika maupun Kimia yang penyelesaiannya harus melalui penyelesaian dari beberapa persamaan linear yang terdiri atas beberapa variabel. Anda pasti sudah dapat melakukan penyelesaian beberapa persamaan linear sederhana dengan cara eliminasi maupun substitusi. (Contoh mencari harga x, y dan z dari 3 buah persamaan linear yang diketahui. Tetapi cara yang sudah anda kenal itu akan menjadi sangat rumit bila himpunan persamaan linear yang harus diselesaikan tidak sederhana. Untuk itu akan kita bicarakan metode lain yang menggunakan pendekatan matrik dan determinan matrik. Ada 2 metode yang dapat dipergunakan dalam pendekatan ini, yaitu metode eliminasi Gauss dan Metode Cramer. Ada beberapa prasyarat yang harus dipenuhi dalam menggunakan metode ini antara lain (1) dapat menuliskan himpunan persamaan dalam bentuk baku, (2) dapat menuliskan himpunan persamaan linear bentuk baku dalam bentuk matrik dan (3) dapat menghitung determinan.

1. 1 Menuliskan Himpunan Persamaan Linear Dalam Bentuk BakuMisal kita mempunyai himpunan persamaan yang terdiri atas 3 persamaan yang semua atau sebagian mengandung 3 buah variabel yaitu x, y dan z, yaitu:(1) 2x z 2 = 0(2) 6x 5y 3z = 7(3) y 2x = 4Dari ketiga persamaan dalam himpunan di atas, hanya persamaan (2) yang sudah tertulis dalam bentuk baku, karena bentuk persamaan linear baku yang terdiri atas 3 variabel adalah:

a x + a y + a z = CPersamaan (1) tidak baku karena bentuk bakunya 2x 0y 1z = 2Persamaan (3) tidak baku karena bentuk bakunya 2x 1y 0z = 4Himpunan baku dari ke tiga persamaan linear di atas adalah:

1. 2 Menyatakan Himpunan Persamaan Linear Bentuk Baku dalam Bentuk MatrikJika himpunan persamaan baku terdiri atas n buah persamaan maka matrik yang bersesuaian berukuran n baris x (n + 1) kolom. Untuk contoh kita, matrik yang sesuai adalah matrik berukuran 3 x 4. Koefisien x diletakkan pada kolom pertama, koefisien y pada kolom ke dua, koefisien z pada kolom ketiga sedang bilangan konstan ruas kanan di kolom terakhir. Pada penulisan matrik, hanya koefisien yang ditulis, sedang variabelnya tidak di tulis. Jadi untuk himpunan persamaan baku pada contoh, matriknya adalah:

1. 3 Menghitung determinanDeterminan hanya dimiliki oleh matrik bujur sangkar yaitu matrik yang jumlah baris dan kolomnya sama. Determinan ditulis persis sama dengan matrik, tetapi kurung besar diganti garis tegak. Jadi:

Jika Matrik A = , maka determinan A = =

18


Jika Matrik A = , maka determinan A = =

Sebelum kita menghitung determinan, kita akan bicarakan dulu beberapa istilah yang berhubungan dengan determinan, yaitu:

Pengertian Minor:

Minor (i,j) = M = adalah determinan baru yang baris i dan kolom j dihilangkan.

Jadi untuk determinan :

M = a ; M = a ; M = a ; M = a

Untuk , maka:

M = ; M = ......................... ; M = .................

M = ................................... ; M = ......................... ; M = ................

M = ................................... ; M = ......................... ; M = ................

Pengertian Kofaktor:

Kofaktor i,j = C adalah Minor dengan tanda mungkin positif atau negatif.

Jika (i + j) ganjil C = + M ; Jika (i + j) C = MJadi:

C = + M ; C = M ; C = + M

C = ......................... ; C = ................ ; C = ................

C = ......................... ; C = ................ ; C = ................

Harga Determinan:Harga sebuah determinan adalah jumlah dari hasil kali antara elemen dengan kofaktornya dalam satu baris atau satu kolom. Jadi jika:Menggunakan elemen baris ke 1 rumus determinan adalah:

= a1.1 . C1.1 + a1.2 . C1.2 + .... a1.j C1.j Menggunakan elemen baris ke 2 rumus determinan adalah:

= a2.1 . C2.1 + a2.2 . C2.2 + .... a2.j C2.j dan seterusnya. Jika:

19


Menggunakan elemen kolom ke 1 rumus determinan adalah: = a1.1 . C1.1 + a2.1 . C2.1 + .... ai.1 Ci.1

Menggunakan elemen kolom ke 2 rumus determinan adalah: = a1.2 . C1.2 + a2.2 . C2.2 + .... a2.2 C2.2

dan seterusnya.Harga Determinan matrik 2 x 2:

Jika Matrik A = , tentukan

= = a1.1 C1.1 + a1.2 . C1.2 = a1.1 (+M1.1 ) + a1.2 . (M1.2 ) = a1.1 . M1.1 a1.2 . M1.2

= 2 . 5 4 . 3 = 10 12 = 2

Harga Determinan matrik 3 x 3:

Jika Matrik A = , maka determinan A = = = .

a M + a . M

= a + a

Soal:

Jika A = tentukan determinan A !

1. 4 Menyelesaikan Himpunan Persamaan linear (Cramer’s Rule)

Jika himpunan persamaan linear baku terdiri atas n buah variabel, maka dapat dibuat matrik berukuran n baris dan (n + 1) kolom, maka kolom-kolomnya diberi nama kolom varibel 1 (kv 1), kv 2, kv 3 .... dst, sedang kolom paling kanan disebut kolom konstanta (kc). Harga variabelnya dinyatakan dalam bentuk formula:

Harga Variabel 1 =

Harga Variabel 2 =

Harga Variabel 3 =

Dan seterusnya. dengan keterangan:

= Determinan matrik yang kv 1 nya dihilangkan, dan diganti kc.



= Determinan matrik kc nya dihilangkan.

Contoh: Tentukan harga x, y dan z dari himpunan persamaan berikut:

2x z 2 = 0

20


6x 5y 3z = 7

y 2x = 4

Jawab: Himpunan persamaan bakunya adalah:

Matrik bakunya:

= = 2 (0 3) 0 (7 . 0 3 . 4) + (1)(7 20)

= 2 (3) 0 (27) = 6 + 27 = 33

= = 2(7 . 0 3 . 4) 2 (6 . 0 3 . 2) + (1) (6 . 4 7 . 2)

= 2 (12) 2 (6) + (10) = 24 + 12 10 = 22

= = 2 ( 20 + 7) (2)2 (16) = 54 32 =

22

= = 2 ( 0 + 3) 0 (0 6) + ( 1)(610) = 6 16 = 22

Jadi:Harga Variabel 1 = x = 1,5 ; Harga Variabel 2 = y = Harga Variabel z = x = 1

Soal:

Dengan menggunakan Cramer’s Rule, hitunglah harga variabel-variabel pada himpunan persamaan berikut:

1) 2x + y = 4 2) x 2y + 13 = 0 3) 2z + z = 7

7x 2y = 3 y 4 x = 17 y + 5 z = 4

4x 6y 5z = 1

4) (1 i) x + (1 + i) y + 4 i z = 0 5) 2 s + r = 1

(2 + 3 i) y + (3 + 2 i) z = (3 + 4 i) s p = 6

x 2 z = (1 i) 3 q + r = 0

r 2 s + 3 q = 0

1. 5 Menyelesaikan Himpunan Persamaan linear (Gaussian Methode)

Dalam metode ini, maka langkah yang kita lakukan adalah:

1. Mengubah himpunan persamaan linear ke dalam bentuk baku

2. Menyatakan matrik baku dari himpunan baku tersebut

Mengupayakan agar matrik baku itu berbentuk:

21


Contoh: Tentukan harga x, y dan z dari himpunan persamaan berikut dengan metode Gauss:

2x z 2 = 0

6x 5y 3z = 7

y 2x = 4

Jawab: Himpunan persamaan bakunya adalah:

Matrik bakunya:

Selanjutnya baris pertama dibagi 2 agar elemen 1.1 harganya menjadi 1:

Baris kedua dibagi dikurangi 6 x baris 1 sedang baris 3 dikurangi 2 kali baris ke 1 sehingga hasilnya:

Baris kedua dibagi 5, sehingga menjadi:

Baris ketiga ditambah baris kedua:

Akhirnya baris ketiga dibagi 11/5, sehingga diperoleh:

Dari matrik final tersebut diperoleh:

Melalui baris ketiga: z = 1.

Melalui baris kedua : y + 6/5 z = 1/5 karena z = 1 maka y = 1Melalui baris pertama : x + 0y ½ z = 1 jadi x = 3/2

Soal:

Dengan menggunakan metode Gauss, hitunglah harga variabel-variabel pada himpunan persamaan berikut:

1) 2x + y = 4 2) x 2y + 13 = 0 3) 2z + z = 7

7x 2y = 3 y 4 x = 17 y + 5 z = 4

4x 6y 5z = 1

4) (1 i) x + (1 + i) y + 4 i z = 0 5) 2 s + r = 1

(2 + 3 i) y + (3 + 2 i) z = (3 + 4 i) s p = 6

22


x 2 z = (1 i) 3 q + r = 0

r 2 s + 3 q = 0

VEKTOR Operasi vektor

Yang dimaksud dengan operasi vektor adalah operasi matematika yang dapat diberlakukan terhadap vektor meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan penurunan atau differensial vektor.

Operasi penjumlahan Penjumlaahan dapat dilakukan secara analitik. Berdasarkan persamaan (2.4), maka untuk vektor A :

A = A x i + A y j + A z k Sedang untuk vektor B, berlaku:

B = B x i + B y j + B z kSehingga jumlahnya :

C = (A x + B x ) i + (A y + B y ) j + (A z + B z ) k (2.7)

Operasi pengurangan Jika vektor C adalah selisih dari vektor A dan vektor B maka secara matematis, pernyataan

ini dapat ditulis : C = A B (2.8) C = (A x B x ) i + (A y B y ) j + (A z B z ) k (2.9)

Operasi perkalianDikenal dua macam operasi perkalian buah vektor yaitu perkalian skalar dan

perkalian vektor.Perkalian skalar

Operasi perkalian skalar A dan B ditulis A. B menghasilkan besaran skalar pula, dan didefinisikan sebagai berikut:Perkalian skalar antara A dan B adalah hasil kali harga vektor B terhadap proyeksi A pada B. Jadi secara matematika, definisi itu dapat ditulis:

A . B = cos (2.10)dengan adalah sudut lancip yang dibentuk oleh A dan B.

Dari definisi itu, jika kita mempunyai dua buah vektor yang saling tegak lurus maka hasil kali skalarnya adalah nol. Dua buah vektor saling tegak lurus ini disebut orthogonal.

Jika masing-masing vektor ditulis atas komponen-komponennya, maka: A . B = (A x i + A y j + A z k ) . (B x i + B y j + B z k )

= A x B x + A y B y + A z B z (2.11)Dengan mengkombinasikan persamaan (2.10) dan (2.11) kita dapat menentukan besarnya sudut antara 2 vektor.

cos =

Catatan: 1. Perkalian skalar tidak menghasilkan vektor baru.2. Berdasarkan persamaan 10, maka:

a) i . i = j . j = k . k = 1

23


b) i . j = j . k = k . i = 0 Vektor A B jika A . B = A x B x + A y B y + A z B z = 0Soal:Diketahui A = 3 i + 4 j + 5k dan B = 6 i + 2 j 5k. Tentukan sudut antara kedua vektor tersebut !

Perkalian vektor (Perkalian Cross) Perkalian vektor antara vektor A dab vektor B, ditulis A x B menghasilkan vektor baru

(vektor C) yang besar ada arahnya adalah sebagai berikut:

= (2.12) adalah sudut positif ( < 1800) dari A ke B. Vektor C yang dihasilkan tegak lurus terhadap bidang A dan B sedang arahnya mengikuti kaidah sekerup yang diputar dari A ke B.

C

B

ABerdasarkan persamaan ((2.12) di atas maka:1. Perkalian vektor antar vektor unit yang sama hasilnya nol.

i x i = j x j = k x k = 02. Besarnya hasil perkalian vektor antar vektor unit berbeda selalu = 1. = 1 Perkalian vektor antar vektor unit berbeda menghasilkan vektor unit baru sebagai berikut:.

i x j = k ; j x k = i ; k x i = jj x i = k ; k x j = i ; i x k = j

4. Perlu diketahui bahwa A x B tidak sama dengan B x A. Hubungan antara keduanya adalah: A x B = ( B x A) (2.13)Jika masing-masing vektor yang di-kalivektor-kan itu dinyatakan dalam komponen-

komponennya maka hasil per-kalivektor-annya dapat diperoleh dari harga determinan sebagai berikut:

A x B = (A x i + A y j + A z k ) x (B x i + B y j + B z k )

= (A y .B z A z B y )i (A x B z A z B x )j + (A x yB A By x )k

= i j k

A A A

A A A

x y z

x y z

(2.14)

Soal-soal 2:1) Diketahui A = 2 i + 3j dan B = 4 i 5j. Tunjukkan secara grafis maupun secara aljabar vektor:

a) A b) 3B c) A B d) ( A + B)

e) 2) Diketahui 3i j + 4k ; 7j 2k ; dan i 3j + k adalah tiga buah vektor yang ekornya di titik

origin sedang kepalanya berturut-turut adalah titik A, B dab C. a) Tentukan vektor yang menyatakan sisi AB, B C dan CA. b) Berapakah jumlah vektor sisi segitiga tersebut.

c) Berapa panjang masing-masing sisi segitiga tersebut.3) Diketahui vektor A = 2 i + j 2 k dan B = 2 i 2j. Tentukan:

a) A . B

b) Cx Jika C = Cx i + 2j + 3k dan C tegak lurus terhadap A

c) Dy Jika D = 3 i + Dy j + 3k dan D tegak lurus terhadap Bd) Tentukan vektor E yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh A dan B

24


4) Diketahui dua buah titik yaitu A(2,4,2) dan B(3,1,6). Garis yang menghubungkan titik (0,0,0) dan titik A disebut vektor A dan garis yang menghubungkan titik (0,0,0) dan titik B disebut vektor A sedang garis yang menghubungkan titik A ke B disebut vektor C. Tentukan:a) C dinyatakan dalam komponen-komponennya.b) Jarak dari A ke Bc) Sudut antara A dengan Cd) Sudut antara A dengan B

3 Garis dan BidangVektor yang ditarik dari sebuah titik ke titik yang lain

Masalah-masalah yang rumit dalam geometri analitik (ilmu ukur analitik), dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi vektor.

Gambar 3.1 : Vektor r = C + A

Masalah-masalah yang berhubungan dengan persamaan garis, jarak antara dua titik, jarak antara garis dengan bidang yang sering dijumpai dalam masalah-masalah fisik dapat ditangani dengan cepat. Dalam geometri analitik sebuah titik merupakan himpunan tiga buah koordinat yaitu (x, y, z); marilah kita bayangkan titik ini sebagai ujung (kepala) sebuah vektor r = x i + y j + z k yang ekornya berada pada titik (0, 0, 0). Dengan demikikan maka titik (x, y, z) adalah sinonim dari vektor r. Jadi posisi sebuah titik dapat digambarkan dengan vektor dari (0,0,0) ke titik itu. Kita juga akan menggunakan vektor untuk menghubungkan dua buah titik. Dalam gambar (3.1), vektor A, yang ditarik dari titik (1, 2, 3) ke titik (x, y, z) adalah:

A = r C = (x, y, z) (1, 2, 3) = (x1, y2, z3) atau:A = (x i + y j + z k ) ( 1 i + 2 j + 3 k ) = (x1) i + (y2) k + (z3) k.

Jadi kita mempunyai dua cara untuk menyatakan vektor, yaitu dengan cara seperti menyatakan koordinat sebuah titik atau dengan cara menyatakan vektor itu dalam komponen-komponennya. Artinya kita boleh menyatakan vektor A = Ax i + Ay j + Az k atau A = (Ax, Ay, Az). Vektor 5j boleh ditulis (0, 5, 0) sedang vektor 3 i + 4 k boleh ditulis (3, 0, 4).

Soal 3:Nyatakan vektor berikut dalam notasi Ax i + Ay j + Az k:1) vektor yang kepalanya di (3,4,5) ekornya di (0,0,0)2) vektor yang kepalanya di (3,4,5) ekornya di (1,2,3)3) vektor yang kepalanya di (3,0,5) ekornya di (1,0,1)4) vektor yang kepalanya di (2,3,4,) ekornya di (0,0,0)

25

x

z

C

A(1, 2, 3) (x, y, z)

r

y


Persamaan garis yang melalui dua buah titik

Dalam sistem dua dimensi, telah kita ketahui bahwa persamaan garis yang melalui dua buah titik misal titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah:

= (3.1a)

Jika titik-titik dinyatakan dalam tiga dimensi, maka persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1, z1) dan (x2, y2, z2) adalah:

= = (3.1 b)

Soal:Tulis persamaan garis lurus yang melalui :1) titik (3,4,5) dan (0,0,0)2) titik (3,4,5) dan (1,2,3)3) titik (3,0,5) dan (1,0,1)4) titik (2,3,4,) dan (0,0,0)

Persamaan garis yang melalui sebuah buah titik dan paralel dengan sebuah vektor

Dalam sistem dua dimensi, persamaan garis yang melalui sebuah titik (xo, yo) dan dengan slope m adalah:

y yo = m ( x xo ) (3.1c)atau:

= m (3.1d)

Selanjutnya kita perhatikan gambar (3.2). Diketahui vektor dua dimensi A = a i + b j dan sebuah garis yang akan ditentukan persamaannya. Garis itu melalui titik xo,yo dan se arah dengan vektor A. Arah segmen garis dari (xo, yo) ke sembarang titik (x, y) yang berada pada garis itu adalah vektor r ro yang komponen-komponennya adalah x xo dan y yo dan dengan demikian boleh kita nyatakan:

r ro = (x xo) i + (y yo) j (3.2)Vektor ini paralel dengan vektor A = a i + b j. Karena kedua vektor tersebut paralel maka komponen-komponennya sebanding, jadi:

= atau = (3.3)

Ini merupakan persamaan garis yang kita cari, yaitu garis yang melalui titik (xo, yo) dan paralel dengan sebuah vektor yang komponen-komponennya a dan b. Perlu diketahui bahwa b/a tersebut adalah slope dari garis tersebut, yang tidak lain adalah m pada persamaan (3.1).

Cara lain untuk menyatakan persamaan garis di atas adalah dengan menyatakan, jika r ro dan A adalah vektor yang paralel , maka dapat dinyatakan:

r ro = A t , atau r = ro + A t (3.4)dengan t adalah kelipatan skalar. Kita dapat menganggap t sebagai sebuah parameter ; bentuk komponen dari persamaan (3.4) adalah sebuah himpunan persamaan parametrik sebuah garis, dan diberi nama:

x xo = at, x = xo + at atau (3.5)y yo = bt, y = yo + bt

26

a

(xo, yo)

r roy yo

(x, y)

x xo

A b


Gambar 3.2Dengan mengeliminasi t, maka akan kita peroleh persamaan garis kita seperti pada persamaan (3.3).

Dalam sistem tiga dimensi, maka persamaan garis yang melalui (xo, yo, zo) dan paralel dengan vektor A = a i + b i + c i adalah:

= = (3.6)

Jika, misal saja c misal saja adalah nol ( jadi vektor A dua dimensi), persamaan (3.6) tersebut ditulis

= , z = zo (3.7)

Sebagaimana dalam kasus dua dimensi, maka dalam kasus tiga dimensi berlaku:x = xo + at

r = ro + A t atau y = yo + bt (3.8a)z = zo + ct

dengan ro = xo i + yo j + zo k sedang A = a i + b j + c k sehingga :r = xo i + yo j + zo k + ( a i + b j + c k ) t (3.8b)

Persamaan parametrik (3.8) memiliki interpretasi yang sangat bermanfaat manakala parameter t adalah waktu. Sebagai contoh, kasus sebuah partikel m (elektron atau bola billiard) yang melintas sepanjang garis L seperti pada gambar (3.3). Posisi awal partikel adalah di Po sedang posisi akhir (pada saat t) partikel berada di P yang terletak di sepanjang garis L. Vektor dari (0, 0, 0) ke Po kita sebut vektor ro sedang vektor dari (0, 0, 0) ke P disebut vektor r dengan r = ro + A t. Dari ilustrasi ini dapat diketahui bahwa kecepatan partikel m adalah dr/dt = A ; A adalah vektor sepanjang garis lintasan. Gambar 3.3

Catatan:Persamaan (3,3,3) ; (3.6) dan (3.7) disebut persamaan simetrik sedang bentuk (3.4) dan (3.8) disebut persamaan parametrik.

Persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik dan tegak lurus terhadap sebuah vektor

Sekarang kita akan kembali membahas kasus dua dimensi. Anggaplah kita menginginkan persamaan garis lurus L melalui titik (xo, yo) dan tegak lurus terhadap sebuah vektor N = a i + b j. Sebagaimana yang kita bahas tadi, vektor

r – ro = (x xo) i + (y yo) jterletak di sepanjang garis. Saat ini kita ingin vektor ini tegak lurus pada vektor N. Perlu diingat bahwa dua vektor tegak lurus jika perkalian skalarnya ( dot product) = nol. Perkalian skalar N dengan r – ro adalah:

a (x – xo) + b (y – yo) = 0 atau = (3.9)

Persamaan (3.9) adalah persamaan garis L yang tegak lurus N yang kita inginkan.

Persamaan Bidang Yang melalui sebuah titik dan tegak lurus terhadap sebuah Vektor

Untuk sistem tiga dimensi, kita gunakan metode pada (3.9) untuk menyatakan persamaan bidang

27

mPo

P

A t

ro

r L

x

y

z

N

r - ro(xo, yo, zo)(x, y, z)


melalui sebuah titik dan tegak lurus pada sebuah vektor. Jika (xo, yo, zo) adalah sebuah titik pada suatu bidang dan (x, y, z) adalah titik lain di bidang itu, maka vektor r ro adalah sebuah bidang dengan ( lihat gambar (3.4)):

r – ro = (x – xo) i + (y – yo) j + (z – zo) kJika N = a i + b j + c k adalah normal (tegak lurus) terhadap bidang, maka N dan r – ro tentu juga saling tegak lurus, sehingga :

N . (r – ro) = 0atau:

Gambar (3.4)

a (x – xo) + b (y – yo) + c (z – zo) = 0 atau ax + by + cz = d (3.10)dengan d = a xo + b yo + c zo.Jika persamaan bidang di atas sudah diketahui kita menentukan vektor A atau N. Jadi kita dapat mengatakan bahwa persamaan (3.6) , ( 4. 7) dan (3.8) adalah persamaan garis lurus yang paralel dengan vektor A = a i + b j + c k sedang persamaan (3.10) adalah persamaan bidang yang melalui titik (xo, yo, zo) dan tegak lurus terhadap vektor N = a i + b j + c k atau vektor (a, b, c).

Soal:Tulis persamaan bidang yang melalui:1) titik (3,4,5) tegak lurus dengan vektor (3,2,1)2) titik (3,4,5) tegak lurus dengan vektor (1,2,3)3) titik (3,1,5) tegak lurus dengan vektor (1,3,1)

Persamaan Bidang yang melalui tiga buah titik

Untuk menentukan persamaan bidang yang melalui tiga buah titik misal titik A, B dan C, kita tempuh langkah-langkah sebagai berikut:* Kita buat vektor AB dan vektor AC:

AB = (xB, yB, zB) – (xA, yA, zA) = (xB – xA) i + (yB – yA) j + (zB – zA) k = ABx i + ABy j + ABzkAC = (xC, yC, zC) – (xA, yA, zA) = (xC – xA) i + (yC – yA) j + (zC – zA) k = ACx i + ACy j + ACzk

* Kita tentukan vektor normal NCatatan:Bila di sebuah bidang ada dua buah vektor yang terletak pada bidang itu, maka cross product kedua vektor itu adalah vektor baru yang tegak lurus ( normal) terhadap bidang itu. Jadi jika vektor AB dan AC terletak pada bidang tertentu, maka vektor normal untuk bidang itu adalah:

N = AB x AC =

* Setelah vektor normal diperoleh persamaan bidang segera diperoleh yaitu mengambil salah satu titik misal titik A dan menggunakan (910), yaitu persamaan bidang yang melalui titik A dan tegak lurus N

Contoh 1:Pada sebuah bidang terdapat tiga buah titik yaitu A (1, 1, 1) , B (2, 3, 0) dan C (0, 1, 2).

a). tentukan persamaan simetrik sebuah garis yang melalui titik C dan paralel terhadap vektor b) nyatakan (a) dalam bentuk parametrikc)Tentukan vektor normal untuk bidang itu d) tentukan persamaan bidang ituJawab:

28


a) Kita tulis dulu vektor AB yaitu vektor yang ujungnya di B ekornya di A:AB = (2, 3, 0) (1, 1, 1) = (3, 2, 1) = 3 i + 2 j k

Persamaan garis yang melalui A (1, 1, 1 ) dan paralel dengan vektor (3, 2, 1) adalah:

= = dengan xo = 1, yo = 1, zo = 1 ; a = 3,

b = 2 , c = 1jadi persamaan garis yang diminta adalah:

= =

b) Persamaan parametriknya: r = xo i + yo j + zo k + (a i + b j + c k) t = i + j +1 k + (3 i + 2 j k) t =c) untuk memperoleh N, kita harus tahu AC selain AB

AC = (0, 1, 2) (1, 1, 1) = (1, 0, 3) = i 3 k

N = AB x AC = = 6 i + 8 j 2 k

d) Persamaan bidang dinyatakan sebagai persamaan bidang yang melalui titik A dan tegak lurus N yaitu persamaan (3.10) :

a (x – xo) + b (y – yo) + c (z – zo)dengan a, b, c adalah komponen N sedang xo, yo dan zo adalah koordinat titik yang dilalui ( misal titik A): Jadi persamaan bidang yang melalui ABC adalah:

6 (x + 1 ) + 8 (y ) 2 (z ) = 0 atau: 6x – 6 + 8y – 8 – 2z + 2 = 0atau:

6x + 8y 2z 12 = 0 atau: 3x – 4y + z + 6 = 0

Contoh 2:Ditentukan sebuah bidang 4x +5y – z + 7 = 0. a) Tentukan vektor normal N yang melalui salah satu titik pada bidang itu.b) Tentukan vektor unit n untuk vektor normal tersebutJawab: a) Kita misalkan salah satu titik yang dimaksud adalah titik A (1, 2, 21). Untuk menentukan vektor

normal, kita butuh dua buah vektor yang melalui titik A, misal AB dan AC. Dengan demikian kita harus menentukan dulu letak titik B dan titik ; misal letak titik B( 2, 3, 30) sedang C (1, 4, 31). Jadi vektor:

= (2 – 1) i + (3 – 2) j + (30 – 21) k = i + j + 9 k = (1 – 1) i + (4 – 2) j + (31 – 21) k = 2 j + 10 k

Jadi:

N = x = = (10 18) i – (10 0) j + (2 0 ) k = 8 i – 10 j + 2 k

b) Vektor unit dari suatu vektor adalah vektor itu dibagi dengan nilai skalarnya, jadi:

n = = = = i j + k

Contoh 3:Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (1, 0, 2) dan tegak lurus dengan bidang pada contoh 1 Jawab: Karena garis tersebut tegak lurus dengan bidang pada contoh 1, maka garis tersebut pasti paralel dengan vektor N, dan juga sejajar dengan semua vektor yang sejajar dengan vektor N pada bidang itu. Salah satu vektor yang sejajar dengan N adalah (kita sebut saja) N’ = 3 i 4 j + k. Persamaan garis yang melalui titik (1,0, 2) dan paralel dengan N’ menurut (3.6) adalah:

29


= =

Dalam bentuk persamaan parametrik, persamaan garis itu ditulis:r = 1 i + 0 . j 2k + ( 3i 4 j + 1 k) t

atau:r = i 2k + ( 3i 4 j + k) t

Jarak Titik dengan BidangVektor, juga memberi kita cara yang sangat baik untuk menghitung jarak antara titik dengan garis atau bidang. Misal kita akan menghitung jarak dari sebuah titik P ke bidang (3.10).

Gambar 3.5Untuk ini (lihat Gambar 3.5) kita bayangkan titik sebuah R pada bidang itu sedemikian rupa sehingga R merupakan proyeksi P pada bidang itu. Dengan demikian maka garis PR tegak lurus bidang. Panjang garis PR merupakan jarak titik P ke bidang tersebut yang sedang kita cari jawabnya. Selanjutnya kita ambil sembarang titik Q di bidang itu dan kita hubungkan titik-titik P, Q dan R sehingga terbentuk segitiga siku-siku PRQ. Dengan demikian maka:

PR = PQ cos (3.11)Dari persamaan bidang kita dapat menentukan vektor normal N bidang itu. Jika vektor N ini kita bagi dengan nilai skalarnya sendiri, maka kita peroleh unit vektor normal. Jika unit vektor normal ini kita sebut n maka = (PQ) cos , Jadi:

PR = (3.12)Keterangan:

PR = jarak dari titik P ke bidang tertentu

n = unit vektor normal =

= vektor yang ditarik dari titik P ke titik Q . Titik Q adalah sembarang titik di bidang itu.[Kita gunakan tanda absolut untuk . n karena nilai bisa negatif, padahal (PQ) cos seperti yang tampak pada gambar (3.5) adalah positif ]

Contoh 4:Tentukan jarak dari sebuah titik P (1, 2, 3) dengan bidang pada contoh soal 1.Jawab:Telah diketahui dari contoh 1, bahwa persamaan bidangnya adalah 3x – 4y + z + 6 = 0 dan N = 6 i + 8 j 2 kSelanjutnya kita tentukan sembarang titik Q pada bidang itu, misal (2, 1, 8). Sehingga vektor dari P ke Q adalah:

= (2, 1, 8) – (1, 2, 3) = (1, 3, 11) = i + 3 j – 11 kSelanjutnya dari vektor N kita peroleh vektor unit n , yaitu:

30

Q

R

P


n = = = =

Jadi, dengan (3.12) jarak PR diperoleh, yaitu:

PR = = (i + 3 j – 11 k) . ( )

= + + =

Jarak Titik dengan GarisKita dapat kan jarak titik P terhadap sebuah garis dengan cara yang mirip. Dalam Gambar 3.6, kita ingin menentukan jarak tegak lurus PR. Kita pilih sembarang titik pada garis itu, sebut saja titik Q, sedemikian rupa sehingga (lihat Gambar 3.6) PR = PQ sin . Kemudian nyatakan vektor unit sepanjang garis itu. Jika garis itu dinyatakan dalam bentuk vektor A, maka u = A / A, dan antara vektor PQ dengan vektor u berlaku:

Gambar 3.6

x u = PQ sin , jadi:PR = x u (3.12)

Keterangan:Q = sembarang titik di garis itu = vektor yang ditarik dari P ke Q = (xQ – xP) i + (yQ – yP) j + (zQ – zP) k

u = vektor unit dari vektor garis itu. Jika vektor garis itu adalah A, maka u = A / A

Contoh 5:Diketahui sebuah titik P (1, 3, 7) dan sebuah garis yang terletak di antara titik P1 (2,3,4) dan P2 (4, 5, 6).Tentukan: a) Persamaan garis tersebut

b) vektor A, yang ditarik dari P1 ke P2

c) vektor unit u dari vektor Ad) jarak dari P ke garis itu

Jawab:a) Persamaan garis yang melalui dua buah titik (x1, y1, z1) dan (x2, y2, z2) adalah:

= =

Persamaan garis yang melalui dia buah titik (2, 3, 4) dan (4, 5, 6) adalah:

= = atau: = =

b) vektor A = = (4 2) i + (5 – 3) j + (6 – 4) k = 2 i + 2 j + 2 k

c) vektor unit dari vektor A adalah:

u = = (2 i + 2 j + 2 k ) /

d) Jarak dari P ke garis itu:Menurut (3.3.12):

PR = x u Untuk kasus kita adalah vektor dari P salah satu dari P1 atau P2. Kita ambil saja P1

sebagai Q , maka:

31

P

R

Q


= (2 1 ) i + (3 3) j + ( 4 7 ) k = i 3 k Kita cari dulu x u:

x u = = i j + k

Jadi jarak dari P ke garis itu adalah:

PR = x u = i j + k

= = . . . . . . .

= . . . . . . . .

Jarak Dua Buah GarisLangkah untuk menentukan jarak antara dua garis adalah sebagai berikut:

Gambar 3.7

1) Ambilah titik P pada garis pertama dan titik Q pada garis ke dua ( Gambar 3.7). 2) Tarik vektor 3) Tentukan vektor A yaitu vektor se arah/paralel dengan garis pertama (dapat di lihat dari persamaan

garisnya)4) Tentukan vektor B yaitu vektor se arah/paralel dengan garis kedua.5) Tentukan vektor C yang merupakan hasil AxB. Karena C = AxB maka C pasti tegak lurus

terhadap A (garis pertama) maupun B (garis kedua).6) Kita tentukan vektor unit dari C yaitu:

n =

7) Akhirnya jarak kedua garis itu dapat ditentukan, yaitu:Jarak = . n

Contoh 6:Diketahui dua buah garis yaitu r = i – 2 j + (i – k) t dan r = 2 j – k + ( j – i) t.Tentukan :a) persamaan kedua garis itu dalam bentuk yang lain.b) tentukan jarak antara kedua garis tersebut.

Jawab:

32

P

A

B

n

Q


a) Dalam sistem parametrik persamaan garis yang melalui titik P(xo, yo, zo) dan sejajar dengan vektor A = ai + b j + c k adalah r = xo i + yo j + zo k + ( a i + b j + c k) t, jadi untuk garis pertama, garis itu melalui:

P (1, 2, 0) dan paralel dengan vektor A = i – k dengan demikian maka xo = 1 ; yo = 2 , zo = 0 ; a = 1 ; b = 0 dan c = 1 Jadi persamaan simetrik untuk garis pertama adalah modivikasi dari (3.3.7). (Menurut 3.4.7) jika c = 0 persamaan simetriknya adalah:

= , z = zoKarena untuk garis pertama ini b yang = 0, maka persamaannya adalah:

= y = yoUntuk garis kedua, garis tersebut melalui Q (0, 2, 1) dan paralel dengan vektor B = j – i, jadi:xo = 0 ; yo = 2 , zo = 1 ; a = 1; b = 1 ; c = 0, sehingga persamaannya adalah:

= z = 1b) Telah diketahui P(1, 2, 0) dan Q(0, 2, 1) jadi vektor adalah:

= (0 – 1) i + (2 – (-2)) j + (1 – 0) k = i + 4 j – k

Telah diketahui pula vektor yang paralel dengan garis pertama adalah A = i – k sedang vektor yang paralel dengan garis kedua adalah B = i + j , jadi vektor yang tegak lurus kedua garis itu adalah:

C = AxB = = i ( 1 ) j (1 ) + k (1 ) = i – j – k

Selanjutnya vektor unitnya diperoleh yaitu:

n = = = i – j – k

Jarak kedua garis itu adalah = . n =

Arah garis Perpotongan dua buah bidang.

Jika dua buah bidang berpotongan, maka garis perpotongan itu pasti paralel terhadap kedua bidang itu, ini berarti garis perpotongan tegak lurus terhadap vektor normal kedua bidang itu. Cross vektor normal bidang pertama dan kedua adalah vektor yang searah dengan garis perpotongan itu. Jadi, jika dua buah bidang diketahui, maka arah garis perpotongannya diperoleh melalui langkah-langkah berikut:

* Tentukan vektor normal pada bidang pertama, kita beri nama N1.

* Tentukan vektor normal pada bidang kedua, kita beri nama N2.

Setelah kedua vektor normal diketahui maka arah garis perpotongan dapat ditentukan, yaitu:

* Vektor yang menunjukkan arah garis perpotongan = N1 x N2

Sudut antara kedua bidang juga dapat dihitung, yaitu dari perkalian skalar kedua vektor normal.

Kita tahu bahwa: N1 . N2 = N1 . N2 cos padahal kita juga tahu bahwa N1 . N2 adalah jumlah dari perkalian skalar komponen-komponennya. sehingga:

cos =

Contoh 7:

33


Tentukan arah garis perpotongan bidang pada contoh 1 yaitu 3x – 4y + z + 6 = 0 dengan bidang pada contoh 2 yaitu 4x +5y – z + 7 = 0. Tentukan pula besarnya sudut antara kedua bidang tersebut.

Jawab:

a) Telah diketahui untuk bidang 1, vektor normalnya adalah N1 = 6 i + 8 j 2 k sedang untuk bidang 2 , vektor normalnya adalah: 8 i – 10 j + 2 k , jadi arah garis perpotongannya ditunjukkan oleh vektor :

= (16 20) i (12 16 )j + (60 + 64 ) k = i + 28 j + 124

k

b) Menentukan sudut antara dua bidang:

cos = =

= . . . . . .

Jadi = . . . . .

Soal 3 :

Soal 1 sampai 4 adalah kasus dua dimensi:

1. Sebuah garis melalui titik (2, 1) dengan slope ¾ , tentukan persamaan garis tersebut secara simetrik dan secara parametrik.

2. Berapakah slope garis yang persamaan parametriknya adalah r = i j + (2 i + 3 j) t

3. Tentukan persamaan garis secara parametrik jika garis itu melalui titik (1, 2) dan (3, 0). Bagaimana pula persamaan simetriknya.

4. Tulis persamaan parametrik dari sebuah garis yang melalui (1, 0) dan tegak lurus terhadap:

No. 5 sampai dengan 12, tentukan persamaan simetrik dan persamaan geometrik dari garis yang:

5. melalui (1, 1, 5) dan (2, 3, 5)

6. melalui (2, 3, ) dan (5, , 2)

melalui (3, , 1) dan paralel terhadap vektor 2 i 3 j + 6 k

melalui (, , 3) dan paralel terhadap vektor i 2 k

9. melalui (, , 2) dan paralel terhadap garis r = i j + (5 i – 2 j + k) t

10. melalui (3, , 5) dan paralel terhadap garis r = 2 i + j k + (– 3 j + k) t

11. melalui (3, , 5) dan paralel terhadap garis r =(2, 3, 4) + (2, 0, 4) t

12. melalui (, 2, 2) dan paralel terhadap garis r =(1, 1, 1) + (1, 2, 3) t

13.Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (3, , 1) dan tegak lurus terhadap vektor 2 i 3 j + 6k

14. Tentukan persamaan bidang yang melalui (0, 0, 0) , (2, 3, ) dan (5, , 2)

15. Tentukan persamaan bidang yang melalui dua garis sejajar pada soal nomor 12.

16. Tentukan sudut antara bidang 2x + 6y – 3z = 10 dengan bidang 5x + 2y – z = 12

17. Tentukan arah garis perpotongan antara bidang 2x + 6y – 3z = 10 dengan bidang 5x + 2y – z = 12

34


18. Tentukan jarak dari P(2, 4, 4) ke garis yang menghubungkan titik (2,2,2) dengan titik (5, 1, 3)

19. Tentukan jarak dari P(2, 4, 4) ke garis r = 3 i + 4 j + k + (2 i + j k) t

20. Tentukan jarak dari P(0, 0, 0) ke garis r = 3 i + 4 j + k + (2 i + j k) t

***************

4 Operasi Matrik (Tidak di bahas, Mhs langsung mengerjakan soal-soal)

Pada § 1 telah kita bahas aplikasi matrik untuk menyelesaikan himpunan persamaan linear. Sekarang akan kita bahas hal-hal mengenai operasi matrik meliputi perkalian, penggabungan (penjumlahan), pengurangan dan sebagainya.

4. 1 Persamaan Matrik

Dua buah matrik adalah sama jika keduanya identik ( ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak harganya sama)

Jadi jika:

=

maka: x = 2 ; r = 1 ; u = 5 ; y = 1 ; s = 7i ; v = 1 i.

4. 2 Transpose Matrik

Transpose sebuah matrik diperoleh dengan mengubah baris menjadi kolom. Contoh:

Jika: A = maka transpose A = =

4. 3 Perkalian Matrik dengan suatu Bilangan

Jika sebuah matrik dikalikan dengan suatu bilangan misal k, maka dihasilkan matrik baru yang elemen-elemen nya k kali matrik yang lama. Contoh:

Jika ; A = maka 2 A =

Penting:

Perbedaan antara matrik dengan determinan pada perkalian dengan suatu bilangan adalah pada perkalian suatu bilangan dengan matrik maka semua elemen dalam matrik dikalikan seluruhnya sedang pada perkalian determinan dengan suatu bilangan, perkalian hanya diberlakukan pada elemen-elemen salah satu baris atau salah satu kolom saja.

Jadi, jika:

= maka k = = =

= dst

4. 4 Penjumlahan Matrik

35


Penjumlahan dua buah matrik dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak. Dua buah matrik yang ordonya tidak sama tidak dapat dijumlahkan demikian pula dengan pengurangan.

+ = =

4. 5 Perkalian antar Matrik

Perkalian A.B dapat dilakukan bila banyaknya kolom A = banyaknya baris B.

Ap x m . Bm x q = Cp x q

Contoh

1. Jika A = (2 3 4) ; B =

maka A.B = (2 3 4) = (2 . 1 + 3 . -1 + 4 . 2) = (7)

2. Jika A = (2 3 -1) ; B =

maka A.B = (2 3 -1) = (2.1 + 4 1.3 2.3 + (-4) - 1.1)

= (…… ……)

Jika A = dan B =

maka A.B = .

=

=

4. 6 Operasi dengan Determinan

Kita tidak akan membahas penjumlahan dan pengurangan determinan, tetapi perkalian determinan ada manfaatnya untuk diketahui. Jika A dan B adalah matrik bujur sangkar yang ordonya sama maka:

det (AB) = det A . det B

36


4. 7 Aplikasi Perkalian Antar Matrik

4. 7. 1 Menentukan Matrik Inversi

Jika A adalah sebuah matrik bujur sangkar, maka matrik inversi A atau ( A ) adalah suatu matrik yang jika dikalikan dengan matrik asalnya menghasilkan matrik satuan atau matrik unit atau U.Jadi :

A . A = U.Matrik satuan adalah matrik bujur sangkar yang elemen diagonalnya semua = 1 sedang elemen-elemen lain harganya = 0. Berikut ini adalah contoh-contoh matrik satuan:

U = ; U = ; U =

Contoh cara menentukan matrik inversi:

1. Jika A = , tentukan A .

Dimisalkan A .=

A . A = U . =

=

Elemen yang seletak harganya sama:2p + 3r = 1 2q + 3r = 05p + 6r = 0 5q + 6s = 1

Dengan Cramer’s rule diperoleh:

p = = = = 2 ; q = = = = 1

r = = = = s = = =

=

Jadi : A =

Cara lain menentukan Matrik Inversi:

37


Menentukan matrik inversi dengan cara di atas, tidak terlalu sukar apabila matrik asalnya sederhana. Untuk matrik yang ordonya lebih tinggi, cara di atas akan menjadi terlalu rumit. Untuk itu dapat kita gunakan rumus:

A = . C (4.7.1.1)

Keterangan: = determinan matrik A

C = matrik yang elemen-elemennya berasal dari semua kofaktor Ci.j matrik A

Jadi jika A = maka C =

Contoh:

Jika A = tentukan A !

Jawab:Kita tentukan dulu determinan A:

= 2 (5.0 1) 0(6 . 0 3 . 2) + 1(6 . 1 5 . 2) = 6Menentukan kofaktor masing-masing elemen:

C1.1 = M1.1 = 3 ; C1.2 = M1.2 = C1.3 = M1.3 = C2.1 = M2.1 = 1 ; C2.2 = M2.2 = 2 ; C2.3 = M2.3 = 2C1 = M1 = 5 ; C4 = M4 = 0 ; C3 = M3 = 10

Matrik C sudah dapat diperoleh yaitu:

C = sehingga C =

Jadi: A = . C = =

4. 7. 2 Menyelesaikan Himpunan Persamaan LinearPada § 1 telah kita bicarakan penyelesaian himpunan persamaan linear dengan

menggunakan metode Cramer. Kini akan kita bicarakan hal yang sama tetapi diselesaikan dengan mengaplikasikan konsep perkalian matrik dan matrik invers.

Jika kita mempunyai himpunan persamaan linear:

Maka persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matrik

=

Jika disebut A, maka:

A . =

Jadi:

= A .

Contoh soal:

38


Diketahui himpunan persamaan

Himpunan di atas dapat ditulis

= dengan A =

Jadi: = A

Kita tentukan dulu A1:

A = . C

= 2 (5.0 1) 0(6 . 0 3 . 2) + 1(6 . 1 5 . 2) = 6

Menentukan kofaktor masing-masing elemen:C1.1 = M1.1 = 3 ; C1.2 = M1.2 = C1.3 = M1.3 = C2.1 = M2.1 = 1 ; C2.2 = M2.2 = 2 ; C2.3 = M2.3 = 2C1 = M1 = 5 ; C4 = M4 = 0 ; C3 = M3 = 10

Matrik C sudah dapat diperoleh yaitu:

C = sehingga C =

Jadi: A = . C = =

Jadi:

= A = =

=

Jadi: x = 1 ; y = 1 ; z = 1.

Soal 4-7 :Selesaikan himpunan persamaan berikut, (kerjakan dengan cara seperti contoh soal di atas)1) 2x + y = 4 2) x 2y + 13 = 0 3) 2z + z = 7

7x 2y = 3 y 4 x = 17 y + 5 z = 4

4x 6y 5z = 14. 8 Matrik Khusus

Pada bagian ini akan kita bicarakan berbagai peristilahan khusus yang dipergunakan dalam bekerja dengan matrik. Beberapa di antaranya adalah:a) Matrik baris yaitu matrik yang ordonya 1 x j atau matrik yang terdiri atas 1 baris j kolom

Contoh: ( a1.1 a1.2 a1.3 . . . . . a1.j)b) Matrik kolom yaitu matrik yang ordonya i x 1 atau matrik yang terdiri atas beberapa baris,

satu kolom.

Contoh:

39


c) Matrik unit atau Matrik Satuan yaitu matrik bujur sangkar yang elemen diagonalnya dari kiri atas ke kanan bawah adalah 1 sedang elemen-elemen lain adalah 0.

Contoh: U =

Dalam beberapa buku matrik unit ditulis U atau I atau E atau 1.d) Kronecker (baca: Kronecker delta) didefinisikan oleh pernyataan:

Contoh: ; ; ; . Karena elemen matrik unit adalah 1 jika i = j dan 0 jika i j, maka matrik unit dapat ditulis:

U = ( )Notasi Kronecker juga dapat digunakan untuk kepentingan lain, contoh: karena (untuk m dan n bilangan bulat positif)

=

maka kita boleh menyatakan bentuk di atas dengan:

= .

e) Matrik nol ditulis 0 adalah matrik yang semua elemennya nol. Tetapi anda harus hati-hati, karena hasil kali dua buah matrik yang masing-masing bukan matrik nol dapat menghasilkan matrik nol.

f) Matrik singular adalah matrik bujur sangkar yang determinannya nol. dan semua matrik yang tidak bujur sangkar.

Ada beberapa matrik khusus yang berhubungan dengan matrik A yang diketahui. Untuk itu perhatikan tabel berikut:

Nama Matrik Notasi Cara mendapatkannya

Transpose A Mengubah semua baris matrik a menjadi kolom

kompleks konjugasi dari A A* Mengganti semua elemen matrik A dengan kompleks konjugasinya

Konjugasi transpose atau Konjugasi Hermit

A

(A dagger)

(A*) ; Dicari konjugasi A, lalu di transpose.

Adjoint A atau adjugasi A ^adj A atau A

Semua elemen A diganti dengan kofaktornya kemudian ditranspose

Inversi A A1 Bagilah semua elemen dari adj. A dengan det.A

Berikut ini adalah matrik khusus yang lain:

40


Matrik A disebut Jika dipenuhi persamaan:

simetrik A = A

anti simetrik A = A

real A = A*

(semua elemennya bilangan real)

imajiner murni A = A*

(semua elemennya bilangan imajiner)

Hermitian A = A

(matrik = konjugasi transposnya)

orthogonal A. A = U atau A =

unitary A =

Soal 4-8:1) Tentukan A.B dan B.A jika:

A= ; B =

Amatilah bahwa A.B adalah matrik nol. Jadi: AB = 0 pada baik A maupun B tidak 0.2) Buktikan bahwa matrik A pada soal (1) di atas adalah singular.3) Diketahui:

A = ; C = ; D =

Buktikan bahwa A.C = A.D4) Diketahui:

A =

Tentukan:a) Transpose A b) adjoint A c) invers A d) Kompleks konjugasi Ae) konjugasi transpose ABuktikan:f) A. A = A . A = matrik unit.

5) a) Samakah (A.B) dengan A . B ? b) Samakah (A.B) dengan B . A ?

6) Diketahui matrik A = . Buktikan bahwa A

adalah orthogonal.

5 Kombinasi Linear ; Fungsi Linear ; Operator LinearKombinasi LinearJika diketahui dua vektor A dan B, maka A – B disebut kombinasi linear dari A dan B. Secara umum kombinasi linear antara vektor A dengan vektor B adalah aA + bB dengan a dan b adalah skalar.

41


Secara geometri, jika A dan B mempunyai ekor yang sama dan keduanya tidak terletak pada satu garis maka mereka menjadi penentu bidang. Sehingga dengan demikian dapat dikatakan bahwa kombinasi linear dari A dan B terletak pada satu bidang. Adalah juga benar bahwa sembarang vektor yang berada dalam satu bidang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari A dan B.; kita akan menunjukkan bagaimana melalui ini pada paragraf berikutnya. Vektor r = xi + yj + zk yang ekornya di (0,0,0) ( yang kita gunakan untuk menyatakan persamaan garis dan bidang) adalah kombinasi linear dari vektor basis i, j, k.

Fungsi Vektor LinearSebuah fungsi vektor, sebut saja f(r) adalah linear jika :f (r1 + r2 ) = f (r1) + f(r2) dan f(ar) = a f(r) (5.1)

dengan a adalah skalar.

Sebagai contoh jika diketahui sebuah vektor A = f = 2i + 3j k maka f(r) = A . r = 2x + 3y – z adalah linear sebab:

f (r1 + r2 ) = A (r1 + r2 ) = A r1 +A r2 =f (r1 )+ f( r2 )

danf(ar) = A . ar = a A . r = a f(r)

di lain pihak, jika f = , maka f(r) = r adalah bukan fungsi linear sebab:f (r1 + r2 ) = (r1 + r2 ) r1 + r2 = f (r1) + f ( r2 )

Contoh :Fungsi linearkah f(x) = mx + bJawab:Untuk f (x) = mx + b, dapat dinyatakan:

f(x1 + x2) = m (x1 + x2) + b = mx1 + mx2 + bf(x1) = mx1 + bf(x2) = mx2 + b

sehingga: f(x1) + f(x2) = mx1 + mx2 + 2bKarena f(x1 + x2) f(x1) + f(x2) maka f(x) = mx + b tidak linear.

Operator LinearAnda tahu dari kalkulus, bahwa:

dan (5.2)

Jika kita amati benar, tampak bahwa (5.2) mempunyai bentuk yang mirip dengan (5.1). Karena d/dx adalah operator, dan ia memenuhi persyaratan linear, maka d/dx disebut operator linear. Operator adalah semacam instruksi yang harus kita lakukan terhadap sesuatu ( disebut operand) yang berada di belakang operator itu. Seperti halnya pada fungsi vektor linear, maka :

Operator disebut linear jika:O(A + B) = O(A) + O(B) dan O(kA) = k O(A) (5.3)

dengan k adalah bilangan (skalar) sedang A dan B dapat berupa bilangan, fungsi maupun vektor.

Operator MatrikPerhatikan himpunan persamaan berikut:

atau = (5.4)

Untuk sembarang titik (x, y) persamaan tersebut menghasilkan dan . Jika kita bayangkan bahwa tiap titik pada bidang (x, y) selain titik (0, 0) , dipindahkan ke titik lain, maka proses seperti ini disebut pemetaan atau transformasi sebuah bidang terhadap bidang itu sendiri. (Lihat bab 10). Segenap informasi mengenai transformasi terkandung di dalam matrik

42


dan matrik itu kita sebut operator yang memetakan bidang (x, y) terhadap dirinya sendiri. Sembarang matrik ( bujur sangkar maupun tidak) dapat dianggap sebagai operator pada kolom r. Karena:

A(r1 + r2) = Ar1 + Ar2 dan A(kr) = k A(r) matrik A adalah operator linear.

Contoh 1:Apakah akar atau adalah operator linear.Jawab:Tidak, sebab + dan a .

Contoh 2:Apakah f(r) = A . r + m merupakan fungsi linear ? A adalah vektor sedang m adalah skalar.Jawab:

f(r1 + r2) = A . (r1 + r2 ) + m = Ar1 + Ar2 + mf(r1) = Ar1 + m ; f(r2) = Ar2 + m sehingga f(r1) + f(r2) = Ar1 + Ar2 + 2 m

Karena f(r1 + r2) f(r1) + f(r2) maka f(r) = Ar + m bukan fungsi vektor linear.

Soal 5:Apakah fungsi berikut ini linear ?1. f(r) = A . r + 3 dengan A adalah vektor 2. f(r) = A . ( r z k ) 3. f(r) = r . rApakah fungsi vektor berikut linear ?4. F(r) = r – x i = y j + z k 5) F(r) = A x r dengan A adalah vektor6. F(r) = r + A dengan A adalah vektorApakah operator berikut ini linear ?7. Definit integral dengan batas 0 sampai 1, dioperasikan pada fungsi x8. Logaritma beroperasi pada bilangan real9. Akar beroperasi pada bilangan10. Jika operator D = d/dx , apakah D, D2 dan D3 adalah operator linear jika beroperasi kepada

fungsi x yang dapat diturunkan terus menerus ?

43

Himpunan Pers. Linear, matriks Dan Vektor

Documents

Transcript of Himpunan Pers. Linear, matriks Dan Vektor